專題8.5空間直線、平面的平行【八大題型】

【人教A版(2019)]

A題型梳理

【題型1證明線線平行】.......................................................................3

【題型2直線與平面平行的判定】..............................................................6

【題型3平面與平面平行的判定】..............................................................10

【題型4由線面平行的性質(zhì)判定線線平行】.....................................................15

【題型5由線面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點(diǎn)所在的位置】......................................18

【題型6由線面平行求線段長(zhǎng)度】.............................................................22

【題型7面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用】...........................................................26

【題型8平行問(wèn)題的綜合應(yīng)用】...............................................................29

A舉一反三

【知識(shí)點(diǎn)1空間中的平行關(guān)系】

i.直線與直線平行

(1)基本事實(shí)4

①自然語(yǔ)言：平行于同一條直線的兩條直線平行.

②符號(hào)語(yǔ)言：。，4c是三條不同的直線，若。〃6,b//c,則?！╟.

③作用：判斷或證明空間中兩條直線平行.

(2)空間等角定理

①自然語(yǔ)言：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

②符號(hào)語(yǔ)言：如圖(1)(2)所示，在N/03與方中，OA//O'A',OB//O'B',則

或/4。8+/4。'8'=180°.

(1)判定定理

①自然語(yǔ)言

如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.

②圖形語(yǔ)言

a

③符號(hào)語(yǔ)言

a，a,&Ua且a//b令a//a.

該定理可簡(jiǎn)記為“若線線平行，則線面平行”.

(2)性質(zhì)定理

①自然語(yǔ)言

一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.

②圖形語(yǔ)言

③符號(hào)語(yǔ)言

aIIa,aU(3,aC\/3=b=>a//b.

該定理可簡(jiǎn)記為“若線面平行，則線線平行”.

(3)性質(zhì)定理的作用

①作為證明線線平行的依據(jù).當(dāng)證明線線平行時(shí)，可以證明其中一條直線平行于一個(gè)平面，另一條直線

是過(guò)第一條直線的平面與已知平面的交線，從而得到兩條直線平行.

②作為畫一條與已知直線平行的直線的依據(jù).如果一條直線平行于一個(gè)平面，要在平面內(nèi)畫一條直線與

已知直線平行，可以過(guò)已知直線作一個(gè)平面與已知平面相交，交線就是所要畫的直線.

3.平面與平面平行

(1)判定定理

①自然語(yǔ)言

如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行.

②圖形語(yǔ)言

③符號(hào)語(yǔ)售

aUa,bUa,aCib—P,aH(3,bH[3=>a///3.

該定理可簡(jiǎn)記為“若線面平行，則面面平行”.

(2)判定定理的推論

①自然語(yǔ)言

如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個(gè)平面平行.

②圖形語(yǔ)言

③符號(hào)語(yǔ)言

aCa,bUa,aC\b=P,a'(Z(3,，U/3,a'Cib'=P',a//a',b//b'aII)3.

(3)性質(zhì)定理

①自然語(yǔ)言

兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行.

②圖形語(yǔ)言

a/I/3,aC\y=a,(3C\^=b=>aHb.

該定理可簡(jiǎn)記為“若面面平行，則線線平行”.

(4)兩個(gè)平面平行的其他性質(zhì)

①兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個(gè)平面.

②平行直線被兩個(gè)平行平面所截的線段長(zhǎng)度相等.

③經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.

④兩條直線同時(shí)被三個(gè)平行平面所截，截得的線段對(duì)應(yīng)成比例.

⑤如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行.

【注】

1.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若ala,a邛,則a//￡.

2.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若a/勿，pily,則a//y.

3.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若ala,61a,則a//6.

4.若a//￡,aUa,則a/勿.

【題型1證明線線平行】

【例1】(24-25高一下?全國(guó)?課后作業(yè))若乙4OB=2i0Bi，且。4〃。山,。4與。遇i方向相同，則下列

結(jié)論正確的是()

A.OB〃O/i且方向相同B.OB"?；?方向可能不同

C.0B與0道1不平行D.。8與0中1不一定平行

【解題思路】依題意畫出圖形，即可判斷.

【解答過(guò)程】如圖,

Z-AOB—Z-A-yO-[B10A]10\A\,。4與。的方向相同，

但是0B與0B1不平行，

如圖，zX0B=Zi4101F1,。4//。141，。4與。p4i的方向相同,

故。8與01%不一定平行，故D正確.

故選：D.

【變式1-1]（24-25高一下?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖所示，在長(zhǎng)方體NG中，E,尸分別是為。和C/。的中點(diǎn),

則長(zhǎng)方體的各棱中與斯平行的有（）

C.5條D.6條

【解題思路】由瓦廠分別是為。，。。的中點(diǎn)，故斯忸/G，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征，即可求解.

【解答過(guò)程】由于￡,尸分別是SO,C/O的中點(diǎn)，故跖|山/C”

因?yàn)榕c棱為G平行的棱還有3條：AD,BC,AQ],所以共有4條.

