北京市房山區(qū)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期學(xué)業(yè)水平調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共10小題）1．已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的公差為（

）A． B． C． D．32．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，則的值為（

）A．2 B．4 C．8 D．163．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．4．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)的定義域?yàn)榈膶?dǎo)函數(shù)的圖象大致如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．在上單調(diào)遞減B．是的極小值點(diǎn)C．是的極大值點(diǎn)D．曲線在處的切線斜率為06．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》第六章“均輸”中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有五人分五錢(qián)，令上二人所得與下三人等.問(wèn)：各得幾何？”意思是：五個(gè)人分五錢(qián)（“錢(qián)”是古代的一種計(jì)量單位），每人所得依次相差一樣多，前兩人所得錢(qián)數(shù)與后三人所得錢(qián)數(shù)一樣多，問(wèn)每個(gè)人分得多少.在這個(gè)問(wèn)題中分得最少的一個(gè)得到（

）A．錢(qián) B．錢(qián) C．錢(qián) D．1錢(qián)7．等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0.若成等比數(shù)列，則的公差為（

）A． B． C．2 D．38．設(shè)是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知函數(shù)在處有極小值，則實(shí)數(shù)的值為（）A．6 B．2 C．2或6 D．010．已知函數(shù)．若有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、填空題（本大題共6小題）11．已知函數(shù)，則.12．已知數(shù)列滿足為其前項(xiàng)和，若，則.13．等比數(shù)列滿足如下條件：①，②數(shù)列單調(diào)遞減，寫(xiě)出滿足上述兩個(gè)條件的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.14．分別過(guò)點(diǎn)和作曲線的切線，切線的斜率分別為和.15．若函數(shù)在定義域內(nèi)有遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．16．在現(xiàn)實(shí)世界，很多信息的傳播演化是相互影響的.選用正實(shí)數(shù)數(shù)列分別表示兩組信息的傳輸鏈上每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的信息強(qiáng)度，數(shù)列模型：，，描述了這兩組信息在互相影響之下的傳播演化過(guò)程.若兩組信息的初始信息強(qiáng)度滿足，則在該模型中，關(guān)于兩組信息，給出如下結(jié)論：①；②；③，使得當(dāng)時(shí)，總有；④，使得當(dāng)時(shí)，總有.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.三、解答題（本大題共5小題）17．已知等差數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，再?gòu)蘑伲冢圻@三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18．已知函數(shù)在處取得極大值1.當(dāng)變化時(shí)，導(dǎo)函數(shù)變化情況如下表所示.100(1)寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及的值；(2)求函數(shù)的解析式；(3)求函數(shù)在上的最大值.19．已知數(shù)列中，且.(1)求數(shù)列的第項(xiàng)；(2)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明.20．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)證明：當(dāng)時(shí)，．21．若無(wú)窮數(shù)列滿足：對(duì)于任意正整數(shù)，如果，那么，則稱(chēng)數(shù)列具有性質(zhì).(1)已知數(shù)列具有性質(zhì)，且，求；(2)已知無(wú)窮數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為的等差數(shù)列，無(wú)窮數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，，判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；(3)各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列.求證：“對(duì)任意，數(shù)列都具有性質(zhì)”的充要條件為“數(shù)列是常數(shù)數(shù)列”.

參考答案1．【答案】A【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的公差為.故選A.2．【答案】C【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，又因?yàn)?，則.故選C.3．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，，又，不符合上式，則.故選D.4．【答案】D【詳解】因?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋蔇正確.故選D.5．【答案】C【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；由圖象可知在的左右兩側(cè)附近，，單調(diào)遞增，所以不是的極小值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn)，故C正確；由圖象可知，所以曲線在處的切線斜率為2，故D錯(cuò)誤.故選C.6．【答案】B【詳解】由題意可知五人所分錢(qián)成等差數(shù)列，得錢(qián)最多者為，則公差，所以有，解得，又因?yàn)?，即，則，所以，所以分得最少的一個(gè)得到錢(qián).故選B.7．【答案】A【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，整理可得，因?yàn)?，，所以解?故選A.8．【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過(guò)的最大整數(shù).若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當(dāng)時(shí)，；若，則，由可得，取，則當(dāng)時(shí)，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”；若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，取且，，假設(shè)，令可得，且，當(dāng)時(shí)，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”.所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的充分必要條件.故選C.9．【答案】B【詳解】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在處有極小值，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，令，得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，所以符合題意，當(dāng)時(shí)，，令，得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，所以不合題意，綜上故選B.10．【答案】C【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，令，解得，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，舍去；當(dāng)時(shí)，，令，解得或，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，0是函數(shù)的極大值點(diǎn)，由，可得函數(shù)存在正零點(diǎn)，不滿足條件；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，0是函數(shù)的極大值點(diǎn)，函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，且，則，即，，解得：，綜上可得：實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選．11．【答案】3【詳解】因?yàn)?，所以，所?12．【答案】【詳解】由可得數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，且，則，所以.13．【答案】(答案不唯一)【詳解】等比數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，，，滿足上述條件的一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為：14．【答案】【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由，得所以切線方程為，即，將代入得，解得，此時(shí)過(guò)點(diǎn)與曲線相切的切線斜率為，將代入得，解得，此時(shí)過(guò)點(diǎn)與曲線相切的切線斜率為.15．【答案】【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)在定義域內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則在上有解；若，變形可得，則在上能成立，設(shè)，則，則，則必有，故的取值范圍為.16．【答案】②③④.【詳解】因?yàn)?，兩式相減有：，因?yàn)椋?，所以，，故②正確；因?yàn)?，所以，因?yàn)閿?shù)列，是正實(shí)數(shù)數(shù)列，所以，，所以，，，又因?yàn)?，所以成立，但是不一定成立，故①錯(cuò)誤；由上可知，因?yàn)闉槌?shù)，為遞增數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，，又，所以，使得當(dāng)時(shí)，總有，故③正確；因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，又，所以，使得當(dāng)時(shí)，總有，故④正確.17．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)詳解【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，解得，所以，所以?shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若選①，由可知是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以；若選②，由可知是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以；若選③，由，可得，所以可知是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以，所以；18．【答案】(1)；的單調(diào)減區(qū)間是和，的單調(diào)增區(qū)間是.(2)(3)【詳解】（1）由表格可知，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，所以時(shí)，取得極小值，時(shí)，取得極大值，即，的單調(diào)減區(qū)間是和，的單調(diào)增區(qū)間是.（2）由可得，由（1）可知，的零點(diǎn)是，由韋達(dá)定理可得，解得，由在取得極大值，即，所以，則.（3）由（1）可知，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，，，且，所以函數(shù)在上的最大值為.19．【答案】(1)，，.(2)，證明見(jiàn)解析.【詳解】（1），，.（2）由（1）可猜想.證明：由，可得，即，又，所以是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，所以.20．【答案】(1).(2)見(jiàn)解析.(3)見(jiàn)解析.【詳解】（1）當(dāng)時(shí),，所以.得，點(diǎn)處的切線斜率為，所以函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為：.（2）由得，當(dāng)時(shí)，恒成立，則在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，的最小值.要證，只需證只需證設(shè)則，令得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，所以得證，即