江蘇省連云港市2024?2025學年高二下學期期中考試數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．計算：（

）A．8 B．10 C．12 D．162．中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類．現(xiàn)有4名學生，每人從宮燈、紗燈、吊燈中選購1種，則不同的選購方式有（

）A．種 B．種 C．種 D．種3．在的展開式中，的系數(shù)是（

）A． B．8 C． D．44．如圖，在棱長為1的正方體中，分別為的中點，則與所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．從中任取個不同的數(shù)，事件“取到的個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件“取到兩個數(shù)均為偶數(shù)”，則（

）A． B． C． D．6．用0，1，2，3，4可以組成沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為（

）A．36 B．48 C．60 D．727．已知，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．8．如圖，平行六面體的底面是邊長為1的正方形，且，，則線段的長為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．2名女生、4名男生排成一排，則2名女生不相鄰的排法有種.A． B． C． D．10．設(shè)，則下列說法正確的是（

）A． B．C．展開式中二項式系數(shù)最大的項是第5項 D．11．如圖，點在正方體的面對角線上運動，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．三棱錐的體積不變 B．平面C． D．平面平面三、填空題（本大題共3小題）12．若，則的值為．13．被9除所得的余數(shù)是.14．某小區(qū)為了做好防疫工作組織了6個志愿服務(wù)小組，分配到4個大門進行行李搬運志愿服務(wù)，若每個大門至少分配1個志愿服務(wù)小組，每個志愿服務(wù)小組只能在1個大門進行服務(wù)，則不同的分配方法種數(shù)為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知.(1)求；(2)求與夾角的余弦值；(3)當時，求實數(shù)的值.16．某班級甲組有5名男生，3名女生；乙組有6名男生，2名女生．（1）若從甲、乙兩組中各選1人擔任組長，則有多少種不同的選法？（2）若從甲、乙兩組中各選1人擔任正副班長，則有多少種不同的選法？（3）若從甲、乙兩組中各選2人參加核酸檢測，則選出的4人中恰有1名男生的不同選法共有多少種？17．如圖，在正方體中，是正方形的中心，是的中點.(1)求證：是平面的法向量；(2)求與平面所成角的余弦值；(3)求二面角的正弦值．18．在二項式的展開式中，______.給出下列條件：①若展開式前三項的二項式系數(shù)的和等于46；②所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為256.試在上面兩個條件中選擇一個補充在上面的橫線上，并解答下列問題：（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）求展開式的常數(shù)項；（3）求展開式中項的系數(shù)最大的項.19．高二（16）班參加青華中學紅五月節(jié)目：猜歌名，班級只有一個名額，結(jié)合平時觀察積累，閆某峻，賈某軒兩名學生進入最后選拔，申老師為此設(shè)計了如下選拔方案：挑選8首歌進行測試，在這8首歌曲中，閆某峻能正確說出其中的6首歌名，賈某軒能正確說出每首歌名的概率均為，假設(shè)閆某峻、賈某軒兩名學生說出每首歌名都相互獨立、互不影響，現(xiàn)閆某峻、賈某軒從這8首歌中分別隨機抽取4首進行競猜（1）求閆某峻、賈某軒共答對3首歌名的概率；（2）從數(shù)學期望和方差的角度分析，應(yīng)選拔哪個學生代表高二（16）班參加紅五月活動？