故選：B.

【變式1-2］（24-25高一?全國(guó)?課后作業(yè)）在正方體4BCD—/向。。中，E,尸分別是側(cè)面?zhèn)让?/p>

的中心，G,〃分別是線段48,5c的中點(diǎn)，則直線即與直線G8的位置關(guān)系是（）

A.相交B.異面C.平行D.垂直

【解題思路】連接CD?ZC,根據(jù)E,尸分別為C。/的中點(diǎn)，由三角形的中位線定理和平行關(guān)

系的傳遞性判斷.

【解答過(guò)程】如圖，

連接40“CD”AC,

因?yàn)椤?F分別為CD/的中點(diǎn)，

由三角形的中位線定理知MII/C,GHUC,

所以￡GG〃.

故選：C.

【變式1-3］（24-25高一?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，在正方體4BCD-公揚(yáng)的小中，直線Iu平面4tBic1%,

且直線1與直線/J不平行，則下列一定不可能的是（）

A./與40平行B./與40不平行C./與/C平行D./與AD平行

【解題思路】假設(shè)/〃4。，通過(guò)平行線的傳遞性推出與題中條件相反的結(jié)論來(lái)說(shuō)明直線/與直線4。一定不平

行；當(dāng)/與4的平行時(shí)，選項(xiàng)C正確；當(dāng)/與當(dāng)。1平行時(shí)，選項(xiàng)D正確.

【解答過(guò)程】假設(shè)1//4D,則由4D〃BC〃BiCi，知〃

這與直線Z與直線&C1不平行矛盾，

所以直線］與直線4。不平行.

故選：A.

【題型2直線與平面平行的判定】

【例2】（24-25高一?全國(guó)?課后作業(yè)）已知平行六面體48。。-4/1的。1，則下面四條直線中與平面48忑

平行的是（）

A.DBiB.A1D1C.C1D1D.ArD

【解題思路】作出平行六面體，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得出結(jié)果.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,因?yàn)槠矫?BiC=8i，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,假設(shè)為小〃平面力BiC,

因?yàn)樵谄叫辛骟wABCD-4聲道1。1中，A^DJ/AD,

又4DC平面4&C,所以4?！ㄆ矫骘@然不成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,與選項(xiàng)B同理可證的小不滿足題意，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,在平行六面體438—412母必中，418J/DC且=DC,

所以四邊形是平行四邊形，則A1￡?〃B1C,

又4道，平面ZBiC,BiCu平面力Bj,C,所以力道〃平面4B1C,故D正確.

故選：D.

【變式2-1］（2025高一?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)/,B,C,M,N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則

下列各圖中，不滿足直線MN〃平面4BC的是（）

【解題思路】對(duì)于A,根據(jù)MN〃4C結(jié)合線面平行的判斷定理即可判斷；對(duì)于B,根據(jù)結(jié)合線面平行

的判斷定理即可判斷；對(duì)于C,根據(jù)MN〃8D,結(jié)合線面平行的判斷定理即可判斷；對(duì)于D,根據(jù)四邊形2MN8

是等腰梯形，與MN所在的直線相交，即可判斷.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,如下圖所示，

易得AC"EFMN"EF,

則MN〃/1C,

又MNC平面ABC/Cu平面

則MN〃平面力BC,故A滿足；

E為所在棱的中點(diǎn)，連接E4E&EB,

易得4E=BC.AE//BC,

則四邊形48CE為平行四邊形，

4BCE四點(diǎn)共面，

又易知MN〃BE,

u平面4BC,

則MN〃平面力BC,故B滿足；

對(duì)于C,如下圖所示,

點(diǎn)。為所在棱的中點(diǎn)，連接04DGDB,

易得四邊形為平行四邊形，四點(diǎn)共面,

且MN//BD,

又MNC平面u平面48C,

則MN〃平面ABC,故C滿足；

對(duì)于D,連接4M,BN,

由條件及正方體的性質(zhì)可知四邊形4MNB是等腰梯形,

所以48與MN所在的直線相交，

故不能推出“N與平面ABC不平行，故D不滿足，

故選：D.

【變式2-2](23-24高一下?廣東茂名?階段練習(xí))如圖，正四棱臺(tái)力BCD-&B1C1D1中，上底面邊長(zhǎng)為2vL

下底面邊長(zhǎng)為4vzE為CCi的中點(diǎn)，側(cè)棱長(zhǎng)為3.

(1)證明：4的〃平面BDE；

(2)求該正四棱臺(tái)的表面積.

【解題思路】(1)利用中位線性質(zhì)以及線面平行的判定定理即可證明出結(jié)論；

(2)由正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別求得上下底面面積以及側(cè)面面積即可得出表面積.

【解答過(guò)程】(1)連結(jié)4C,交BD于點(diǎn)。，連結(jié)。E.

