專題3圓中的重要模型之圓幕定理模型

圓哥定理是一個總結(jié)性的定理，是對相交弦定理、切割線定理、割線定理、弦切角定理、托勒密定理

以及它們推論的統(tǒng)一與歸納?？赡苁窃?9世紀(jì)由德國數(shù)學(xué)家施泰納CSteiner）或者法國數(shù)學(xué)家普朗克雷

（Poncelet）提出的。圓幕定理的用法：可以利用圓幕定理求解與圓有關(guān)的線段比例、角度、面積等問題。

模型1.相交弦模型

條件：在圓。中，弦AB與弦C。交于點E,點E在圓。內(nèi)。

結(jié)論：ACAE-ABDEP—=_PEC?EDEB?EA。

EBED

例1.（2023?江蘇無錫?校聯(lián)考三模）如圖，點A,C,D,8在。。上，AC=BC,ZACB=90°.若CD=4,

tanZCBD=1,則的長是.

例2.（2023?山東濟寧一模）如圖，邊長為6的等邊三角形ABC內(nèi)接于回。，點。為AC上的動點（點A、C

除外），2。的延長線交回。于點￡,連接CE.（1）求證（2）當(dāng)8=2隹＞時，求CE的長.

例3.（2023?江西宜春?統(tǒng)考模擬預(yù)測）閱讀與思考：九年級學(xué)生小剛喜歡看書，他在學(xué)習(xí)了圓后，在家里突

然看到某本數(shù)學(xué)書上居然還有一個相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等）,

下面是書上的證明過程，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

(2)小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2,是。O的弦，P是上一點，AB=10cm,fi4=4cm,OP=5cm,

求。。的半徑.

圖2

模型2.雙割線模型

條件：如圖，割線CH與弦CF交圓0于點E和點Go

結(jié)論：“CEGfCHFP—=—!?EC2FCGC?HC

CHCF

例1.（2023?遼寧葫蘆島?一模）已知：如圖，PAB、尸CD是回。的割線，PA=4cm,AB=6cm,CD=3cm.

貝cm.

例2.（2023?四川成都?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，A4B為。。的割線，且B4=AS=3,P。交。。于點C,

若尸C=2,則。。的半徑的長為.

例3.（2022?河南洛陽?統(tǒng)考一模）我們知道，直線與圓有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.當(dāng)直線與圓有

兩個公共點（即直線與圓相交）時，這條直線就叫做圓的割線.割線也有一些相關(guān)的定理.比如，割線定

理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等.下面給出了不完整的定理"證

明一"，請補充完整.

己知：如圖①，過。。外一點尸作。。的兩條割線，一條交。。于A、8點，另一條交。。于C、D點.

求證：PAPB=PCPD.

證明一：連接AD、BC,回/A和/C為80所對的圓周角，0.

又m,0.即尸=

研究后發(fā)現(xiàn)，如圖②，如果連接AC、BD,即可得到學(xué)習(xí)過的圓內(nèi)接四邊形的C.那么或許割線定理也

可以用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)來證明.請根據(jù)提示，獨立完成證明二.

證明二：連接AC、BD,

模型3.切割線模型

條件：如圖，CB是圓。的切線，CA是圓。的割線。

結(jié)論：ACBDfCABPq=8pCB2=CD2CA

CACB

例1.（2023?江蘇南通?中考模擬）如圖，已知出是。。的切線，A為切點，PC與。。相交于8.C兩點,

PB=2cm,BC=8cm,則PA的長等于（）

A.4cmB.16cmC.20cmD.2小cm

例2.（2023?河南鄭州?一模）復(fù)習(xí)鞏固，切線：直線和圓只有一個公共點，這時這條直線和圓相切，我們把

這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點.

割線：直線和圓有兩個公共點，這時這條直線和圓相交，我們把這條直線叫做圓的割線.

切線長：過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長.

閱讀材料：《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作.它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面

幾何五大公設(shè)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書.其中第三卷命題36-2圓幕定

理（切割線定理）內(nèi)容如下：

切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.

為了說明材料中定理的正確性，需要對其進行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的"已知"和"求證"，請補充完整,

并寫出證明過程.

