2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中復(fù)習(xí)真題精選（?？?00題20類題型

專練）

【人教A版（2019）］

平面向量的概念（共5小題）一

1.（23-24高一下?福建福州?期中）下列說法正確的是（）

A.若兩個非零向量同，方共線，則必在同一直線上

B.若H與石共線，石與2共線，貝匹與"也共線

C.若悶=揚|則五=b

D.若非零向量同與方是共線向量，則它們的夾角是0°或180。

【解題思路】根據(jù)共線向量的概念即可判斷A,B,D;根據(jù)相等向量的概念可以判斷C.

【解答過程】方向相同或相反的兩個非零向量是共線向量，因此D正確；

—>—>

若非零向量4B,CD是共線向量，貝!M,BCD未必在同一直線上，A錯；

若b=0,貝Ija與b共線，b與c共線，但是a與c未必共線，B錯；

由|a|=網(wǎng)可以得到a力的大小相等，但方向不一定相同，C錯.

故選：D.

2.（23-24高一下?天津河北?期中）下列說法中，正確的是（）

A.若同=1,則方=±1B.若6=瓦貝皈I仿

c.若同=|同且由區(qū)，貝囁=/5D.若成6,則同=o

【解題思路】對于A：根據(jù)向量與數(shù)量的定義分析判斷；對于B：根據(jù)向量相等和向量共線分析判斷；對于

C：舉反例說明即可；對于D：根據(jù)零向量和向量共線分析判斷.

【解答過程】對于選項A：因為五為向量，±1均為數(shù)量，故A錯誤；

對于選項B：根據(jù)相等向量與平行向量的關(guān)系，知豆=反即有山區(qū)，故B正確；

對于選項c：例如五=一刃力6,滿足同=|同且而反但五力石，故c錯誤；

對于選項D：由零向量可知：對任意乙均有由同，即同=0不一定成立，故D錯誤；

故選：B.

3.（23-24高一下?江蘇無錫?期中）下列說法錯誤的是（）

A.向量而與向量而是共線向量，則點/,B,C,。必在同一條直線上

TTT

B.若7na=0jnER,則m=0或2=0

C.若向量荏,而滿足I荏I＞|麗|,且樂與而同向，則屈＞而

D.向量H與石色彳6）共線的充要條件是：存在唯一的實數(shù)九使五=萬

【解題思路】由平面向量共線以及共線定理可判斷A錯誤，D正確，再由數(shù)乘運算可得B正確，因為平面

向量不能比較大小，可知C錯誤.

【解答過程】對于A,向量四與向量而是共線向量，貝必B,CD可能平行，因此4B,C,D不一定在同一條直線

上，即A錯誤；

對于B,若ma=0,nieR,則m=0或方=6,即B正確；

對于C,向量不能比較大小，因此9＞而錯誤，即C錯誤；

對于D,由平面向量的共線定理可知D正確.

故選：AC.

4.（23-24高一下?廣東廣州?期中）已知五3為兩個不共線的非零向量，若4+石與反-2石共線，則左的值為

1

【解題思路】根據(jù)共線向量滿足的性質(zhì)求解即可.

【解答過程】由題意若雨+3與a—21共線，貝收2+辦=20—2@,4eR,

貝收五+B=而一2泥，因為五%為兩個不共線的非零向量，故k=尢1=-24,

解得k=

故答案為：-今

5.（23-24高一下?福建泉州?期中）已知邊長為3的等邊三角形ABC,求BC邊上的中線向量而的模|前

【解題思路】根據(jù)正三角形的性質(zhì)，求得BC邊上的中線長，即可求解.

【解答過程】如圖所示，因為△力BC是正三角形，所以BC邊上的中線向量前的模就是三角形的高，

即：小2_（|）2=苧,所以BC邊上的中線向量詬的模|而|為竽.

題型23平面向量的線性運算（共5小題）

1.（23-24高一下?湖北武漢?期中）已知等腰梯形4BCD中，AB//CD,AB=2DC=2AD=2,E為3c的中

點，則前=（）

A.+（ZCB.|D5+|^4C

C.癖+冠D.一海+加

【解題思路】根據(jù)向量的線性運算法則進行代換即可求解.

【解答過程】因為胡=DB-DA=DB-（DC+C2）=~DB-DC-CA=~DB-^AB-CA,

所以輛=而一乙?，即四=|而+|尼，

又BC的中點為E,

所以前=^（AC-AB）=袋片（|南+|XC）=+次，

故選：D.