在正四棱臺(tái)4BC0—中，底面4BCD為正方形，所以。為4C中點(diǎn),

又為CG的中點(diǎn),

???0E||XCi

又。Eu平面BDE,aC*平面BDE,

???〃平面BDE.

(2)由已知，梯形中，A\B、=2四,AB=4五,221=3,

過(guò)41作交48于點(diǎn)M,

22

???AM=V2,ArM=y/A1A—AM=V7,

所以梯形488遇1的面積為SABBMI=1+AB)-ArM(2五+4偽xV7=3m

???正四棱臺(tái)4BCD-A/iCiDi的表面積為：

22

S=SA1B1C1D1+SABCD+4S4BBM1=(2V2)+(4V2)+4x3V14=40+12V14.

【變式2-3](23-24高一下?江蘇南通?階段練習(xí))如圖，四邊形4BCD是平行四邊形，點(diǎn)尸是平面4BCD外

(2)M是尸C的中點(diǎn)，在。M上取一點(diǎn)G,過(guò)G和/尸作平面交平面于"G,求證：AP//HG.

【解題思路】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證明即可;

（2）由線面平行的判定定理證明P4〃平面BDM,再由線面平行的性質(zhì)定理得證.

【解答過(guò)程】（1）因?yàn)樗倪呅?BCD是平行四邊形，所以

又BCC平面PAD,4Du平面PAD,

所以BC〃平面PAD

（2）連接4C,交BD于0,連接M。.

所以。是4C的中點(diǎn)，又因?yàn)槌跏荘C的中點(diǎn)，所以M0〃P4

又因?yàn)镸Ou平面BDM,P2C平面BDM,

所以，P4〃平面BDM.

又因?yàn)镻Au平面H4HG,平面PAHGCl平面8DM=GH,

所以，AP//GH.

【題型3平面與平面平行的判定】

【例3】（24-25高一?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，在正方體EFGH-EiFiGmi中，下列四對(duì)截面彼此平行的一對(duì)

是（）

A.平面EiFGi與平面EG”iB.平面F”Gi與平面尸1”道

C.平面與平面FHEiD.平面EiHGi與平面E/G

【解題思路】根據(jù)面面平行的判定定理進(jìn)行判斷即可.

【解答過(guò)程】如圖，

對(duì)于A：EG||E1G1,E”平面E1FG1，%Giu平面&FGi，

???EG〃平面E/Gi，又G/IIHiE,同理可證為E〃平面E^Gi，

又H[ECEG=E,HREGu平面EGHi，

平面￡\FGi〃平面EG"。因此A正確；

對(duì)于B："Gi,HiGu平面H1HGG1，且HG1與當(dāng)G相交，又HGiU平面FHGi，HiGu平面%為6,

故平面FHGi與平面Fi"iG不可能平行，因此B不正確；

對(duì)于C：平面FiHi”與平面FHEi有公共點(diǎn)H,故平面Fi"iH與平面FHEi不可能平行，因此C不正確；

對(duì)于D：平面片EHHi，且E/與相交，又E%u平面E/G,u平面/HGi，

故平面%HGi與平面E"iG不可能平行，因此D不正確；

故選：A.

【變式3-1]（23-24高一下?浙江溫州?階段練習(xí)）下列四個(gè)正方體中，4B,C為所在棱的中點(diǎn)，D,E,F

為正方體的三個(gè)頂點(diǎn)，則能得出平面4BC〃平面DEF的是（）

【解題思路】利用反證法可判斷A選項(xiàng)；利用面面平行的判定定理可判斷B選項(xiàng)；利用反證法結(jié)合面面平

行的性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用面面平行的判定和性質(zhì)定理、結(jié)合反證法可判斷D選項(xiàng).

【解答過(guò)程】對(duì)于A選項(xiàng)，若平面ABC〃平面DEF,BCu平面4BC,貝UBC〃平面DEF,

由圖可知BC與平面DEF相交，故平面4BC與平面DEF不平行，A不滿足條件；

對(duì)于B選項(xiàng)，如下圖所示，連接NG,

因?yàn)?、C分別為PN、PG的中點(diǎn)，貝i]4C〃NG,

在正方體EHDG-MFNP中，F(xiàn)N〃EG且FN=EG,

故四邊形EFNG為平行四邊形，所以，NG//EF,：.AC//EF,

???4"平面DEF,EFu平面DEF,〃平面DEF,

同理可證BC〃平面DEF,ACPiBC=C,因此，平面ABC〃平面DEF,B滿足條件;

對(duì)于C選項(xiàng)，如下圖所示：

在正方體PHDG-MNFE中，若平面4BC〃平面DEF,且平面DEF〃平面MNHP,

則平面ABC〃平面MNHP,但這與平面48C與平面MN”P相交矛盾,

因此，平面4BC與平面CEF不平行，C不滿足條件；

對(duì)于D選項(xiàng)，在正方體PDHG-FNEM中，連接PH、PM、MH,如下圖所示：

因?yàn)镈//〃FM且DH=FM,則四邊形DHMF為平行四邊形，貝

DFC平面PHM,MHu平面PHM,所以，DF〃平面P”M,

同理可證EF〃平面PHM,,；DFCEF=F,所以，平面DEF〃平面PHM,

若平面ABC〃平面DEF,則平面ABC〃平面PHM,

這與平面48c與平面PHM相交矛盾，故平面48C與平面DEF不平行，D不滿足條件.

