蘇科版2025年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺專題-銳角三角函數(shù)

一'單選題

1.如圖，在矩形ABCD中，AB=8,BC=12,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接AE,將△ABE沿AE折

43

2.如圖，學(xué)校環(huán)保社成員想測(cè)量斜坡CD旁一棵樹AB的高度，他們先在點(diǎn)C處測(cè)得樹頂B的仰角

為60°,然后在坡頂D測(cè)得樹頂B的仰角為30°,已知斜坡CD的長(zhǎng)度為10m,DE的長(zhǎng)為5m,則樹

AB的高度是（）m.

B

A.10B.15C.15V3D.15V3-5

3.斜坡的傾斜角為a,一輛汽車沿這個(gè)斜坡前進(jìn)了500米，則它上升的高度是（）

A.500sina米B.曾米C.500cosa米D.剪米

sinacosa

4.如圖在一筆直的海岸線1上有相距3km的A,B兩個(gè)觀測(cè)站，B站在A站的正東方向上，從A站

測(cè)得船C在北偏東60。的方向上，從B站測(cè)得船C在北偏東30。的方向上，則船C到海岸線1的距離

是（）km

3373

A-2B.V3cD.2V3

5.一艘輪船在A處測(cè)得燈塔S在船的南偏東60。方向，輪船繼續(xù)向正東航行30海里后到達(dá)B處,

這時(shí)測(cè)得燈塔S在船的南偏西75。方向，則燈塔S離觀測(cè)點(diǎn)A、B的距離分別是()

d__________________

s

A.(15b一15)海里、15海里B.(15V3-15V2)海里、15海里

C.(15V3-15V2)海里、15V2海里D.(15V3-15)海里、15V2海里

6.如圖，一輛小車沿傾斜角為a的斜坡向上行駛13米，已知cosa=!|,則小車上升的高度是

()

A.5米B.6米C.6.5米D.12米

7.如圖，某社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組實(shí)地測(cè)量?jī)砂痘ハ嗥叫械囊欢魏拥膶挾?，在河的南岸邊點(diǎn)A處，測(cè)得

河的北岸邊點(diǎn)B在其北偏東45。方向，然后向西走60米到達(dá)C點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)B在點(diǎn)C的北偏東60。方

向，則這段河的寬度為()

A.60(V3+1)米B.30(V3+1)米

C.(90-30b)米D.30(遮-1)米

8.如圖，某輪船在點(diǎn)O處測(cè)得一個(gè)小島上的電視塔A在北偏西60。的方向，船向西航行20海里到

達(dá)B處，測(cè)得電視塔A在船的西北方向，若要輪船離電視塔最近，則還需向西航行()

北

東

A.10(V3+1)海里B.10(V3-1)海里

C.20(73+1)海里D.20(73-1)海里

9.如圖，一船以每小時(shí)36海里的速度向正北航行到A處，發(fā)現(xiàn)它的東北方向有一燈塔B,船繼續(xù)

向北航行40分鐘后到達(dá)C處，發(fā)現(xiàn)燈塔B在它的北偏東75。方向，則此時(shí)船與燈塔的距離為

A.24B.12V2C.12V6D.24V2

10.如圖，在下列網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A、B、O都在格點(diǎn)上，則NAOB的正弦值是

11.如圖，在△ABC中，AC±BC,NABC=30。，點(diǎn)D是CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且BD=BA,則

12.如圖，小東在同一平面上按照如下步驟進(jìn)行尺規(guī)作圖：

(1)作線段AB,分別以A,B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；

(2)以C為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作弧交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D；

(3)連接BD,BC.則下列說法中不正確的是()

B

A.ZABD=90°B.sin2A+cos2D=1

C.DB=V3ABD.點(diǎn)C是△ABD的外心

13.若銳角三角函數(shù)tan55o=a,則a的范圍是（）

A.0<a<lB.l<a<2C.2<a<3D.3<a<4

14.如圖，某高樓頂部有一信號(hào)發(fā)射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C兩點(diǎn)測(cè)得該塔頂端F的仰角

