高中奧數(shù)競賽試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)2.已知集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{1,2\}\)，則\(A\)與\(B\)的關(guān)系是（）A.\(A=B\)B.\(A\subsetneqqB\)C.\(B\subsetneqqA\)D.\(A\capB=\varnothing\)3.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，則\(a_7\)的值為（）A.\(11\)B.\(13\)C.\(15\)D.\(17\)4.若\(\log_a2\lt\log_b2\lt0\)，則（）A.\(0\lta\ltb\lt1\)B.\(0\ltb\lta\lt1\)C.\(a\gtb\gt1\)D.\(b\gta\gt1\)5.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,-2)\)，\(\overrightarrow=(x,4)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(x\)的值為（）A.\(-2\)B.\(2\)C.\(-8\)D.\(8\)6.曲線\(y=x^3-3x^2+1\)在點(diǎn)\((1,-1)\)處的切線方程為（）A.\(y=3x-4\)B.\(y=-3x+2\)C.\(y=-4x+3\)D.\(y=4x-5\)7.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(3\)人參加活動，至少有\(zhòng)(1\)名女生的選法有（）A.\(20\)種B.\(30\)種C.\(46\)種D.\(56\)種8.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值為（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(6\)D.\(8\)9.方程\(x^2+y^2-2x+4y+5=0\)表示的圖形是（）A.點(diǎn)B.圓C.直線D.橢圓10.若函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，且\(f(1)=1\)，則\(f(-1)\)的值為（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(2\)答案：1.A2.A3.B4.B5.A6.B7.C8.B9.A10.B二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是偶函數(shù)（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=x^3\)D.\(y=\sinx\)2.以下屬于基本不等式應(yīng)用的有（）A.求\(y=x+\frac{1}{x}(x\gt0)\)的最小值B.已知\(a+b=1\)，求\(ab\)的最大值C.求\(y=x^2+2x+3\)的最小值D.已知\(x+y=5\)，求\(x^2+y^2\)的最小值3.下列關(guān)于直線的說法正確的是（）A.斜率存在的直線都有傾斜角B.傾斜角為\(90^{\circ}\)的直線斜率不存在C.兩直線平行，斜率一定相等D.兩直線垂直，斜率之積為\(-1\)4.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，公比為\(q\)，則（）A.若\(a_1\gt0\)，\(q\gt1\)，則\(\{a_n\}\)單調(diào)遞增B.若\(a_1\lt0\)，\(0\ltq\lt1\)，則\(\{a_n\}\)單調(diào)遞增C.若\(q\lt0\)，則\(\{a_n\}\)是擺動數(shù)列D.若\(q=1\)，則\(\{a_n\}\)是常數(shù)列5.以下哪些是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式（）A.\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)B.\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)C.\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)D.\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)6.對于函數(shù)\(y=\tanx\)，下列說法正確的是（）A.定義域是\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)B.周期是\(\pi\)C.是奇函數(shù)D.在\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)上單調(diào)遞增7.已知\(a,b\)為實(shí)數(shù)，下列不等式恒成立的是（）A.\(a^2+b^2\geqslant2ab\)B.\(a+b\geqslant2\sqrt{ab}\)（\(a,b\geqslant0\)）C.\(\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)（\(a,b\geqslant0\)）D.\(a^2+b^2\geqslant\frac{(a+b)^2}{2}\)8.以下哪些點(diǎn)在圓\(x^2+y^2=25\)上（）A.\((3,4)\)B.\((-3,4)\)C.\((0,5)\)D.\((5,0)\)9.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(3,4)\)，則（）A.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(4,6)\)B.\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow=(-2,-2)\)C.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=11\)D.\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{5}\)10.下列關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說法正確的是（）A.函數(shù)\(f(x)\)在\(x=x_0\)處的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x_0)\)表示函數(shù)在該點(diǎn)的切線斜率B.若\(f^\prime(x)\gt0\)在區(qū)間\((a,b)\)上恒成立，則\(f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞增C.若\(f^\prime(x)\)在\(x=x_0\)處為\(0\)，則\(x=x_0\)是\(f(x)\)的極值點(diǎn)D.導(dǎo)數(shù)為\(0\)的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)答案：1.AB2.ABD3.AB4.ABCD5.AB6.ABCD7.ACD8.ABCD9.ABCD10.ABD三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的真子集。（）2.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）3.函數(shù)\(y=2^x\)與\(y=\log_2x\)的圖象關(guān)于直線\(y=x\)對稱。（）4.等差數(shù)列的前\(n\)項和公式是\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。（）5.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow=\overrightarrow{0}\)。（）6.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)的圓心坐標(biāo)是\((a,b)\)，半徑是\(r\)。（）7.函數(shù)\(y=\sinx\)的最大值是\(1\)，最小值是\(-1\)。（）8.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)且\(x+y=1\)，則\(xy\)的最大值是\(\frac{1}{4}\)。（）9.命題“若\(p\)，則\(q\)”的逆否命題是“若\(\negq\)，則\(\negp\)”。（）10.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)連續(xù)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)一定有最大值和最小值。（）答案：1.×2.×3.√4.√5.×6.√7.√8.√9.√10.×四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=\log_2(x^2-4)\)的定義域。答案：要使函數(shù)有意義，則\(x^2-4\gt0\)，即\((x+2)(x-2)\gt0\)，解得\(x\lt-2\)或\(x\gt2\)，所以定義域?yàn)閈((-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，求\(a_5\)及\(S_5\)。答案：由等差數(shù)列通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，可得\(a_5=1+(5-1)\times2=9\)。由前\(n\)項和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，\(S_5=\frac{5\times(1+9)}{2}=25\)。3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(2,-1)\)，\(\overrightarrow=(1,k)\)，且\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)，求\(k\)的值。答案：因?yàn)閈(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)。又\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=2\times1+(-1)\timesk=2-k\)，則\(2-k=0\)，解得\(k=2\)。4.求曲線\(y=x^3\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線方程。答案：對\(y=x^3\)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2\)，將\(x=1\)代入導(dǎo)數(shù)得切線斜率\(k=3\)。由點(diǎn)斜式可得切線方程為\(y-1=3(x-1)\)，即\(y=3x-2\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用思路。答案：先分析實(shí)際問題中的變量關(guān)系，設(shè)出合適變量。然后根據(jù)條件構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，看能否利用基本不等式求最值。要注意“一正、二定、三相等”的條件，即變量為正，和或積為定值，等號能取到，據(jù)此確定最值及取得最值的條件。2.探討如何判斷函數(shù)的單調(diào)性。答案：可以用定義法，設(shè)定義域內(nèi)\(x_1\ltx_2\)，比較\(f(x_1)\)與\(f(x_2)\)大小，若\(f(x_1)\ltf(x_2)\)則單調(diào)遞增，反之遞減。也可用導(dǎo)數(shù)法，若\(f^\prime(x)\gt0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；若\(f^\prime(x)\lt0\)，函數(shù)單調(diào)遞減。3.說說數(shù)列通項公式與前\(n\)項和公式之間的聯(lián)系。答案：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)，當(dāng)\(n=1\)時，\(a_1=S_1\)；當(dāng)\(n\geqslant2\)時，\(a_n=S_n-S_{n-1}\)。反之，已知通項公式\(a_n\)，可利用