故選：B.

【變式3-2]（23-24高一下?黑龍江雞西?期中）如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形,

點(diǎn)〃、N、。分別是P4BD、PD的中點(diǎn).求證：平面MNQ〃平面PBC.

P

【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合三角形的中位線定理可得MN//PC,NQ〃PB,則由線面平行的判定定理可

得MN〃平面PBC,NQ〃平面PBC,再利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論.

【解答過(guò)程】因?yàn)榈酌?BCD為平行四邊形，N為BD的中點(diǎn)，

所以N為4c的中點(diǎn)，

因?yàn)楹印?分別是P4、PD的中點(diǎn).，

所以MN//PC,NQ11PB,

因?yàn)镸N,NQC平面PBC,PB,PCu平面PBC,

所以MN〃平面PBC,NQ〃平面PBC,

因?yàn)镸NCNQ=N,MN,NQu平面MNQ,

所以平面MNQ〃平面PBC.

【變式3-3]（23-24高一下?山東臨沂?階段練習(xí)）如圖，四邊形力BCD與四邊形力DEF均為平行四邊形，M,

N,G分別是ZB,AD,EF的中點(diǎn).求證：

⑴BE〃平面DMF；

(2)平面BDE〃平面MNG.

【解題思路】(1)連接4E,利用三角形的中位線證明線線平行，然后由線面平行的判定定理證明即可;

(2)證明兩個(gè)線面平行，然后由面面平行的判定定理證明即可.

【解答過(guò)程】(1)如圖，連接4E,因?yàn)樗倪呅蜛DEF為平行四邊形，則4E必過(guò)DF與GN的交點(diǎn)。，

連接M0,則M。為△ABE的中位線，所以BE〃M。，

又BEU平面DMF,MOu平面OMF,

所以BE〃平面DMF.

(2)因?yàn)镹,G分別為平行四邊形ZDEF的邊力D,EF的中點(diǎn)，所以DE//NG,

又DEC平面MNG,NGu平面MNG,

所以DE〃平面MNG,

因?yàn)椤盀榱的中點(diǎn)，N為力D的中點(diǎn)，

所以MN為△ABZ)的中位線，

所以BD//MN,

又BDC平面MNG,MNu平面MNG,

所以B。〃平面MNG,

又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，

所以平面〃平面MNG.

【知識(shí)點(diǎn)2平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化及綜合應(yīng)用】

1.平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化及綜合應(yīng)用

(1)證明線線平行的常用方法

①利用線線平行的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行直線.

②利用基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

③利用三角形的中位線定理：三角形的中位線平行且等于底邊的一半.

④利用平行線分線段成比例定理.

⑤利用線面平行的性質(zhì)定理.

⑥利用面面平行的性質(zhì)定理.

⑦利用反證法：假設(shè)兩條直線不平行，然后推出矛盾，進(jìn)而得出兩條直線是平行的.

(2)證明線面平行的常用方法

①利用線面平行的定義：直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn).

②利用直線與平面平行的判定定理：aUa,a//b,bUa,則?！╝.使用定理時(shí)，一定要說(shuō)明“平面外

一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行"，若不注明，則證明過(guò)程不完整.因此，要證明?！╝,則必須在平面a

內(nèi)找一條直線6,使得?！?,從而達(dá)到證明的目的，這三個(gè)條件缺一不可.

③利用面面平行的性質(zhì)：若平面a〃平面￡,直線aUa,則。〃

④利用反證法.這時(shí)“平行”的否定有“在平面內(nèi)”和“與平面相交”兩種，只有在排除“直線在平面內(nèi)”和“直

線與平面相交”這兩種位置關(guān)系后才能得到“直線與平面平行”的結(jié)論，在這一點(diǎn)上往往容易出錯(cuò)，應(yīng)引起重

視.

(3)平面與平面平行的判定方法

①根據(jù)定義：證明兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，但有時(shí)直接證明非常困難.

②根據(jù)判定定理：要證明兩個(gè)平面平行，只需在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線，分別證明它們平行

于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行.

③根據(jù)判定定理的推論：在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交的直線分別與另一個(gè)平面內(nèi)兩條相交的直線平行,

則這兩個(gè)平面平行.

④根據(jù)平面平行的傳遞性：若兩個(gè)平面都平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行.

⑤利用反證法.

(4)平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化

常見(jiàn)的平行關(guān)系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種關(guān)系不是孤立的，而是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)

化的，如圖所示.

