反函數(shù)試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題20分）1.函數(shù)\(y=2x+1\)的反函數(shù)是（）A.\(y=\frac{x-1}{2}\)B.\(y=\frac{1-x}{2}\)C.\(y=2x-1\)D.\(y=1-2x\)2.函數(shù)\(y=3^x\)的反函數(shù)是（）A.\(y=\log_3x\)B.\(y=\log_x3\)C.\(y=3^{-x}\)D.\(y=x^{\frac{1}{3}}\)3.若函數(shù)\(y=f(x)\)的圖像過點\((1,2)\)，則其反函數(shù)\(y=f^{-1}(x)\)的圖像過點（）A.\((1,2)\)B.\((2,1)\)C.\((-1,-2)\)D.\((-2,-1)\)4.函數(shù)\(y=x^2(x\geq0)\)的反函數(shù)是（）A.\(y=\sqrt{x}\)B.\(y=-\sqrt{x}\)C.\(y=x^{\frac{1}{2}}(x\leq0)\)D.\(y=\pm\sqrt{x}\)5.函數(shù)\(y=\lnx\)的反函數(shù)是（）A.\(y=e^x\)B.\(y=-e^x\)C.\(y=\ln(-x)\)D.\(y=e^{-x}\)6.已知函數(shù)\(f(x)=x+3\)，則\(f^{-1}(5)\)的值為（）A.\(2\)B.\(5\)C.\(8\)D.\(15\)7.函數(shù)\(y=2-x\)的反函數(shù)的圖像與原函數(shù)的圖像（）A.關于\(x\)軸對稱B.關于\(y\)軸對稱C.關于直線\(y=x\)對稱D.關于原點對稱8.函數(shù)\(y=\frac{x}{x-1}(x\neq1)\)的反函數(shù)是（）A.\(y=\frac{x}{x-1}(x\neq1)\)B.\(y=\frac{x}{1-x}(x\neq1)\)C.\(y=\frac{1-x}{x}(x\neq0)\)D.\(y=\frac{x-1}{x}(x\neq0)\)9.若函數(shù)\(f(x)\)存在反函數(shù)\(f^{-1}(x)\)，則\(f(f^{-1}(a))\)（\(a\)在\(f^{-1}(x)\)定義域內(nèi)）的值為（）A.\(a\)B.\(f(a)\)C.\(f^{-1}(a)\)D.無法確定10.函數(shù)\(y=5x-2\)的反函數(shù)圖像經(jīng)過點（）A.\((-2,0)\)B.\((2,0)\)C.\((0,-2)\)D.\((0,2)\)二、多項選擇題（每題2分，共10題20分）1.以下哪些函數(shù)存在反函數(shù)（）A.\(y=x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=2^x\)D.\(y=\sinx\)2.關于反函數(shù)，下列說法正確的是（）A.單調(diào)函數(shù)一定有反函數(shù)B.函數(shù)\(y=f(x)\)與它的反函數(shù)\(y=f^{-1}(x)\)的定義域和值域互換C.圖像關于直線\(y=x\)對稱的兩個函數(shù)互為反函數(shù)D.有反函數(shù)的函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù)3.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}(x\neq0)\)的反函數(shù)相關性質(zhì)正確的是（）A.反函數(shù)還是\(y=\frac{1}{x}(x\neq0)\)B.反函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像重合C.反函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減D.反函數(shù)圖像關于原點對稱4.已知函數(shù)\(y=f(x)\)及其反函數(shù)\(y=f^{-1}(x)\)，則（）A.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，則\(f^{-1}(x)\)也是奇函數(shù)B.若\(f(x)\)在定義域上遞增，則\(f^{-1}(x)\)在其定義域上也遞增C.\(f(f^{-1}(x))=x\)（\(x\)在\(f^{-1}(x)\)定義域內(nèi)）D.\(f^{-1}(f(x))=x\)（\(x\)在\(f(x)\)定義域內(nèi)）5.下列函數(shù)圖像與反函數(shù)圖像有交點的是（）A.\(y=x\)B.\(y=-x\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=e^x\)6.函數(shù)\(y=4-x^2(x\leq0)\)的反函數(shù)相關說法正確的是（）A.反函數(shù)為\(y=-\sqrt{4-x}(x\leq4)\)B.反函數(shù)圖像是原函數(shù)圖像關于直線\(y=x\)對稱后的部分C.原函數(shù)在\((-\infty,0]\)上單調(diào)遞增D.反函數(shù)在\((-\infty,4]\)上單調(diào)遞減7.直線\(y=x+b\)與函數(shù)\(y=f(x)\)的反函數(shù)圖像有公共點，則（）A.\(b\)可以為任意實數(shù)B.若\(f(x)\)單調(diào)遞增，\(b\)有取值范圍限制C.若\(f(x)\)單調(diào)遞減，\(y=x+b\)可能與\(y=f(x)\)反函數(shù)圖像無交點D.當\(b=0\)時，\(y=x\)與\(y=f(x)\)反函數(shù)圖像一定有交點8.函數(shù)\(y=\log_2(x+1)\)的反函數(shù)（）A.