己知：如圖，A是回0外一點，.求證：

例3.（2022?河南駐馬店??？级＃┰跀?shù)學(xué)課上，當(dāng)老師講到直線與圓的位置關(guān)系時，張明同學(xué)突發(fā)奇想,

特殊線與圓在不同的位置情況下會有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？于是在課下他查閱了老師推薦他的《幾何原本》,

這本書是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作.它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，

被廣泛地認(rèn)為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書.其中第三卷命題36-2圓基定理（切割線定理）

內(nèi)容如下：切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長比例

中項.（比例中項的定義：如果。、6、c三個量成連比例即a:/?=6:c,則6叫做。和c的比例中項）

⑴為了說明材料中定理的正確性，需要對其進行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的"已知"和"求證"，請補充完整，

并寫出證明過程.已知：如圖，A是圓。外一點，AB是圓。的切線，直線ACQ為圓。的割線.

求證：__________________證明：.

⑵已知AC=2,CD=4,則A3的長度是.

模型4.弦切角模型

A

D

~B

條件：如圖，CB是圓。的切線，48是圓。的直徑。

結(jié)論：1）^CBD~ACABI>—=_PCB?=CD?CA；

CACB

2）ACBDfBADt*—=—PBD2=AD?CD；3）^BAD~^CABP—=—PBA1=AD?AC

ADBDCABA°

例L（2023?河南三門峽?統(tǒng)考二模）小銳同學(xué)是一個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)愛好者，他在一本數(shù)學(xué)課外讀物上看到一個課

本上沒有的與圓相關(guān)的角一弦切角（弦切角的定義：把頂點在圓上，一邊與圓相切，另一邊和圓相交的角叫

做弦切角），并嘗試用所學(xué)的知識研究弦切角的有關(guān)性質(zhì).

（1）如圖，直線A2與回。相切于C點，D,E為回。上不同于C的兩點，連接CE,DE,CO.請你寫出

圖中的兩個弦切角;（不添加新的字母和線段）

（2）小銳目測NOCB和/DEC可能相等，并通過測量的方法驗證了他的結(jié)論，你能幫小銳用幾何推理的方

法證明結(jié)論的正確性嗎？

己知：如圖，直線A3與回。相切于C點，D,E為圓上不同于C的兩點，連接CE,DE,CD.

求證：ZDCB=ZDEC.（3）如果我們把上述結(jié)論稱為弦切角定理，請你用一句話概括弦切角定理.

例2.（2023?河南洛陽?統(tǒng)考三模）人類會作圓并且真正了解圓的性質(zhì)是在2000多年前，由我國的墨子給出

圓的概念：”圓，一中同長也.”意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等，這個定義比古希臘數(shù)學(xué)

家歐幾里得給圓下的定義要早100多年.與圓有關(guān)的定理有很多，弦切角定理就是其中之一.我們把頂點

在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對

的圓周角度數(shù).

⑴如圖1,AB是的切線.點C,￡＞在上.求證：ZADC=ZCAB;(2)如圖2,CE是。。的切線.連

接AE交。。于點。，A8為。。的直徑.若BC=2,。。的半徑為5,求ZJE的長.

例3.(2023?四川綿陽?九年級統(tǒng)考期中)定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切

角.如圖1,AC為OO的切線，點A為切點，AB為。O內(nèi)一條弦，NC4B即為弦切角.

⑴古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》是一部不朽的數(shù)學(xué)巨著，全書共13卷，以第1卷的23個定義、5

個公設(shè)和5個公理作為基本出發(fā)點，給出了119個定義和465個命題及證明.第三卷中命題32一弦切角定

理的內(nèi)容是:"弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半,等于它所夾的弧所對的圓周角度數(shù)

如下給出了弦切角定理不完整的"已知"和"求證"，請補充完整，并寫出"證明”過程.

已知：如圖2,AC為。O的切線，點A為切點，A3為。。內(nèi)一條弦，點。在。。上，連接。4,OB,BD,

AD.求證：ABAC=ABDA.證明：

(2)如圖3,A3為。。的切線，A為切點，點C是。。上一動點，過點C作8，至于點￡),CD交于E,

連接OE,OC,AE.若位)=10,AE=2g求弦CE的長.

