2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓的閱讀理解題》專項(xiàng)檢測(cè)卷及答案

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

L請(qǐng)閱讀下面的材料，并解答問題.

婆羅摩笈多(Brahmagupta)約公元598年生，約660年卒，在數(shù)學(xué)、天文學(xué)方面有所

成就，他編著了《婆羅摩修正體系》《肯達(dá)克迪迦》，婆羅摩笈多的一些數(shù)學(xué)成就在世

界數(shù)學(xué)史上有較高的地位，其中有著名的婆羅摩笈多定理.婆羅摩笈多定理：圓的內(nèi)

接四邊形相CD的對(duì)角線AC與8D垂直相交于過點(diǎn)M的直線與邊AD、分別相交于

點(diǎn)F、E.則有下兩個(gè)結(jié)論：

如果FELBC,那么川=如；

如果AF=fD,那么尸EL3c.

數(shù)學(xué)課上，趙老師帶領(lǐng)大家對(duì)該定理的第一條進(jìn)行了探究.

證明：ACLBD,

:"BMC=90°,即ZBME+ZEMC=90°,

MELBC,

:.ZMEC=90°9

在RtAEMC中,NEMC+ZBCM=90°,

:.ZBME=ABCM

請(qǐng)解答以下問題:

⑴請(qǐng)完成所給材料的證明過程；

(2)請(qǐng)證明結(jié)論(2)；

(3)應(yīng)用：如圖圓。中，半徑為4,A,B,C,。為圓上的點(diǎn)，ZAOB=ZCOD=90°,連接AC、BD

交于點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作房!■亦于E,延長(zhǎng)跖交4?于G,則GP的長(zhǎng)度為.

2.閱讀與思考

請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022版)》在尺規(guī)作圖版塊給出必學(xué)要

求：會(huì)過圓外一個(gè)點(diǎn)作圓的切線.數(shù)學(xué)老師對(duì)此要求進(jìn)行了數(shù)學(xué)語(yǔ)

言表達(dá)：“如圖1,已知。及。外一點(diǎn)P,求作直線9,使尸河與。

相切于點(diǎn)”

圖1圖2圖3

小組經(jīng)過思考與探索，給出了兩種作法：

作法一：①如圖2,連接。尸，交。于點(diǎn)5,作直徑BC；②以點(diǎn)O

為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，以點(diǎn)尸為圓心，。尸長(zhǎng)為半徑畫弧，兩

弧相交于點(diǎn)。；③連接交。于點(diǎn)"；④作直線尸河.則直線加

即為所求.

證明：vOD=BC,BC=1OM,

:.OD=2OM.

*/OD=OM+DM,

:.OM=DM.

又「OP=DP,

:.PM±OD.（依據(jù)）

直線P”是。的切線.

作法二：①如圖3,連接。尸，交。。于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作。尸的垂線AE；

②以點(diǎn)。為圓心，。尸長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線AE于點(diǎn)B③連接。尸，

交。于點(diǎn)"；④作直線則直線即為所求.

證明：……

.?.NOMP=90。.

?二O暇是。的半徑，

，直線P"是。的切線.

任務(wù)：

(1)“作法一”中的依據(jù)是指.

⑵請(qǐng)將“作法二”中的證明過程補(bǔ)充完整.

(3)在圖3中，記PM交"于點(diǎn)E.若。的半徑為3,。尸=9,求用的長(zhǎng).

3.閱讀材料回答問題.

弧田是由圓弧和其所對(duì)的弦圍成的部分(如圖中的陰影部分)，下

面是《九章算術(shù)》中計(jì)算弧田面積所用的公式：

B

弧田面積=」（弦X矢+矢2）

2

公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，即加的長(zhǎng)度；“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心

到弦的距離之差，即。的長(zhǎng)度.

如下圖，弧田所在圓的半徑為5米，弦A3的長(zhǎng)為6米.

⑴使用尺規(guī)做出下圖中弧A3所在圓的圓心0（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）使用材料中的公式計(jì)算圖中弧田的面積.

4.【閱讀材料】克羅狄斯?托勒密（約90-168年）是希臘著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地

理學(xué)家，托勒密定理是歐幾里得幾何中的重要定理，定理內(nèi)容如下：任意一個(gè)凸四邊

形，兩組對(duì)邊乘積的和不小于兩條對(duì)角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓時(shí)，

等號(hào)成立.即：四邊形ABC。中，有Afi.CD+5C.AD2AC.a）,當(dāng)43、C、D四點(diǎn)共圓時(shí)，有

ABCD+BCAD=ACBD.

【嘗試證明】

（1）請(qǐng)將證明過程補(bǔ)充完整：

如圖1,四邊形43。內(nèi)接于。，求證：ABCD+BCAD=ACBD.

