重難點(diǎn)10方程的實(shí)際應(yīng)用模型（一元一次方程的應(yīng)用、

二元一次方程組的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用、一元二次方

程的應(yīng)用）

題型圖讀I類(lèi)型枸速I(mǎi)真題量化創(chuàng)緣I模斜通關(guān)俄倭

[模型01一元一次方程的應(yīng)由一

[模型02二元一次方程組的應(yīng)論

|模型03分式方程的應(yīng)用-

模型04一元二次方程的應(yīng)用

密時(shí)婪解讀

本專(zhuān)題主要對(duì)初中階段的方程應(yīng)用題型進(jìn)形總結(jié)分析，收集匯總各地市常考的方程應(yīng)用題型，主要分

為一元一次方程，二元一次方程組，分式方程，一元二次方程幾大題型?？荚囍形覀兛梢钥闯龆淮畏?/p>

程組和分式方程考試頻率較高。一元一次方程相對(duì)基礎(chǔ)較為簡(jiǎn)單，應(yīng)用題型中出現(xiàn)較少，一元二次方程的

應(yīng)用綜合性較高除了在應(yīng)用題型中有所體現(xiàn)，在二次函數(shù)的應(yīng)用中也經(jīng)常出現(xiàn)。本專(zhuān)題根據(jù)考試題型分類(lèi)

歸納總結(jié)。

勘摸梃狗建

模型01一元一次方程的應(yīng)用

考I向I預(yù)I測(cè)

一元一次方程的應(yīng)用該題型近年主要以應(yīng)用題形式出現(xiàn)，一般為應(yīng)用題型的第一問(wèn)，難度系數(shù)較

小，在各類(lèi)考試中基本為送分題型。解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)未知量、列方程、解方程，其中

列方程是解題的核心，一般需要我們很好的理解題意。

答I題I技I巧

1.審:弄清題意，分清已知量和未知量，明確各數(shù)量間的關(guān)系

2.設(shè):設(shè)未知數(shù)，并且用含未知數(shù)的代數(shù)式表示與所列方程有關(guān)的數(shù)量列:根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系、相等關(guān)系、

倍數(shù)關(guān)系以及若干倍多或少個(gè)數(shù)字列方程；

3.解:解所列的方程，求出未知數(shù)的值以及題目中所要求的相關(guān)數(shù)量的值驗(yàn):檢驗(yàn)所求的解是否符合題意，是

否符合實(shí)際意義。

|題型學(xué).

1.（2023?上海）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需10天完成，乙單獨(dú)做需6天完成，現(xiàn)由甲先做3天,

乙再加入合做，還需幾天完成這項(xiàng)工程？設(shè)還需x天完成這項(xiàng)工程，由題意列方程是（）

xxx+3x—3

A.一+—=1B.-----1----=1

106106

xx-3rx+3x

C.——+------=1D.------+-=1

106106

【答案】D

【詳解】解：由題意知，甲在這項(xiàng)工程中做了（元+3）天,

則得方程：^Y-+L31=X1;

106

故選：D.

）支式

—（x+1）=l-—x

1.解一元一次方程2'3時(shí)，去分母正確的是（）

A3（x+l）=l-2xB2（%+1）=1-3無(wú)

C2（x+l）=6-3%口3（元+l）=6-2x

【答案】D

【分析】去分母應(yīng)乘以公分母6,由此判斷.

【詳解】方程兩邊同乘以6可得：3（X+1）=6—2X.

故選：D.

（3x-4y=2

2.方程組卜=1-2丁用代入法消去達(dá)所得關(guān)于y的一元一次方程為（）

A.3—2y—1—4y=2B.3（l-2y）-4y=2

C.3（2y—1）—4y=2D.3~2y~4y=2

【答案】B

【分析】直接代入消元即可得解；

J3x—4y=2①

【詳解】解：方程組*=i-2y②用代入法消去x,

把②代入①得關(guān)于y的一元一次方程為3（1一2y）-4y=2,

故選：B.

3.新定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱(chēng)該一元一次方程為該不等式組的“相

依方程”，例如：方程十-1=3的解為x=4,而不等式組1“一2<3的解集為2Vx<5,不難發(fā)現(xiàn)x=4在2<x<5

的范圍內(nèi)，所以方程x-1=3是不等式組/-2<3的“相依方程

卜>2

⑴在方程①左一3=0；②3x+2=尤；③2x-10=0中，不等式組1元45的“相依方程,，是二（填序號(hào)）

x-1〉2x+1]

（2）若關(guān)于x的方程2x+%=6是不等式組12-3的“相依方程”，求上的取值范圍.

【答案】⑴①③

（2）44左<8

【分析】（1）先解出3個(gè)方程的解，然后根據(jù)“相依方程”的定義判斷即可，

（2）先求出不等式組的解集和方程勿+左=6的解，再根據(jù)“相依方程”的定義列不等式求解.

