數(shù)學(xué)題高中試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m\)的值為（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)3.不等式\(x^2-3x+2\lt0\)的解集是（）A.\(\{x|x\lt1或x\gt2\}\)B.\(\{x|1\ltx\lt2\}\)C.\(\{x|x\lt-1或x\gt-2\}\)D.\(\{x|-2\ltx\lt-1\}\)4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5\)等于（）A.\(9\)B.\(10\)C.\(11\)D.\(12\)5.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-2\)6.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)7.圓\(x^2+y^2=4\)的半徑是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(4\)D.\(8\)8.已知\(a=\log_23\)，\(b=\log_32\)，\(c=\log_{\frac{1}{2}}3\)，則（）A.\(a\gtb\gtc\)B.\(a\gtc\gtb\)C.\(b\gta\gtc\)D.\(c\gta\gtb\)9.函數(shù)\(f(x)=x^3\)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\)是（）A.\(x^2\)B.\(3x^2\)C.\(2x\)D.\(3x\)10.若\(a\gtb\gt0\)，則下列不等式成立的是（）A.\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}\)B.\(a^2\ltb^2\)C.\(a^3\gtb^3\)D.\(\sqrt{a}\lt\sqrt\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=|x|\)2.已知直線\(l_1:ax+y+1=0\)，\(l_2:x+ay+1=0\)，若\(l_1\parallell_2\)，則\(a\)的值可能為（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(2\)3.一個正方體的棱長為\(a\)，則以下說法正確的是（）A.正方體的表面積為\(6a^2\)B.正方體的體積為\(a^3\)C.正方體的體對角線長為\(\sqrt{3}a\)D.正方體的面對角線長為\(\sqrt{2}a\)4.下列屬于等比數(shù)列的是（）A.\(1,2,4,8,\cdots\)B.\(1,-1,1,-1,\cdots\)C.\(1,0,1,0,\cdots\)D.\(2,2,2,2,\cdots\)5.已知\(P(x,y)\)是橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)上的點，則\(x\)，\(y\)滿足（）A.\(-3\leqslantx\leqslant3\)B.\(-2\leqslanty\leqslant2\)C.\(x^2+y^2\leqslant9\)D.\(x+y\leqslant5\)6.關(guān)于函數(shù)\(y=\tanx\)，下列說法正確的是（）A.定義域是\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)B.最小正周期是\(\pi\)C.圖象關(guān)于點\((\frac{k\pi}{2},0)(k\inZ)\)對稱D.在\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)上單調(diào)遞增7.已知\(a,b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geqslant4\)C.\(a^2+b^2\geqslant\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leqslant\sqrt{2}\)8.若函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象在點\((x_0,f(x_0))\)處的切線方程為\(y=2x+1\)，則（）A.\(f(x_0)=2x_0+1\)B.\(f^\prime(x_0)=2\)C.點\((x_0,f(x_0))\)在直線\(y=2x+1\)上D.\(f^\prime(x_0)\)不存在9.已知集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|ax-1=0\}\)，若\(B\subseteqA\)，則\(a\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(2\)10.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的真子集。（）2.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）3.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)（\(c\neq0\)）。（）4.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）5.若向量\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec=\vec{0}\)。（）6.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c\)為半焦距）。（）7.數(shù)列\(zhòng)(1,1,1,\cdots\)既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列。（）8.函數(shù)\(y=\sin^2x\)的最小正周期是\(\pi\)。（）9.若\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）是純虛數(shù)，則\(a=0\)且\(b\neq0\)。（）10.不等式\(|x|\lt1\)的解集是\(\{x|-1\ltx\lt1\}\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=\log_2(x^2-3x+2)\)的定義域。-答案：要使函數(shù)有意義，則\(x^2-3x+2\gt0\)，即\((x-1)(x-2)\gt0\)，解得\(x\lt1\)或\(x\gt2\)，定義域為\(\{x|x\lt1或x\gt2\}\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3=6\)，求\(a_n\)的通項公式。-答案：設(shè)公差為\(d\)，\(a_3=a_1+2d\)，即\(6=2+2d\)，解得\(d=2\)，則\(a_n=a_1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n\)。3.求曲線\(y=x^3\)在點\((1,1)\)處的切線方程。-答案：\(y^\prime=3x^2\)，當(dāng)\(x=1\)時，\(y^\prime=3\)，即切線斜率為\(3\)。由點斜式得切線方程為\(y-1=3(x-1)\)，即\(y=3x-2\)。4.計算\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)。-答案：\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{1}=(\frac{1}{3}×1^3+1)-(\frac{1}{3}×0^3+0)=\frac{4}{3}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的單調(diào)性。-答案：函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的定義域為\(x\neq1\)。在\((-\infty,1)\)上，設(shè)\(x_1\ltx_2\lt1\)，\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1-1}-\frac{1}{x_2-1}=\frac{x_2-x_1}{(x_1-1)(x_2-1)}\gt0\)，函數(shù)遞減；在\((1,+\infty)\)上，同理可證函數(shù)也遞減。2.已知\(a,b\gt0\)，且\(a+b=1\)，討論\(\frac{1}{a}+\frac{4}\)的最小值情況。-答案：\(\frac{1}{a}+\frac{4}=(\frac{1}{a}+\frac{4})(a+b)=1+\frac{a}+\frac{4a}+4=5+\frac{a}+\frac{4a}\)。由基本不等式\(\frac{a}+\frac{4a}\geqslant2\sqrt{\frac{a}×\frac{4a}}=4\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(\frac{a}=\frac{4a}\)，即\(b=2a=\frac{2}{3}\)時取等號，所以最小值為\(9\)。3.討論直線\(y=kx+1\)與圓\(x^2+y^2=1\)的位置關(guān)系。-答案：圓\(x^2+y^2=1\)圓心\((0,0)\)，半徑\(r=1\)。圓心到直線\(y=kx+1\)（即\(kx-y+1=0\)）的距離\(d=\frac{|0-0+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}\)。當(dāng)\(d\ltr\)即\(\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}\lt1\)（\(k\neq0\)）時，直線與圓相交；當(dāng)\(d=r\)即\(k=0\)時，直線與圓相切；當(dāng)\(d\gtr\)不成立。4.討論函數(shù)\(y=\sinx\)與\(y=\cosx\)在\([0,2\pi]\)上的交點情況。-答案：令\(\sinx=\cosx\)，即\(\tanx=1\)，在\([0,2\pi]\)上，\(x=\frac{\pi}{4}\)或\(x=\frac{5\pi}{4}\)，所以兩函數(shù)在\([0,2\pi]\)上的交點為\((\frac{\pi}{4},\frac{\sqrt{2}}{2})\)和\((