DC

E

-------------------?B

2.（23-24高一下?廣東深圳?期中）已知向量無，專是平面上兩個不共線的單位向量，且荏=玩+2就

品=一3瓦+2專，DA=3eT-6eJ,貝!］（）

A.4B、C三點共線B.4B、。三點共線

C.力、C、D三點共線D.B、C、。三點共線

【解題思路】結(jié)合向量的線性運算，逐項判斷向量共線得解.

【解答過程】對A,因為白力夕貝必、B、C三點不共線，故A錯誤；

—5Z

對B,因為亞等，則小B、D三點不共線，故B錯誤；

3—6

對C,因為羽=9+麗=方+2*+（-3萬+2專）=—2瓦+4無=一冠，貝必、C、。三點共線，則C正

確；

對D,DB=DA+AB=4e^-4e^,因為r不二，則8、C、D三點不共線.

4—4

故選：C.

3.（23-24高一下?福建泉州?期中）莊嚴(yán)美麗的國旗和國徽上的五角星，是革命和光明的象征.正五角星是

一個非常有趣、優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系（在如圖所示的正五角星中，多邊形4BCDE

PT_V5-1

為正五邊形,~0.618).貝U()

AP2

B.~ES-RQ^PA

D

C.AT+RS=-而節(jié)=號西

【解題思路】利用正五角星的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合向量的線性運算，逐項計算判斷即可.

【解答過程】對于A,CQ+TP=PA+TP^TA=DS,A正確;

對于B,ES-RQ=R^-RQ=QC=-PA,B錯誤;

對于C,AT+RS=SD+RS=RD=^rQR=^^QR,C錯誤；

|RS|2

對于D,~BP-TS=TE-TS=SE=^RS=^^RS,D正確.

|ST|2

故選：AD.

4.(23-24高一下?四川成都?期中)設(shè)五，區(qū)是兩個不共線向量，~AB=2aBC=a+b,CD=a-2b.若

A,C,。三點共線，則實數(shù)4=-7.

【解題思路】求出前=32+(4+1)加設(shè)前=小而，得到方程組，得到％=-7.

【解答過程】NC—AB+BC=2a+4b+方+b=33+(A+l)b,

A,C,Z)三點共線，設(shè)/C=znCO,則33+(2+1)石=m方一2?n反

故m=3,4+1=-2m,解得4=—6—1=-7.

故答案為：-7.

5.(23-24高一下?黑龍江雞西?期中)計算：

(1)(-3)x4a；

(2)3(。+b)—2(a—b)—CL；

(3)(2a+3力—c)—(3d—2b+c)；

(4誨-而一反；

(5)而+QP+M7V-MP.

【解題思路】(1)根據(jù)向量的數(shù)乘運算求解；

(2)根據(jù)向量的數(shù)乘和加減法運算律求解即可；

(3)根據(jù)向量的數(shù)乘和加減法運算律求解即可；

(4)(5)根據(jù)向量的加減法法則求解即可.

—>—>

【解答過程】(15(-3)x4a=-12a；

(2)3(a+b)-2(a—b)—CL=3a+3b—2a+2b-CL=5b；

(3)(2a+36—c)—(3a—26+c)=2a+3h—c—3a+2b—c

=-a+5Z)—2c；

(4)AB-AD-DC=DB-'DC=CB；

(5)NQ+QP+'MN-MP=1VP+(W-MP)

=/+麗=6.

題型3平面向量的數(shù)量積(共5小題)

I.（23-24高一下?北京通州?期中）已知五b,才是三個非零平面向量，則下列敘述正確的是（）

A.若同=|瓦，則五=±BB.若恒+山=|2—瓦，則五

C.b=ac,則】=1D.若五〃3,則五■刃=|司正|

【解題思路】利用向量的模、數(shù)量積的運算律及共線向量直接判斷各個選項即可.

【解答過程】對于A,同=?瓦，而不與石的方向不確定，不一定有方=±aA錯誤；

對于B,由||+君尸|五一b|,得五2+2五?1+針=-2—23,1+鏟,gpab=0,則313,B正確；

對于C,a-b=a-c^fb—c'）-a=0,當(dāng)@—2）13時，石中不也成立，C錯誤；

對于D,a//b,當(dāng)五與刃的方向相反時,a-b=-\a\\b\,D錯誤.

故選：B.

2.（23-24高一下?山東臨沂?期中）如圖，圓M為△48C的外接圓，AB=3/C=5,N為邊BC的中點，則

AN-AM=（）

【解題思路】由三角形中線性質(zhì)可知而=*屈+而），再由外接圓圓心為三角形三邊中垂線交點可知|福|

COSNB4M=3麗同理可得|前ICOSNSM，而，再由數(shù)量積運算即可得解.