定義域為\(x\gt-1\)B.值域為\(R\)C.表達式為\(y=2^x-1\)D.是單調(diào)遞增函數(shù)9.若函數(shù)\(y=f(x)\)存在反函數(shù)，且\(f(2)=3\)，則（）A.\(f^{-1}(3)=2\)B.點\((2,3)\)在\(f(x)\)圖像上，點\((3,2)\)在\(f^{-1}(x)\)圖像上C.\(f^{-1}(f(2))=2\)D.\(f(f^{-1}(3))=3\)10.下列函數(shù)中，與其反函數(shù)相同的函數(shù)有（）A.\(y=x\)B.\(y=\frac{1-x}{1+x}(x\neq-1)\)C.\(y=-\frac{1}{x}(x\neq0)\)D.\(y=x^2(x\geq0)\)三、判斷題（每題2分，共10題20分）1.所有函數(shù)都有反函數(shù)。（）2.函數(shù)\(y=f(x)\)與它的反函數(shù)\(y=f^{-1}(x)\)的圖像若有交點，交點一定在直線\(y=x\)上。（）3.函數(shù)\(y=5\)沒有反函數(shù)。（）4.若函數(shù)\(y=f(x)\)的定義域是\([a,b]\)，值域是\([c,d]\)，則其反函數(shù)的定義域是\([c,d]\)，值域是\([a,b]\)。（）5.函數(shù)\(y=\sqrt{x}\)的反函數(shù)是\(y=x^2\)。（）6.單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)也是單調(diào)遞增函數(shù)。（）7.若\(y=f(x)\)是偶函數(shù)，則它一定沒有反函數(shù)。（）8.函數(shù)\(y=\sinx(x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}])\)的反函數(shù)是\(y=\arcsinx\)。（）9.函數(shù)\(y=f(x)\)的圖像與它的反函數(shù)\(y=f^{-1}(x)\)圖像關于直線\(y=x\)對稱。（）10.函數(shù)\(y=2x-1\)和\(y=\frac{x+1}{2}\)互為反函數(shù)。（）四、簡答題（每題5分，共4題20分）1.求函數(shù)\(y=3x-4\)的反函數(shù)。2.已知函數(shù)\(y=f(x)\)在某區(qū)間上單調(diào)遞增且存在反函數(shù)，若\(f(a)\ltf(b)\)，比較\(f^{-1}(a)\)與\(f^{-1}(b)\)的大小。3.簡述求一個函數(shù)反函數(shù)的一般步驟。4.為什么\(y=x^2\)（\(x\inR\)）沒有反函數(shù)，而\(y=x^2(x\geq0)\)有反函數(shù)？五、討論題（每題5分，共4題20分）1.討論函數(shù)\(y=\frac{ax+b}{cx+d}(ad-bc\neq0)\)反函數(shù)的存在性及表達式。2.舉例說明有反函數(shù)的函數(shù)不一定是嚴格單調(diào)函數(shù)（單調(diào)遞增或單調(diào)遞減），你能總結出什么樣的函數(shù)一定有反函數(shù)嗎？3.結合函數(shù)\(y=2^x\)和\(y=\log_2x\)的圖像與性質(zhì)，討論原函數(shù)與反函數(shù)在單調(diào)性、奇偶性等方面的聯(lián)系與區(qū)別。4.已知函數(shù)\(y=f(x)\)有反函數(shù)，若\(f(x)\)圖像向右平移\(m\)個單位得到\(y=g(x)\)，那么\(g(x)\)的反函數(shù)與\(f(x)\)的反函數(shù)有什么關系？答案單項選擇題1.A2.A3.B4.A5.A6.A7.C8.B9.A10.A多項選擇題1.AC2.ABC3.ABCD4.ABCD5.ABC6.AB7.BC8.CD9.ABCD10.ABC判斷題1.×2.×3.√4.√5.×6.√7.√8.√9.√10.√簡答題1.由\(y=3x-4\)，解出\(x=\frac{y+4}{3}\)，所以反函數(shù)為\(y=\frac{x+4}{3}\)。2.因為\(f(x)\)單調(diào)遞增且\(f(a)\ltf(b)\)，則\(a\ltb\)。又\(f(x)\)與\(f^{-1}(x)\)單調(diào)性相同，所以\(f^{-1}(a)\ltf^{-1}(b)\)。3.步驟：①由原函數(shù)\(y=f(x)\)解出\(x\)關于\(y\)的表達式；②將\(x,y\)互換；③確定反函數(shù)定義域（原函數(shù)的值域）。4.\(y=x^2(x\inR)\)中一個\(y\)值對應兩個\(x\)值，不滿足一一對應，所以無反函數(shù)。\(y=x^2(x\geq0)\)在定義域上單調(diào)遞增，滿足一一對應，所以有反函數(shù)。討論題1.當\(c=0\)時，\(y=\frac{ax+b}z1tdpdz=\frac{a}9zljtzhx+\fracpl13xlt\)有反函數(shù)，反函數(shù)為\(y=\fracd1hpdjz{a}(x-\fracr33lt1x)\)。當\(c\neq0\)，由\(y=\frac{ax+b}{cx+d}\)解出\(x=\frac{-dy+b}{cy-a}\)，反函數(shù)為\(y=\frac{-dx+b}{cx-a}(x\neq\frac{a}{c})\)，只要\(ad-bc\neq0\)函數(shù)就有反函數(shù)。2.例如函數(shù)\(y=\begin{cases}x,x\geq0\\-x,x\lt0\end{cases}\)，它不是嚴格單調(diào)函數(shù)，但在定義域上一一對應有反函數(shù)。一一對應的函數(shù)一定有反函數(shù)。3.單調(diào)性：\(y=2^x\)與\(y=\log_2x\)都單調(diào)遞增。奇偶性：二