【詳解】（1）①無(wú)-3=0,解得：x=3,

②3x+2=x,解得：X—-1,

③2x-10=0,解得：x—5,

（x>2

卜<5,...原不等式組的解集為：2<x<5,

fx>2

.?.不等式組的“相依方程,，是：①③，

故答案為：①③；

3%+1

-------->X-

（2）解不等式2得：x>-lf

解不等式23得：xVl,

???原不等式組的解集為：T<xWl,

6-k

x=----

由2兀+左=6,解得:2

3x+l

------->x

2

x-1>2x+1]

???關(guān)于x的方程2x+左=6是不等式組■2-3的“相依方程”,

6-k

2<b解得44左<8.

4.設(shè)關(guān)于x的一元一次方程依+6=0（aeR,6eR）.

（1）若。是從°」，2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從-L-2兩個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有自然數(shù)

根的概率；

（2）若。是從區(qū)間33］內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，且方程依+6=°在［L3］有實(shí)根的概率為求出6的值.

3

【答案】（1）8;（2）。=-2或6=《.

【分析】（1）列出基本事件的總數(shù)，求出方有自然數(shù)根包含的基本事件的個(gè)數(shù)，由古典概率公式即可求解；

bbr1bb

x=——W—W—b

（2）方程依+b=°的實(shí)根為a,根據(jù)a」可得3。，再根據(jù)有實(shí)根的概率

j_

為萬(wàn)列不等式組即可求解.

【詳解】（1）若。是從°』23四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，6是從-L-2兩個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，

總共有0，T；1，T；2,-1；3,-1.0,-2.1,-2.2,-2.3,-2,共有8種情況；

其中方程G+b=°有自然數(shù)根的對(duì)應(yīng)的取值有：L-1；1,-2.2,-2共有3種情況；

3

所以上述方程有自然數(shù)根的概率為W.

_b

（2）若。是從區(qū)間PR內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，方程依+匕=°的實(shí)根為“一a

若一汨問(wèn)所以〃<o,因?yàn)閕c,所以太量I所以g

2x+a_x+l

5.當(dāng)。在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，關(guān)于x的一元一次方程3一〒的解滿(mǎn)足

【答案】"公2

【分析】先求出方程的解，根據(jù)已知方程的解取值范圍列出不等式組，再求出不等式組的解集即可.

2x+ax+1

【詳解】解方程3-2,得x=3-2a,

2x+a_x+1

因?yàn)殛P(guān)于x的一元一次方程3-2的解滿(mǎn)足

所以TV3-2aVl,解得l〈aW2,

2x+ax+1

所以當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的一元一次方程3—F的解滿(mǎn)足-LVxVl.

故答案為：1WO42.

6.代數(shù)基本定理：任何一個(gè)"(〃eN*)次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程/(耳=°至少有一個(gè)復(fù)根.由此可得如下推論:

推論一：任何一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式/(x)在復(fù)數(shù)集中可以分解為〃個(gè)一次因式的乘積；

推論二：一元〃次多項(xiàng)式方程有“個(gè)復(fù)數(shù)根，最多有〃個(gè)不同的根.即一元一次方程最多有1個(gè)實(shí)根，一元

二次方程最多有2個(gè)實(shí)根等.

推論三：若一個(gè)〃次方程有不少于"+1個(gè)不同的根，則必有各項(xiàng)的系數(shù)均為0.

已知，(力=1+￥.請(qǐng)利用代數(shù)基本定理及其推論解決以下問(wèn)題：

⑴求小)-2爐-2/一工=0的復(fù)根；

⑵若使得關(guān)于x的方程〃3ar)="-/(x)至少有四個(gè)不同的實(shí)根，求a,6的值；

⑶若“X)的圖像上有四個(gè)不同的點(diǎn)ABC%以此為頂點(diǎn)構(gòu)成菱形形8,設(shè)“(a"3),以上/㈤)，

(222Y,2A21

aH—a—b2H-b—

求代數(shù)式l39八3”的值.

0」+叵工叵

【答案】⑴’22「萬(wàn)一2

a=——2,b,=——4

⑵927

⑶-1

【分析】(1)化簡(jiǎn)該方程后借助因式分解結(jié)合求根公式計(jì)算即可得；

(2)化簡(jiǎn)方程后借助推論三計(jì)算即可得；

(3)設(shè)出AC中點(diǎn)°(辦〃)，代入計(jì)算后結(jié)合推論三可得。點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合體型菱形對(duì)角線垂直計(jì)算即可得解.