【解答過程】因為N是BC中點，

AN=1（AB+AC）,

因為“為△ABC的外接圓的圓心，即三角形三邊中垂線交點，

：.AM-AB=\AM\\AB\cos^BAM=||XF|2=1x32=1,

同理可得前.前=g函『=與，

■.AM-AN=AM■+AC）=^AM-AB+^AM-^C=|x|+|xy=y.

故選：D.

3.（23-24高一下?河南洛陽?期中）關(guān)于平面向量，下列說法正確的是（）

A.若五?1=五?工,則石=工

一TTTITI一

B.兩個非零向量乙b,若。一6=a+也卜則日與b共線且反向

C.若2與至不共線且a+29與23+3右共線，貝亞=:

D.若2=（1,2）,b-（-1,1）,且為與方+石的夾角為銳角,則4€（-5,+oo）

【解題思路】根據(jù)特殊值法判斷A,D選項，應(yīng)用向量的平行求參判斷C選項，根據(jù)向量的數(shù)量積公式判

斷B選項.

—>———>—T―

【解答過程】對于A：a=(0,0)/=(1,1),c=(1,2)"力=a-c,A選項不正確;

222

—>—>T—>

對于B：因為a—b，所以CL-b=（口+協(xié),小+同2.2嬴娟2+樸

a+口+2ab,

TT——-2卜bjcos。，

所以—=2ab

所以cosO=-l,即e=h,則a力共線反向，B選項正確;

—>—>—>————>—>/—>—>\

對于C：因為Q/不共線，ta+2h2a+3力共線，可得ta+2b=2(2a+3b),

4

所以￡=242=3九所以t=1C選項正確;

對于D：當(dāng)2=0時，a,a+勸所成角為0。，不是銳角，D選項錯誤.

故選：BC.

4.（23-24高一下?北京?期中）已知非零平面向量出b,c,

①若五?茬=工?氏則五=石；②若|五十石|=|磯+國,則五〃石;

③若|五+同=|五—刃則五J_B；④若（五+1）?（五—刃）=0,則五=刃或五=一刃.

其中正確命題的序號是.②⑶.

【解題思路】舉反例結(jié)合向量垂直可判斷①；對已知等式兩邊平方可判斷②③；根據(jù)向量相等可判斷④.

【解答過程】對于①，例如出1=一方時，則?3=2,至=0,滿足題意，但五W九故錯誤；

對于②，若|@+引=131+同，則|五+同2=（同+同）2,

可得五-h=|3|?\b\cosa^b=\a\*\b\,所以cos五了=1,

所以五與石的夾角為0,故正確；

對于③,若I五+川=|2—對,則|方+同2=|五一用2,

2a-b=-2a.b,可得五-6=0,

因為向量a,b是非零向量，則aib,故正確；

對于④,若0+［）.0_［）=0,則I司2TM2=0,

所以同=|引，可得五與B的模長相等，但夾角不確定，故錯誤.

其中正確命題的序號是②③.

故答案為：②③.

5.（23-24高一下,山東臨沂,期中）已知向量五,1滿足|用=3,同=6,（5五-43）?（21+B）=—81.

（1）求向量石與石的夾角；

（2）若向量五在右方向上的投影向量為K求工?0+勵的值.

【解題思路】（1）由題意得到五不=9,利用平面向量的夾角公式即可求解；

（2）利用投影向量和數(shù)量積的運算即可求解.

【解答過程】（1）7（5五一“）?（2五+力=—81,

10|a|2-3a-b-4|h|2=-81,BP90-3a-6-144=-81,

???a-b=9,cos<a,fa>==--=

|a||b|3x62'

又<4>e［0河，.?.五與書的夾角為弟

（2）c=|a|cos<a,b>-^-=^b,

2

111竺

T石2

b+---X9+X6=

"?0+B)=，?0+B)=/444-4

題型4平面向量基本定理及其應(yīng)用（共5小題）

1.（23-24高一下?河北?期中）在△A8C中，。為BC邊上的中點，E是力。上靠近4的四等分點，則旗=

（）

A.-^AB+^ACB.-^AB-^AC

C.-海一次D.+^AC

【解題思路】根據(jù)幾何關(guān)系，轉(zhuǎn)化向量，用基底表示.

【解答過程】因為標(biāo)=冠，

由已知可得，AD=l（AB+AC）,所以族=*9+前），

所以證=AE-AB=+AC}-AB=-^AB+|xc.

故選：A.

