規(guī)律探究題型突破

題型一數(shù)式變化類

“2024江蘇揚州］1202年數(shù)學家斐波那契在《計算之書》中記載了一列數(shù)：1』,2,3,5,…，這一列數(shù)滿足：從第三個

數(shù)開始，每一個數(shù)都等于它的前兩個數(shù)之和.則在這一列數(shù)的前2024個數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)為()

A.676B.674C.1348D.1350

2.［2023四川內江］對于正數(shù)x,規(guī)定/(%)=高，例如〃2)=*=("(0=工=|/(3)=答=

XTXZ十Xo\Z/—2rJ.5jTXZ\oz

S=攝十算f島)+f(擊)+f島)+…+fG)+fG)+/⑴+f(2)+f⑶+-+f(99)+f(100)+f(101)=

3十

()

A.199B.200C.201D.202

3.［2024河北］“鋪地錦”是我國古代一種乘法運算方法，可將多位數(shù)乘法運算轉化為一位數(shù)乘法和簡單的加法運

算.淇淇受其啟發(fā)，設計了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示132x23,運算結果為3036.圖2表示一個三位數(shù)與一

個兩位數(shù)相乘，表格中部分數(shù)據(jù)被墨跡覆蓋，根據(jù)圖2中現(xiàn)有數(shù)據(jù)進行推斷，正確的是()

小方格中的數(shù)據(jù)是由其

所對的兩個數(shù)相乘得到?

的，如:2=lx2Z2

%,,6,,4

3

39,6

1

1

T

Z

O國

-

?20

回

圖2

A.“20”左邊的數(shù)是16

B.“20”右邊的“畫”表示5

C.運算結果小于6000

D.運算結果可以表示為4100a+1025

4.［2024寧夏］觀察下列等式：

第1個：1x2—2=22x0；

第2個：4x3-3=32xl；

第3個：9x4-4=42x2;

第4個：16x5—5=：52x3.

按照以上規(guī)律，第n個等式為.

5.［2024四川成都］在綜合實踐活動中，數(shù)學興趣小組對l~n這n個自然數(shù)中，任取兩數(shù)之和大于n的取法種數(shù)

k進行了探究，發(fā)現(xiàn)：當n=2時，只有｛1,2｝一種取法，即k=l;當n=3時，有｛1,3｝和|2,3｝兩種取法，即k=2;當n=4時，可得

k=4;........若n=6,則k的值為;若n=24,則k的值為.

6.[2024北京東城區(qū)校級模擬]有灰、白各6張卡片，分別寫有數(shù)字1至6,把它們像撲克牌那樣洗過后，如圖

排成兩行，數(shù)字朝下，排列規(guī)則如下：

①從左至右，按數(shù)字從小到大的順序排列；

②灰、白卡片數(shù)字相同時，灰卡片放在左邊.

將第一行卡片用大寫英文字母按順序標注，第二行卡片用小寫英文字母按順序標注，則寫有數(shù)字1的白卡片為

標注字母______的卡片，標注字母d的卡片寫有數(shù)字.

ABCDEF

第一行:■

第二行：■■口■□口

abcdef

題型二圖形變化類

7.[2024黑龍江牡丹江]如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形、第1個圖有4個三角形,

第2個圖有7個三角形、第3個圖有10個三角形.....按照此規(guī)律排列下去，第674個圖中三角形的個數(shù)是（）

△

筮△

△△

△△△△能

△△△△△△△

個

第1個第2個

A.2022B.2023

8.[2024山東濟寧]如圖，用大小相等的小正方形按照一定規(guī)律拼正方形.第一幅圖有1個正方形，第二幅圖有5

個正方形，第三幅圖有14個正方形，—-按照此規(guī)律，第六幅圖中正方形的個數(shù)為（）

□田H

第一姐圖第二帆圖第三幅圖第四幅圖

A.90B.91C.92D.93

9.[2024重慶A卷]烷煌是一類由碳、氫元素組成的有機化合物質，下圖是這類物質前四種化合物的分子結構模

型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子.第1種（如圖①）有4個氫原子，第2種（如圖②）有6個氫原子，第3

種（如圖③）有8個氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結構模型中氫原子的個數(shù)是（）

樹哪輸

①②③④

A.20B.22C.24D.26

10.[2024江蘇鹽城]發(fā)現(xiàn)問題

小明買菠蘿時發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽.

提出問題

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數(shù)學道理呢?

圖1

分析問題

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側面展開圖上可以看成點，

每個點表示不同的籽.該菠蘿的籽在側面展開圖上呈交錯規(guī)律排列，每行有n個籽，每列有k個籽，行上相鄰兩籽、

列上相鄰兩籽的間距都為d（n,k均為正整數(shù)，n>kN3,d>0）,如圖1所示.

小明設計了如下三種鏟籽方案.

三llllljjlll...

三^:三7"由中川?…

圖2圖3圖4

方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為共鏟行，則鏟除全部籽的路徑總長為_

方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為；

方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長.

