專題2圓中的重要模型之隱圓模型

隱圓是各地中考選擇題和填空題、甚至解答題中?？碱}，題目常以動(dòng)態(tài)問(wèn)題出現(xiàn)，有點(diǎn)、線的運(yùn)動(dòng)，

或者圖形的折疊、旋轉(zhuǎn)等，大部分學(xué)生拿到題基本沒有思路，更談不上如何解答。隱圓常見形式：動(dòng)點(diǎn)定

長(zhǎng)、定弦對(duì)直角、定弦對(duì)定角、四點(diǎn)共圓等，上述四種動(dòng)態(tài)問(wèn)題的軌跡是圓。題目具體表現(xiàn)為折疊問(wèn)題、

旋轉(zhuǎn)問(wèn)題、角度不變問(wèn)題等，此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，隱蔽性強(qiáng),很容易造成同學(xué)們的丟分。本專題就隱圓模型

的相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1、動(dòng)點(diǎn)定長(zhǎng)模型（圓的定義）

若尸為動(dòng)點(diǎn)，且4B=AC=AP,則8、C、P三點(diǎn)共圓，A圓心，AB半徑

圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定值的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合.

尋找隱圓技巧：若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧.

例L（2023?山東泰安?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，及△403的一條直角邊在x軸上,

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6,4）；RtCOD中，ZCOD=90°,0￡>=4后ZD=30°,連接BC,點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，連

接AM.將RtCOD以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段A"的最小值是（）

A.3B.6A/2-4C.2713-2D.2

例2.（2023?廣東清遠(yuǎn)?統(tǒng)考三模）如圖，在RtZXABC,ZACB=90°,E為AC邊上的任意一點(diǎn)，把沿

2E折疊，得到△BEE,連接AF.若5c=6,AC=8,則AF的最小值為

CB

例3.（2022?北京市?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABC。中，AE、”分別是BC,CO的中垂線，ZEAF=80°,

NCBD=30°,則NABC=—,ZADC=

例4.（2023上?江蘇無(wú)錫?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正方形ABCO中，AB=6,E是BC的中點(diǎn).以點(diǎn)C為

圓心，CE長(zhǎng)為半徑畫圓，點(diǎn)P是、C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)廠是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,若點(diǎn)。是AP的中點(diǎn)，

連接M,FQ,則8尸+尸。的最小值為.

模型2、定邊對(duì)直角模型（直角對(duì)直徑）

固定線段所對(duì)動(dòng)角/C恒為90°,則A、B、C三點(diǎn)共圓，為直徑

尋找隱圓技巧：一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.

例1.（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=ZBAD=90°,AB=5,AD=4,AD<BC,

點(diǎn)E在線段3C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)廠在線段AE上，NADF=NBAE,則線段8尸的最小值為.

例2.（2023上?江蘇蘇州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，以G（0,l）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A,8兩

點(diǎn)，與y軸交于C,。兩點(diǎn)，點(diǎn)E為G上一動(dòng)點(diǎn)，作CFLAE于點(diǎn)?當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到

點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)廠所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）

2百

D.-----71

3

例3.（2022?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖,。是ABC的外接圓，AC為直徑，若43=2百，3c=3,點(diǎn)P從3

點(diǎn)出發(fā)，在,內(nèi)運(yùn)動(dòng)且始終保持NCBP=NBAP，當(dāng)C,P兩點(diǎn)距離最小時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為.

例4.（2023?廣東?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AACB中，CA=CB=4,/ACB=90。，點(diǎn)P為CA上的動(dòng)點(diǎn)，

連8P,過(guò)點(diǎn)4作4加工82于當(dāng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，線段的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（）

C.6兀D.2兀

模型3、定邊對(duì)定角模型（定弦定角模型）

固定線段所對(duì)同側(cè)動(dòng)角/P=/C,則A、B、C、尸四點(diǎn)共圓

根據(jù)圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角都相.

尋找隱圓技巧：AB為定值，/尸為定角，則尸點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓.

