第1頁/共1頁2023-2025北京高三（上）期末數(shù)學(xué)匯編向量的數(shù)量積（人教B版）一、單選題1．（2025北京昌平高三上期末）在△中，，為的中點(diǎn)，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2025北京西城高三上期末）在△中，則“”是“是直角三角形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2025北京東城高三上期末）已知平面向量為兩兩不共線的單位向量，則“”是“與共線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2025北京順義高三上期末）已知向量，，若與垂直，則的值為（

）A． B．0C． D．25．（2024北京朝陽高三上期末）在△中，，當(dāng)時(shí)，的最小值為4．若，其中，則的最大值為（

）A．2 B．4 C． D．6．（2024北京石景山高三上期末）已知向量，若，則（

）A． B． C． D．7．（2024北京豐臺(tái)高三上期末）已知是兩個(gè)不共線的單位向量，向量（）．“，且”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2024北京東城高三上期末）已知非零向量，，滿足，且，對任意實(shí)數(shù)，，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．9．（2024北京房山高三上期末）已知向量，，且與的夾角為，則的值為（

）A． B． C． D．10．（2024北京大興高三上期末）設(shè)向量，若，則（

）A． B． C． D．11．（2023北京通州高三上期末）已知向量，滿足，，則等于（

）A． B．13 C． D．2912．（2023北京西城高三上期末）在△中，．P為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題13．（2025北京海淀高三上期末）已知向量，，則，的最小值為.14．（2025北京通州高三上期末）已知是同一平面上的三個(gè)向量，滿足，，則與的夾角等于；若與的夾角為，則的最大值為.15．（2025北京西城高三上期末）折扇，古稱聚頭扇、撒扇等，以其收攏時(shí)能夠二頭合并歸一而得名.某折扇的扇面是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，如圖所示.設(shè)，，則扇面（圖中扇環(huán)）部分的面積是，.16．（2025北京朝陽高三上期末）已知為△所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，且，，設(shè)為向量的夾角，則；．17．（2024北京一六六中高三上期末）設(shè)向量，且，則，和所成角為18．（2024北京豐臺(tái)高三上期末）矩形中，，，且分為的中點(diǎn)，則．

參考答案1．B【分析】設(shè)，由平行四邊形法則得到,將表示成的函數(shù)，并利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.【詳解】△中，，為的中點(diǎn)，所以，設(shè)，則，，，即當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：B.2．A【分析】根據(jù)充分不必要條件的判定和向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律即可得到答案.【詳解】，則，因?yàn)樵凇髦校瑒t，則，則，則△是直角三角形，則充分性成立；反過來若“△是直角三角形”，則不一定是，比如，則，則，則，則必要性不成立，則“”是“△是直角三角形”的充分不必要條件.故選：A.3．C【分析】由題設(shè)有設(shè)，，，如下圖，為邊長為1的菱形，數(shù)形結(jié)合及向量加減、數(shù)乘的幾何意義判斷條件間的推出關(guān)系，即可得答案.【詳解】由平面向量為兩兩不共線的單位向量，設(shè)，，，如下圖，為邊長為1的菱形，若，即與垂直，，即，而，且，所以共線，即與共線；若與共線，即且，而，即，所以與垂直，故.所以“”是“與共線”的充要條件.故選：C4．A【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)形式可求的值.【詳解】因?yàn)榍遗c垂直，故，故，故選：A5．C【分析】由的最小值為可得△的形狀為等腰直角三角形，建立平面直角坐標(biāo)系將向量坐標(biāo)化，利用平面向量共線定理以及的取值范圍表示出的表達(dá)式，再由二次函數(shù)單調(diào)性即可求得.【詳解】如下圖所示：在直線上取一點(diǎn)，使得，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，即；又，所以可得△是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：又可得為的中點(diǎn)，由以及可得在上，可得，所以，可得，則，令，由可得，所以，，由二次函數(shù)在上單調(diào)遞增可得，.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用的最小值為判斷出△的形狀，將向量坐標(biāo)化并表示出模長表達(dá)式利用函數(shù)單調(diào)性可求得結(jié)果.6．B【分析】求出，利用即可得出的值.【詳解】由題意，，∴，∵，∴，解得：，故選：B.7．A【分析】舉例驗(yàn)證必要性，通過向量的運(yùn)算來判斷充分性.【詳解】當(dāng)，且時(shí)，，充分性滿足；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，是可以大于零的，即當(dāng)時(shí)，可能有，，必要性不滿足，故“，且”是“”的充分而不必要條件.故選：A.8．B【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.【詳解】非零向量，，滿足，且，對于A，不恒為，故A錯(cuò)誤；對于B，，故B正確；對于C，不恒為，故C錯(cuò)誤；對于D，不恒為，故D錯(cuò)誤.故選：B.9．B【分析】先表示出，然后根據(jù)求解出的值.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，解得或（舍去），故選：B.10．D【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘公式和模的公式代入即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所?故選：D11．C【分析】先求得向量，，進(jìn)而求得.【詳解】依題意，，兩式相加得，所以，所以.故選：C12．B【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立合理直角坐標(biāo)系，求出直線所在直線方程為，設(shè)，得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出其值域.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為軸，軸，建立直角坐標(biāo)系，則，直線所在直線方程為，設(shè)，，則，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故其取值范圍為，故選：B.13．【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求出，從而求出，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以的最小值為.故答案為：；14．4【分析】第1空，利用可得；第2空，根據(jù)向量夾角的關(guān)系，利用向量的幾何表示，設(shè)，，確定為△的外接圓直徑時(shí)最大，進(jìn)而可得.【詳解】第1空：，因，故，第2空：設(shè)，，則,設(shè)，則，，因與的夾角為，而，故在兩段優(yōu)弧上，如下圖，右上方的弧所在圓的半徑為，左下方的弧所在的圓的半徑為2且圓心為，結(jié)合圖形可得即可取得最大值為直徑即為，故答案為：；415．【分析】根據(jù)扇形面積公式，即可求解扇面的面積；根據(jù)向量數(shù)量積公式求模.【詳解】由條可知，，，所以扇形的面積，扇形的面積,所以扇面的面積是；.故答案為：；16．/【分析】由已知可知，兩邊同時(shí)平方可求，然后利用向量數(shù)量積公式即可求解；同理可求，即可求得.【詳解】，，，即，解得，.同理可得：，即，解得..故答案為：；.17．【分析】將化簡變形，并將坐