2.(23?24高一下?四川樂山?期中)如圖，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別與ZB,AC兩邊交于

M,N兩點，設(shè)施=x同，AN=yAC,則x+9y的最小值為()

A.|B.4C.yD.3

【解題思路】利用三角形重心性質(zhì)，得照=冠+潁，再由平面向量基本定理設(shè)而=/瓦+(1-匕)麗，

即庶=以布+(l-t)y而，對照系數(shù)，得/§+$=1,最后運用常值代換法，由基本不等式即可求得x+9y

的最小值.

【解答過程】

如圖，延長4G交BC于點D,因點G是△ABC的重心，

則E=|而=|x*版+硝=醇+部①

因M,G,N三點共線，則互＞0,使E=t前+(1-。而，

因a=x而，AN=yAC,代入得，AG=txAB+(l-t)yAC,②

1

tX——1-11

由①，②聯(lián)立，可得，小，、31，消去t即得，|(1+-)=1,

,(l-t)y=-3xy

則久+9y=(x+9y)-照+$=如。+：+當(dāng)瀉+卜2炳=爭

當(dāng)且僅當(dāng)％=3y時等號成立，

即x=*y=3時，x+9y取得最小值，為當(dāng)

故選：C.

3.(23-24高一下?河北?期中)如圖，在△4BC中，BD與EC交于點、G,E是的靠近2的三等分點，D

是/C的中點，且有庶=4萬+〃灰，2,/z6(0,+oo),則下列命題正確的是()

A

BC

A.A+3/1=1

B.32+2〃=2

C.AG=^AB+

D.過G作直線MV分別交線段NC于點M,N,T^AM=mAB,AN=nAC(m>0,n>0),則

m+2n的最小值為2.

【解題思路】根據(jù)向量的線性運算法則計算可判斷A,B,C；利用共線定理的推論可得點+W=1，然后妙用

Z771471

“1”可判斷D.

【解答過程】對于A,B,C,設(shè)E=AAB+11AC,將族=|布，AD=派代入，

@3------>------>

=5九^?+吵，因為E、G、c三點共線，且8、G、。三點共線，

=XAB+2uAD

/+〃=

a+2〃=i

即南=癡+次.所以A錯，B,C正確；

對于D,正=癡+次，AM^mAB,AN=nAC,

則E=/看羽+~輛，因為跖G、N三點共線，

則。+》1，艮哈+口，

m+2n=(m+2n)(^+i)i=(2+^+^+2)-i>2,

當(dāng)且僅當(dāng)軻十G：4,即二工時取得等號.所以D正確.

故選：BCD.

4.(23-24高一下?廣東潮州?期中)在△ABC中，D為BC上一點,E是4。的中點，若前=欣,CE=^AB

+/MC,貝+〃=—.

【解題思路】利用向量線性運算得而=竽5+(-〃)乙I再由中點的向量表示列式求得入=今〃=一今

從而得解.

【解答過程】因為麗=2方,

所以次=+fiAC=1（CB-CX）+fiAC=癡+（一工-/^CA

日（而+而）+（4-四）3/（而+4而）+（-9〃）不

=亨麗+（一卜/九

因為E是/D的中點，所以胃=癖+癖，所以號=9,=p

解得2=7=一|,所以4+〃=-|.

故答案為：-，

5.（23-24高一下?陜西渭南?期中）如圖所示，△OBC中，點4為BC的中點,點。是線段。B上靠近點B的一

個三等分點，CD,。4相交于點E,設(shè)方=乙OB^b.

（2）若方=4初，~DE=iiDC,求九〃的值.

【解題思路】（1）由向量的線性運算及平面向量的基本定理，即可求解;（2）直接利用向量的線性運算

和相等向量的充要條件，求出2和〃即可.

【解答過程】（1）因為在△OBC中，點4為BC的中點，

所以瓦+麗=2酮；

所以沆=20A-0B=2a-b,

則沆=OC-OD=2a-b-|b=2a-|b

（2）因為反=云一而=4五一|反

又DE=IJ.DC,

所以疝-袋=〃（2之-|丹，

4=2〃

25,解得:

題型5向量的夾角問題(共5小題)

1.(23-24高一下?廣西玉林?期中)已知向量為=(1,2)3=(zn,3),若21(22—石)，則己與辦夾角的余弦值為

2V5「3V10

A.B.當(dāng)VioD.

-5-*To~10

【解題思路】根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示求得向量九再利用平面向量夾角的坐標(biāo)計算公式求值即可.

【解答過程】因為五=(1,2)%=(zn,3),所以2五一刃=(2-m,l),

因為31(22—母，所以2?(2五一刃)=1x(2-m)+2x1=0,解得zn=4,所以辦=(4,3),

設(shè)五與3夾角為。，貝h。$9=矗1x44-2x3

Vl2+22xV42+32

即江與辦夾角的余弦值為竽.