【題型4由線面平行的性質(zhì)判定線線平行】

【例4】(24-25高一下?河南洛陽(yáng)?階段練習(xí))如圖，四面體4BCD被一平面所截，截面EFHG是一個(gè)平行四

邊形.求證：CD//GH.

【解題思路】由線線平行得到線面平行，再由線面平行的性質(zhì)得到線線平行，證明出結(jié)論.

【解答過(guò)程】??,四邊形EFHG為平行四邊形，??.EF〃GH,

又GHu平面BCD,EFC平面BCD,

??.EF〃平面BCD.

而平面4CDC平面BCD=CD,EFu平面4CD,

:.EF//CD,.-.CD//GH.

【變式4-1］（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐P-2BCD的底面是菱形，4B=2,N84D=60。,

___________1

對(duì)角線交于點(diǎn)。,。1平面ABC。，平面a是過(guò)直線4B的一個(gè)平面，與棱PC,PC交于點(diǎn)E,F,且PE=1

4

【解題思路】利用線面平行的判定定理，得到CD〃平面a,再利用線面平行的性質(zhì)，即可證明結(jié)果.

【解答過(guò)程】證明：四棱錐P-48CD的底面是菱形，AB//CD,

又力Bu平面a,CDC平面a,貝〃平面a,

又平面aC平面PCD=EF,CDu平面PCD,

所以EF〃CD

【變式4-2］（24-25高一下?全國(guó)?課堂例題）如圖所示，己知P是口4BCD所在平面外一點(diǎn)，M,N分別是4B,PC

的中點(diǎn)，平面PBCC平面PAD=Z,貝ij：

（1/與BC是否平行？說(shuō)明理由；

（2）MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論.

【解題思路】(1)根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可求證，

(2)根據(jù)線面平行的判定即可求證.

【解答過(guò)程】(1)平行，理由如下：

因?yàn)樗倪呅?BCD為平行四邊形，所以BC〃/1D,

又8”^面P4。，4。u平面PAD,所以BC〃平面PAD.

又平面PBCC平面P2D=Z,BCu平面PBC,所以BC/兒

(2)平行.證明如下：如圖所示，

取PD的中點(diǎn)E,連接4E,NE,

故NE"DC,NE=^DC,5LAM//DC,AM=扣C

所以NE〃AM且NE=AM.

所以四邊形4MNE是平行四邊形，所以MN〃4E.

又ZEu平面PAD,M紡eQ2面P4D,

所以MN〃平面P4D.

【變式4-3](23-24高一下?廣東深圳?階段練習(xí))如圖，己知四棱錐S-ABCD中，底面4BCD是平行四邊形,

(1)若E為側(cè)棱SC的中點(diǎn).求證：S4〃平面ED8；

(2)若過(guò)的平面與SC交于點(diǎn)尸，求證：EF//DC；

【解題思路】(1)根據(jù)三角形中位線可得S4〃E0,即可由線面平行的判定求解,

(2)根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可求證.

【解答過(guò)程】(1)設(shè)力CCBD=。，連接AC,0E,因?yàn)?BCD是平行四邊形，故4。=0C,

又E為側(cè)棱SC的中點(diǎn)，故SA〃E。

又面EDB,EOc^EDB,

故S4〃平面EDB；

(2)由于皿/AB,C￡#午面ABE,4Bu平面4BE,

故。C〃平面ABE.

又CDu平面SCD,平面SCDn平面ABE=EF,

故CD〃EF

【題型5由線面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點(diǎn)所在的位置】

【例5】(23-24高一下?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí))在四棱錐P-力BCD中，底面4BCD為平行四邊形，￡為線段力。

上靠近/的三等分點(diǎn)，尸為線段PC上一點(diǎn)，當(dāng)P4〃平面EBF時(shí)，募=()

A.3B.4C.~D.-

34

【解題思路】根據(jù)線面平行性質(zhì)定理得出線線平行，再根據(jù)平行得出比例關(guān)系即可.

如圖，連接力c交BE于點(diǎn)G,連接FG

因?yàn)镻4//平面BEF,P4u平面P4C,平面PACn平面BEF=FG^V\PA//FG,

所以葛=第因?yàn)?D〃8&E為4。的三等分點(diǎn)，

絲=絲=工絲=工生=工

人」GCBC3'AC4U|PC4'

故選：D.

【變式5-1]（23-24高一下?江蘇無(wú)錫?期中）如圖，在三棱錐P—4BC中，點(diǎn)。，E分別為棱心，3c的中點(diǎn).

若點(diǎn)尸在線段NC上，且滿足力。II平面尸ER則會(huì)的值為（）

P

A.1B.2C.~D.-

【解題思路】連接CD,交PE于點(diǎn)G,連接尸G,由線面平行性質(zhì)證明力DIIFG,再利用重心性質(zhì)求解即可.