【詳解】(1)由題意，x3+x2-2x3-2x2-x=0,即-/一/-》=0,所以x(Y+x+l)=0,

士/

-1JQ-------

所以x=0或f+x+l=0,對(duì)d+x+l=0,有2,

八1V3i173i

即復(fù)根有2222；

（3a-x）3+（3a-x）2=b-x3-x2化筒得（9a+2）x2-（2.1a2+6a^x+21a3+9a2-b=0

(2)由題意

2

9a+2=0a=——

9

27〃?+6〃=0

27/+9/一》=（）,解之得“土

由推論三：該方程的解個(gè)數(shù)多于方程最高次數(shù)得27

(3)在菱形至CD中，AC與即互相垂直平分，設(shè)AC中點(diǎn)°(帆〃),

由A,，“。))得C(2m-a，2〃-/(a)),所以/(2租-°)=,

（2m—+{2m—a^=2n—cr,—a1

即

（6m+2）^z2—（12m2+4m）a+8m3+4m2-2n=0

化簡(jiǎn)得:

由點(diǎn)A,民C,O是/(x)的圖象上的四個(gè)不同的點(diǎn)，故該關(guān)于。的方程有四個(gè)不同的解,

1

6m+2=0m=——

3

2<

<12m+4m=02

n=——

8m3+4m2-2n=027

故，解得〔故rl）

又OAOB=0

1

33

121

Z7+-|+|6Z+-〃+為z?+-IIz?2+-/?--

3339339

-訃。

由菱形ABC。，可得33,

1+仿+乙二〃+|b一|=0

所以I39

222

a-\—a—b2+-b--

故3939

模型02二元一次方程組的應(yīng)用

考I向I預(yù)I測(cè)

二元一次方程組應(yīng)用該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大，在各類(lèi)考試中得分率較高。

掌握二元一次方程組的解法是考試的重點(diǎn)，二元一次方程組的解法主要采用消元法，在應(yīng)用題型中，根據(jù)

題意列二元一次方程組相對(duì)簡(jiǎn)單，該題型設(shè)兩個(gè)未知量，兩個(gè)條件兩個(gè)方程，相對(duì)直觀，只要我們?cè)诮夥?/p>

程組的過(guò)程中不出現(xiàn)失誤，一般不會(huì)失分。

答I題I技I巧

1.“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關(guān)系，尋找

等量關(guān)系；

2.“設(shè)”就是設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x,但有時(shí)也可以間接設(shè)未知數(shù)；

3.“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個(gè)量，列出方程，同時(shí)注意方程兩邊是同一類(lèi)

量，單位要統(tǒng)一；

4.“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值；

5.“答”就是寫(xiě)出答案，注意單位要寫(xiě)清楚.

|題型三例

1.（2024?黑龍江哈爾濱）一種商品有大、小盒兩種包裝，3大盒、4小盒共裝108瓶，2大盒、

3小盒共裝76瓶.大盒與小盒各裝多少瓶？若設(shè)大盒每盒裝x瓶，小盒每盒裝y瓶，則可列方程組得（）

3x+2y=76J3x+4y=76j3x+4y=108J3x+2y=76

3x+4y=108[2%+3)=1080?12尤+3y=76[2x+4y=108

【答案】C

3尤+4>=108

【詳解】解：設(shè)大盒裝X瓶，小盒裝y瓶，根據(jù)題意可列方程組為:

2x+3y=76

故選：C.

＞變式

（k+3）x=7

1.已知關(guān)于x,y的方程組'2是二元一次方程組，則k的值為（）

2x+/1--=4

A.1或-1B.3或-3C.3D.-3

【答案】C

【分析】本題考查的是二元一次方程組的定義，解答時(shí)，一定要緊扣二元一次方程組的定義：組成二元一

次方程組的兩個(gè)方程應(yīng)共含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程.根據(jù)組成二元

一次方程組的兩個(gè)方程應(yīng)共含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程解答.

快+330

【詳解】解：由題意可得：|,Ic,,

解得：k=3.

故選：c.

[3x+y=1+m

2.關(guān)于元/二元一次方程組70的解滿(mǎn)足2x+y<l,則加的取值范圍是（）

[x+y=3

A.m<—2B.m>—2C.m<2D.m>2

【答案】A

【分析】本題考查根據(jù)方程組的解的情況求參數(shù)的范圍，解一元一次不等式，將兩個(gè)方程相加得到2x+y的

值，整體代入不等式中，解不等式即可.

[3x+y=l+m@

【詳解】解：,

[x+y=3②

①+②，得：4x+2y=4+機(jī)，

2x+y=2+—,

2x+y<l,

2H—<1,

2

解得：m<—2；

故選A.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)〉=%+"與>=依+1的圖象分別與y軸交于點(diǎn)（0,4）,（0,1）,則

y=x+m-3

關(guān)于％,y的二元一次方程組’,的解為（）

y=rvc+1

x=-lx=3

C.D.

J=3y=4

【答案】A

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象平移問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形變化一一平移，兩直線的交點(diǎn)與二元一次方

程組的解等知識(shí)點(diǎn)，利用一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律及坐標(biāo)平移的變化規(guī)律推出〃一次函數(shù)y=3的圖象

與y軸交于點(diǎn)（0,1）〃是解題的關(guān)鍵.