故選：A.

2.(23-24高一下?河南鄭州?期中)已知向量3=(1,1)3=(居—2),則%與茄勺夾角為鈍角''是“無<2”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量數(shù)量積運算，以及向量共線的性質(zhì)，即可求解

【解答過程】已知向量a=(i,i)E=(x,—2),

若G與麗夾角為鈍角，則總?cè)史质?，解得?lt;2且％片-2,

故力與石的夾角為鈍角"是"<2”的充分不必要條件.

故選：A.

3.(23-24高一下?陜西寶雞?期中)若向量五=(2,0),3=(1,g)，則()

A.|a+=\a-b\B.a-b=2

C.辦在日上的投影向量為3D.2與茄勺夾角為?

【解題思路】根據(jù)向量坐標(biāo)形式的數(shù)量積定義、投影向量概念和模長、夾角公式直接計算即可判斷.

2

【解答過程】由題憶+b\=|(3,V3)|=732+V32=2V3,\a-b\=|(1,-V3)|=J/+(-V3)=2,

所以|五+引wI3一砧故A錯；

又五i=2xl+0xV3=2,故B正確；

M=、22+02=2,所以B在江上的投影向量為浜，故C正確；

因為同=712+V32=2,cos(a,b)==又0,B)G(0,兀)，

所以位而制,故D錯誤.

故選：BC.

4.(23-24高一下?北京順義?期中)已知平面向量五=(1,2),b=(-2,-4),"=(x,y)滿足Q+B)?工=|,

|c|=V5,貝眩與下的夾角為一年

【解題思路】根據(jù)條件Q+b)-工=|求出擠3接著根據(jù)條件以及向量夾角余弦公式求解即可.

【解答過程】由題同="2+22=岳,^.(a+b)-c=(-l,-2),(x,y)=-x-2y=-(%+2y)=|,

所以濟工=x+2y=-|,

ff51

所以cos@。=高者=[1=-5，又值,。6[0,網(wǎng)，

所以而＞=手即五與酣夾角為夸.

故答案為：

5.(23-24高一下?廣東深圳?期中)已知向量五=(1/)3=(2,3).

⑴若[10_刃),求憶-同;

(2)若2=(—3,—4),b//(a+c\求時+工與2的夾角的余弦值.

【解題思路】(1)由向石1Q-B),得到五不一『=0,列出方程求得x的值，得到五=(1,弓)，進而求得五一

b,即可求解；

(2)由力/(五+工)，列出方程求得久=1,結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【解答過程】⑴解:由向量五=(l,x)》=(2,3),因為另可得五?石一52=0,

又因為4?B=2+3X,且￥=22+32=13,所以2+3x-13=0,解得刀=日，

所以3=(1,?),五一石=(—1,|),所以忸_同=[1+6)2=緣.

(2)解：由向量2=(1,久)]=(一3,—4),Wa+c=(-2,x-4),

因為勿/3+2)，所以—2x3—2(x—4)=0,解得x=l,所以方=(1,1),

又由3石+c=(3,5),可得(3石+c),H=8,\3b+c\=V34/|a|=V2

(31+。?3_4V17

所以cos(3石4-c,a)

\3b+c\\a\~17：

所以嗝+工與2的夾角的余弦值為需.

題型6卜向量的模長問題（共5小題）

1.（23-24高一下?重慶?期中）平面向量五%滿足2=（2,1）,|2辦-同=3且（3—22）1五，貝?。┩?)

A.3B.V10C.VilD.2V3

【解題思路】根據(jù)向量垂直得數(shù)量積為0,結(jié)合向量的模長與數(shù)量積的公式求解即可.

【解答過程】由仿一23）1a可得方力—2⑷2=。，又同=.2+12=白,故港刃=10.

又129-司=3,故4同—4a-b+|a|2=9,即4同—40+5=9,故囚=VTT.

故選：C.

2.（23-24高一下?福建廈門?階段練習(xí)）在平面四邊形中，E,尸分別為AD,8c的中點，若

AB=4,CD=2,且麗?麗=-4,則|麗|=（）

A.V2B.V3C.V7D.2V2

【解題思路】作出圖形，連接EB,EC,由向量的線性運算和數(shù)量積運算可得說?方=4,從而根據(jù)向量的

數(shù)量積以及模長運算公式求解即可.

【解答過程】連接EB,EC,如圖，可知說=*麗+而）=3［（而+屜）+（前+說）］=*同+瓦）.

所以而?麗=-*比2+布?反）即一2—冠?沆=-4,可得同?沃=4.

從而，|明2=而2=（（布+比）2=:（布?+2布.瓦+比2）=7,所叫明=77.