證明：在AC上取點(diǎn)￡連接DE,使=

A

D

圖1

【直接應(yīng)用】

(2)如圖2,AB為。的直徑，AB^5,AD=4,BF=1,求￡>F的長(zhǎng);

圖2圖3

【靈活運(yùn)用】

(3)如圖3,在等腰三角形ABC中，A5=4C=6,BC=10,點(diǎn)。在底邊8C上，且NZMC=ZACD,

將三角形ACO沿著AD所在的直線翻折，使得點(diǎn)。落在點(diǎn)E處，連接座，則所的長(zhǎng)為

5.閱讀與思考

下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

阿基米德折弦定理從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，稱

為該圓的一條折弦，如圖1.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)，若PA,

PB是。的折弦.C是AB的中點(diǎn)，CELPA于點(diǎn)E,則鉆=PE+P8.這

就是著名的“阿基米德折弦定理”.

證明如下：如圖2,在AE上截取AF=PB,連接C4,CF,CP,CB.

貝lj/E4C=/PfiC（依據(jù)1）.

TC是AB的中點(diǎn)，，"c=詁，

：.AC^BC.

在，取C和P3C中，

AC^BC

NFAC=NPBC

AF=BP

：.FAC^PBC（SAS）,CF=CP.

,.?8，如于點(diǎn)￡,，比=%（依據(jù)2）.

AE=FE+AF=PE+PB.

任務(wù):

(1)填空：材料中的依據(jù)1是指;依據(jù)2是指

(2)如圖3,BC是。的直徑，。是AC上一點(diǎn)，且滿足4MC=45。，若4?=12,。的半徑為

10,求AD的長(zhǎng).

圖3

6.【閱讀材料】克羅狄斯?托勒密（約90-168年）是希臘著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地

理學(xué)家，托勒密定理是歐幾里得幾何中的重要定理.定理內(nèi)容如下：任意一個(gè)凸四邊

形，兩組對(duì)邊乘積的和不小于兩條對(duì)角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓時(shí)，

等號(hào)成立.即：四邊形中，有當(dāng)A、5、四點(diǎn)共圓時(shí)，

有ABCD+BCAD=ACBD.

【嘗試證明】（1）如圖1,四邊形A2CZ）內(nèi)接于。，求證：ABCD+BCAD=ACBD.

證明：在AC上取點(diǎn)E,連接DE,使NCDE=NBDA.

A八

VZ.DCA=ZDBA,：.,

?ABBD

,?EC-CD'

I.ABCD=ECBD?,

"：NCDE=NBDA,

：.Z.CDE+ABDE=NBDA+NBDE,即ZADE=ZBDC,

又丁NDAE=NDBC,

/\ADE^/\DBC,

.AEAD

**~BC~~BD'

：.②，①+②得ABCD+BCADHEC+AE)?,

即.

【直接應(yīng)用】

（2）如圖2,AB為。的直徑，AB=5,AD=4,BF=1,求DP的長(zhǎng);

DD

A

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，AC=CD,ZACD=60。，AB=2,BC=6,則DB的最大值為

【靈活運(yùn)用】

(4)如圖4,在等腰三角形A3C中，AB=AC=8,8C=12,點(diǎn)。在底邊8C上，且/ZMC=ZACD,

將三角形ACO沿著AD所在的直線翻折，使得點(diǎn)。落在點(diǎn)E處，連接座，則所的長(zhǎng)為

7.閱讀材料，解答問題：

關(guān)于圓的引理

古希臘數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家阿基米德流傳于世的數(shù)學(xué)著作有10余種，下面是《阿基米德

全集》的《引理集》中記載的一個(gè)命題：

如圖1,是。的弦，點(diǎn)。在。上，8,鉆于點(diǎn)。，在弦AB上取點(diǎn)E,使=

點(diǎn)尸是命上的一點(diǎn)，且a=&,連接8尸，則跖=破.

小穎對(duì)這個(gè)問題很感興趣，經(jīng)過思考，寫出了下面的證明過程：

證明：如圖2,連接C4,CE,CF,BC,

丁于點(diǎn)。，DE=AD,

：.CA=CE.

：.ZCAE=ZCEA.

?CF=CA,

/.CF=CA（依據(jù)1）,NCBF=NCBA.

,/四邊形MFC內(nèi)接于。，

/.ZC4S+ZCFB=180°.（依據(jù)2）

⑴上述證明過程中的依據(jù)1為,依據(jù)2為；

(2)將上述證明過程補(bǔ)充完整.

8.閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)

托勒密，古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家和光學(xué)家，而他在數(shù)學(xué)方面也有重大貢獻(xiàn)，下面

就是托勒密發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理，圓內(nèi)接四邊形的兩組對(duì)邊乘積之和等于兩條對(duì)角線的乘

積.

