高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南部分高中2025屆高三下學期4月青桐鳴大聯考數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，.故選：B.2.已知為偶函數，則實數（）A.0 B.1 C. D.【答案】C【解析】易得函數的定義域為，由是偶函數，得恒成立，可得，故.故選：C3.已知為平面，為兩條不同的直線，且，設命題甲：；命題乙：，則（）A.甲是乙充分不必要條件 B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲是乙的既不充分也不必要條件【答案】D【解析】，，或，充分性不成立；，，和相交、平行或異面，必要性不成立.故選：D.4.已知隨機事件滿足，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，；，，.故選：A.5.記拋物線的焦點為上一點滿足，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設，由拋物線的定義可得，解得，代入的方程可得，故直線的斜率為.故選：D6.已知，且，則（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】因為，所以，令，則，解得或，即或（舍去），所以.故選：C.7.已知變量與變量的關系可以用模型（，為常數）擬合，設，變換后得到一組數據如下：234561.021.201.421.621.84由上表可得經驗回歸方程為，則（）A.0.206 B. C.0.596 D.【答案】D【解析】由表格中數據得，，代入方程得，，解得，因此.由兩邊取對數，得.又，所以，，即.故選：D8.函數在上的零點和極值點的個數分別為（）A.5，3 B.5，4 C.3，4 D.3，2【答案】B【解析】令，所以或，又，所以，即在上有5個零點；，令，解得或，又，所以在區(qū)間上有2個解，在區(qū)間上有2個解，故在上有4個變號零點，即在上有4個極值點.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，為虛數單位，，是的共軛復數，則下列說法正確的是（）A.若為純虛數，則B.若在復平面內所對應的點位于第一象限，則C.的最小值為D.為定值【答案】AC【解析】；對于A，為純虛數，，解得：，A正確；對于B，在復平面內對應的點位于第一象限，，解得：，即，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，，不是定值，D錯誤.故選：AC.10.已知為坐標原點，點，則下列說法正確的是（）A.B.若，則C.和的面積之和的最大值為1D.若，則【答案】ABD【解析】對于A：由題意得，，故A正確；對于B：若，則，又因為，所以或，若，則，此時，若，則，此時，故B正確；對于C：，，，所以，整理得，所以和的面積之和的最大值為，故C錯誤；對于D：若，注意到在單位圓上，當且僅當與單位圓相切時，取最大值，此時恰為，故為以為斜邊的等腰直角三角形，所以，故D正確.故選：ABD.11.記為數列的前項和，且為等差數列，為等比數列，，則下列說法正確的是（）A.B.存在正整數，對于任意的正整數，均有C.對于任意的正整數，均有D.存正整數，使得【答案】AC【解析】對于A，因為為等差數列，取前3項知成等差數列，即.因為為等比數列，取前3項知成等比數列，即，代入，得，即，也即，所以或.若，那么，所以，但不為等比數列，所以假設不成立，則，得，檢驗得為等差數列，為等比數列，故A正確.對于B，也就是驗證數列是否存在唯一的最大項，令，即解得，令，解得，又，所以，即最大項不唯一?因此不存在符合題意的正整數，故B錯誤.對于C，D，因為.記，注意到，所以，于是，因此對于任意的正整數，均有，故C正確，D錯誤.故選：AC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為橢圓上一點，且直線與有且僅由一個交點，則的焦距為__________.【答案】【解析】將代入橢圓方程，得到，又因為直線與僅有一個交點，所以，進而解得，所以的焦距為.故答案為：.13.設函數，若，，則當取得最小值時，__________.【答案】【解析】，（當且僅當，即時取等號），，則，即（當且僅當時取等號），.故答案為：.14.已知是函數的圖象上一點，函數滿足，則坐標原點到曲線在點處的切線的距離為__________.【答案】【解析】，因，所以，解得，故，故在處的切線方程為，故坐標原點到曲線在點處的切線的距離為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在壓力日益增大的當下，越來越多的人每天的睡眠時長無法滿足緩解壓力的需要.某研究小組隨機調查了某地100名工作人員每天的睡眠時長，這100名工作人員平均每天睡眠時長如下表所示，實際數據處理及分析中，認為工作日與周末無差異.睡眠時長/小時人數5122836172（1）估計該地所有工作人員平均每天的睡眠時長（同一組的數據用該組區(qū)間的中點值為代表）.（2）在被調查的100名工作人員中，有40名表示“近期壓力過大”，由頻率估計概率，在該地的所有工作人員中隨機調查3名，設“近期壓力過大”的人數為.（i）求的值；（ii）求的分布列和期望.解：（1）這100名工作人員平均每天的睡眠時長為小時，則（小時），故估計該地所有工作人員平均每天的睡眠時長為7.27小時.（2）（i）被調查的100名工作人員中有40名表示“近期壓力過大”，則表示“近期壓力過大”的頻率為，由頻率估計概率，在該地的所有工作人員中隨機調查1名工作人員，表示“近期壓力過大”的概率為，故，則，，故.（ii）因，則，，故其分布列如下表所示：0123故期望.16.如圖，在三棱柱中，四邊形為正方形，，.點滿足，，.（1）證明：平面平面；（2）求三棱錐的體積；（3）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：四邊形是正方形，，又，，平面，平面，平面，平面平面.（2）解：上一點滿足，連接，，，且，四邊形為平行四邊形，，，又，，平面平面，平面平面，平面，平面.，，平面，，平面.則以為坐標原點，的方向為軸正方向，可建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，，，，，，，，，由可知：，解得：，，（3）解：由（2）得：，，，記平面的法向量為，則，令，解得：，，，，即直線與平面所成角的正弦值為.17.記的內角的對邊分別為，已知，.（1）求的面積.（2）若.（i）求的值；（ii）求內切圓的半徑.解：（1）由正弦定理得：，，，.（2）（i），，，，，，，解得：；（ii）由（i）得：，，，，內切圓半徑.18.已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，是上的兩點，在中，邊的中點為.當直線的傾斜角為時，有.（1）求的離心率；（2）若直線不與軸平行，且，證明：直線過定點.（1）解：設，則，當直線的傾斜角為時，，所以，故的橫坐標為，代入方程，得，則，則，因，則，即，解得（負值舍去），故的離心率為.（2）證明：由（1）可知，，因直線不與軸平行，故設直線，設，聯立，得，則，因為，且是線段的中點，則，所以，即，因，，所以，即，即即，得，解得或，若，則直線，過點，不符合題意；若，則直線，滿足，則過定點，則直線過定點.19.若，則稱是和的減比中項.（1）若是和的減比中項，求的取值范圍.（2）已知數列滿足，，數列滿足，，存在正