分別為45。和60。，矩形建筑物寬度AD=20m,高度DC=30m則信號(hào)發(fā)射塔頂端到地面的高度（即

C.（25V3+75）mD.（50+20V2）m

15.如圖，從坡上建筑物AB觀測(cè)坡底建筑物CD.從A點(diǎn)處測(cè)得C點(diǎn)的俯角為45。，從B點(diǎn)處測(cè)得

D點(diǎn)的俯角為30。.已知建筑物AB的高度為10m,AB與CD的水平距離是OD=15m,則CD的高

度為（）

A.(5V3-5)mB.(10V2-10)m

C.(10-5V2)mD.(10-5V3)m

二、填空題

16.如圖，小強(qiáng)在教學(xué)樓的點(diǎn)P處觀察對(duì)面的辦公大樓.為了測(cè)量點(diǎn)P到對(duì)面辦公大樓上部AD的距

離，小強(qiáng)測(cè)得辦公大樓頂部點(diǎn)A的仰角為45。，測(cè)得辦公大樓底部點(diǎn)B的俯角為60。.已知辦公大樓

高46m,CD=10m,則點(diǎn)P到AD的距離為m.（用含根號(hào)的式子表示）

17.位于湖北省荊州市濱江公園旁的萬壽寶塔始建于明熹靖年間，周邊風(fēng)景秀麗.隨著年代的增加，

目前塔底低于地面約7米.某校學(xué)生先在地面A處側(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0。，再向古塔方向行進(jìn)a米

后到達(dá)B處，在8處側(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5。（如圖所示），已知古塔的整體高度約為40米，那么a

的值為米.（結(jié)果保留根式）

18.如圖，已知點(diǎn)C處有一個(gè)高空探測(cè)氣球，從點(diǎn)C處測(cè)得水平地面上A、B兩點(diǎn)的俯角分別為30°

和45。，若AB=2km,則A、C兩點(diǎn)之間的距離為km。

19.如圖，在RtAABC中，NC=90。，AM是BC邊上的中線，sinZCAM=|,貝tan/B

20.如圖，在樓頂點(diǎn)A處觀察旗桿CD測(cè)得旗桿頂部C的仰角為30。，旗桿底部D的俯角為45。.

已知樓高AB=9m,則旗桿CD的高度為.（結(jié)果保留根號(hào)）

21.若乙4為銳角，當(dāng)tanA=*時(shí)，cosA=.

22.在△ABC中，ZC=90°,cosA=|,貝ljtanA等于.

23.如圖所示，某攔水大壩的橫斷面為梯形ABCD,AE,DF為梯形的高，其中迎水坡AB的坡角

a=45。，坡長(zhǎng)AB=10V2米，背水坡CD的坡度i=l：V3,則背水坡的坡長(zhǎng)CD為米.

24.如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測(cè)量得到如下數(shù)據(jù)：AM=4米，AB=8

米，NMAD=45。，ZMBC=30°,則警示牌的高CD為米（結(jié)果保留根號(hào)）.

□

湖7、

B

25.如圖是石景山當(dāng)代商場(chǎng)地下廣場(chǎng)到地面廣場(chǎng)的手扶電梯示意圖.其中AB、CD分別表示地下廣

場(chǎng)、地面廣場(chǎng)電梯口處的水平線.已知NABC=135。，BC的長(zhǎng)約是6&m,則乘電梯從點(diǎn)B到點(diǎn)C

上升的高度h是m.

三、解答題

26.如圖，某城市的一座古塔CD坐落在湖邊，數(shù)學(xué)老師帶領(lǐng)學(xué)生隔湖測(cè)量古塔CD的高度，在點(diǎn)A

處測(cè)得塔尖點(diǎn)D的仰角ZDAC為31。，沿射線AC方向前進(jìn)35米到達(dá)湖邊點(diǎn)B處，測(cè)得塔尖點(diǎn)D

在湖中的倒影E的俯角NCBE為45。，根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算這座燈塔的高度CD（結(jié)果精確到

0.1）.參考數(shù)據(jù)：sin31cM）.52,cos31%0.86,tan31。乜）.60.（結(jié)果精確到0.1）

0

27.某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，想利用所學(xué)的解直角三角形的知識(shí)測(cè)量

某塔的高度.他們先在點(diǎn)D用高1.5米的測(cè)角儀DA測(cè)得塔頂M的仰角為30。，然后沿DF方向前

行40m到達(dá)點(diǎn)E處，在E處測(cè)得塔頂M的仰角為60。.請(qǐng)根據(jù)他們的測(cè)量數(shù)據(jù)求此塔MF的高.