【解答過(guò)程】如圖，連接CO,交PE于點(diǎn)、G,連接尸G,

B

因?yàn)?01平面PER4。＜=平面/。。，^-^ADCn^PEF=FG,所以力D||FG,

因?yàn)辄c(diǎn)。，E分別為棱P8,BC的中點(diǎn)，所以G是aPBC的重心，所以黑=巖=].

rC（JCZ

故選：c.

【變式5-2]（23-24高一下?浙江?期中）如圖所求，四棱錐P—ABCD,底面4BCD為平行四邊形，F(xiàn)為P4的

中點(diǎn)，E為PB中點(diǎn).

p

(1)求證：PC〃平面BFD；

(2)已知M點(diǎn)在PC上滿足EC〃平面BFM,求麗的值.

【解題思路】(1)連結(jié)4C交BD于。，連結(jié)。F,通過(guò)證明尸C〃。尸，可證PC〃平面BFD；

(2)如圖連結(jié)FM交4D延長(zhǎng)線于G,連結(jié)BG交CD于N,連結(jié)EF,FN,PG,EN.

由EC〃平面可得N為8中點(diǎn)，后通過(guò)證明及V//ED〃8G,可得△FMD?△GMP,繼而可得答案.

【解答過(guò)程】(1)證明：連結(jié)4C交BD于0,連結(jié)。F,

因在△P4C中，尸為PA中點(diǎn)，。為AC中點(diǎn)，貝UPC〃尸O.

又PCC平面BFD,FOu平面BFD,故PC〃平面BFD；

(2)如圖連結(jié)尸M交AD延長(zhǎng)線于G,連結(jié)BG交CD于N,

連結(jié)EF,FN,PG,EN.

因EF〃CN,貝IJE,F,N,C四點(diǎn)共面.

又EC〃平面BFM,平面BFMCI平面EFNC=FN,

則EC〃FN,四邊形EFNC為平行四邊形，可得EF=CN=：CD0N為CD中點(diǎn).

則△BCN三△GDN,N為BG中點(diǎn).

即EN為中位線，則瓦V//PG,EN=|PG.

又EF=DN,EF//DN,則四邊形EECW為平行四邊形，EN//FD.

從而FD!IPG,△FMD-△GMP端=器=券=2.

【變式5-3］（24-25高三上?黑龍江牡丹江?期末）如圖，在正方體力BCD-48停1。1中，E,F,G分別是AB,"i

（1）證明:EG〃平面01&C；

（2）棱CD上是否存在點(diǎn)T,使277/平面JEF?若存在，求出防的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解題思路】（1）利用三角形中位線性質(zhì)和平行四邊形性質(zhì)可證得EG〃%Di，根據(jù)線面平行的判定可證

得結(jié)論；

（2）假設(shè)存在點(diǎn)T,延長(zhǎng)交于H,連接EH交DC于K,根據(jù)三角形中位線性質(zhì)可確定KC=%>C,利用

線面平行的性質(zhì)可證得四邊形4TKE為平行四邊形，由此可確定。7=；0C.

【解答過(guò)程】（1）連接BC,BiDi，CDi，

???E,G分別為2B/D中點(diǎn)，：.EG//BD,

■■BB1//DD1,BB1=DD1,二四邊形8皿當(dāng)為平行四邊形，：.BD//B1D1,

??EG]]B、D\,平面u平面D1B1C,

???EG〃平面D/iC

（2）假設(shè)在棱CD上存在點(diǎn)7,使得477/平面BiEF,

延長(zhǎng)交于H,連接EH交DC于K,

???CC//BB1，F(xiàn)為CCi中點(diǎn)，為中點(diǎn),

■■■CD//AB,.-.KC//AB,KC=^EB=^DC,

,??477/平面&EF,ATu平面4BCD,平面8向C平面ABCD=EK,

??.477/EK,又TK〃/IE,四邊形4TKE為平行四邊形，：.TK=AE=^DC,

；.DT=KC=：DC；

r）T1

.?.當(dāng)林=；時(shí)，AT//平面BiEF.

UL,4-

【題型6由線面平行求線段長(zhǎng)度】

【例6】（24-25高一?全國(guó)?課后作業(yè)）已知正方體A。的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P是平面44山道的中心，點(diǎn)Q是平面

&&的。1的對(duì)角線Bi%上一點(diǎn)，且PQ||平面A41&8,則線段PQ的長(zhǎng)為（）

C.V2D.李

【解題思路】利用線面平行的性質(zhì)定理及三角形的中位線定理，結(jié)合勾股定理即可求解.

【解答過(guò)程】連接4小，ABlt貝必小過(guò)點(diǎn)P.如圖所示

”QII平面4418$,平面/8必n平面44$18=481，P、(=平面/81。1，

???PQ11/81，-D1P=PA,

■■PQ=%Bi=|x“2+12=當(dāng)

故選：B.