解決問題

在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短?請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價.

題型三點的坐標變化類

11.[2024江辦鹽城二模]如圖,平面直角坐標系中,△AiA2A3,△A3A&Ag,△A5AgA7,.......都是斜邊在x軸

上的等腰直角二角形，點A[(-2,0),A2(-1,-1),A3(0,0),........;i則根據(jù)圖小規(guī)律，點A?025的坐標為()

A.(-1012,0)B.(-1014,0)

C.(-2,l012)D.(1014.0)

12.[2024山東聊城]任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復進行

上述兩種運算，經過有限次運算后，必進入循環(huán)圈1-4—2-1,這就是“冰雹猜想”.在平面直角坐標系xOy中，將

點(x,y)中的x,y分別按照“冰雹猜想”同步進行運算得到新的點的橫、縱坐標，其中x,y均為正整數(shù).例如，點(6,

3)經過第1次運算得到點(3,10),經過第2次運算得到點(10,5),以此類推，則點(1,4)經過2024次運算后得到點—

13.[2024黑龍江龍東地區(qū)]如圖，在平面直角坐標系中，正方形OMNP頂點M的坐標為(3,0),△OAB是等邊三

角形，點B坐標是(1,()),△OAB在正方形OMNP內部緊靠正方形OMNP的邊(方向為O—M-N—P-O—M-…)

做無滑動滾動，第一次滾動后，點A的對應點記為A1，Ai的坐標是(2,0)；第二次滾動后,Ai的對應點記為A2,A2

的坐標是(2,0);第三次滾動后，A2的對應點記為A3,A3的坐標是(3-爭J……，如此下去，則A2024的坐標

是

14.[2024黑龍江齊齊哈爾校級模擬]如圖，在平面直角坐標系中,有一個RtAOAB,NABO=9()o,NAOB=30。直角

邊OB在y軸非負半軸上，點A在第一象限，且OA=1,將RtAOAB繞原點逆時針旋轉30。，同時把各邊長擴大為原

來的兩倍（即（OAi=20A）狷到RtAOAiBi;然后將R30AxB1繞原點O逆時針旋轉30。,同時把各邊長擴大為原

來的兩倍，得到RtAOA2B2；……，依此規(guī)律，得到RtACM202482024,.則B2024的坐標為.

突破一規(guī)律探究

1.D解析:這列數(shù)為1,1,2,3,5,8,13,21.34，…，可以發(fā)現(xiàn)每3個數(shù)為一組,每一組前2個數(shù)為奇數(shù)，第3個

數(shù)為偶數(shù)，???2024+3=674……2,即前2024個數(shù)中共有674組，且余2個數(shù)，，奇數(shù)有674x2+2=1350（個）.

方法技巧..

解答規(guī)律探究題的一般思路是由特殊到一般，即通過對特殊情況的研究，找出規(guī)律，進而推廣到一般情形，再

根據(jù)一般情形解決問題.

1C解析：/⑴=后=1,

f⑵+嗚=2，

/⑶+嗚=2，

2X101+2X圭20212204Q

101+1—-+1=-10-2H-10-1+1=—102=2,

101

???f(擊)+f(擊)+，(專)+…+fG)+f(J+f⑴+f⑵+F⑶+…+f(99)+f(100)+f(101)=2xl00

+1=201.

3.D解析：設三位數(shù)從左到右數(shù)字分別為b,c,d,兩位數(shù)從左到右數(shù)字分別為m,n.根據(jù)題圖2可得dm

=20,dn=5,cn=2,所以m=4n,d:c=5:2,由于b,c,d,m,n者B是一位數(shù)，所以~=5{=2,進而可得m=4,n=l,所以"20"

左邊的數(shù)是8,"20"右邊的"目"表示4,排除選項A、B;易得"a"上邊的數(shù)是4a,則運算結果可以表示為1

000(4a+l)+100a+10x2+5=4100a+1025,選項D正確;當a=2時,運算結果為9225,排除選項C.故

30.(1)|(2)|

解析：（1）在5個空白的方格中隨機選一個涂上陰影，陰影部分形成的圖案是中心對稱圖形的概率為|

⑵如圖,5個空白方格分別用123,4,5表示.

選D.

4.幾2X(n+1)—(71+1)=(71+I)2x(n—1)

解析：第1個：1x2-2=22X0；

第2個：4x3-3=32xl;

第3個：9x4-4=42x2;

第4個：16x5-5=52x3.

按照以上規(guī)律，第n個等式為n2x(n+1)

—(n+1)=(n+I)2X(n—1).

5.9;144

解析：當n=2時k=1=(I)；

當n=3時,k=2;

當n=4時,fc=3+l=4=22=圖;

當n=5時，有|1,5},{2,5},|3,5},|4,5|,|2,4|,{3,4|六種取法,則k=4+2=6;

當n=6當有{1,6|,億6},{3,6},{4,6},|5,6|,|2,5|,|3,5|,|4,5|,|3,4|九種取法，則k=5+3+1=9=3?/

依此類推，當n為偶數(shù)時，，k=(n-l)+(n-3)+…+5+3+1=管丫，

,當n=24時，k=(y)2=144.