故選：C.

3.（23-24高一下?云南?階段練習(xí)）已知向量標(biāo)滿足忖+2川=|同月"+*=0,且同=2,則（）

A.同=8B.a+b=0C.|a—2b|=6D.a-b—4

【解題思路】本題依據(jù)向量模、夾角的運算公式即可求解.首先將題目條件式|2+2同=|可兩邊同時平方,

結(jié)合國=2,即可計算同和2的值，可判斷A、D選項；利用向量夾角公式計算向量方工的夾角，可判斷

B、C選項.

【解答過程】因為忸+2同=|磯,

所以辰+2引2=|磯2,

BPa2+4a-b+4b=a2,整理可得五i+B=0,

再由五-h+a2=0,且同=2可得為2=片=4,

所以同=2,a-b=-4,故A,D錯誤；

又因為cos（舒）=湍=妥=_1,

所以向量2,1的夾角TT,

故向量憶刃共線且方向相反，

所以五+9=6,故B正確；

又|五一2山2—a2—4a-b+4片=22—4x（—4）+4X22=4+16+16=36,

所以忖―2M=6,故C正確.

故選：BC.

4.（23-24高一下?重慶九龍坡?期中）已知向量4與1的夾角為60。，同=2,同=知則憶-2引=2.

【解題思路】將憶-2M平方并利用數(shù)量積定義可計算可得結(jié)果.

【解答過程】易知|3_2引=2M2=小郎+4回2_42.另

=J同2+4|h|2—4|a||fo|cos60°=J4+4—4X2x1xi=2.

故答案為：2.

5.（23-24高一下?浙江?期中）已知同=1,3?1+B）?（五-3）=

⑴求同的值；

（2）求向量3與五+辦夾角的余弦值；

⑶求|方一㈤（teR）的最小值.

【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)量積的運算律，即可結(jié)合模長求解，

（2）根據(jù)模長公式以及夾角公式即可求解，

（3）根據(jù)余弦定理可求解長度，即可得ZBLOB,即可求解最值，或者利用模長公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)

求解.

【解答過程】(1)(a+b)-(a-h)=|a|12-|&r=1

由于國2=1,所以同2=發(fā)故㈤=孝

(2)a-(a+b)>=a2+a-b=^

|a+b\=J0+I—=J寇+產(chǎn)+22i=

3砥+加萼智=嚕

''\a\\a+b\10

-->

(3)法一：HOA=a,OB=b,OB'=tb,

根據(jù)余弦定理得|明=JOA2+而2—21明.I函cos乙4。8=字

貝此48。=]即A810B

則|五一㈤=\AB'\>\AB\,所以|?t引最小值為當(dāng)

法二：|3—t山=Ja2+飪片一2tz.石=Jit2—t+1

當(dāng)t=l時，|五-㈤取得最小值挈

題型71向量的平行、垂直問題(共5小題)

1.(23-24高一下?廣東茂名?期中)已知向量H=(3,4),石=(須一6),且五則實數(shù)x=()

99一

A.——B.-C.-8D.8

【解題思路】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，即可求解.

【解答過程】由五1石，可知，3%+4x(-6)=0,得％=8.

故選：D.

2.(23-24高一下?四川成都?期中)已知向量五=(1，-2),b=(-3,m),c=(4,n),若己〃石，ale,則7n+n=

()

A.——B.8C.-4D.6

【解題思路】運用向量平行，垂直的坐標(biāo)結(jié)論即可求解.

【解答過程】H〃刃,向量五=(1,-2),3=(-3即),則一3x(-2)=TH,則m=6；

ale,向量2=(1,—2),c=(4,n),則1x4+(-2)n=0,則n=2.

則m+n=8.

故選：B.

3.(23-24高一下?新疆烏魯木齊?期中)已知向量五=(—2,1)3=則下列說法正確的是()

A.若五1刃，貝亞的值為一2B.若0<t<2,貝無與石的夾角為銳角

C.若0/%則t的值為JD.若t=-3,則另在3方向上的投影向量為(2,-1)

【解題思路】借助向量垂直的性質(zhì)計算可得A；借助￡=/時，五與b共線可得B；借助向量平行的性質(zhì)計算

可得C；借助投影向量定義計算可得D.

【解答過程】對A：由五貝皈i=(一2)x(—l)+t=0,解得t=-2,故A正確；

對B：當(dāng)t=g時，有3=2幾此時反與3共線，故B錯誤；

對C：若可/%則有(-2)xt-lx(-l)=0,解得t故C正確；

對D：當(dāng)t=-3時，有箸.嵩=等嗡=等=(|,一3,故D錯誤.

