高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省洛陽市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)是定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】因，故.故選：A.2.已知，則（）A. B.0 C.1 D.e【答案】D【解析】由題意可得，，則，得，則，則.故選：D3.從2，4，8，14這四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)相減，可以得到不相等的差的個(gè)數(shù)為（）A.12 B.10 C.6 D.5【答案】B【解析】由題意，，，，，，.可得，即，，因此，可以得到不相等的差的個(gè)數(shù)為.故選：B.4.的展開式中的系數(shù)為（）A.30 B.60 C.90 D.120【答案】B【解析】因?yàn)?，所以通?xiàng)公式，因?yàn)橐蟮南禂?shù)，所以令，此時(shí)，又的通項(xiàng)公式，令，解得，則的展開式中的系數(shù)為，因此，的展開式中的系數(shù)為.故選：B.5.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由可得，令，則，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故排除B、D兩項(xiàng)，由，令，所以，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以排除C項(xiàng).故選：A6.若函數(shù)在上存在最小值，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，因此，?dāng)或時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；所以的極大值為，極小值為，令，得，化簡(jiǎn)得，解得或，因?yàn)楹瘮?shù)在上存在最小值，所以，解得，故選：C.7.的展開式中系數(shù)最大的是（）A.的系數(shù) B.的系數(shù) C.的系數(shù) D.的系數(shù)【答案】B【解析】設(shè)的展開式的通項(xiàng)為，，由題意可得，解得，因?yàn)樗裕缘恼归_式中系數(shù)最大的是的系數(shù).故選：B.8.若函數(shù)與函數(shù)的圖象有公共切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，設(shè)公切線與函數(shù)相切于點(diǎn)，與函數(shù)相切于點(diǎn)；又，，則公切線的斜率，且；故切線方程為，化簡(jiǎn)得，也可以表示為，化簡(jiǎn)得，所以，則，又，則，則故選：C.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，選對(duì)但選不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】A選項(xiàng)：，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，故B正確；C選項(xiàng)：，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，故D正確.故選：BD.10.如圖，正方形網(wǎng)格棋盤，其中，，，位于棋盤上一條對(duì)角線的4個(gè)交匯處．在棋盤M，N處的甲、乙兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)分別要到N，M處，它們分別隨機(jī)地選擇一條沿網(wǎng)格實(shí)線走的最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)N，M處為止，則下列說法正確的有（）A.甲從M到達(dá)N處的走法種數(shù)為20B.甲從M必須經(jīng)過到達(dá)N處的走法種數(shù)為9C.甲、乙能在處相遇的走法種數(shù)為36D.甲、乙能相遇的走法種數(shù)為164【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)：需要走6格，其中向上3格，向右3格，所以甲從M到達(dá)N處的走法種數(shù)為，故A正確；B選項(xiàng)：甲從到達(dá)，需要走3格，其中向上1格，向右2格，有種走法，從到達(dá)，需要走3格，其中向上2格，向右1格，有種走法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得：甲從M必須經(jīng)過到達(dá)N處的走法種數(shù)為9，故B正確；C選項(xiàng)：由圖可知，甲走到處需要3步，且乙走到處需要3步，又因?yàn)?，甲?jīng)過的走法種數(shù)為9，乙經(jīng)過的走法種數(shù)為9，所以甲，乙兩人能在處相遇的走法種數(shù)為，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：甲，乙兩人沿著最短路徑行走，可能在，，，處相遇，若甲，乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過處，必須向上走3格，乙經(jīng)過處，必須向左走3格，所以兩人在處相遇的走法有1種；若甲，乙兩人在或處相遇，各有81種走法；若甲，乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過處，必須向右走3格，乙經(jīng)過處，必須向下走3格，所以兩人在處相遇的走法有1種.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得：甲，乙兩人能相遇走法種數(shù)為，故D正確.故選：ABD.11.已知，，，則下列大小關(guān)系中正確的有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，因?yàn)椋?，，因?yàn)?，故，即，即，故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則_____．【答案】【解析】對(duì)于，取，可得，再取，可得，故得.故答案為：.13.已知函數(shù)，，若，則的最小值為______.【答案】2【解析】，則，取，故，，故切線方程為，取，解得，故的最小值.故答案為：.14.目前我省高中數(shù)學(xué)試卷中多選題的計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)如下：①本題共3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)，全部選對(duì)得6分，有選錯(cuò)的得0分；③部分選對(duì)得部分分（若某小題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得3分；若某小題正確選項(xiàng)為三個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得4分，漏選兩個(gè)正確選項(xiàng)得2分）．