下面是該定理的證明過程(部分)

已知：如圖①四邊形AB。是：。的內(nèi)接四邊形

證明：以。頂點(diǎn)，CB為一邊作NBCE交BD于點(diǎn)E,使得=

又「ZCAD=ZCBE

NACD:VBCE

?ADAC

,.BE-BC

，ADBC=ACBE9

又ZADC=ZBEC,ZADC+ZABC=180°,NBEC+ZDEC=180。,

/.ZABC=NCED

ZCAB=ZCDE

：.zMBCADEC,

.AB_AC

??~DE~~DC

：._BPADBC+ABCD=ACBD

任務(wù)：

(1)請(qǐng)將“托勒密”定理的證明過程補(bǔ)充完整；

(2)當(dāng)圓內(nèi)接四邊形是矩形時(shí)，托勒密定理就是我們非常熟知的一個(gè)定理：

⑶如圖②若")B=N3DC=60。，試探究線段A。,即8之間的數(shù)量關(guān)系，并利用托勒密定

理證明這個(gè)結(jié)論.

圖②

9.閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

定義：自一點(diǎn)引出的兩條射線分別經(jīng)過已知線段的兩端，則這兩條射線所成的角稱為

該點(diǎn)對(duì)已知線段的視角.如圖(1),是點(diǎn)尸對(duì)線段A5的視角.

E,F

A

BPQI

圖⑴圖⑵

問題：已知在足球比賽中，足球?qū)η蜷T的視角越大，球越容易被踢進(jìn)，如圖（2）,EF

是球門，球員沿直線/帶球前進(jìn)，那么他應(yīng)當(dāng)在哪個(gè)地方射門，才能使進(jìn)球的可能性最

大？

愛好足球運(yùn)動(dòng)的小明進(jìn)行了深入的思考與探究，解答如下：

解：過點(diǎn)區(qū)尸作。。使其與直線/相切，切點(diǎn)為尸.在直線/上任取一點(diǎn)。（異于點(diǎn)

尸），連接石。交。。于點(diǎn)“，連接下0,FH,

貝（依據(jù)1）

ZEHF=ZEOF+ZHFO,（依據(jù)2）

Z.EHF>NEOF,

ZEPF>ZEOF.

故當(dāng)球員在點(diǎn)尸處射門時(shí)，進(jìn)球的可能性最大.

任務(wù)：

⑴上面的證明過程中“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：

依據(jù)1：________________________________

依據(jù)2：________________________________

（2）如圖（3）,已知足球球門寬E尸為3逝米，一名球員從距尸點(diǎn)3及米的￡點(diǎn)（點(diǎn)上在

直線E尸上）出發(fā)，沿方向帶球前進(jìn)（0<N"R<90）.求當(dāng)球員到達(dá)最佳射門點(diǎn)尸

時(shí)，他前進(jìn)的距離.

（提示：可仿照小明的方法，過點(diǎn)石、尸作。O,。。與直線￡尺相切于點(diǎn)P,連接尸0

并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)W,……)

圖⑶

10.閱讀與思考

請(qǐng)閱讀下列材料,并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

阿基米德是偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家物理學(xué)家，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)

王子.他的著作《阿基米德全集》的《引理集》中記述了有關(guān)圓的15個(gè)引理，其中第

三個(gè)引理是：如圖1,是。的弦，點(diǎn)尸在上，尸八小于點(diǎn)C,點(diǎn)。在弦上且AC=CD,

在尸8上取一點(diǎn)。，使加=尸4,連接時(shí),則%=瓦九小明思考后，給出如下證明：

如圖2,連接AP、PD、PQ、BP.

VAC=CD,PCLAB

J.PA=PD（依據(jù)1）

ZPAD=ZPDA

PQ=PA

：.ZQBP=ZABP（依據(jù)2）

Si圖2

任務(wù)：

（1）寫出小明證明過程中的依據(jù)：

依據(jù)1:________

依據(jù)2：________

⑵請(qǐng)你將小明的證明過程補(bǔ)充完整；

⑶小亮想到了不同的證明方法：如圖3,連接4P、PD、PQ、OQ.請(qǐng)你按照小亮的證

11.閱讀材料并完成相應(yīng)任務(wù)：

婆羅摩笈多是一位印度數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家，他的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高

的地位.其中就包括他提出的婆羅摩笈多定理（也稱布拉美古塔定理）.

婆羅摩笈多定理：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過對(duì)角線交點(diǎn)

的直線將平分對(duì)邊.

下面對(duì)該定理進(jìn)行證明.

已知：如圖（1）,四邊形ABCD內(nèi)接于。，對(duì)角線于點(diǎn)P,

PM工BC于點(diǎn)M,延長(zhǎng)交于點(diǎn)N.

求證：AN=ND.

證明：ACLBD,PMIBC,

ZBPM+ZPBM=90°,NPCB+ZPBC=90°,

:.ZBPM=APCB.