圖1圖2圖3

模型5.托勒密定理模型

4

B

C

條件：如圖，AB,C￡＞是圓。的兩條弦；結(jié)論：AB2CDAD2BCAC2BD

例L（2023?山西晉中?九年級統(tǒng)考期末）閱讀以下材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：托勒密（H?；貨_）（公元90年?

公元168年），希臘著名的天文學(xué)家，他的著作《天文學(xué)大成》被后人稱為"偉大的數(shù)學(xué)書"，托勒密有時把

它叫作《數(shù)學(xué)文集》，托勒密從書中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理.

托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和.

圖3

圖1圖2

下面是該結(jié)論的證明過程：證明：如圖2,作=交BD于點、E.

A5BE

^AD=AD^^ABE=ZACD（依據(jù)1）EAABE^AACD（依據(jù)2）0—=—^ABCD=ACBE

ACCD

^AB=AB^^CB=ZADE

0ZBAE=ZCAD0ZBAE+ZEAC=ACAD+AEAC即ABAC=NEAD0Z\ABC^Z\AED

SADBC=ACED^ABCD+AD-BC=AC{BE+ED}

SABCD+ADBC=ACBD

任務(wù)：（1）上述證明過程中的"依據(jù)1""依據(jù)2”分別是指什么？

依據(jù)1：,依據(jù)2：.

3

（2）如圖3,四邊形ABCD內(nèi)接于。。，AC為。。的直徑，AD=5,tanZACB=-,點。為AC的中點,

4

求的長.

例2.（2023?江蘇鹽城?九年級統(tǒng)考期中）【舊知再現(xiàn)】圓內(nèi)接四邊形的對角一.

如圖①，四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，若AB=BD,ZABD=40。，則/3CD=_。.

A

AAA

圖①圖②圖③圖④

【問題創(chuàng)新】圓內(nèi)接四邊形的邊會有特殊性質(zhì)嗎？

如圖②，某數(shù)學(xué)興趣小組進行深入研究發(fā)現(xiàn)：AB>CD^BC>DA=AC'BD

證明：如圖③，作=交BD于點、E.

0NBAE=ZCAD,ZABD=ZACD,團NABE^NACD,

團爺=黑即=（請按他們的思路繼續(xù)完成證明）

/iCz

【應(yīng)用遷移】如圖④，已知等邊AABC外接圓。。，點P為BC上一點，且尸B=g,PC=1,求總的長.

課后專項訓(xùn)練

1.（2023山東九年級課時練習(xí)）如圖AB與圓。相切于A,D是圓。內(nèi)一點，DB與圓相交于C.已知BC

=OC=3,OD=2,AB=6,則圓的半徑為

2.（2022秋?浙江寧波?九年級校考期中）如圖，兩個同心圓，過大圓上一點A作小圓的割線，交小圓于B、

C兩點，且圖中圓環(huán)的面積為4萬，貝!JAB-AC=.

4.（2023?重慶九年級期末）如圖，從圓外一點尸引圓的切線上4,點A為切點，割線PZ53交。。于點。、B.已

知P4=12,PD=8,則S^ABP-SGAP=

4.（2023?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，過點尸引圓的兩條割線和PCD,分別交圓于點A,8和C,。，連

PAPCPAPCPApr>

結(jié)AC,即，則在下列各比例式中，@—；②而=W；③筌=焉，成立的有（把

1DrUrDrDACDLJ

你認(rèn)為成立的比例式的序號都填上）.

5.（2023,浙江紹興?模擬預(yù)測）四邊形ABOC內(nèi)接于圓，對角線交點為E,AB=AC=4,AE=2,若BE、CE

都是整數(shù)，則BE的值為.

6.（2023?廣東珠海?統(tǒng)考一模）如圖，為正AABC的外接圓，P為劣弧3c上任一點，CP的延長線和A3

的延長線交于點。.（1）求N3PC；（2）求證：AC2=CPCD.

A

O

D

7.（2023?廣東汕頭??？家荒＃┤鐖D，A3是。。的直徑，點C,D在。。上，AO平分過點。作AC

的垂線交AC的延長線于點E,交A3的延長線于點孔連接30.

（1）求證：Eb是。。的切線；（2）求證：AB\AB-AE）=ACBF{3）^AB=10,AC=6,求的長.