（結(jié)果精確0.1m,參考數(shù)據(jù)：V2=1.41,囪=1,73,V6=2.45）.

28.如圖，一艘船以每小時(shí)30海里的速度向北偏東75。方向航行，在點(diǎn)A處測(cè)得碼頭C的船的東

北方向，航行40分鐘后到達(dá)B處，這時(shí)碼頭C恰好在船的正北方向，在船不改變航向的情況

下，求出船在航行過程中與碼頭C的最近距離.（結(jié)果精確的0.1海里，參考數(shù)據(jù)V2?1.41,b,

1.73)

B

A

29.數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測(cè)量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如圖所示，炎帝塑像DE

在高55m的小山EC上，在A處測(cè)得塑像底部E的仰角為34。，再沿AC方向前進(jìn)21m到達(dá)B

處，測(cè)得塑像頂部D的仰角為60。，求炎帝塑像DE的高度.（精確到1m.參考數(shù)據(jù)：tan34%0.67,

tan60°=V3?1.73）

30.如圖，某高樓頂部有一信號(hào)發(fā)射塔，在矩形建筑物ABCD的4,C兩點(diǎn)測(cè)得該塔頂端E的仰

角分別為Za=48°和乙0-65°,矩形建筑物的寬度AD-18m,高度CD-30m,求信號(hào)發(fā)

射塔頂端到地面的距離EF.（結(jié)果精確到0.1m）

（參考數(shù)據(jù)：sin48°=0.7,cos48°~0.7,tan48°?1,L,sin6S°?0.9,cos65"=

31.小明想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量一公園門前熱氣球直徑的大小，如圖，當(dāng)熱氣球升到某一位置時(shí)，小

明在點(diǎn)A處測(cè)得熱氣球底部點(diǎn)C、中部點(diǎn)D的仰角分別為50。和60°,已知點(diǎn)O為熱氣球中心，

EAXAB,OB±AB,OB±OD,點(diǎn)C在OB上，AB=30m,且點(diǎn)E、A、B、O、D在同一平面內(nèi),

根據(jù)以上提供的信息，求熱氣球的直徑約為多少米？（精確到0.1m）

（參考數(shù)據(jù)：sin50cM）.7660,cos50°?0.6428,tan50°=1.192）

AR

32.如圖，小王在長(zhǎng)江邊某瞭望臺(tái)D處測(cè)得江面上的漁船A的俯角為40。，若DE=3米，CE=2

米，CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=l：0.75,坡長(zhǎng)BC=10米，則此時(shí)AB的長(zhǎng)約為多少

米？（結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：sin40°~0.64,cos40°~0.77,tan40°=0.84）

33.如圖，大樓AN上懸掛一條幅AB,小穎在坡面D處測(cè)得條幅頂部A的仰角為30。，沿坡面向下

走到坡腳E處，然后向大樓方向繼續(xù)行走10米來到C處，測(cè)得條幅的底部B的仰角為45。，此時(shí)小

穎距大樓底端N處20米.已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：V3（即tanNDEM=1：

V3）,且D、M、E、C、N、B、A在同一平面內(nèi)，M、E、C、N在同一條直線上，求條幅AB的長(zhǎng)

度（結(jié)果保留根號(hào)）.

J/ECN

34.如圖，蘭蘭站在河岸上的G點(diǎn)，看見河里有一只小船沿垂直于岸邊的方向劃過來，此時(shí)，測(cè)得

小船C的俯角是NFDC=30。，若蘭蘭的眼睛與地面的距離是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所

在的直線，迎水坡的坡度i=4：3,坡高BE=8米，求小船C到岸邊的距離CA的長(zhǎng).（參考數(shù)據(jù)：

V3”結(jié)果保留一位小數(shù)）

35.如圖，B位于A南偏西37。方向，港口C位于A南偏東35。方向，B位于C正西方向.輪船甲

從A出發(fā)沿正南方向行駛40海里到達(dá)點(diǎn)D處，此時(shí)輪船乙從B出發(fā)沿正東方向行駛20海里至E

處，E位于D南偏西45。方向.這時(shí)，E處距離港口C有多遠(yuǎn)？（參考數(shù)據(jù)：tan37%0.75,

tan35°~0.70）

36.已知，如圖，在坡頂A處的同一水平面上有一座古塔BC,數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在斜坡底P處測(cè)

得該塔的塔頂B的仰角為45。，然后他們沿著坡度為1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡頂A處又

測(cè)得該塔的塔頂B的仰角為76。.求：

坡頂A到地面PO的距離；古塔BC的高度（結(jié)果精確到1米）.