由一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律及坐標(biāo)平移的變化規(guī)律可得，一次函數(shù)y=x+"L3的圖象與y軸交于點(diǎn)（0,1）,

而一次函數(shù)y=〃x+l的圖象與y軸也交于點(diǎn)（0,1）,于是可得一次函數(shù)y=x+，〃-3與一次函數(shù)y="尤+1圖象

/、y=x+m—3

的交點(diǎn)為（。/），進(jìn)而可得關(guān)于*y的二元一次方程組1的解.

[y=nx+l

【詳解】解：???一次函數(shù)y=x+%的圖象與y軸交于點(diǎn)（0,4）,

將一次函數(shù)、=》+根的圖象向下平移3個(gè)單位得到一次函數(shù)y=x+〃?-3的圖象，

，一次函數(shù)y=x+：w-3的圖象與，軸交于點(diǎn)（0,1）,

而一次函數(shù)>=加+1的圖象與y軸也交于點(diǎn)（0,1）,

，一次函數(shù)>=x+機(jī)一3與一次函數(shù)y=zu+l圖象的交點(diǎn)為（0,1）,

fy=x+m-3fx=0

，關(guān)于％,y的二元一次方程組,1的解為1,

[y=nx+l[y=l

故選：A.

4.如圖所示，已知函數(shù)y=6%+4（%,4為常數(shù)，q）和y=%%+82（。2，%為常數(shù)，”2。。）的圖象交

fa,x-y+b.=0

于點(diǎn)4則關(guān)于x,y的二元一次方程組）'八的解是______.

\a2x-y+b2=0

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)等于對(duì)

應(yīng)一元二次方程組的解，結(jié)合圖像即可解答.

Ia,x-y+b.=0%%+4=y

【詳解】解：二元一次方程組;八整理為:

[a2x-y+b2=。a2x+b2=y

a,x+h—yx—5

由圖可知:1的解是

a2x+b2=yy=3

x—5

故答案為:

y=3

X-V=67+3

5.已知關(guān)于無(wú),丁的二元一次方程組2x+y』的解滿(mǎn)足m且

2x+l<2a

（1）若關(guān)于X的不等式組2x-l、3無(wú)解，求所有符合條件的整數(shù)a的值;

.14-7

+x+a

⑵若x?5八有解，求所有符合條件的整數(shù)。的和.

-+l>-x-9

122

【答案】（1）所有符合條件的整數(shù)a的值有1,2,3,4

（2）所有符合條件的整數(shù)a的和為15

【分析】本題考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組，解一元一次不等式等知識(shí)點(diǎn)，能求出。的

取值范圍是解此題的關(guān)鍵.

（1）先求出方程組和不等式的解集，再求出。的范圍，最后得出答案即可;

（2）先求出方程組和不等式的解集，再求出。的范圍得出所有符合條件的整數(shù)。，最后得出答案即可.

（無(wú)一y=a+3x=2a+1

【詳解】（1）解：解方程組c得:

[2x+y=5cay=a-2

???關(guān)于x、y的二元一次方程組的解滿(mǎn)足x>l且y<5,

儼+1>1

,[a-2<5，

解得：0<?<7,

2x+l<2a①

<②'

[147

解不等式①得：

解不等式②得：

2x+1<2。

???關(guān)于X的不等式組2X-1、3無(wú)解,

.14-7

22

解得：a<4,

即0<aK4,

??.所有符合條件的整數(shù)。的值有L2,3,4；

2x+l>%①

(2)〈

-+l>-x-9@，

122

解不等式①得：x>a-l,

解不等式②得：x<5,

???不等式組有解，

1.a—1v5,

..a<6

即0<a<6,

二?所有符合條件的整數(shù)。有：1,2,3,4,5,

「.1+2+3+4+5=15,

二?所有符合條件的整數(shù)。的和為15.

6.解二元一次方程組：

y=2x-3

⑴

2x+y=5

J2±l=3

（2乂23

3x+2y=10

[x=2

【答案】⑴,

x=5

（2）5

I2

【分析】（1）利用代入消元法解答即可；

（2）利用加減消元法解答即可.

本題考查了方程組的解法，熟練掌握解方程組的基本步驟是解題的關(guān)鍵.

\y=2x—3①

【詳解】⑴解：②

把①代入②得2尤+2x-3=5,

解得尤=2；

把x=2代入①解得，y=l,

[x=2

故方程組的解為,.

U=i

J2±l=3

(2)解：23,

3x+2y=10

3尤-2y=200

整理，得

3無(wú)+2y=10②

①+②得6x=30,

解得x—5,

把x=5代入①解得，y=-|,

x=5

故方程組的解為5.

