安徽省部分重點(diǎn)中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．的小數(shù)點(diǎn)后第三位數(shù)字為（）A． B． C． D．2．從1，2，…，20這20個(gè)數(shù)中，任取三個(gè)不同的數(shù).則這三個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列的概率為.A． B． C． D．3．若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．24．設(shè)函數(shù)，若恒成立，則的最小值為（）A． B． C． D．15．若，則等于（

）A．49 B．55 C．120 D．1656．若函數(shù)有極值點(diǎn)，，且則關(guān)于x的方程的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知數(shù)列滿足，，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則（）A． B． C． D．二、多選題9．已知的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為512，且，下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．C．除以8所得的余數(shù)為1 D．10．商場(chǎng)某區(qū)域的行走路線圖可以抽象為一個(gè)的正方體道路網(wǎng)（如圖，圖中線段均為可行走的通道），甲、乙兩人分別從，兩點(diǎn)出發(fā)，隨機(jī)地選擇一條最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)，為止，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．甲從必須經(jīng)過(guò)到達(dá)的方法數(shù)共有9種B．甲從到的方法數(shù)共有180種C．甲、乙兩人在處相遇的概率為D．甲、乙兩人相遇的概率為11．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)B．存在實(shí)數(shù)，使得成立C．若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是D．若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是三、填空題12．將A，B，C，D，E五名教師安排到甲，乙，丙三所學(xué)校，若每所學(xué)校至少安排一名教師，每名教師只去一所學(xué)校，則不同的安排方法種13．若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則．14．“算兩次”是一種重要的數(shù)學(xué)方法，也稱做富比尼（G.Fubini）原理．“為了得到一個(gè)方程，我們必須把同一個(gè)量以兩種不同的方法表示出來(lái)”（波利亞著《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》第一卷），即將一個(gè)量“算兩次”．由等式，，，利用“算兩次”原理可得．（結(jié)果用組合數(shù)表示）四、解答題15．已知的展開(kāi)式的第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是.（1）求的值；（2）求展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)；（3）求展開(kāi)式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng).16．若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列滿足，且．(1)證明：數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)乘積為，即．若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使得的的最小值．17．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；(3)求證：當(dāng)時(shí)，.

參考答案1．【答案】A【詳解】因?yàn)?，因此，的小?shù)點(diǎn)后第三位數(shù)字為.故選A.2．【答案】C【詳解】從這20個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，有種取法.若取出的三個(gè)數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，則a+c=2b.故a與c的奇偶性相同，且a、c確定后，b隨之而定.從而，所求概率為.選C.3．【答案】C【詳解】由，得，故.由題意得，，，由得，.設(shè)，，則，∴在上單調(diào)遞增，∵，∴，∴，即，，∴，令，得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，取極小值也是最小值，最小值為．故選C．4．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，，不滿足恒成立；當(dāng)時(shí)，令，可得或，函數(shù)的零點(diǎn)為和，因?yàn)楹愠闪?，所以，所以，令，則，令，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，所以的最小值為1.故選D.5．【答案】D【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為（且），又，所以.故選D.6．【答案】A【詳解】，，是方程的兩根，由，得或，即的根為或的解．∵根據(jù)題意畫(huà)圖：