任務(wù)：

(1)請(qǐng)完成該證明的剩余部分；

(2)請(qǐng)利用婆羅摩笈多定理完成如下問題：如圖(2),已知Rt"BC中，NBAC=9。。，AB=AC=4,

BC,AC分別交。于點(diǎn)。，E,連接A。，BE交于點(diǎn)P.過點(diǎn)尸作MV//3C,分別交DE,AB

于點(diǎn)M,N.若求NP的長(zhǎng).

12.閱讀與思考下面是小穎的數(shù)學(xué)日記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

X年X月X日星期六

在圓中只用無刻度的直尺作出滿足某條件的圓周角

今天在數(shù)學(xué)課上，我學(xué)會(huì)了在圓中只用無刻度的直尺就可以作出滿足某條件的圓周角.

問題一：如圖，是。的圓周角，我們可以在。中只用無刻度的直尺作一個(gè)圓周

角等于-ZMC.作法：在。上取一點(diǎn)。，連接加和則。=ZA(依據(jù)*).

“問題二：在圖的基礎(chǔ)上，要在。中只用無刻度的直尺以B為頂點(diǎn)作與

相等的圓周角，應(yīng)該如何完成呢？

作法：如圖所示，連接CO并延長(zhǎng)，交。于點(diǎn)。，連接加，連接8。并延長(zhǎng)，交。于點(diǎn)

E,則/DBE即為所要求作的角.

(1)“問題一”中小穎的“依據(jù)*”是指一;

⑵請(qǐng)說明“問題二”中小穎的作法是否正確并說明理由；

(3)完成“問題三”：請(qǐng)?jiān)趫D中只用無刻度的直尺作出滿足條件的圓周角，并仿照“問題二”

寫出具體作法.

13.閱讀與思考

九年級(jí)學(xué)生小剛喜歡看書，他在學(xué)習(xí)了圓后，在家里突然看到某本數(shù)學(xué)書上居然還有

一個(gè)相交弦定理(圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等)，下面是書

上的證明過程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等.

已知：如圖1,。的兩弦AB，8相交于點(diǎn)尸.

求證：APBP=CPDP.

證明：

如圖1,連接AGBD.

"：Z.C=ZB,ZA=ZD.

：.△APCs^DPB,(根據(jù))

⑴請(qǐng)將上述證明過程補(bǔ)充完整.

根據(jù)：;@:?

(2)小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2,A3是。的弦，尸是A2上一點(diǎn)，AB=10cm,B4=4cm,

OP=5cm,求。的半徑.

14.學(xué)習(xí)過“圓內(nèi)接四邊形”后，劉老師布置了課后閱讀“認(rèn)識(shí)托勒密”，小明讀了托勒密

的生平、貢獻(xiàn)，對(duì)“托勒密定理”很感興趣，并進(jìn)行了下列的研究，請(qǐng)完成他的研究.托

勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.

已知：如圖1,.

求證：.

證明：如圖2,作ZZME=NC4D,交BD于點(diǎn)、E,

??ABESACD,

/.ABDC=ACBE,

NABCs/\AED,

/.ADBC=ACED,

ABDC+AT>BC=ACBE+ACED=AC（BE+ED）=ACBr>.

(1)請(qǐng)幫小明寫出已知和求證，并完成證明過程；

(2)如圖3,已知正五邊形A5CQE內(nèi)接于Q,AB=I,求對(duì)角線的長(zhǎng).

15.閱讀資料：小明是一個(gè)愛動(dòng)腦筋的好學(xué)生，他在學(xué)習(xí)了有關(guān)圓的切線性質(zhì)后，意

猶未盡，又查閱到了與圓的切線相關(guān)的一個(gè)問題：

如圖1,已知PC是C。的切線，45是《。的直徑，延長(zhǎng)血交切線PC與尸，連接AC、BC、OC.

因?yàn)椤笆?。的切線，A8是。的直徑，所以NOCP=ZACB=90。，所以Nl=/2.

又因?yàn)镹3=4,所以ZB=N2.

在叢C與PCB中，又因?yàn)椤?/尸，所以PAC^PCB,所以祟="，即叱=尸4PB.

(1)問題拓展:

如果依不經(jīng)過C。的圓心0(如圖2),等式尸c=PAPB還成立嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

(2)綜合應(yīng)用：

如圖3,。是VABC的外接圓，PC是(。的切線，C是切點(diǎn)，胡的延長(zhǎng)線交PC于點(diǎn)尸；

①當(dāng)鈣=早，且PC=12時(shí)，求PA的值；

②。是8C的中點(diǎn)，陽(yáng)交AC于點(diǎn)E,求證：^=||.