/="2

7.興平辣椒是興平市的特產(chǎn)，具有色澤鮮紅、椒身細(xì)長(zhǎng)、肉厚籽多、皺紋均勻的特點(diǎn)，辣香濃郁，富含多

種維生素、蛋白質(zhì)和氨基酸，是國(guó)家地理標(biāo)志產(chǎn)品.某超市新店開(kāi)業(yè)，展開(kāi)促銷(xiāo)活動(dòng)，所有袋裝興平干辣

椒或辣椒面都按標(biāo)價(jià)打八折，買(mǎi)10袋干辣椒和5袋辣椒面只需128元.已知每袋干辣椒的標(biāo)價(jià)比每袋辣椒

面的標(biāo)價(jià)貴4元.求每袋干辣椒、辣椒面的標(biāo)價(jià)分別是多少元？（列二元一次方程組解）

【答案】每袋干辣椒、辣椒面的標(biāo)價(jià)分別為12元，8元

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確找到出題中等量關(guān)系.

設(shè)每袋干辣椒、辣椒面的標(biāo)價(jià)分別為尤元，，元，根據(jù)"所有袋裝興平干辣椒或辣椒面都按標(biāo)價(jià)打八折，買(mǎi)

10袋干辣椒和5袋辣椒面只需128元.已知每袋干辣椒的標(biāo)價(jià)比每袋辣椒面的標(biāo)價(jià)貴4元."建立方程組求

解.

【詳解】解：設(shè)每袋干辣椒、辣椒面的標(biāo)價(jià)分別為x元，y元，

\x-y=4，

由題思得：|0.8（10x+5^）=128

答：每袋干辣椒、辣椒面的標(biāo)價(jià)分別為12元，8元.

模型03分式方程的應(yīng)用

浮f而1ST訝......................

分式方程的應(yīng)用該題型近年在方程的應(yīng)用題型中考試較多，了解解分式方程的基本思路和解法，掌握

可化為一元一次方程的分式方程的解法，讓學(xué)生體會(huì)解分式方程過(guò)程中的化歸思想是本節(jié)內(nèi)容的重心。分

式方程及其應(yīng)用是中考的必考內(nèi)容之一，一般著重考查解分式方程及列分式方程解應(yīng)用題，并要求會(huì)用增

根的意義解題，考題常以解答透折考綱題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在選擇題和填空題中。該題型主要難點(diǎn)

在于設(shè)、歹!J、解，屬于應(yīng)用題型的第一問(wèn)，難度系數(shù)不是很大，屬于容易得分項(xiàng)。

答|題|技|巧

1.根據(jù)題意設(shè)未知量，分式方程只設(shè)一個(gè)未知量，用一個(gè)量表示另一個(gè)量；

2.解分式方程；

3.檢驗(yàn)分式方程的解，看是否為增根，注意不檢驗(yàn)會(huì)扣分;

4.答：即寫(xiě)出答案，注意答案完整

［題型三例

＞哀倒1.（2024.山西）我縣文化宮向全縣中小學(xué)生推出“童心讀書(shū)會(huì)”的分享活動(dòng).甲、

乙兩同學(xué)分別從距離活動(dòng)地點(diǎn)800米和400米的兩地同時(shí)出發(fā)，參加分享活動(dòng).甲同學(xué)的速度

是乙同學(xué)的速度的L2倍，乙同學(xué)比甲同學(xué)提前4分鐘到達(dá)活動(dòng)地點(diǎn).若設(shè)乙同學(xué)的速度是每

分鐘x米，則下列方程正確的是（）

x1.2x，

_________—4B.12%__^L=4

800400800400

4008004眄一%

D.=4

1.2xx1.2xx

【答案】D

【詳解】解：設(shè)乙同學(xué)的速度是X米/分，可得:

800400

1.2xx

故選D.

,支式

1.2023年12月8日，山東濟(jì)南到河南鄭州的高速鐵路全線通車(chē)，將兩城之間的，字形〃路線變成了〃一字

形〃路線，為鄭州、濟(jì)南建設(shè)”強(qiáng)省會(huì)〃提供更多可能.已知通車(chē)前從濟(jì)南西站到鄭州東站的路程約為420km,

通車(chē)后總路程縮短了40km,速度提升到了原來(lái)的2倍，時(shí)間縮短了90分鐘.設(shè)通車(chē)前的平均速度為無(wú)km/h,

那么不滿(mǎn)足的分式方程為（）.

420420-40420-40420M

A.=90B.---二90

x2x2xX

420420-4090420-4042090

C.D.

x2x602xX60

【答案】C

【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，根據(jù)通車(chē)前行駛420km所需時(shí)間-通車(chē)后行駛380km所需

90

時(shí)間一而,列方程即可.

【詳解】解：設(shè)通車(chē)前的平均速度為X千米/小時(shí)，則通車(chē)后運(yùn)行速度為2%千米/小時(shí),

420420-4090

根據(jù)題意，得:

x2x60

故選：C.