8.（2023?云南昆明?統(tǒng)考一模）如圖，尸是以。為圓心的兩個同心圓外一點，過P點的兩條直線分別與大圓

。交于A、B、C、。四個點，其中一條直線交小圓。于尸點，P為線段。的中點，ZP=ZADP,CELPA,

垂足為E.⑴求證：尸D為小圓。的切線；⑵若7^=7,AB=10,求大圓。的半徑.

CE3

9.（2023?廣東揭陽?統(tǒng)考一模）歐幾里德，古希臘著名數(shù)學(xué)家.被稱為“幾何之父".他最著名的著作《幾何

原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上最成功的教科書.他在第三

卷中提出這樣一個命題：”由已知點作直線切于已知圓”.

0

如圖1,設(shè)點尸是已知點，圓。是已知圓，對于上述命題，我們可以進行如下尺規(guī)作圖：

①連接。尸，作線段。尸的中點A；②以A為圓心，以A0為半徑作圓A,與圓。交于兩點。和R；

③連接尸。、PR,貝尸R是圓。的切線.⑴按照上述作圖步驟在圖1中補全圖形；

(2)為了說明上述作圖的正確性，需要對其證明，請寫出證明“P。、依是圓。的切線”的過程；

⑶如圖2,連接。。并延長交圓。于點8,連接BR,已知理=2,PQ=245,求圓。的半徑.

10.(2023?山東聊城,九年級統(tǒng)考期中)頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.如

圖①所示：出切回。于點A,AB是回。的一條弦，就是回。的一個弦切角.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：弦切角等于它

夾弧所對的圓周角.根據(jù)下面的"已知"和"求證"，寫出"證明"過程，并回答后面的問題.

(1)如圖1,9是回。的切線，A為切點，AC為直徑，SR48夾弧所對的圓周角為團C.求證：SPAB=SC.(2)

如圖2,B4是回。的切線，A為切點，SR4B夾弧所對的圓周角為回。.求證：0B4B=0￡>.

(3)如圖3,為半回。的直徑，。為圓心，C,。為半回。上兩點，過點C作半回O的切線CE交的延

長線于點E,若CE0A。，且BC=1,AB=3,求。E的長.

11.(2023?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題)如圖，為回。的直徑，且MV=15,MC與N￡>為圓內(nèi)的一組平行

弦，弦A8交MC于點”.點A在楊上，點8在"c上，ZOND+ZAHM=9Q°.

c

B

\N

⑴求證：MH?"=〃7?3”.⑵求證：AC=BC.（3）在回。中，沿弦ND所在的直線作劣弧N。的軸對稱圖

3

形，使其交直徑跖V于點G.若sin/CMN=g,求NG的長.

12.（2022?湖南長沙?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于對角線AC,3。相交于點E,點F

在邊AD上，連接￡F.⑴求證：AABEsADCE；

AFFE

(2)當(dāng)ZDFE=2ZCDB時，貝U-一——+----；----1------

ABADABADAF

.（直接將結(jié)果填寫在相應(yīng)的橫線上）

⑶①記四邊形ABC。，△ABEACDE的面積依次為尻&㈤，若滿足石=質(zhì)+￡,試判斷，AABEACDE

的形狀，并說明理由.②當(dāng)OC=CB，AB=m,AD=^C￡?=p時，試用含機，”，p的式子表示.

13.（2023春?北京通州?九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）在與圓有關(guān)的比例線段探究學(xué)習(xí)中，某興趣小組發(fā)現(xiàn)有三種

不同情況，并完成了情況一的證明.請你選擇情況二或者情況三中的一種情況進行證明.AB,C,D為0。

上的點，直線AB,CD相交于點尸.

證明

情況一點P在團0內(nèi)時，連接AC,BD（如圖1）：

情況二點尸在回。外時情況三當(dāng)點A和點3重合時

ZA=ZD,ZAPC=/DPB?△APCS/\DPB

ApCP（如圖2）：（如圖3）

團一=—,^APBP=CPDP

DPBP

14.（2023?遼寧大連?模擬預(yù)測）如圖1,AABC內(nèi)接于OO,點。為圓外A3上方一點,連接AZ）,若NC=NBAD.