參考答案

1.⑴見解析

(2)見解析

(3)2后

【分析】(1)利用圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)得到/期癥=〃收“°/=乙42汨進(jìn)而推

出NfMDnZADB,同理得到/刖=ZZMM,根據(jù)等邊對(duì)等角即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)題意得至1」9=；4。=叢=？。，進(jìn)而得到Z?D=ZADB,利用圓周角定理結(jié)合對(duì)

頂角推出/=從而得到NMBC+/3ME=90。，即可證明；

(3)連接AD,BC,設(shè)A。，加交于點(diǎn)"，先利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合題意易證

ZOAC=Z.OCA=ZOBD=ZODB,再利用三角形內(nèi)角和定理推出ZAMD=/3MO,從而證明

AC±BD,由(1)中結(jié)論易得4G=BG,由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得

到GFJAB,再根據(jù)勾股定理求出"MJA/+BO?=40,即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：ACCD,

:"BMC=90°,即NBME+NEMC=90°,

MELBC,

/.ZMEC=90°,

在RtA￡MC中,NEMC+ZBCM=90°,

,\ZBME=ZBCM,

又,/ZBME=ZFMD,ZBCM=ZADB,

，ZFMD=ZADB,

:?FM=FD,

?/ZFMD-^-ZFMA=90°,ZADB+ADAM=90°,

/.ZFMA=ZDAM

AF=FM,

/.AF=FD；

(2)證明：?:AF=FD

/.FM=-AD=FA=FD,

2

/.ZFMD=ZADB

又?/ZBME=ZFMD,ZBCM=ZADB,

ZBME=ZBCM,

*：/MBC+BCM=90。，

：.ZMBC+ZBME=90。

/.ZMEB=90°,

FELBC-

(3)解：如圖，連接SBC,設(shè)AOID交于點(diǎn)跖

AO=BO,DO=CO9

iono_/40r

7180。一/30。

...ZOAC=ZOCA=-----------------,NOBD=ZODB=

22

ZAOB=ZCOD=90°,

/.ZAOB+ZAOD=ZCOD+ZAOD,即ZBOD=ZAOC,

/.ZOAC=ZOCA=ZOBD=ZODB,

,ZOAC+ZAFM+ZAMD=AOBD+ZAOB+ZBMO=180°,

ZAMD=ZBMO,

:.ZAFM=ZAOB=90°9

:.AC.LBD,

由(1)中結(jié)論可得AG=BG,

ZAFB=90°,

:.GF=-AB,

2

在RtAOB中，AB=ylACP+BO2=4四，

:.GF=~AB=2y/2

2

【點(diǎn)睛】本題考查圓的內(nèi)接四邊形，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三

角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，熟練運(yùn)用等腰三角形等角對(duì)等邊的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

2.(1)等腰三角形三線合一

(2)見解析

(3)叫券.

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)作答即可；

(2)利用SAS證明aFOA絲aPOM,即可證明/PMO="4O=90。，根據(jù)切線的判定定理即可

得解；

(3)根據(jù)勾股定理求得PM=60,由cosNOPM=cos/￡P(guān)A,列式計(jì)算即可求解.

【詳解】(1)證明：,：OD=BC,BC=2OM,

:.OD=2OM.

.OD=OM+DM,

：.OM=DM.

又＜OP=DP,

二尸加，8.(等腰三角形三線合一)

???直線PM是。的切線.

故答案為：等腰三角形三線合一；

(2)證明：由作圖知8==+

OA=OM,ZFOA=ZPOM,

：..FOA^.POM(SAS),

ZPMO=ZFAO=90°,

〈OM是。的半徑，

J直線PM是。的切線；

(3)解：ZPMO=ZFAO=90°,

OM=OA=3,OP=9,

AP=OP-OA=6,PM=yj0P2-0M2=672,

*/cosZOPM=cosZEPA,

?PMPA

.,OP~PE9

?.?-6-A/-2-_--6,

9PE

：.PE=H

2

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的作法，切線的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，等

腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問

題.

3.（1）見解析

（2只平方米

【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理；垂直平分線，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)

的知識(shí)，正確的作出圖形.

（1）先作的垂直平分線，交弧于點(diǎn)G再作AC的垂直平分線，交點(diǎn)即為所求圓

心0

（2）根據(jù)垂徑定理得到仞=3米，由勾股定理得到OD=后一AD?=4米，求得8==1

米，根據(jù)公式即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）如圖所示：點(diǎn)。為圓心，

（2）弦AB=6米，半徑如，弦

AD=：AB=3米，

:.OD=\IO^-AD2=47^,

:.CD=OA-OD=5-4=1^：,

???弧田面積=；（弦X矢+矢2）=?（6義1+巧毛平方米.

4.（1）見解析；（2）=g+g后；（3）y

【分析】（1）在AC上取點(diǎn)E,連接DE,使=證明△DCEsADBA和ADE^BDC,

利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可證明結(jié)論成立；

（2）連接加、w、BF,由圓周角定理結(jié)合勾股定理求得加=3,AF=2戈，利用（1）

的結(jié)論求解即可；

（3）先證明DAC^ABC,求得CD,BD,再證明4、B、E、。四點(diǎn)共圓，由（1）中結(jié)論

即可解決問題.