4Yk

2.如果關(guān)于x的分式方程二\-1=4有增根，那么上的值為()

無(wú)一22—尤

A.-10B.—8C.—6D.—4

【答案】B

【分析】本題主要考查了分式方程的增根，

先去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)化為1,當(dāng)最簡(jiǎn)公分母為0時(shí)產(chǎn)生增根，可得解.

【詳解】解：去分母，得4x-(x-2)=d,

去括號(hào)，得4x-x+2=-左，

移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，得3x=-2-3

系數(shù)化為1,得x二^土

,??原方程有增根，

x—2=0,

-9-k

即=2=0,

3

解得左=一8.

故選:B.

xx+1

----1S------ay-12

3.若關(guān)于元的不等式組23有解且至多有兩個(gè)偶數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程2-y=的

5無(wú)-2>3尤+。

解為非負(fù)整數(shù)，則所有滿(mǎn)足條件的整數(shù)。的值之和是

【答案】20

【分析】先計(jì)算出不等式組的解集，再根據(jù)解的情況判斷出4W等＜8；然后計(jì)算分式方程的解，再結(jié)合其

解為非負(fù)整數(shù)即可求解.

，〈山①

【詳解】解：23

5x—2>3%+〃②

解不等式①，得xW8,

解不等式②，得x＞等

二原不等式組的解集為號(hào)＜尤48,

???該不等式組至多有兩個(gè)偶數(shù)解,

.?.44”,

解得64。＜14,

)__2zl^=4

7-22-y'

解得丁=一旦"2,

???該方程解為非負(fù)整數(shù),

，〃=7,13,

.??7+13=20,

故答案為：20.

4.解下列分式方程

(1)—=—；

2xx+3

【答案】⑴x=l

（2）x=1

【分析】本題考查的是分式方程的解法，掌握分式方程的解法步驟是解本題的關(guān)鍵.

（1）先去分母，把方程化為整式方程，再解整式方程并檢驗(yàn)即可；

（2）先去分母，把方程化為整式方程，再解整式方程并檢驗(yàn)即可.

12

【詳解】（1）解：白=二，

2x尤+3

去分母得：x+3-4x,

3x=3,

解得：尤=1；

經(jīng)檢驗(yàn)：尤=1是原方程的解.

去分母得:2x=3-4(1),

2x+4x=3+4,即6x=7,

7

解得：x=-,

o

經(jīng)檢驗(yàn)：尤=:7是原方程的解.

6

5.在數(shù)學(xué)課上，老師展示兩道習(xí)題的解答過(guò)程:

習(xí)題計(jì)算：幻+北2x

1:習(xí)題2：解方程:kb

a(a-l)也解：方程兩邊同乘％+1,得2=%+1.....第

解：原式一/1/…弟

+1)(〃一1)(〃+1)(々一1)一步

步解得X=1........................................第二步

=a—l+—1)....................第二步經(jīng)檢驗(yàn)，X=1是分式方程的解......第三

=a2—1................................第三步步

⑴解答過(guò)程中，習(xí)題1從第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，習(xí)題2從第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；

（2）任選一個(gè)習(xí)題寫(xiě)出正確的解答過(guò)程.

【答案】⑴二；一

（2）習(xí)題1：1；習(xí)題2：%=5

【分析】（1）根據(jù)計(jì)算過(guò)程判斷即可求解；

（2）習(xí)題1：先分母因式分解，再約分，然后進(jìn)行同分母分式的加法運(yùn)算即可；

習(xí)題2：按照解分式方程的一般步驟解答即可；

本題考查了分式的加減運(yùn)算，解分式方程，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：解答過(guò)程中，習(xí)題1從第二步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，習(xí)題2從第一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，

故答案為：二，一；

（2）解：習(xí)題1：原式=（=乂］1）+后

1a

--------1-------

〃+1Q+1

_a+1

a+1

=1；

習(xí)題2：方程兩邊同乘得2=%+%+1,

解得X=g,

13

檢驗(yàn)：當(dāng)％=5時(shí)，x+l=0,

=!是原方程的解.

6.”程，課程也，二物者二程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程"這是我國(guó)古代著名數(shù)

學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)》對(duì)方程一詞給出的注釋?zhuān)F(xiàn)有如下兩個(gè)約定：

（I）方程的整數(shù)解稱(chēng)之為"趣根"；

（II）若兩個(gè)方程存在相同的"趣根"，則稱(chēng)這兩個(gè)方程為"同源方程

已知分式方程二=1①與一元一次方程3x+2=2（x+2）-l②；

x-1x-1

請(qǐng)判斷方程①②是否為“同源方程"，并說(shuō)明理由.

【答案】不是，見(jiàn)解析

【分析】本題考查了解分式方程和解一元一次方程，熟練掌握解分式方程和解一元一次方程的方法是解答

本題的關(guān)鍵.

解出分式方程和一元一次方程之后，再結(jié)合"同源方程"的定義判斷即可.