故選：AC.

4.(23-24高一下,云南迪慶?期中)已知向量五=(2,1)3=(3,—1)1=(3即),(租eR),M(a-2&)1c,則

m=4.

【解題思路】先算出--2石的坐標(biāo)，然后由向量的數(shù)量積公式列方程即可求解.

【解答過程】因為向量五=(2,1)3=(3-l),c=(3,m),(mER),

所以為-2石=(2,1)—2(3,-1)=(-4,3),c=(3,m),

而(五一2勵■!工，所以-12+3m=0,解得zn=4.

故答案為：4.

5.(23-24高一下?云南德宏?期中)已知向量五=(2,1),b=(1,2),c=(4,2)?

(1)若2〃五，求|之|的值；

(2)若(k五+6)1a,求k的值.

【解題思路】（1）先由向量平行的坐標(biāo)表示求出未知量九進而求得K再由坐標(biāo)形式的向量模長公式即可

求解

(2)先由題意得Z+刃，再由向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.

【解答過程】(1)由工〃五得4=24,所以2=2,故2=(4,2),

所以?=742+22=2V5.

(2)由已知ka+b=fc(2,l)+(1,2)=(2k+l,k+2)

又(k,+b)1a,所以(kE+bya.=2x(2k+1)+1x(fc+2)=5k+4=0,

解得k=

題型8三角形的個數(shù)問題（共5小題）

1.（23-24高一下?湖北?期中）根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，其中有兩解的是（）

A.b=1,A=45°,C=60°B.a=l,c=2,B=60°

C.a=3,6=1,B=120°D.a—3,6=4,71=45°

【解題思路】根據(jù)已知結(jié)合正弦定理判斷各個選項即可.

【解答過程】A項是角角邊類型的三角形，有唯一解；

B項解兩邊夾一角類型的三角形，是唯一解；

C項是兩邊一對角類型的三角形，角B為鈍角，也是三角形的最大角，對應(yīng)三角形最大邊，但是b<a,故

該三角形無解；

D項是兩邊一對角類型的三角形，急=熹，白年sinB=^>*sin45。，B有兩個解，此三角形有兩

解.

故選：D.

2.（23-24高一下?北京大興?期中）在△ABC中，a,b,c分別為乙4,Z.B,NC的對邊，給出下列四個條件:

①a=4,b=5,A=45°；②a=5,b=6,c=8；

③a=6,b=6V3,C=105°；（4）a=2V3,b=5,A=60°.

能判斷三角形存在且有唯一解的是（）

A.①④B.②③

C,①②③D.②③④

【解題思路】由正弦定理及三角形的性質(zhì)分別判斷出所給命題的真假.

【解答過程】①中，a=4,b=5,4=45。，

由正弦定理可得荒=焉，即梟熹，可得sinB=警，孝<竽<1

因為角4為銳角，所以角8有兩解，所以①不正確；

②中，由三邊為定值，且滿足任意兩邊之和大于第三邊，所以②唯一確定三角形；所以②正確；

③中，由兩邊和夾角確定唯一三角形，可得③正確；

④中，由正弦定理可得sinB=3in4=^x孚=，1,所以不存在這樣的三角形，所以④不正確.

故選：B.

3.（23-24高一下?云南昭通?期中）由下列條件解三角形問題中，對解的情況描述正確的是（）

A.a=20,b=11,A=30°,有兩解

B.c=2,b=y[2,B=30°,有兩解

C.a=8,6=16/=30。，有兩解

D.6=23,c=34/=41。，有一解

【解題思路】ABC選項，根據(jù)a2b得到三角形有一解，由csinB<b<c得到三角形有兩解，D選項，由余

弦定理得到a唯一，故三角形有一解.

【解答過程】對A：由20>11知，a>b,所以三角形有一解，A錯誤；

對B：由2sin30。=1<或<2,即csinB<6<c,所以三角形有兩解，B正確；

對C：由16sin3（r=8,即。=從也4故三角形為直角三角形，有一解，C錯誤；

對D：b=23,c=34,A=41°,

由余弦定理得a=7b2+c2—2bccosA,a唯一，已知兩邊及其夾角知三角形有一解，D正確.

故選：BD.

4.（23-24高一下?山東濟南?期中）在△4BC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若b=6方，B=p

且該三角形有兩解，則a的取值范圍是（6仃,12）.

【解題思路】由正弦定理可得sin4=*依題意可得4>B且4轉(zhuǎn)，即可得到從而求出a的取值

范圍.

【解答過程】由正弦定理可得急=白，即加4=罕=逑=捻，

sinoDf-.ro

因為三角形有兩解，所以力>B且力記，則｛si；；Z，即，所以6g<a<12,

I12

即a的取值范圍是（68,12）.