【詳解】（1）證明：在AC上取點(diǎn)E,連接DE,使=

圖1

ZDCA=ZDBA,

ADCE^ADBA,

.ABBD

''EC~CD，

：.ABCD=ECBD①,

"：NCDE=NBDA,

：.NCDE+/BDE=NBDA+NBDE,即ZADE=Z.BDC,

又「ZDAE=ZDBC,

ADEs,BDC,

.AEAD

**~BC~~BD'

，BCAD=AEBD②,

①+②得ABCD+5CAD=(￡C+AE)的,

/.ABCD+BCAD=ACBD；

(2)解：連接班)、AF,

VAB^J。的直徑，

/.ZADB=ZAFB=90°,

VAB=5,4)=4,BF=1,

22

57)=352-42=3,AF=V5-1=276?

;由(1)^ADBF-^-BDAF=ABDF,

艮|J4xl+3x2#=5O歹,

：.Z)F=|+|76；

(3)解：VAB=AC=6,

/.ZABC=ZACD,

*/ZDAC=ZACD,

/./DAC=ZABC,AD=CD,

ZACD=ZBCA,

：.n4csABC,

CACD

,'CB~~AC9

6CD

,io-V'

，AD=CD=BD=BC-CD=—,

1Q

由折疊性質(zhì)得=AE=AC=6,DE=CD=—,

ZABD=ZACD=ZAED,

:.A、B、E、。四點(diǎn)共圓，

由⑴^ADBE+ABED^AEBD,

...與E+6x竺=6x必，

555

BE=^.

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、圓周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、相

似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是充分利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，

本題需要多次相似解決問題，題目比較難.

5.(1)同弧所對(duì)的圓周角相等；等腰三角形三線合一.

(2)2后

【分析】本題考查圓周角定理的推論和等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理；

(1)根據(jù)圓周角定理的推論和等腰三角形的性質(zhì)即可得到答案；

(2)過點(diǎn)。作DGLAC于點(diǎn)G.先求出AC=16,再求出CG=14,從而得AG=2,進(jìn)而即可

求解.

【詳解】(1)解：由題意得：同弧所對(duì)的圓周角相等；等腰三角形三線合一.

(2)如圖，過點(diǎn)。作。G,AC于點(diǎn)G,

二FC是。的直徑,

/.ZNS4c=90。，

VAB=12,圓的半徑為10,

/.BC=20,

2222

AC=^BC-AB=A/20-12=16?

*/ZZMC=45°,

**?。是BC的中點(diǎn)，

*/DG±AC,

：.CG=AG+AB,

：.CG=-(AC+AB)=-(16+12)=14,

22

/.AG=AC-CG=16-14=2,

ADAC=45°,ZDGA=90°,

AD=叵AG=20.

6.(1)見解析；(2)DF=1+|V6；(3)8；(4)2

【分析】(1)在AC上取點(diǎn)E,連接￡>E,使/CDE=ZBDA,證明△OCEs△。班和AADESAPBC,

利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可證明結(jié)論成立；

(2)連接M和針，由圓周角定理結(jié)合勾股定理求得即=3,AF=2^,利用(1)的結(jié)

論求解即可；

(3)連接AE、BE,構(gòu)造△DCB/△以￡,即得到BC=AE,再根據(jù)三邊關(guān)系解題即可；

(4)先證明DAC^.ABC,求得CD,BD,再證明_4)林2的，可求出則、DM,再由(1)

中結(jié)論即可解決問題.

【詳解】解：(1)如圖1,四邊形A2CD內(nèi)接于。，求證：ABCD+BCAD=ACBD.

證明：在AC上取點(diǎn)E,連接在，使NCDE=NBDA.

A

D

E

圖I

ZDCA=NDBA,

ADCE^ADBA,

?ABBD

,?EC-CD'

ABCD=ECBD?,

"：NCDE=NBDA,

：.NCDE+NBDE=NBDA+NBDE,即ZADE=ZBDC,

又「NDAE=NDBC,

AADESAPBC,

.AEAD

',~BC~~BD，

ADBC=AEBD@,

?+@^ABCD+BCAD={EC+AE)BD,

即AB-CD+BCAD=ACBD-

(2)連接M和

??ZADB=ZAFB=90°,

VAB=5,AD=4,BF=1,

??BD=Js?-42=3,AF=J52-12=，

???由(1)得AD.BF+BDAF=AB.DF,

即4xl+3x2前=5Db,

DF=1+|76;

(3)把繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到帆的位置，連接AE、BE,

貝l]ZEDB=60。，DB=DE,

，VBZm為等邊三角形.