【變式6-1](24-25高三上?湖南湘潭?開(kāi)學(xué)考試)已知直三棱柱力BC-&&C1的側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)均為

1,M,N分別是棱BC,A1B1上的點(diǎn)，且CM=2B]N=2,當(dāng)MN//平面44傳道時(shí)，A的值為

()

A-Q

A.4力n.-3L.12Dr?)-3

【解題思路】過(guò)N作NP〃&Ci交&Ci于尸，利用線面平行的性質(zhì)可得MN〃CP,進(jìn)而可得四邊形MNPC為

平行四邊形，NP=1-=X=CM,即得.

【解答過(guò)程】過(guò)N作NP〃BiQ交&Ci于P,連接CP,

因?yàn)镸C”B\Ci，：.NP“MC,故N,P,M,C共面，

因?yàn)镸N〃平面44件停，平面MNPCCI平面441cle=CP,MNu平面MNPC,

所以MN〃CP,又NP〃MC,

.?.四邊形MNPC為平行四邊形，

又CM=2BiN=4,

.-.NP=1-9=4=CM,

所以4=*

故選：B.

【變式6-2](23-24高一下?新疆省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí))如圖，在正方體ABC。-&B1C1D1中,

AB=2,尸為的中點(diǎn)，點(diǎn)E為CD的動(dòng)點(diǎn).若EF〃平面ABiC,求線段EF的長(zhǎng)度.

【解題思路】根據(jù)線面平行得出線線平行，再結(jié)合中點(diǎn)得出線段長(zhǎng)度即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)镋F〃平面4&C,

EFu平面力BCD,平面4BCDn平面48道=AC,

所以EF〃4C,

又因?yàn)槭瑸榈闹悬c(diǎn)，所以E是CD的中點(diǎn)，

\EF\=+BC2=Tx2V2=V2.

【變式6-3](23-24高一下?浙江杭州?期中)如圖所示，正方體ABC?！?BCD的棱長(zhǎng)為2￡F分別為4B田

C'的中點(diǎn)，點(diǎn)G滿足/G=4夕B.

(1)若"3,證明：EG〃平面D2C；

(2)連接8D,點(diǎn)M在線段BD上，且滿足〃平面EFG.當(dāng)時(shí)，求ZTM長(zhǎng)度的取值范圍.

【解題思路】(1)連接4B,依題意可得G為的中點(diǎn)，從而得到EG〃4B,再由正方體的性質(zhì)得到4B//。

C,從而得到EG〃D￡,即可得證；

(2)求出2=3和4=1時(shí)。M的長(zhǎng)度，即可得到D'M的取值范圍.

【解答過(guò)程】(1)連接4B,

因?yàn)镋為的中點(diǎn)，當(dāng)2時(shí)秀=

所以G為B所的中點(diǎn)，所以EG〃4B,

又40〃BC且=BC,所以四邊形4DCB為平行四邊形，

所以故EG"DC,

又EGC平面DSC,D￡u平面DSC,所以EG〃平面DSC；

1

(2)當(dāng)4=5時(shí)G為BB，的中點(diǎn)，連接夕。交EF于點(diǎn)H,連接HG,

1，2,

連接4。交8D于點(diǎn)。取BD的中點(diǎn)。連接BO.D'O2,

因?yàn)镋,尸分別為AEBC的中點(diǎn)，所以EF〃4。,

則H為901的中點(diǎn)，所以HG〃B0i，

又8。2〃￡>'。1且8。2=。'。1，所以。28￡>'。1為平行四邊形，

所以BO"/。。？，故GM//。。，

又Q'M//平面EFG,平面D'DBB'C平面EFG=GH,D'Mu平面

所以DM〃GH,所以M和。2重合，

又BD=-22+22=2V2,此時(shí)。M=.22+(V2)2=V6,

D'

當(dāng)；1=1時(shí)G與B點(diǎn)重合，在DB上取點(diǎn)M使得而=那，連接。M,

由前述說(shuō)明可知H為夕。1的中點(diǎn)，則。歸=/Z9,

又BM=：DB,所以D77=BM,y.D'B'//BD,

所以四邊形D'HBM為平行四邊形，所以

又H8u平面EFG,D'MC平面EFG,所以ZTM//平面EFG,

所以DM=j22+（￥）2=乎，

綜上可得當(dāng)姓卜,1］時(shí)，求。M長(zhǎng)度的取值范圍為殍，聞.

【題型7面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用】

【例7】（2024高一下?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，直四棱柱28CD—4/傳1。1被平面a所截，截面為CDEF,且

EF=DC,DC=22D=44iE=2.證明：AD//BC.

【解題思路】由面面平行的性質(zhì)定理可證明EF〃CD,再由平行的傳遞性即可證明.

【解答過(guò)程】在直四棱柱4BCD-41B1C1D1中，平面力BCD〃平面久歷的外，

平面力BCDCa=CD,平面AiBiCiDiCla=EF,貝UEF//CD,

而Ci。"/。。且Ci￡）i=CD,又EF=CD,因此“（“EF且。必=EF,

則四邊形EFQDi是平行四邊形，所以&Di〃BiCi，

又A[D]〃AD,BC//&G，所以4D〃BC.