（參考數(shù)據(jù)：sin76o-0.97,cos76°~0.24,tan76°?4.01）

37.共享單車為大眾出行提供了方便，如圖為單車實(shí)物圖，如圖為單車示意圖，AB與地面平行，點(diǎn)

A、B、D共線，點(diǎn)D、F、G共線，坐墊C可沿射線BE方向調(diào)節(jié).已知，ZABE=70°,

ZEAB=45°,車輪半徑為0.3m,BE=0.4m.小明體驗(yàn)后覺得當(dāng)坐墊C離地面高度為0.9m時(shí)騎著比較

舒適，求此時(shí)CE的長(zhǎng).（結(jié)果精確到1cm）參考數(shù)據(jù)：sin70.~0.94,cos70~0.34,tan70.~2.75,V2

=1.41

圖102

38.如圖，山坡AB的坡度i=l：V3，AB=10米，AE=15米.在高樓的頂端豎立一塊倒計(jì)時(shí)牌

CD,在點(diǎn)B處測(cè)量計(jì)時(shí)牌的頂端C的仰角是45。，在點(diǎn)A處測(cè)量計(jì)時(shí)牌的底端D的仰角是60。，求

這塊倒計(jì)時(shí)牌CD的高度.（測(cè)角器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：V2?1.414,

V3-1.732）

39.如圖，在電線桿CD上的C處引拉線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面所成的角

ZCED=60°,在離電線桿6m的B處安置高為1.5m的測(cè)角儀AB,在A處測(cè)得電線桿上C處的仰角

為30。，求拉線CE的長(zhǎng).（結(jié)果保留根號(hào)）

40.如圖，某人在山坡坡腳A處測(cè)得電視塔尖點(diǎn)C的仰角為60。，沿山坡向上走到P處再測(cè)得點(diǎn)C

的仰角為45。，已知OA=100米，山坡坡度=1：2,且O、A、B在同一條直線上.求電視塔OC的高

度以及此人所在位置P的鉛直高度PB.（測(cè)傾器高度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)形式）

答案解析部分

L【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】D

10.【答案】D

11.【答案】A

12.【答案】B

13.【答案】B

14.【答案】C

15.【答案】A

16.【答案】（18四-8）

17.【答案】33國-33

18.【答案】2V3+2

19.【答案】|

20.【答案】9+3V3

21.【答案】:

22.【答案】1

23.【答案】20

24.【答案】4V3-4

25.【答案】6

26.【答案】解：設(shè)CD=xm,則CE=xm,

VZCBE=45°,ZECB=90°,

.*.BC=xm,

貝I」AC=(35+x)m,

在RtAACD中，tanZA=空

解得：x=52.5,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=52.5是原方程的根，

：.CD=52.5（米）

答：這座燈塔的高度CD為52.5米.

27.【答案】解：由題意：AB=40,CF=1.5,AMAC=30°,乙MBC=60°,

AAMB=30°

AAMB=^MAB

AB=MB=40,

在RtABCM中，

■:乙MCB=90°,AMBC=60°,

???乙BMC=30°.

BC==20,

?1-MC=7MB2-BC?=20V3，

MCx34.64,

MF=CF+CM=36.14?36.1.

28.【答案】解：過點(diǎn)C作CE±AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BD±AC于點(diǎn)D,

北

N十

C

由題意可知：船在航行過程中與碼頭C的最近距離是CE,AB=30x=20,

?/ZNAC=45°,ZNAB=75°,/.ZDAB=30°,/.BD=|AB=10,

由勾股定理可知：AD=10V3

VBC/7AN,.*.ZBCD=45°,.\CD=BD=10,，AC=10V3+10

VZDAB=30°,；.CE=|AC=5V3+5-13.7

答:船在航行過程中與碼頭C的最近距離是13.7海里

29.【答案】解：ZACE=90°,ZCAE=34°,CE=55m,

CE

；.AC=55-82.1m,

tan340Z7

VAB=21m,

???BC=AC-AB=61.1m,

在Rtz\BCD中，tan60°=黑=百

???CD=V3BC-1.73x61.1^105.7m,

ADE=CD-EC=105.7-55-51m,

答：炎帝塑像DE的高度約為51m.