<.*AC=AD^ZACD=60O,

??ACD為等邊二角形，

/.ZCZM=60°,CD=AD,

*/ZCDB+ZADB=ZEDA+ZADB=60°,

/.ZCDB=ZEDA,

/.ACDB學(xué)Z\ADE,

BC=AE=6,

?BE=BD<AB+AC,AB=2,AE=6,

BE<8,

???的最大值為8,

故答案為：8；

(4)解：VAB=AC=S,

B

D

E

，ZABC=ZC9

丁ZDAC=ZACD,

ZDAC=ZABC,

*.*ZC=ZC,

/.DAC^,ABC,

,CACD

,~CB~~\C9

SCD

CD^—,BD=BC-CD=—,

33

ADAM=NDAC=/DBA,ZADM=ZADB,

..._ADMs_BDA,

A0M1一6

即3DM

6一-DM

203

T

512

二?DM,MB=BD—DM=——，

155

ZABM=NC=NMED,

，A、B、E、。四點(diǎn)共圓,

ADBE+ABED=AEBD,

?.竺郎+8小=8、四,

333

?;BE=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、圓周角定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的

判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是充分利用相似三角形的

性質(zhì)解決問題，本題需要多次相似解決問題，題目比較難.

7.⑴依據(jù)1為在同圓中相等的弧所對(duì)的弦相等；依據(jù)2為圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)

⑵證明見解析

【分析】(1)利用弧弦關(guān)系定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)解答即可；

(2)在原題的基礎(chǔ)上利用全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)上述證明過程中的依據(jù)1為在同圓中相等的弧所對(duì)的弦相等，

依據(jù)2為圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

故答案為：在同圓中相等的弧所對(duì)的弦相等，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；

(2)如圖2,連接C4,CE,CF,BC,

「CDLAB于點(diǎn)。，DE=AD,

..CA=CE,

：.ZCAB=ZCEA,

*/CF=CA,

CF=CA,

：.ZCBF=ZCBA.

;四邊形鉆尸。內(nèi)接于。,

/.ZC4B+ZCra=180°,

ZCE4+ZCEB=180°,

ZCFB=ZCEB,

在CFB和CE3中，

ZCFB=ZCEB

<NCBF=NCBA

BC=BC

：.CFB—CEB(AAS),

：.BF=BE.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓心角、弦、弧之間的關(guān)系定理、三角形

全等的判定和性質(zhì)以及線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的

判定和性質(zhì).

8.(1)AB-DC=AC-DE;AD-BC+AB-DC=AC-BE+AC-DE

(2)勾股定理

(3)即=AD+DC,證明見解析

【分析】(1)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；

(2)根據(jù)矩形性質(zhì)驗(yàn)證即可；

(3)根據(jù)題中證明過程解答即可.

【詳解】(1)解：ABDC=ACDE

ADBC+ABDC=ACBE+ACDE；

(2)解：當(dāng)圓內(nèi)接四邊形鉆8是矩形時(shí)，

AD=BC,AB=CD,AC=BD,

AD2+AB2=BD2,

???托勒密定理就是我們非常熟知的勾股定理；

(3)角軍：BD=AD+DC

證明：:NACB=^ADB,/BAC=NBDC,/ADB=NBDC=60°,

ZACB=ZBAC=60°

ZABC=60°

.?.VASC是等邊三角形

/.AB^BC=AC

由托勒密定理得：

BDAC^ADBC+DCAB

：.BDAC=ADAC+DCAC

：.BD=AD+DC；

【點(diǎn)睛】本題考查新定義下的證明，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)，靈

活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵.

9.(1)在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等；三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)

角的和

⑵6米

【分析】(1)根據(jù)圓周角的性質(zhì)和三角形外角定理解答；

(2)根據(jù)(1)畫出圓與直線相切，判斷切點(diǎn)尸即最佳射門點(diǎn)，然后根據(jù)相似得到邊

的數(shù)量關(guān)系，列方程求解即可.

【詳解】(1)在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等；

三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

(2)如圖，過點(diǎn)E,尸作。0,。。與直線相切于點(diǎn)P,連接尸。并延長(zhǎng)交。。于

點(diǎn)W,

連接PE,PF,WF.

?「尸￡是。。的切線，，/皿囿=90

ZWPF+ZFPL=90

?「PW是。。的直徑，AZWFP=90,

ZWPF+ZFWP=90,NFPL=ZFWP.

又,/ZPEF=ZFWP,AFPL=Z.PEF.

又,；NFLP=NELP,AFLPAPLE,

.FLLPHn35/2=LP

??一,7-r~

PLLEPL3A/2+3A/2

2

LP=35/2X6A/2=36,VLP>Q,"=6米.

答：當(dāng)球員到達(dá)最佳射門點(diǎn)尸時(shí)，他前進(jìn)了6米.

