第十八章章末高效復習

XL/

定義

具有平行四邊形的所有演

兩組對邊分別平行的四邊形

四個角是直角性質(zhì)定義

矩

對角線相等

形

對邊平行且相等

定義

對角線相等的平行四邊形］判定對角相等

性質(zhì)

有三個角是直角的四邊形.對角線互相平分

定義

具有平行四邊形的所有性質(zhì)定義_______________________

平兩組對邊分別相等的四邊形一

特殊

四條邊相等行

的平

對角線互相垂直，并且每一,場四一組對邊平行且相等的四邊夜

菱行四判定

邊

邊形

條對角線平分一組對角形形、兩組對角分別相等的四邊形

,對角線互相平分的四邊形

定義

對角線互相垂直的平行四邊形判定

四條邊相等的四邊形，

三角形的中位線定理：三角形的

中位線平行于三角形的第三邊，

定義并且等于第三邊的一半

具有菱形和矩形的所有礪性質(zhì)GE直角三角形斜邊上的中線等于斜

---------------------------------------方幾個邊的一半

判定匪

—重要

定理兩條平行線之間的距離：兩條平

行線中，一條直線上任意一點到

另一條直線的距離

—圖埋真題搶零一

維度1基本概念、基礎知識的簡單應用

1（2023.株洲中考）一技術人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸.如圖

所示，已知NAC5=90。,點D為邊AB的中點，點A,B對應的刻度分別為1,7,則

CD=(B)

c

A.3.5cmB.3cmC.4.5cmD.6cm

解:由題圖可得,NAC5=90。5A與=7-1=6點D為線段AB的中點,CD=AB=3cm.

2(2023?自貢中考)如圖,邊長為3的正方形OBCD兩邊與坐標軸正半軸重合，點C

的坐標是(C)

A.(3,-3)B.(-3,3)C.(3,3)D.(-3,-3)

解:,/正方形的邊長為3,DC=BC=3,DC與BC分別垂直于y軸和％軸，

,**點C在第象限,點C的坐標為(3,3).

3(2023衡陽中考)如圖，在四邊形ABCD中，已知AZ)〃5c添加下列條件不能判定

四邊形山5。是平行四邊形的是(C)

B。

A.AD^BCB.AB//DC

C.AB^DCD.ZA=ZC

解:A.AZ)〃5GAz)=5。，因此由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，能判

定四邊形ABCD是平行四邊形，故A不符合題意；

B.AD〃5cA5〃。。,因此由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，能判定四

邊形ABCD是平行四邊形，故B不符合題意；

C.A5=D。，但AB和CD不一定平行,因此不能判定四邊形ABCD是平行四邊形,

故C符合題意；

D.因為AD//BC得到ZADB=ZCBD,又NA=NC,BD=DB,因此&ABD且△

CDRAAS),得到AD=C氏能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故D不符合題意.

4如圖,四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中錯誤的是（A）

BC

A.當AB=BC時，它是正方形

B.當時，它是菱形

C.當AC=BD時，它是矩形

D.當NA5O90。時，它是矩形

解:「四邊形ABCD是平行四邊形，

/.當AB=BC時，平行四邊形ABCD是菱形，但不一定是正方形，故選項A錯誤，符合

題意；

當AC±BD時，平行四邊形ABCD是菱形，故選項B正確,不符合題意；

當AC=BD時，平行四邊形ABCD是矩形，故選項C正確,不符合題意；

當NA5C=90。時，平行四邊形ABCD是矩形，故選項D正確,不符合題意.

（2023?上海中考）在四邊形ABCD中,40〃5cA5=CD下列說法能使四邊形ABCD

為矩形的是（C）

A.AB//CDB.AD^BC

C./A=/BD.ZA^ZD

解:A.丁A5〃

???四邊形ABCD是平行四邊形，由不能判定四邊形ABCD為矩形，故選項

A不符合題意；

B「；AD=BC,AD〃BC,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

由不能判定四邊形ABCD為矩形，故選項B不符合題意；

C.'：AD//BC,

：.ZA+ZB=180°,

/A=/B,

：.NA=NB=90。，

:.AB±AD,AB±BC,

.,.AB的長為AD與間的距離，

"：AB^CD,

：.CD±AD,CD±BC,

I.NC=NZ)=90。，

???四邊形ABCD是矩形，故選項C符合題意；

D.'：AD//BC,

：.ZA+180°,ZD+ZC=180°,

,?ZA=ZD,

Z.NB=NC,

由AB=CD,

不能判定四邊形ABCD為矩形，故選項D不符合題意.