30.【答案】解：過點(diǎn)4作AG1EF垂足為G.設(shè)EF為久米,

由題意可知：四邊形CDGF是矩形,則FG=CD=30m,DG=CF

???GE=%—30.

在RtAAEG中，AAGE=90\

4c。EG

■:tCLTl4O=，

x-30

a1.1

%-30

.--AGTF

在RtACEF中,乙CFE=90°,乙ECF=65°

「IEF

■:tCLTlOD=，

X1

???麗《2Q.1,

x

rCuFF

VDG=CF,

??.AG=CF+AD,

%—30%

TT=+18

x=104.58?104.6,

答：信號(hào)發(fā)射塔頂端到地面的距離EF為104.6米.

31.【答案】解:如圖，

過E點(diǎn)作EFLOB于F,過D點(diǎn)作DGLEF于G.

在RtACEF中，CF=EF?tan50°=AB?tan50°=35.76m,

在RtADEG中，DG=EG?tan6(T=43EG,

設(shè)熱氣球的直徑為x米，則

35.76+jx=73(30-jx),

解得311.9.

故熱氣球的直徑約為H.9米.

32.【答案】解：如圖，延長(zhǎng)DE交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,作CQ_LAP于點(diǎn)Q,

ADPXAP,

二四邊形CEPQ為矩形，

；.CE=PQ=2（米），CQ=PE,

=CQ_1_4

?—BQ-075-3'

.?.設(shè)CQ=4x、BQ=3x,

由BQ2+CQ2=BC2可得（4x）2+（3x）』1。2,

解得：x=2或x=-2（舍），

則CQ=PE=8（米），BQ=6（米），

ADP=DE+PE=11（米），

在R3ADP中，..3=品=焉寸13.1（米）,

AAB=AP-BQ-PQ=13.1-6-2=5.1（米）.

33.【答案】解：過點(diǎn)D作DHLAN于H,過點(diǎn)E作FEL于DH于F,

；.EF=10米，DF=10V3米，

：DH=DF+EC+CN=(10V3+30)米，ZADH=30°,

；.AH=*xDH=(10+10V3)米，

；.AN=AH+EF=(20+10>/3)米，

VZBCN=45°,

；.CN=BN=20米，

.\AB=AN-BN=10V3，

答:條幅的長(zhǎng)度是10V3米.

34.【答案】解：過點(diǎn)B作BELAC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)DG交CA于點(diǎn)H,得R3ABE和矩形BEHG.

BE_4

AE~3,

；.DH=DG+GH=1.5+8=9.5,

AH=AE+EH=6+1=7.

在R3CDH中,

VZC=ZFDC=30°,DH=9.5,tan30°=DH

CH，

；.CH=9.5V3.

又?；CH=CA+7,

即9.5V3=CA+7,

/.CA?9.15-9.2（米）.

答：CA的長(zhǎng)約是9.2米.

35.【答案】如圖，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)F,AF1BC.

設(shè)EF=x海里.

在RtADEF中，ZDFE=90°,

VtanZEDF=囂，

/.tan45°=金,

DF=x,

在RSABF中，NDFE=90。,

VtanZBAF=黑,

???BF=AFtan37。，

.\20+x-0.75(40+x),

.*.x=40,

AAF=AD+DF=80.

在RtAAFC中，ZAFC=90°,

VtanZCAF=等,

Vtan35°=嘉，

.?.CF=AFtan35°B80x0.70=56

；.CE=EF+CF=40+56=96

答:E處距離港口C約96海里.

36.【答案】解：延長(zhǎng)BC交OP于H.

.AD_5

"PD=12'

設(shè)AD=5k,則PD=12k,由勾股定理，得AP=13k,

；.13k=26,

解得k=2,

；.AD=10,

VBC±AC,AC〃PO,

ABHXPO,

二四邊形ADHC是矩形，CH=AD=10,AC=DH,

VZBPD=45°,

；.PH=BH,

設(shè)BC=x,則x+10=24+DH,

.??AC=DH=x-14,

在R3ABC中，tan76°=靠，即吾④-4.01