已知在某次高中數(shù)學(xué)考試中，洛洛同學(xué)三個(gè)多選題中第一小題和第二小題都隨機(jī)地選了兩個(gè)選項(xiàng)，第三小題隨機(jī)地選了一個(gè)選項(xiàng)，他的多選題的總得分（相同總分只記錄一次）共有n種情況，則除以64的余數(shù)是_________．【答案】17【解析】這位同學(xué)第一小題和第二小題都可能得0分，4分或6分，第三小題可能得0分，2分或3分，如圖，當(dāng)?shù)谌}得0分時(shí)，有可能總得分為：0，4，6，8，10，12，當(dāng)?shù)谌}得2分時(shí)，有可能總得分為：2，6，8，10，12，14，當(dāng)?shù)谌}得3分時(shí)，有可能總得分為：3，7，9，11，13，15，所以這位同學(xué)的多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）為：0，2，3，4，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，即，則又，則．則除以64的余數(shù)是．故答案為：．四、解答題：本大題共6小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處切線的方程；（2）求函數(shù)的極值．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，又，所以在點(diǎn)處切線的方程為：，化簡(jiǎn)得：.（2）由題意，，.，令，解得或，列表如下：12單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由表可知，函數(shù)的極大值為；極小值為.16.用0，1，2，3，4組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)．（1）偶數(shù)共有多少個(gè)？（2）比30000大的偶數(shù)共有多少個(gè)？（3）1，2相鄰的偶數(shù)共有多少個(gè)？解：（1）當(dāng)個(gè)位是0時(shí)，共有種情況；當(dāng)個(gè)位是2或4時(shí)，共有種情況；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得：符合題意的偶數(shù)有個(gè).（2）當(dāng)萬位是3時(shí)，共有種情況；當(dāng)萬位是4時(shí)，共有種情況；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得：符合題意的偶數(shù)有個(gè).（3）當(dāng)個(gè)位0時(shí)，共有種情況；當(dāng)個(gè)位是2時(shí)，則十位是1，共有種情況；當(dāng)個(gè)位是4時(shí)，共有種情況；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得：符合題意的偶數(shù)有個(gè).17.已知，二項(xiàng)式展開式中第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且展開式中的常數(shù)項(xiàng)是.（1）求展開式的第5項(xiàng)；（2）設(shè)展開式中的所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，求.解：（1）由題意知，所以.二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)是，所以當(dāng)時(shí)展開式中的有常數(shù)項(xiàng)，所以，所以，因?yàn)椋?，所以展開式第5項(xiàng)是.（2）令，二項(xiàng)式展開式中的所有項(xiàng)的系數(shù)之和，二項(xiàng)式系數(shù)之和，故.18.已知函數(shù)．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）函數(shù)，記為函數(shù)的極大值點(diǎn)，求證：．解：（1）欲證，只需證，即證，令，則，則在上單調(diào)遞增，則，即，故命題得證.（2）因，則，令，則，則得；得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，又，則由零點(diǎn)存在性定理可知，在和上分別存在一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)其零點(diǎn)分別為，且，則是方程的兩根，則，得；，得或，則在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，則在處取極大值，因?yàn)楹瘮?shù)的極大值點(diǎn)，則，且，，則，所以.19.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)a的值；（2）當(dāng)時(shí)，試確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．解：（1）由求導(dǎo)得：，因，當(dāng)，即時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，顯然不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，顯然不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，由，可得，符合題意.故實(shí)數(shù)a的值為.（2）由，可得，顯然是該方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解，故是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程可化簡(jiǎn)為，設(shè)函數(shù)，則，由可得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值為，即對(duì)任意的，恒成立，故方程無實(shí)數(shù)解，即時(shí)，函數(shù)不存在零點(diǎn).綜上，函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn).20.已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若“，，，”為真命題，求實(shí)數(shù)