5(2023.蘇州中考)如圖,在平面直角坐標系中，點A的坐標為(9,0),點C的坐標為

(0,3),以OA,OC為邊作矩形OABC動點、E,F分別從點O,B同時出發(fā),以每秒1個

單位長度的速度沿0Ale向終點A,。移動.當移動時間為4秒時,AC"的值為(D)

A.V10B.9V10C.15D.30

解:連接AC9

???四邊形。45。為矩形，

，5(9,3).

又?：0E=BF=4,

：.E(4,0),F(5,3).

；.AC=7OC2+042=^32+92=3同,EF=J(5-4)2+32=”^,

AC-EF=3V1OXVTO=3O.

6（2023福建中考）如圖,在菱形A5C。中,45=10,/5=60。廁4。的長為10

解:?/四邊形ABCD是菱形,；.AB=BC,

'：ZB=60°,JAABC是等邊三角形，

：.AC^AB^10.

（2023.麗水中考）如圖,在菱形A5C。中25=1,/。45=60。,則AC的長為（D）

D

B

A-1B.1若D.V3

解:如圖，連接BD交AC于點O,

D

B

,/四邊形ABCD是菱形,/D45=60。，

111

OA=OC,ZBAO^ZDAB^30°AC±BD,：.ZAOB^90°,：.

22

OAZAB2-OB2=JI-Q）考，

.,.AC=2OA=V3.

7（2023?淮安模擬）在zVRC中,A5=5aC=41C=6,點D,E,F分別為邊ABAC,BC的

中點，則△。石尸的周長為

L---.

解:,點D,E,F分別是邊ABACBC的中點，

JDE,DF,EF^ABC的中位線，

1111115

DE=-BC=-x6=3,DF=-AC=-x4=2,EF=-AB=-x5=-,

2222222

515

CADEF=DE+DF+EF=3+2+\二.

22

8（2023?廣安中考）如圖，在四邊形ABCD中,AC與BD交于點O,BE±AC,DF±AC,

垂足分別為點石,下,且4/=CE,NA4C=NOCA求證:四邊形ABCD是平行四邊形.

BC

證明：?:AF=CE,:.AF-EF=CE-EF,

:.AE=CF,

,/ZBAC^ZDCA,：.AB//CD,

'/.BAE=Z.DCF

^±AABE與ACDF中,ZE=CF,

/AEB=乙CFD

：.^ABE^ACDF(ASA),:.AB^CD,

???四邊形ABCD是平行四邊形.

(2023.新疆建設兵團中考)如圖,A。和BC相交于點O,ZABO^ZDCO^9Q°,

OB=OC,點、E,F分別是AO,DO的中點.

⑴求證:OE=O尸；

(2)當NA=30。時,求證:四邊形BECF是矩形.

證明:(1)ZABO^ZDCO^90°,

：.AB//CD,：.NA=ND,

(/-A=乙D

在"05與△DOC中,卜43。=乙DCO,

OB=CO

：.AAOB^ADOC(AAS),

：.AO^DO,

.二點E,F分別是AO,DO的中點，

11

OE^-OA,OF^-OD,

22

：.OE=OF;

⑵?：OB=OCQE=OF,

???四邊形BECF是平行四邊形，

,?NA=30。，

1

OB^-OA^OE,

2

'：OE=OF,

1

OB^-EF,

2

：.NEB尸=90。，

???四邊形是矩形.

維度2平行四邊形及特殊的平行四邊形性質(zhì)與判定的綜合應用

9(2023.重慶中考A卷)如圖，在正方形ABCD中，點E,F分別在BC,CD上，連接

4石,4尸,石尸,/E4尸=45°.若254石=%貝」/FEC一定等于(A)

A.2aB.90°-2a

C.45°-aD.90°-a

解:在正方形ABCD中,AZ)=A尻

將△A。尸繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。,得A45G,如圖所示：

貝UAF=AG,/DAF=/BAG,

"：NEAF=45。,

：./BAE+/DAF=45。,

：.NGAE=/FAE=45。,

(AF=AG

在△旗E和ZkGAE中,zFAE=^GAE,

.AE=AE

；.AGAE名△FAE(SAS),

NAEF=/AEG,

,?NBAE=a,

：.ZAEB^90°-a,

NAEF=/AEB=90°-a,

Z.NFEC=180°-ZAEF-/AEB=180°-2x(90°-a)=2a.

