圓的弦長(zhǎng)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.圓\(x^{2}+y^{2}=25\)中，過(guò)點(diǎn)\((3,0)\)的弦長(zhǎng)的最小值是（）A.8B.6C.10D.122.已知圓\(C\)：\((x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25\)，直線\(l\)：\(mx-y+1-m=0\)，則直線被圓截得弦長(zhǎng)最短時(shí)\(m\)的值為（）A.1B.-1C.2D.-23.圓\(x^{2}+y^{2}=4\)上一點(diǎn)\((1,\sqrt{3})\)處的切線與\(x\)軸相交，所得弦長(zhǎng)為（）A.\(\sqrt{3}\)B.\(2\sqrt{3}\)C.\(2\)D.\(4\)4.圓\((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=9\)的圓心到直線\(3x-4y+5=0\)的距離為\(d\)，則直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（）A.\(2\sqrt{9-d^{2}}\)B.\(\sqrt{9-d^{2}}\)C.\(2\sqrt{9+d^{2}}\)D.\(\sqrt{9+d^{2}}\)5.圓\(x^{2}+y^{2}=1\)與直線\(y=kx+2\)有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則\(k\)的取值范圍是（）A.\((-\sqrt{3},\sqrt{3})\)B.\((-\infty,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},+\infty)\)C.\((-\sqrt{2},\sqrt{2})\)D.\((-\infty,-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},+\infty)\)6.已知圓\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)，直線\(x+y-4=0\)截圓所得弦長(zhǎng)為\(2\sqrt{2}\)，則\(r\)的值為（）A.\(\sqrt{5}\)B.\(\sqrt{6}\)C.\(\sqrt{7}\)D.\(\sqrt{8}\)7.圓\((x-3)^{2}+(y-4)^{2}=1\)的圓心到直線\(x+y=0\)的距離為\(d\)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（）A.\(2\sqrt{1-d^{2}}\)B.\(2\sqrt{2-d^{2}}\)C.\(2\sqrt{1+d^{2}}\)D.\(2\sqrt{2+d^{2}}\)8.圓\(x^{2}+y^{2}-4x+6y=0\)中，過(guò)點(diǎn)\((0,0)\)的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為（）A.\(2\sqrt{13}\)B.\(\sqrt{13}\)C.\(13\)D.\(26\)9.直線\(y=x+1\)與圓\(x^{2}+y^{2}=1\)相交所得弦長(zhǎng)為（）A.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)B.\(\sqrt{2}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(\sqrt{3}\)10.圓\(x^{2}+y^{2}=4\)的圓心到直線\(x-y+1=0\)的距離為\(d\)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（）A.\(2\sqrt{4-d^{2}}\)B.\(2\sqrt{4+d^{2}}\)C.\(\sqrt{4-d^{2}}\)D.\(\sqrt{4+d^{2}}\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于圓的弦長(zhǎng)說(shuō)法正確的是（）A.弦長(zhǎng)與圓心到直線的距離有關(guān)B.圓的半徑越大，弦長(zhǎng)一定越大C.弦長(zhǎng)與直線斜率無(wú)關(guān)D.過(guò)圓心的弦是圓的最長(zhǎng)弦2.圓\(x^{2}+y^{2}=4\)，直線\(y=kx+1\)與圓相交，弦長(zhǎng)可能是（）A.\(2\sqrt{3}\)B.\(\sqrt{14}\)C.\(2\sqrt{2}\)D.\(2\)3.已知圓\(C\)：\((x-1)^{2}+(y-2)^{2}=9\)，直線\(l\)：\(ax+y-1=0\)，當(dāng)直線\(l\)被圓\(C\)截得弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，\(a\)的值可能為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(2\)4.圓\((x-2)^{2}+(y+1)^{2}=4\)，以下直線中，截圓所得弦長(zhǎng)為\(2\sqrt{3}\)的有（）A.\(x=1\)B.\(y=-1\)C.\(x-y-1=0\)D.\(x+y-1=0\)5.對(duì)于圓\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)，直線\(Ax+By+C=0\)，下列說(shuō)法正確的是（）A.弦長(zhǎng)\(L=2\sqrt{r^{2}-\frac{C^{2}}{A^{2}+B^{2}}}\)（當(dāng)圓心到直線距離\(d=\frac{|C|}{A^{2}+B^{2}}\)時(shí)）B.若直線過(guò)圓心，則弦長(zhǎng)為\(2r\)C.直線與圓相切時(shí)，弦長(zhǎng)為\(0\)D.弦長(zhǎng)只與圓半徑和圓心到直線距離有關(guān)6.圓\(x^{2}+y^{2}-2x-4y=0\)，直線\(mx-y+1=0\)與圓相交，弦長(zhǎng)的可能取值為（）A.\(2\sqrt{5}\)B.\(4\)C.\(2\sqrt{3}\)D.\(2\sqrt{2}\)7.已知圓\(x^{2}+y^{2}=16\)，直線\(y=x+b\)，當(dāng)直線被圓截得弦長(zhǎng)為\(2\sqrt{14}\)時(shí)，\(b\)的值為（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(4\)D.