（1）求證：AD是。。的切線；⑵如圖2,連接。瓦若tan乙430=；,AC=6后,BC=8,求。。的半徑.（注:

本題不允許使用弦切角定理）

15.（2023秋?山西呂梁?九年級?？计谀╅喿x與思考：閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

米勒定理

米勒（1436T476）是德國的數(shù)學(xué)家，是歐洲最有影響的數(shù)學(xué)家之一，米勒發(fā)表的《三角全書》，是使得三角

學(xué)在歐洲取得獨立地位的第一部系統(tǒng)性著作.下面是米勒定理（又稱切割線定理）的證明過程

已知：如圖1,Bl與。O相切于點A,尸3與。。相交于點8,C.

求證：PA1=PBPC.

證明：如圖2,連接AC,OA,OC.

I3R4為。。的切線，^OALPA,EIZl+Z2=90o.

SOA=OC,回/2=13.

0ZO+Z2+Z3=18O°,13/0+2/2=180°.

0AC=AC，0?O72B,02/3+2/2=180°,

圖3

任務(wù)：⑴請完成剩余的證明過程⑵應(yīng)用：如圖3,上4是。。的切線，PC經(jīng)過。。的圓心O,S.PB=OB=2,

割線PZ組交O。于點。，E,PE=5,求PD的長.

16.（2023?江蘇?九年級專題練習(xí)）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)：

弗朗索瓦?韋達(dá)，法國杰出數(shù)學(xué)家.第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘累，帶

來了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進步，在歐洲被尊稱為"代數(shù)學(xué)之父".他還發(fā)現(xiàn)從圓外一點引圓的切線和割線，

切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項（切割線定理）.

如圖1,P是。。外一點，尸C是的切線，R4是。O的一條割線,與GO的另一個交點為B,則PC2=PAPB.

證明：如圖2,連接AC、BC,過點C作。。的直徑。，連接AD.

EIPC是。。的切線，EIPC_LCD,0ZPCD=90°,BPZPCB+ZBCD=90°.

任務(wù)：⑴請按照上面證明思路寫出該證明的剩余部分.

⑵如圖3,上4與。。相切于點A,連接尸。并延長與交于點8、C,ZP=NBAD,BC=8,AP=3BP,

連接CO.①CD與AP的位置關(guān)系是.②求3。的長.

17.（2022?山西?三模）閱讀與思考：請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

人們在研究圓與直線的位置和數(shù)量關(guān)系時，發(fā)現(xiàn)存在這樣一個關(guān)系：從圓外一點引圓的切線和割線，切線

長是這點到割線與圓交點構(gòu)成的兩條線段長的比例中項.這個幾何關(guān)系也叫圓的切割線定理.喜歡探究的

小明嘗試給出了該定理的如下證明：

已知：如圖1,P為回。外一點，切線抬與圓相切于點A,割線P8C與圓相交于點8,C.

求證：P^=PBPC.證明：如圖2,連接AB,AC,BO,AO.

回/N切回。于點A,即/B4B+NQ4B=90°.

SOA=OB,^ZOAB=ZOBA.

0ZOAB+ZOBA+ZO=180°,02Z（MB+ZO=18O°.........

任務(wù)：⑴請幫助小明補充完成以上證明過程.（2）如圖，割線PDE與圓交于點D,E,B.PB=BC=4,PD=5,

連接BE,過點C向下作CF〃成交PE的延長線于點尸，求EF的長.

A

18.（2023?河南周口??？既＃╅喿x與思考

整，并給出證明.

已知：如圖，A是。。外一點，過點A的直線交于點8,C,.求證：AE2=

19.（2023?廣東九年級期中）探究問題:

A

圖E

（1）閱讀理解：①如圖A,在AABC所在平面上存在一點P,若它到AASC三個頂點的距離之和最小，則稱點

P為AABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為44BC的費馬距離.

②如圖8,若四邊形ABCD的四個頂點在同一個圓上，則有AB-CD+3Cn4=AC3r>,此為托勒密定理.

知識遷移：①請你利用托勒密定理解決如下問題：如圖C,已知點尸為等邊“WC外接圓的8c上任意一

點.求證：PB+PC^PA；②根據(jù)（2）①的結(jié)論，我們有如下探尋AABC（其中ZBAC,4RC