1.（2023?四川自貢,統(tǒng)考中考真題）如圖，分別經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。和點(diǎn)4（4,0）的動(dòng)直線6夾角NOB4=30。，點(diǎn)

“是OB中點(diǎn)，連接4W,貝UsinNQ4M的最大值是（）

例2.（2023?廣東深圳,?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊.四。中，點(diǎn)E在邊AC上自A向C運(yùn)動(dòng)，

點(diǎn)尸在邊CB上自C向B運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)速度相同，連接2瓦A尸交于點(diǎn)P,連接CP,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)尸的

運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為（）

例3.（2023?成都市?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在扇形A03中，04=3,ZAOB=120°,點(diǎn)C是A8上的

動(dòng)點(diǎn)，以BC為邊作正方形BCDE,當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)A移動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)。經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

D

例4.（2023上?湖北武漢?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，回。的半徑為2,弦的長(zhǎng)為2石，點(diǎn)C是優(yōu)弧

上的一動(dòng)點(diǎn)，BD0BC交直線AC于點(diǎn)Z）,當(dāng)點(diǎn)C從她BC面積最大時(shí)運(yùn)動(dòng)到BC最長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)。所經(jīng)過(guò)的路徑

長(zhǎng)為.

模型4、四點(diǎn)共圓模型

四點(diǎn)共圓模型我們?cè)谏弦粚ｎ}中已經(jīng)詳細(xì)講解了，本專題就不在贅述了。在此就針對(duì)幾類考查頻率高的模

型作相應(yīng)練習(xí)即可。

1）若平面上A、B、C,。四個(gè)點(diǎn)滿足/4BC+/ADC=180。，則A、B、C、。四點(diǎn)共圓.

條件：1）四邊形對(duì)角互補(bǔ)；2）四邊形外角等于內(nèi)對(duì)角.

2）若平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿足/ADB=/ACB,則A、B、C、。四點(diǎn)共圓.

條件：線段同側(cè)張角相等.

例1.（2023?安徽阜陽(yáng)?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，。為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A,C,。到點(diǎn)O的距離相等，則媯

與團(tuán)C的數(shù)量關(guān)系為（）

D

A.ZA=ZCB.?A2?CC.ZA-ZC=90°D.ZA+ZC=180°

例2.（2023?山西臨汾?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖在四邊形ABC。中，ZADB=ZACB=90°,若ZZMC=30。，則

例3.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?校聯(lián)考一模）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為12,—8=60。，點(diǎn)E為3C邊的中點(diǎn).點(diǎn)M

從點(diǎn)E出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，

連接MN,過(guò)點(diǎn)C作CHJ_肱V于點(diǎn)H.當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)N也停止運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是（）

例4.（2023.江蘇九年級(jí)期末）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90,BC=3,AC=4,點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn),

S.ZCPB=ZA,過(guò)C作CQLCP交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,則CQ的最大值為（）

例5.（2023?河南周口??？既＃┰?，ABC中，C4=CB,M是.ABC外一動(dòng)點(diǎn)，滿足？C4M2cBM180?,

若NCM4=60。，MA=4,MB=2,則MD的長(zhǎng)度為

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023上?江蘇南通?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，等邊三角形A8C與等邊三角形EFB共端點(diǎn)8,BC=2,

BF=6,繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),SBCF的最大度數(shù)（）

c

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.（2023上?安徽六安,九年級(jí)?？计谀┤鐖D，是等邊三角形，45=2,點(diǎn)尸是一ABC內(nèi)一點(diǎn)，且

ZBAP-ZCBP=30°,連接CP,則CP的最小值為（）

C.2-。D.V3-1

2

3.（2023?廣西?中考模擬）如圖所示，四邊形ABCD中，DC0AB,BC=1,AB=AC=AD=2.則BD的長(zhǎng)為（）

A.714B.而C.372D.

