古典概型(2)

高一年級(jí)數(shù)學(xué)主講人：

學(xué)校：

一般地，如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間所包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是有限的（簡(jiǎn)稱為有限性），而且可以認(rèn)為每個(gè)只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件（即基本事件）發(fā)生的可能性大小都相等（簡(jiǎn)稱為等可能性），則稱這樣的隨機(jī)試驗(yàn)為古典概率模型，簡(jiǎn)稱為古典概型．課前復(fù)習(xí)古典概型的兩個(gè)特征：有限性——樣本空間中所包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)有限；等可能性——只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件（即基本事件）發(fā)生的可能性大小都相等．假設(shè)樣本空間含有n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含有m個(gè)樣本點(diǎn)，古典概型的概率公式古典概型中的概率也具有前面我們所說(shuō)的概率的性質(zhì)：（1）0≤P(A)

≤1；

（2）即；

（3）若事件A與B互斥，則．

例3從含有兩件正品a1，a2和一件次品b的3件產(chǎn)品中，按先后順序任意取出兩件產(chǎn)品，每次取出后不放回，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率．例題講解解按照題意，取產(chǎn)品的過(guò)程可以用樹形圖直觀表示．因此樣本空間可記為

Ω={(a1,a2)，(a1,b)，(a2,a1)，

(a2,b)，(b,a1)，(b,a2)

}

，共包含6個(gè)樣本點(diǎn)．用A表示“取出的兩件中，恰好有一件次品”，則

A={(a1,b)，

(a2,b)，

(b,a1)，(b,a2)

}，A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，所以．如果把例3中的條件“每次取出后不放回”換成“每次取出后放回”其余不變，則所求事件發(fā)生的概率是否有所變化？改變條件后，此時(shí)樹形圖將有所變化，且樣本空間應(yīng)記為

Ω={(a1,a1)

，

(a1,a2)，(a1,b)，(a2,a1)

，

(a2,a2)，

(a2,b)，(b,a1)，(b,a2)，(b,b)

}，共包含9個(gè)樣本點(diǎn)．而事件A={(a1,b)，(a2,b)，(b,a1)，(b,a2)

}，A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，所以．例4甲、乙兩人玩錘子、剪刀、布的猜拳游戲，假設(shè)兩人都隨機(jī)出拳，求：(1)平局的概率；（2)甲贏的概率；(3)甲不輸?shù)母怕剩庖驗(yàn)榧子?種不同的出拳方法，乙同樣也有3種不同的出法，因此一次出拳共有3×3=9種不同的可能．因?yàn)槎际请S機(jī)出拳，所以可以看成古典概型，而且樣本空間中共包含9個(gè)樣本點(diǎn)，樣本空間可以用圖直觀表示．因?yàn)殄N子贏剪刀，剪刀嬴布，布贏錘子，因此若記事件A為“平局”，B為“甲贏”．則：(1)事件A包含3個(gè)樣本點(diǎn)（圖中的Δ），因此；因?yàn)殄N子贏剪刀，剪刀嬴布，布贏錘子，因此若記事件A為“平局”，B為“甲贏”．則：(2)事件B包含3個(gè)樣本點(diǎn)（圖中的※），因此；因?yàn)殄N子贏剪刀，剪刀嬴布，布贏錘子，因此若記事件A為“平局”，B為“甲贏”．則：(3)因?yàn)锳+B表示“甲不輸”，且A，

B互斥，因此所求概率為例5先后擲兩個(gè)均勻的骰子，觀察朝上的面的點(diǎn)數(shù)，記事件A：點(diǎn)數(shù)之和為7，B：至少出現(xiàn)一個(gè)3點(diǎn)，求．解用數(shù)對(duì)(x,y)來(lái)表示拋擲結(jié)果，則樣本空間可記為Ω={(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6}，而且樣本空間可如圖直觀表示．樣本空間中，共包含36個(gè)樣本點(diǎn)．A包含6個(gè)樣本點(diǎn)（即圖中橙色框中的點(diǎn)），A={(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6)}，因此，由對(duì)立事件概率之間的關(guān)系可知．

類似地，可以看出，圖中綠色框中的點(diǎn)可以代表事件B，因此B包含11個(gè)樣本點(diǎn)，從而

．不難知道，

AB={(4,3),(3,4)}

,

因此．例6人的眼皮有單眼皮與雙眼皮之分，這是由對(duì)應(yīng)的基因決定的．生物學(xué)上已經(jīng)證明：決定眼皮單雙的基因有兩種，一種是顯性基因(記為B)，另一種是隱性基因（記為b);基因總是成對(duì)出現(xiàn)（如BB，bB，Bb，bb)，而成對(duì)的基因中，只要出現(xiàn)了顯性基因，那么這個(gè)人就一定是雙眼皮（也就是說(shuō)“單眼皮”的充要條件是“成對(duì)的基因是bb”）；如果不發(fā)生基因突變的話，成對(duì)的基因中，一個(gè)來(lái)自父親，另一個(gè)來(lái)自母親，但父母親提供基因時(shí)都是隨機(jī)的．有一對(duì)夫妻，兩人成對(duì)的基因都是Bb，不考慮基因突變，求他們的孩子是單眼皮的概率．解我們用連著寫的兩個(gè)字母來(lái)表示孩子的成對(duì)的基因，其中第一個(gè)字母表示父親提供的基因，第二個(gè)字母表示母親提供的基因.由圖所示的樹形圖可知，樣本空間中共含有4個(gè)樣本點(diǎn)，即Ω={BB,Bb,bB,bb},孩子要是單眼皮，成對(duì)的基因只能是bb，因此所求概率為．例6中，若我們考慮的樣本空間為Ω={BB,Bb,bb}

,那么事件“他們的孩子是單眼皮”只包含Ω中的一個(gè)樣本點(diǎn)bb，但由此并不能得出該事件發(fā)生的概率為，因?yàn)闃颖究臻gΩ={BB,Bb,bb}中的各個(gè)基本事件不具有等可能性．因此，用古典概型求概率時(shí)，要選擇合適的方式表示樣本點(diǎn)及樣本空間，以使得基本事件具有等可能性，并且使所考察的事件能表示為樣本空間的子集．1）拋硬幣模型拋一枚硬幣，基本事件空間有2個(gè)基本事件；拋兩枚硬幣，基本事件空間有4個(gè)基本事件；拋三枚硬幣，基本事件空間有8個(gè)基本事件．2）擲骰子模型拋一個(gè)骰子，基本事件空間有6個(gè)基本事件；拋兩個(gè)骰子，基本事件空間有36個(gè)基本事件．

本節(jié)主要研究了古典概型的概率求法，解題時(shí)要注意兩點(diǎn)：

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