1（2023.臨夏州中考）如圖，將矩形紙片ABCD對折，使邊AB與DC,BC與AD分別

重合，展開后得到四邊形EFGH.若45=2不。=4,則四邊形EFGH的面積為（B）

A.2B.4C.5D.6

解:如圖，設EG與FH交于點O,

???四邊形458為矩形,

AD//BC,AB//CD,NA=/B=/C=ZD=90°,

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得,NAGE=/BGE=9U°AG=BG,ZAFH=ZDFH=90°AF=DF,

：.AD//GE//BC,AB//FH//CD,

：.FH±GE,GE=BC=4,FH=AB=2,OF=OH,OG=OE,

???四邊形EFGH為菱形，

11

/.S菱形EFGH，GE.FH=%X2=4.

2（2023.宜昌中考）如圖，小宇將一張平行四邊形紙片折疊，使點A落在長邊。上的

點A處，并得到折痕。及小宇測得長邊8=8,則四邊形AE5C的周長為16.

解:四邊形ABCD是平行四邊形,

，AB//CD,/AED=ZA'DE,

由折疊得/ADE=ZA'DE,AD^A'D,AE^A'E,

：.ZADE^ZAED,

J.AD^AE,

：.AD^AE^A'D^A'E,

：.AB-AE^CD-A'D,

：.BE=AC

???四邊形A'EBC是平行四邊形,

?'?C四邊形AE8C=2(A'C+A'E)=2(A'C+A'Z))=2CD=16.

10(2023?陜西中考)如圖,在矩形ABCD中,A5=3]C=4.點E在邊AD上，且

ED=3,M,N分別是邊AB,BC上的動點，且BM=BN,P是線段CE上的動點，連接

尸〃,尸田若尸河+尸24.貝」線段尸。的長為2V2.

BNC

解:?:DE=AB=CD=3,

?0?ACDE是等腰直角三角形，

作點N關于EC的對稱點N；則N在直線CD上，連接尸如圖:

?：PM+PN=4,

.?.PM+PN'=4=5。，即MN'=4,

此時MP,N三點共線且MN'〃AD點P在MN的中點處,

:.PM=PN'=2,

:.PC=2fL

11（2023?揚州中考）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1,點E,F分別在邊AD,BC上,

將正方形沿著EF翻折，點B恰好落在CD邊上的點"處，如果四邊形ABFE與四

邊形EFCD的面積比為3：5,那么線段FC的長為怖

O-

解如圖，連接BB交EF于點G,過點F作FHLAD,

???已知正方形A5C。的邊長為1,四邊形AME與四邊形9的面積比為3：5,

?33

??S四邊形尸=［義

￡O1=O7

設0尸=%,貝UDH=x,BF=l-x,

13

S四邊形A8FE=—X(4E+BF)XA5=-,

28

gp|(AE+l-x)xl4

乙o

解得AE=U，

4

：.DE^l-AE^--x,

4

Z.EH=ED-HDQ-X-X=3-2X,

44

由折疊的性質(zhì)可得BB'LEF,

，N1+N2=NBG尸=90。，

,/N2+N3=90°,

.?.Z1=Z3,

又FH=BC=1,NEHF=ZC,

^EHF^AB'CB(ASA),

：

.EH^B'C^-4-2x,

在RtAB,FC中，用產(chǎn)=QG+C產(chǎn)，

解得％=|.

o

12(2023.懷化中考)如圖，矩形ABCD中，過對角線BD的中點0作BD的垂線EF,

分別交于點Ef

⑴證明:ABOF^AD0E-

(2)連接5EQR證明:四邊形EBFD是菱形.

證明：(1):四邊形ABCD是矩形,

：.AD//BC,

：.ZEDO^ZFBO,

???點。是的中點，

:.D0=B0,

又「ZEOD^ZFOB,

：.ASOF^ADOE(ASA);

(2)由⑴知ABOFmADOE,