6.B;4

解析：卡片B（即標注字母B的卡片，下同）與卡片c肯定有一張為白1（即寫有數(shù)字1的白色卡片，下同），

若卡片C為白1,則左邊不可能有2張灰卡片，

二白1為標注字母B的卡片，

，灰1為標注字母A的卡片；

二卡片C與卡片c肯定有一張為白2,若卡片c為白2,則卡片a,b只能是灰1,灰2,而卡片A為灰1,矛

盾，

??卡片C為白2;

卡片F(xiàn)與卡片c肯定有一張為白3,

畫樹狀圖如下：

開始

12345

小八A小八

52341534I254I235I234

共有20種等可能的結果，其中陰影部分形成的圖案是中心對稱圖形的結果數(shù)為4,

所以陰影部分形成的圖案是中心對稱圖形的概率=^=|.

若卡片F(xiàn)為白3,則卡片D,E只能是灰2,灰3,此時灰2在白2右邊，與規(guī)則②矛盾,

，卡片c為白3,

二卡片a為黑2,卡片b為黑3;

卡片F(xiàn)與卡片e肯定有一張為白4,

若卡片F(xiàn)為白4,則卡片D,E只能是灰

3,灰4,與卡片b為灰3矛盾，

，卡片e為白4,

，卡片d為灰4.

故答案為B;4.

7.B解析：第1個圖中有4個三角形，即4=3xl+l,

第2個圖中有7個三角形，即7=3x2+l,M3個圖中有10個三角形，即10=3x3+1,

按此規(guī)律排列下去，第n個圖中有(3n+l)個三角形，

則第674個圖中三角形的個數(shù)為3x674+1=2023.

8.B解析：第一幅圖中正方形的個數(shù)為了；

第二幅圖中正方形的個數(shù)為M+22=5;第三幅圖中正方形的個數(shù)為12+22+32=14；

第六幅圖中正方形的個數(shù)為I?+22+32+42+52+62=91.

9.B解析：由題中所給模型圖可知，

第1種化合物的分子結構模型中氫原子的個數(shù)為4=lx2+2;

第2種化合物的分子結構模型中氫原子的個數(shù)為6=2x2+2;

第3種化合物的分子結構模型中氫原子的個數(shù)為8=3x2+2;

第4種化合物的分子結構模型中氫原子的個數(shù)為10=4x2+2;

所以第n種化合物的分子結構模型中氫原子的個數(shù)為2n+2,

當n=10時,2n+2=22.

即第10種化合物的分子結構模型中氯原子的個數(shù)為22

10.分析問題方案l:(n-l)d12k12(n-l)dk

方案2:案k-1)dn

方案3：y(2/c-l)nd

解決問題方案3鏟籽路徑總長最短；比較過程見解析：銷售員的操作方法使鏟籽路徑總長最短，減少了對菠

蘿的損耗

解析：分析問題

方案1:根據(jù)每行有n個籽，行上相鄰兩籽的間距為d、

，每行鏟的路徑長為(n-l)d.

???每列有k個籽，呈交錯規(guī)律排列，

，有2k行,即共鏟2k行.

，鏟除全部籽的路徑總長為2(n-l)dk.

方案2:根據(jù)每列有k個籽，列上相鄰兩籽的間距為d,

，每列鏟的路徑長為(k-l)d,

?:每行有n個籽，呈交錯規(guī)律排列，

.?有2n列，

，縱向鏟除全部籽的路徑總長為2(k-l)dn.

方案3:由題圖4得斜著鏟時路徑上每相鄰兩個點之間的距離為專貯=等.沿著斜著鏟籽的路徑展開菠蘿側

面，

由每行有n個籽可知，

斜著鏟除全部籽所需路徑為n條線段，由共有2k行可知每條線段長為中(2k-l)d,

，斜著鏟除全部籽的路徑總長為f(2/c-l)nd.

解決問題

2(n-l)dk-2(k-l)dn=2ndk-2dk-2ndk+2dn=2d(n-k)>0,

」?方案1的路徑總長大于方案2的路徑總長；

2(fc—l)dn—x(2/c—l)dn—[(2——2+dn,

/n>k>3/

*'?(2——2+fNslant(J2—V2)X3—2+=4—>0,

2(k—l)dn—，x(2/c-l)dn>0,

:方案2的路徑總長大于方案3的路徑總長.

:方案3鏟籽路徑總長最短，銷售員的操作方法使鏟籽路徑總長最短，減少了對菠蘿的損耗.

11.B解析:由題圖可知.

點A,的坐標為(-2.2).

點A2的坐標為(-2.4).

點人土的坐標為口⑹.

所以點AL的坐標為(-2.2n)(n為正整數(shù))，

當n=506時,

4n=2024,2n=1012,

所以點人2。24的坐標