4.（2023上?浙江杭州?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)。在線段A3上，04=2,OB=6,以。為圓心，Q4為

半徑作O,點(diǎn)M在I。上運(yùn)動(dòng)，連接MB,以MB為一邊作等邊連接AC,則AC長(zhǎng)度的最小值為

A.2g+2B.2^13-2C.4后+2D.4后-2

5.（2023上?江蘇無(wú)錫?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,C,N的坐標(biāo)分別為（-3,0）,

（3,0）,（6,8）,以點(diǎn)C為圓心，3為半徑畫C,點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，連接AP,交CC于點(diǎn)Q,點(diǎn)M為線段

。尸的中點(diǎn)，連接肱V,則線段睦V的最小值為（）

y

N

P

A.7B.10c.3V2D.V73-1

6.（2023上?浙江麗水?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是半圓。的直徑，點(diǎn)C在半圓。上，AB=4,ZCAB=60°,P

是弧8c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP,過(guò)點(diǎn)C點(diǎn)作?！辏?，鈣于點(diǎn)。，連結(jié)3。，在點(diǎn)尸移動(dòng)的過(guò)程中.（1）

AC=；（2）的最小值是.

7.（2023上?山東日照?九年級(jí)校考期中）如圖，ABC中，AC=5,BC=4^,ZACB=60°,過(guò)點(diǎn)A作3C的

平行線/，尸為直線/上一動(dòng)點(diǎn)，。為△APC的外接圓，直線3P交，。于E點(diǎn)，則AE的最小值為

8.（2023上?江蘇連云港?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=S,BC=5,N是矩形ABC。內(nèi)一

點(diǎn)，4CN=/a）N,點(diǎn)四是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為

9.（2023.湖北九年級(jí)期中）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=16,3c=12,點(diǎn)尸在以至為直徑

的半圓上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,連接CP,點(diǎn)M是CP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為

10.（2023?廣東?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，扇形AOB,且OB=4,ZAOB=90°,C為弧AB上任意一點(diǎn)，過(guò)C

點(diǎn)作CDLOB于點(diǎn)D,設(shè)AODC的內(nèi)心為E,連接OE、CE,當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，內(nèi)心E所經(jīng)

過(guò)的路徑長(zhǎng)為.

11.（2023上?江蘇連云港?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，已知4?=3,BC=4,點(diǎn)尸是3C邊上

一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)8,C重合），連接管，作點(diǎn)8關(guān)于直線管的對(duì)稱點(diǎn)連接CM,則CM的最小值

12.（2023上?江蘇連云港?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZBAC^9Q°,AB=AC=4,

點(diǎn)。是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)以AO為直徑的圓交于點(diǎn)E,則CE長(zhǎng)度的最小值是.

13.（2023?遼寧大連?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在RtABC中，AB=4,D為AB上一點(diǎn)，BD=2AD,E為

AC上一點(diǎn)，AE=3CE,連接BE、CD交于點(diǎn)0,則一AOB的最大面積是.

14.（2021?廣東?統(tǒng)考中考真題）在ABC中，ZABC=90o,A5=2,BC=3.點(diǎn)O為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

NADB=45。，則線段8長(zhǎng)度的最小值為.

15.（2023?浙江?一模）如圖，在RJABC中，NACB=90。，AB=2.分別以AC、BC為斜邊，向三角形外

作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形3CE,則△ACD和△3CE面積之和為；連接則

線段BD的最大值為.

16.（2022?廣東?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，^\BAD=^iBCD=90°,EIACD=30o,AD=2,E

是AC的中點(diǎn)，連接。￡則線段DE長(zhǎng)度的最小值為.

17.（2023陜西中考模擬）如圖，在等邊ABC中，=6,點(diǎn)尸為AB上一動(dòng)點(diǎn)，PDL3C于點(diǎn)。，PELAC

于點(diǎn)E,則DE的最小值為

18.（2023上?江蘇宿遷?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1,點(diǎn)E是。直徑A3上一點(diǎn)，AE=2,BE=8,過(guò)點(diǎn)E作

弦點(diǎn)G在go上運(yùn)動(dòng)，連接CG.⑴求CD的長(zhǎng).⑵如圖2,連接AG,作/DCG的角平分線交AG

于點(diǎn)F,在點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，物的長(zhǎng)度是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不會(huì)發(fā)生變化,

請(qǐng)求出其值.⑶如圖3,過(guò)點(diǎn)B作于"，連