【點(diǎn)睛】此題考查圓的綜合問題，解題關(guān)鍵是利用相似三角形得到邊的數(shù)量關(guān)系.

10.(1)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；等弧所對(duì)的圓周角相

等

(2)見解析

(3)見解析

【分析】(1)利用線段垂直平分線的性質(zhì)和圓周角定理解答即可；

(2)在原題的基礎(chǔ)上利用全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論；

(3)類比(2)的方法，在(2)的基礎(chǔ)上利用等腰三角形的判定方法解答即可得出結(jié)

論；

【詳解】(1)解：依據(jù)1為：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等;

依據(jù)2：等弧所對(duì)的圓周角相等；

故答案為：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等；等弧所對(duì)的圓周

角相等；

(2)證明：如圖1,連接AP、PD、PQ、BP,

圖1

"：AC^CD,PC±AB,

：.PA^PD.

:./PAD^/PDA.

PQ=PA,

：.ZQBP^ZABP.

???四邊形A3。尸為圓的內(nèi)接四邊形,

ZA+Z2=180°.

ZPDA+ZPDB^1SQ0,

:./Q=/PDB.

在△伙2尸和AB。尸中，

ZPBQ=ZPBC

<ZQ=ZPDB,

BP=BP

：.ABQP^ABDP(AAS).

:?BQ=BD.

(3)證明：如圖2,連接AP、PD、PQ、DQ,

Q

圖2

"：AC^CD,PC±AB,

：.PA^PD.

:./PAD^/PDA.

PQ=PA,

C.PQ^PA.

：.PD=PQ.

：.ZPDQ^ZPQD.

?.?四邊形A50尸為圓的內(nèi)接四邊形，

/A+NP05=18O°.

,?ZPDA+ZPDB^1SO0,

：.ZPQB^ZPDB.

：.ZPQB-ZPQD^ZPDB-ZPDQ.

即：ZBQD^ZBDQ.

:.BQ=BD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，同弧或

等弧所對(duì)的圓周角相等，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌

握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)和利用類比的方法解答是解題的關(guān)鍵.

11.⑴見解析

(2)2

【分析】(1)應(yīng)用圓周角定理，等腰三角形的判定，可證明；

(2)應(yīng)用(1)的結(jié)論，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可求解.

【詳解】(1)解：證明：ACYBD,PM1BC,

ZBPM+ZPBM=90°,/PCB+ZPBC=90°,

:.ZBPM=ZPCB,

ZBPM=ZDPN,ZPCB=NDP,

■.ZDPN=ZNDP,

：.DN=PN,

同理，AN=PN,

:.AN=DN;

(2)四邊形ABDE是。。內(nèi)接四邊形，

:.ZBAC+ZBDE=1SO°,

ABAC=9Q0,

:?NBDE=9U0,

MN//CB,

:.MNIDE,

AD.LBE,

:.AN=BN,

:.PN=-AB=2

2?

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是能熟練應(yīng)用圓的有關(guān)

性質(zhì).

12.(1)在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等

(2)正確，理由見解析

⑶見解析

【分析】(1)根據(jù)在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等，即可；

(2)根據(jù)03=。。，可得=再由ZBDC=ZA,即可；

(3)連接CO并延長(zhǎng)，交。于點(diǎn)。，連接加，連接8。并延長(zhǎng)，交。于點(diǎn)E,連接讀,

則NE即為所要求作的角.

【詳解】(1)解："問題一''中小穎的“依據(jù)*”是指在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等;

故答案為：在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等

(2)解：正確，理由如下：

,/OB=OD,

：.NBDC=NDBE,

ZBDC=ZA,

I.ZA=ZDBE-

(3)解：如圖，連接CO并延長(zhǎng)，交。于點(diǎn)。，連接B￡),連接8。并延長(zhǎng)，交。于點(diǎn)E,

連接小，則-E即為所要求作的角.

C

理由：由(2)得：ZA=ZDBE,

???班是。的直徑，

/.ZDBE+ZE=90°,

/.ZA+ZE=90°,

即/E與NA互余.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，熟練掌握同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓

周角相等是解題的關(guān)鍵.

13.（1）有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；》

（2）7cm

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；

（2）延長(zhǎng)。尸交圓0于點(diǎn)。，延長(zhǎng)P。交圓0于點(diǎn)尸，設(shè)圓。的半徑為rem,則依=（5+r）cm,

PD=（r-5）cm,根據(jù)（1）中結(jié)論代入求解即可.

【詳解】（1）連接AGBD.

VZC=ZB,ZA=ZD.

/.（有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）

?APCP

''DP~BP，

：.APBP=CPDP,

J兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等.

故答案為：有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；黑；

（2）延長(zhǎng)8交圓。于點(diǎn)。，延長(zhǎng)P。交圓。于點(diǎn)尸，

設(shè)圓。的半徑為rem,則PP=（5+r）cm,PD=（r-