【詳解】解：不是，理由如下：

x+14,

-------i—=1,

尤-1x2—1

方程兩邊乘以尤2一1,得（％+1）2一4=尤2-1,

解得X=1,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=l時(shí)，x2-1=0,

是原方程的增根，

原方程無(wú)解，

方程①?zèng)]有"趣根"；

3x+2=2（x+2）-1,

去括號(hào)，得3x+2=2x+4-1,

移項(xiàng)，得3x-2x=4—1-2,

合并同類(lèi)項(xiàng)，得x=l,

方程方程②有"趣根"，

綜上，方程①②不是"同源方程

7.某商廈進(jìn)貨員在廣州發(fā)現(xiàn)一種飾品，預(yù)計(jì)能暢銷(xiāo)市場(chǎng)，就用8000元購(gòu)進(jìn)所有飾品，面市后果然供不應(yīng)

求.進(jìn)貨員又在上海用13200元購(gòu)進(jìn)，這次比在廣州多進(jìn)了100件，但單價(jià)比廣州貴了10%.

⑴求兩次所購(gòu)數(shù)量分別是多少？（列分式方程求解）

（2）商廈銷(xiāo)售這種飾品時(shí)每件定價(jià)都是58元，最后剩下15件按8折銷(xiāo)售，很快售完.在這兩筆生意中，商

廈共盈利多少元？（不考慮其它因素）

【答案】⑴廣州進(jìn)貨200件，上海進(jìn)貨300件

⑵在這兩筆生意中，商廈共盈利7626元

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，理解題意正確列方程是解題關(guān)鍵.

（1）設(shè)廣州進(jìn)貨的單價(jià)為x元，根據(jù)題意列分式方程求解即可；

（2）根據(jù)盈利=單件利潤(rùn)*數(shù)量，分別求出兩筆生意的盈利求和即可.

【詳解】（1）解：設(shè)廣州進(jìn)貨的單價(jià)為x元，則上海進(jìn)貨的單價(jià)為（1+10%口元.

8000~13200

依題意得：丁+1°0=即如，

解得：X=40,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=40是原方程的解，且符合題意，

.-.（l+10%）x=1.1x40=44,

^^=200（件），200+100=300（件）；

40

答:廣州進(jìn)貨200件，上海進(jìn)貨300件.

（2）解：商廈共盈利：

（58-40）x200+（300-15）x（58-44）+15x（58x80%—44）

=3600+3990+36

二7626（元）；

答：在這兩筆生意中，商廈共盈利7626元.

模型04一元二次方程應(yīng)用

考|向|預(yù)|測(cè)

一元二次方程應(yīng)用該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現(xiàn)在應(yīng)用題型中或者與二次

函數(shù)相結(jié)合的題型中，具有一定的綜合性和難度。掌握一元二次方程的解法是解答本題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。一

元二次方程中根的判別式的應(yīng)用也需要我們重點(diǎn)理解和熟練應(yīng)用。一元二次方程的解法及根的判別式及其

應(yīng)用是中考的必考內(nèi)容之一，一般著重考查解一元二次方程及列方程解應(yīng)用題。

答|題|技|巧

1.審（審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等）；

2.設(shè)（設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量）；

3.歹U（根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程）；

4.解（解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰）;

5.驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問(wèn)題有意義）

6.答（寫(xiě)出答案，切忌答非所問(wèn)）.

［題型三例

>哀倒1.（2023?安徽）某縣為發(fā)展教育事業(yè)，加強(qiáng)了對(duì)教育經(jīng)費(fèi)的投入，2022年投入3億元，預(yù)計(jì)

2024年投入5億元，設(shè)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為無(wú)，下面所列方程正確的是（）

A.3（1+x）2=5B.3/=5C.3（l+x%>=5D.3（l+x）+3（l+x）2=5

【答案】A

【詳解】解：根據(jù)題意，得3(1+#2=5,

故選：A.

>支式

1.已知關(guān)于X的一元二次方程如2-2x+g=0無(wú)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是()

A.7M<2B.m^OC.m>2D.m<2且mwO

【答案】C

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，利用一元二次方程根的判別式求解即可，掌握一元二

次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：??一元二次方程g2_2x+g=0無(wú)實(shí)數(shù)根，

21

...A=(-2)-4xmx—=4-2m<0,

m>2,

故選：C.

2.己知關(guān)于x的一元二次方程--2公+4=]〃+l,其中a,6滿(mǎn)足2a-6=1,關(guān)于該方程根的情況，下列

4

判斷正確的是()

A.無(wú)實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.無(wú)法確定

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，利用一元二次方程根的判別式判斷根的情況是解題的關(guān)

鍵.由2a-b=l得到b=2a-1,代入到關(guān)于x的方程整理得到/_2辦+/-a°，再利用一元二次方程根

的判別式即可得出結(jié)論.