【變式7-1]（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱4BC-4/心中，D￡F分別為棱BC,BBi,CQ的

中點(diǎn).證明：&F〃平面力DE.

【解題思路】根據(jù)題意可證MF〃平面4DE,占M〃平面4DE,可得平面4MF〃平面4DE,結(jié)合面面平行的

性質(zhì)分析證明即可得.

【解答過(guò)程】如圖,取比3的中點(diǎn)M,連接

因?yàn)镸尸刀,E都是所在棱的中點(diǎn)，則MF〃BiC,DE/ZB^C,

所以MF//DE,且MFC平面4DE,DEu平面4DE,所以MF//平面4DE.

因?yàn)镸,。分別是/J和BC的中點(diǎn)，則MD=B1B,

可得MD〃/Mi，MD=44i，可知四邊形A&MD是平行四邊形，貝必。〃41”，

且41MU平面AOE,ADu平面4DE,所以ajW〃平面ADE,

且力iMCiMF=M,&MMFu平面4MF,

所以平面41MF〃平面4DE,

又因?yàn)?/u平面&MF,

所以&F〃平面4DE.

【變式7-2]（23-24高一下?廣東佛山?階段練習(xí)）如圖，在六面體4BCDEF中，DE//CF,四邊形4BCD是平

行四邊形，DE=2CF.

(1)證明：平面ADE〃平面BCF.

(2)若G是棱BC的中點(diǎn)，證明：AE//FG.

【解題思路】(1)根據(jù)給定條件，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)，利用線面平行、面面平行的判定推理即得.

(2)證明EF,4G的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交點(diǎn)重合，再利用面面平行的性質(zhì)推理即得.

【解答過(guò)程】(1)由口力BCD,得BC〃AD,而ZDu平面AED,BCC平面平面4ED,則BC〃平面力ED,

由DE//CF,CFC平面力ED,DEu平面4ED,得CF//平面AED,

又BCnCF=C,BC,CFu平面BCF,所以平面力DE〃平面BCF.

(2)延長(zhǎng)EF/G與DC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)。1,。2，

由OE〃CF,DE=2CF,^CO1=CD,由G是棱BC的中點(diǎn)，^CO2=CD,

因此點(diǎn)。1，。2重合，記為。，顯然平面AOEn平面4ED=4E,平面力OEC平面BCF=FG,

由(1)知,平面4DE〃平面BCF,所以4E//FG.

【變式7-3](23-24高一下?黑龍江牡丹江?期中)已知四棱錐P—4BCD,底面4BCD為矩形，E,F,G分別

⑴平面EFG〃平面P4B；

（2）4P〃平面EFG.

【解題思路】（1）由線面平行的判定定理分別證明EF〃面P4B,EG〃平面P4B,進(jìn)而由面面平行的判定定

理即可得證；

（2）由面面平行的性質(zhì)即可得證.

【解答過(guò)程】（1）證明：因?yàn)镋,F,G分別是PC,PD,BC的中點(diǎn)，所以EF”CD,EG"PB,

又因?yàn)榈酌?BCD為矩形，所以所以

5LEF<tnPAB,ABu平面P4B,

所以EF〃面248.

又因?yàn)镋GU平面u平面P4B,

所以EG〃平面P4B.

因?yàn)镋FCEG=E,EF,EGu平面EFG,

所以平面EFG〃平面P4B.

（2）證明：因?yàn)锳Pu平面P4B,平面EFG〃平面P4B,

所以4P〃平面EFG.

【題型8平行問(wèn)題的綜合應(yīng)用】

【例8】（2024?四川遂寧?模擬預(yù)測(cè)）在正方體A8CD-48停1。1中，下列結(jié)論正確的是（）

①ADJ/BCi；

②平面〃平面8。的；

③力。1〃。的；

④力小〃平面BDQ.

A.①②④B,①②③C.②③④D.①③④

【解題思路】根據(jù)正方體的性質(zhì)、線面平行的判定定理及面面平行的判定定理證明即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)?B〃GDi，XB=C1￡>1,所以四邊形ZDiCiB為平行四邊形，故4小〃80,故①正確；

易證ABJ/DCr，8Du平面BDQ,當(dāng)。母平面所以/%//平面同理可得4B"/

平面BDCi，

nB1D1=Bi，ZBLDiu平面281小，故平面^^小〃平面8。的，故②正確；

由正方體2BC0-2/傳1。1易知，力/與DC1異面，故③錯(cuò)誤；

因?yàn)榱//BQ,力D仔平面BDQ,BCiU平面BDCi，所以2%〃平面BDC。故④正確.

故選：A.

【變式8-1］（2024?新疆?一■模）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-AiBiCiDi中，設(shè)=黑=氏2,則下列說(shuō)

法錯(cuò)誤的是（）

A.BDJ/GH

B.BD與EF異面

C.EH〃平面4BCD