參考答案1．【答案】D【詳解】.故選D.2．【答案】A【詳解】由題可知，每名同學都有3種選法，故不同的選購方式有種，經(jīng)檢驗只有A選項符合.故選A3．【答案】A【詳解】的展開式通項為，取，則，系數(shù)為.故選A4．【答案】C【詳解】以D作坐標原點，分別以DA，DC，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則，所以，設(shè)與所成的角的大小為，則.故選C5．【答案】B【分析】先求得和的值，然后利用條件概率計算公式，計算出所求的概率.【詳解】依題意,,故.故選B.6．【答案】C【詳解】當個位數(shù)為0時，有個，當個位數(shù)為2或4時，有個，所以無重復數(shù)字的四位偶數(shù)有24+36=60個，故選C.7．【答案】C【詳解】因為，所以，所以在上投影的長度為，所以點到直線的距離為.故選C8．【答案】B【詳解】解：，，，，所以，故選B9．【答案】BC【詳解】由題意，先排男生，再插入女生，可得選項B正確，或用減法，先進行全排列再減去女生相鄰的情況，可得選項C正確．【詳解】由題意，可先排男生，再插入女生，可得兩名女生不相鄰的排法共有，故B正確；也可先進行全排列，則2名女生相鄰情況為，則2名女生不相鄰的排法有，故C正確；故選BC.10．【答案】BD【詳解】對于選項，在中，令，可得，所以選項錯誤.對于選項，令，則，即.由選項可知，所以，選項正確.對于選項，因為為偶數(shù)，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，當為偶數(shù)時，中間一項（即第項）的二項式系數(shù)最大，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項是第項，選項錯誤.對于選項，二項式展開式的通項公式為.當時，；當時，.因為，即，選項正確.故選BD.11．【答案】ABD【詳解】對于A，的面積是定值，，平面，平面，∴平面，故到平面的距離為定值，∴三棱錐的體積是定值，即三棱錐的體積不變，故A正確；對于B，由選項A知，平面，同理平面，而，平面，∴平面平面，平面，平面，故B正確；對于C，以為原點，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為2，P在上，故可設(shè)，則，，，則不一定為0，和不垂直，故C錯誤；對于D，設(shè)，則，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，.∴平面和平面垂直，故D正確.故選ABD.12．【答案】6或8【詳解】因為，所以或，其中，解得或，經(jīng)檢驗符合題意.13．【答案】2【詳解】因為又能被9整除，所以被9除所得的余數(shù)為2，14．【答案】1560【詳解】因每個大門至少分配1個志愿服務(wù)小組，每個志愿服務(wù)小組只能在1個大門進行服務(wù)，故有兩種分配方案：第一種“”方案：先從6個志愿服務(wù)小組選取3個小組為一大組與另外的三個小組分成4組，到4個大門進行服務(wù)，共有方法種數(shù)為；第二種“”方案，依次從6個志愿服務(wù)小組選取2個，2個，1個，1個到4個大門進行服務(wù)，共有方法種數(shù)為，由分類加法計數(shù)原理，不同的分配方法種數(shù)為.15．【答案】(1)-10(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標運算律,即可求解.（2）根據(jù)空間向量的夾角公式,代入求解.（3）由,轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0即可.【詳解】（1）；（2）；（3）當時，，得，，或.16．【答案】（1）64；（2）128；（3）51.【詳解】（1）利用分步原理可得從甲、乙兩組中各選1人擔任組長，共有種不同的選法；（2）先選后排，可得從甲、乙兩組中各選1人擔任正副班長有種不同的選法；（3）先分類再分步：第一類：甲組1男生：，第二類：乙組1男生：，則選出的4人中恰有1名男生的不同選法共有51種.17．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）（2）（3）設(shè)正方體棱長為2，建立如圖所示空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得；【詳解】（1）設(shè)正方體棱長為2，如圖建立空間直角坐標系.，又，，，，，即，，又，面，面，是平面的法向量.（2），，，又由（1）知平面的法向量，設(shè)與所成的角為，，，則，即與平面所成角的余弦值是.（3）在正方體中，面，是面的法向量，又，，由圖可知二面角為銳二面角，設(shè)為，，則二面角平面角的正弦值為.18．【答案】（1），（2）（3）【詳解】（1）選擇①：，即，即，即，解得或（舍去）.選擇②：，即，解得.展開式中二項式系數(shù)最大的項為第5項和第6項，，.（2）展開式的通項為，令，得，所以展開式中常數(shù)項為第7項，常數(shù)項為；（3）由展開式的通項為，假設(shè)第項系數(shù)最大，則，解得，且，所以，即系數(shù)最大項為.19．【答案】（1）（2）見解析【詳解】（1）設(shè)閆某峻、賈某軒答對的題數(shù)分別為,則可能為2，3，4，則,由題意知，賈某軒答對的題