故答案為：（6V3,12）.

5.(23-24高一下?江西宜春?期中)在△A8C中，角A5C所對的邊分別為a,6,c,且(2c—V^a)cosB=V^bcos

A.

(1)求角B的大?。?/p>

(2)已知c=6+l,且角4有兩解，求b的范圍.

【解題思路】⑴由正弦定理可得(2sinC-岳in4)cosB=V^sinBcos4利用兩角和差公式可得cosB=當(dāng)

即可得解；

(2)由。=b+1及正弦定理可得sinC=3,因為角4的解有兩個，所以角C的解也有兩個，從而有sin

C<1,求解即可.

【解答過程】(1)解：因為(2c-V^a)cosB=V^bcosA,

由正弦定理得(2sinC-gsinA)cosB=V3sinBcosX,

所以2sinCcos8=V3sin(X+B)—V3sinC,sinC>0,

所以cosB=容

因為Be(o,n),

所以8=三

(2)解：將c=6+1代入正弦定理g=白，得提=b+l

sinC,

所以sinC=塞,

因為B=?角4的解有兩個，所以角C的解也有兩個,

所以sinC<1,

l/b+l/

n即n5<木<1,

又b>0,

所以bvb+l<2b,

解得b>1.

所以b的范圍為(L+8).

題型9判斷三角形的形狀(共5小題)

1.(23-24高一下?江蘇鎮(zhèn)江?期中)在△4BC中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,若a—ccosB=b—ccos

A,則△力BC的形狀是（）三角形

A.等腰B,直角C.等腰直角D.等腰或直角

【解題思路】利用余弦定理將等式整理得到弋士=看出，對a?+b2-c2=0或a?+b2-c2。分類討論

即可判斷.

［解答過程】由a—ccosB=b—ccosAf

由余弦定理得a-cx/絲=b-cx的產(chǎn)，

2ac2bc

化簡得立1=生中貯，

當(dāng)a2+F—c2=0時,^a2+b2=c2>則△ABC為直角三角形；

當(dāng)a2+〃—c2力0時，得a=b,則△ABC為等腰三角形；

綜上：△ABC為等腰或直角三角形，故D正確.

故選：D.

2.（23-24高一下?河北邢臺?期中）在△4BC中,角ASC的對邊分別是a,6,c,若si/A+si/B+cos2c<1,

則△ABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定的

【解題思路】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系將cos2c轉(zhuǎn)化為side,利用正弦定理角化邊，結(jié)合余弦定理可判

斷角C,即可得答案.

【解答過程】因為sin??!+si/B+cos2c<1,所以siM?!+si/B<1—cos2。，

即siMa+sin2S<sin2C,由正弦定理角化邊得a2+b2<c2,

即。2+》2—?2<0,故cosC=§2坐z,<0,

2ab

因為0<C<TT,所以C是鈍角，即△ABC是鈍角三角形.

故選：C.

3.（23-24高一下?四川達州?期中）在△4BC中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,則下列結(jié)論正確的

是（）

A.若A=45。，a=V2,b=?則△ABC有兩解

B.若a2+62<c2,則△ABC是鈍角三角形

C.若△ABC為銳角三角形，則sin4>cosB

D.若島=總，則△4BC為等腰三角形

【解題思路】根據(jù)正弦、余弦定理逐項判斷即可.

fb>a

【解答過程】對A：由，sin4=VIsin45。=逅〈魚，所以△ABC有兩解，故A正確;

對B：由余弦定理：c2=d2-+b2-2abcosC>a2+b2=>cosC<0,

所以NC為鈍角，即△ABC為鈍角三角形，故B正確;

對C：因為三角形△4BC為銳角三角形，

所以力+B>90°=>90°—B<A<90°=>sin(90°—B)<sinX,BPcosF<sinX,故C正確;

對D：因為篇=黑，由正弦定理得：^=^nsin24=sin2B,

所以24=2B或24+2B=180°,即4=B或4+B=90°,

所以aABC為等腰或直角三角形，故D錯誤.

故選：ABC.

4.(23-24高一下?河南三門峽?期中)已知△ABC中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,a=::

COS￡?十COSG

則△力BC的形狀是直角三角形.

【解題思路】由正弦定理以及兩角和的正弦公式整理可得cos4(sinC+sinB)=0,進一步有cos4=0,即可

求解.

sin^+sinC

【解答過程】由正弦定理以及a=e北二可得sin4=

COSD+COSCcosB+cosC1

所以sinZcosB+sin^cosC=sinB+sin