，由圖象可知有2個(gè)解，有1個(gè)解，因此的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為3.故選A．7．【答案】B【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，即，當(dāng)時(shí)，則有，所以，，，，上述等式全部相加得，所以，也滿足，故對(duì)任意的，，所以，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，因?yàn)?，，故，所以的最小值?故選B.8．【答案】A【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，則，兩式相減得，整理可得，且，則，可得，即，可知等差數(shù)列的公差，當(dāng)時(shí)，則，解得；所以，可知數(shù)列為正奇數(shù)列，對(duì)于數(shù)列，當(dāng)時(shí)，可得為偶數(shù)；當(dāng)時(shí)，可得為奇數(shù)；所以數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，所以.故選A.9．【答案】BCD【詳解】根據(jù)題意可知，故，故，對(duì)于A，令，則，令，則，故，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，故為負(fù)值，為正，且令時(shí)，，因此，B正確，對(duì)于C,,故除以8所得的余數(shù)為1，C正確，對(duì)于D，對(duì)求導(dǎo)可得，令可得，故D正確，故選BCD.10．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，從點(diǎn)到點(diǎn)，需要向上走2步，向前走1步，從點(diǎn)到點(diǎn)，需要向右走2步，向前走1步，所以，甲從必須經(jīng)過(guò)到達(dá)的方法數(shù)為種，A正確；對(duì)于B,從點(diǎn)到點(diǎn)，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，所以，甲從到的方法數(shù)為種，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，甲從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，需要向上、前、右各走一步，再?gòu)狞c(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，也需要向上、前、右各走一步，所以，甲從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，不同的走法種數(shù)為種，乙從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，不同的走法種數(shù)也為36種，所以，甲、乙兩人在處相遇的概率為，C正確；對(duì)于D，若甲、乙兩人相遇，則甲、乙兩人只能在點(diǎn)、、、、、、，

甲從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，需要向上走2步，向前走1步，再?gòu)狞c(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，需要向前走1步，向右走2步，所以甲從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的走法種數(shù)為，所以甲、乙兩人在點(diǎn)處相遇的走法種數(shù)為，同理可知，甲、乙兩人在點(diǎn)、、、、處相遇的走法種數(shù)都為，因此，甲、乙兩人相遇的概率為，D正確．故選ACD．11．【答案】ABD【詳解】A：，令，得或.當(dāng)時(shí)，，令或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點(diǎn)，故A正確；B：，所以，整理得，所以，解得，即存在使得，故B正確；C：若在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，即不等式在上恒成立，又在上單調(diào)遞減，其值域?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；D：由選項(xiàng)A知，當(dāng)時(shí)，，令，解得，所以函數(shù)又兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，令或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為，極小值，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，要使存在唯一的零點(diǎn)，則，解得或（舍去），所以，此時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極大值為，極小值，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，要使存在唯一的零點(diǎn)，且，則，解得或（舍去），所以.綜上，的取值范圍為，故D正確.故選ABD.12．【答案】【詳解】由題意，五名教師分配到三所學(xué)校，有兩類分法，共有種分法，則這三組老師分配到三所不同學(xué)校，共有種安排方法.13．【答案】2【詳解】設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，與曲線的切點(diǎn)為，則由，，即.14．【答案】【詳解】因?yàn)椋虼耸钦归_(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)，而的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，所以．15．【答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）依題意可得第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，所以，即，則，或（舍去）；（2）展開(kāi)式的通項(xiàng)為（，），令，解得，所以，所以常數(shù)項(xiàng)為第5項(xiàng)60.（3）系數(shù)的絕對(duì)值為，則所以，即，，所以，因此，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是.16．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【詳解】（1）由題知，所以數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”．（2）（i）由（1）知，又，有，則，因，則，則，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，則，即，則，則，因，則，因?yàn)閷?duì)任意的，，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，又知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的最小值為．17．【答案】（1）答案見(jiàn)詳解（2）【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，若，則，則在上單調(diào)遞減；

若，則由得.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）若，由（1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn).

若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增，所以，，故沒(méi)有零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，由于，即，又，故在上有一個(gè)零點(diǎn).

設(shè)正整數(shù)滿足，則，故在上有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，的取值范圍為.18．【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)可求函數(shù)的極值.（2）求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，就,,分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，故，因?yàn)樵谏暇鶠樵龊瘮?shù)，故在上為增函數(shù)，而，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在處取極小值且極小值為，無(wú)極大值.（2），設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故，即，所以在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，故在上，即在上即為減函數(shù)，故在上，不合題意，舍去.當(dāng)，此時(shí)在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合題意，舍去.綜上，.【思路導(dǎo)引】導(dǎo)數(shù)背景下不等式恒成立問(wèn)題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，有時(shí)還需要對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)研究其符