\(-4\)8.圓\((x+1)^{2}+(y-3)^{2}=25\)，下列直線中，截圓所得弦長(zhǎng)最短的是（）A.\(x=-1\)B.\(y=3\)C.\(x+y-2=0\)D.\(x-y+4=0\)9.圓\(x^{2}+y^{2}=2\)，直線\(y=kx\)與圓相交，弦長(zhǎng)為\(2\)時(shí)，\(k\)的值為（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(\sqrt{2}\)D.\(-\sqrt{2}\)10.關(guān)于圓的弦長(zhǎng)，以下結(jié)論正確的是（）A.平行弦長(zhǎng)相等B.垂直于直徑的弦被直徑平分C.等弦所對(duì)圓心角相等D.弦長(zhǎng)的取值范圍是\([0,2r]\)（\(r\)為圓半徑）三、判斷題（每題2分，共10題）1.圓的弦長(zhǎng)只由圓的半徑?jīng)Q定。（）2.直線與圓相交，圓心到直線距離越大，弦長(zhǎng)越小。（）3.過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的所有弦中，直徑最長(zhǎng)。（）4.圓\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)，直線\(y=kx\)截圓所得弦長(zhǎng)為\(2\sqrt{r^{2}-\frac{r^{2}}{1+k^{2}}}\)。（）5.兩條平行直線截同一圓所得弦長(zhǎng)相等。（）6.圓的弦長(zhǎng)為\(0\)時(shí)，直線與圓相切。（）7.圓半徑為\(r\)，圓心到直線距離為\(d\)，弦長(zhǎng)\(L=2\sqrt{r^{2}-d^{2}}\)。（）8.直線過(guò)圓心時(shí)，弦長(zhǎng)是圓的直徑。（）9.圓的弦長(zhǎng)與直線在\(y\)軸上的截距無(wú)關(guān)。（）10.等弦所對(duì)的圓周角相等。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.已知圓\(x^{2}+y^{2}=16\)，直線\(y=x+2\)，求直線被圓截得的弦長(zhǎng)。-答案：先求圓心\((0,0)\)到直線\(x-y+2=0\)的距離\(d=\frac{|0-0+2|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\sqrt{2}\)，圓半徑\(r=4\)，根據(jù)弦長(zhǎng)公式\(L=2\sqrt{r^{2}-d^{2}}\)，可得弦長(zhǎng)為\(2\sqrt{16-2}=2\sqrt{14}\)。2.圓\((x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25\)，直線\(3x-4y-1=0\)，求弦長(zhǎng)。-答案：圓心\((1,2)\)到直線\(3x-4y-1=0\)的距離\(d=\frac{|3\times1-4\times2-1|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=2\)，圓半徑\(r=5\)，弦長(zhǎng)\(L=2\sqrt{r^{2}-d^{2}}=2\sqrt{25-4}=2\sqrt{21}\)。3.已知圓\(x^{2}+y^{2}-6x-8y=0\)，直線\(y=x\)，求直線被圓截得的弦長(zhǎng)。-答案：將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式\((x-3)^{2}+(y-4)^{2}=25\)，圓心\((3,4)\)，半徑\(r=5\)。圓心到直線\(x-y=0\)距離\(d=\frac{|3-4|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，弦長(zhǎng)\(L=2\sqrt{r^{2}-d^{2}}=2\sqrt{25-\frac{1}{2}}=\sqrt{98}=7\sqrt{2}\)。4.圓\(x^{2}+y^{2}=9\)，直線\(2x-y+1=0\)，求弦長(zhǎng)。-答案：圓心\((0,0)\)到直線\(2x-y+1=0\)的距離\(d=\frac{|0-0+1|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)，圓半徑\(r=3\)，弦長(zhǎng)\(L=2\sqrt{r^{2}-d^{2}}=2\sqrt{9-\frac{1}{5}}=\frac{2\sqrt{44}}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{55}}{5}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論在圓中，弦長(zhǎng)與直線傾斜角的關(guān)系。-答案：弦長(zhǎng)不僅與直線傾斜角有關(guān)，還與圓心到直線距離、圓半徑有關(guān)。在半徑一定時(shí)，傾斜角變化會(huì)改變圓心到直線距離，距離越小弦長(zhǎng)越大。但當(dāng)直線過(guò)圓心時(shí)，弦長(zhǎng)為直徑，與傾斜角無(wú)關(guān)。2.探討如何根據(jù)圓的方程和直線方程快速判斷弦長(zhǎng)情況。-答案：先將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式得圓心和半徑，再用點(diǎn)到直線距離公式求圓心到直線距離。根據(jù)弦長(zhǎng)公式\(L=2\sqrt{r^{2}-d^{2}}\)判斷，\(d\)越大弦長(zhǎng)越小，\(d=0\)（直線過(guò)圓心）時(shí)弦長(zhǎng)最大為直徑。3.說(shuō)說(shuō)在實(shí)際問(wèn)題中，圓的弦長(zhǎng)計(jì)算有哪些應(yīng)用。-答案：在建筑設(shè)計(jì)中，計(jì)算圓形建筑結(jié)構(gòu)中梁等的長(zhǎng)度；在機(jī)械制造里，確定圓形零件上孔與孔間弦長(zhǎng)等；在地理測(cè)量中，計(jì)算圓形區(qū)域內(nèi)兩點(diǎn)間的弦長(zhǎng)距離等，幫助規(guī)劃和設(shè)計(jì)。4.討論弦長(zhǎng)的變化對(duì)圓內(nèi)圖形和性質(zhì)的影響。-答案：弦長(zhǎng)變化影響圓內(nèi)三角形、四邊形等圖形。弦長(zhǎng)為直徑時(shí)，所對(duì)圓周角為直角。不同弦長(zhǎng)形成的弓形面積不同。弦長(zhǎng)相等時(shí)，所對(duì)圓心角、圓周角