【詳解】解：■.-2a-b=l,

:.b=2a—l,

代入匕=2a-1gij關(guān)于x的方程得，f-26+a(2。-1)=z(2。一I1+1,

整理得：x2-2ax+a2--=0,

4

A=(-2a)2-47高=5>0,

???關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：C.

3.關(guān)于工的一兀二次方程/+mx+〃=o,下列說(shuō)法：①若=則方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

②若4-2〃<0,則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；③若，是方程/+?0：+"=0的一個(gè)根，則〃2+〃=-1；④若無(wú)=，

（才中。）是方程/+7加+"=0的一個(gè)根，則x是方程加2+巾+1=0的一個(gè)根.其中正確的是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程的根等知識(shí)點(diǎn)，掌握運(yùn)用一元二次方程

根的判別式判斷方程根的情況成為解題的關(guān)鍵.

通過(guò)證明A>0,即可判斷①，證明A="-4”<0,即可判斷②；根據(jù)一元二次方程根的定義得到

n（n+m+r）-0,則〃=0或帆+〃=一1即可判斷③；由題意可得〃1口+力工+1=0即可判斷④.

【詳解】解：①對(duì)于方程尤2+如+〃=0，

???A=m2-4xlxn=m2-4〃，

若加一2〃=1,則機(jī)=2幾+1,

/.A=m2—4n=（2n+1）2—4n=4n2+4〃+1-4〃=4n2+1>0,

???方程f+5+幾=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；故①正確；

G）由G）可知，△二加-4〃，

若機(jī)2一2〃<0,則根2<2〃，即2〃>加之20,貝!14〃>2〃〉機(jī)220,

???A=病一4〃<0,

???方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；故②正確；

2

③若n是方程％2+如+〃=0的一個(gè)根，則n_mn+n-o,即2+加+1）=0,

.??〃=0或〃+m+1=0,即〃=0或機(jī)+〃=一1,故③錯(cuò)誤；

④若％=/w0）是方程％2+的+〃=0的——個(gè)木艮，

:?F+TYlt+〃=0,

,?"w0,

????+機(jī)/+〃=0兩邊同除以廣得，l+m-+n--^-=0,

tt

即〃[J+m--+l=0,

=；是方程依2+如+1=0的一個(gè)根，故④正確；

綜上可知，①②④正確，共3個(gè).

故選：C.

4.某產(chǎn)品現(xiàn)在售價(jià)為每件60元，每星期可賣(mài)出300件.市場(chǎng)調(diào)查反映：如果調(diào)價(jià)，每漲價(jià)1元，每星期

要少賣(mài)出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣(mài)出20件.已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使每周

利潤(rùn)最大化，并確定X的取值范圍？

【銷(xiāo)售最大利潤(rùn)問(wèn)題】先通過(guò)價(jià)格與利潤(rùn)關(guān)系得到二次函數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)圖象及性質(zhì)求最大值.

(1)設(shè)每件漲價(jià)X元，則此時(shí)每星期少賣(mài)件，實(shí)際賣(mài)出件，此時(shí)每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)為—

元，每周產(chǎn)品的銷(xiāo)售額元，此時(shí)每周產(chǎn)品的成本元，因此周利潤(rùn)合計(jì)為：

y=(60+x)(300-lOx)-40x(300-10x)

=-10x2+100x+6000

=-10(x-5)2+6250

當(dāng)產(chǎn)品單價(jià)漲價(jià)5元，即售價(jià)元，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元

(2)設(shè)每件降價(jià)x元，則此時(shí)每星期多賣(mài)件，實(shí)際賣(mài)出________件，此時(shí)每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)為一

元，每周產(chǎn)品的銷(xiāo)售額元，此時(shí)每周產(chǎn)品的成本元，因此周利潤(rùn)合計(jì)為：

y=(60—x)(300+20X)-40x(300+20x)

=-20x2+100x+6000

=-20(x-2.5)2+6125

當(dāng)產(chǎn)品單價(jià)降價(jià)2.5元，即售價(jià)元，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元

當(dāng)產(chǎn)品單價(jià)漲價(jià)5元，即售價(jià)65元，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6250元.

當(dāng)產(chǎn)品單價(jià)降價(jià)2.5元，即售價(jià)57.5元，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6125元.

綜上所述，當(dāng)漲價(jià)5元時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)6250元

【答案】10x60+x300-10x(0<x<30)(60+x)(300-10x)40x(300-lOx)

65625020x60+x300+20x(0<x<20)(60—x)(300+20x)40x(300

+20x)57.56125

【解析】略

5.已知關(guān)于九的一元二次方程爐-2(m+1)%+療+5=。有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

⑴若機(jī)=2時(shí)，求方程的根；

⑵求m的取值范圍.

【答案】(1)%=%2=3

(2)m^2

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式和因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解方程是解

題的關(guān)鍵.

(1)把加=2代入方程，然后解方程求出方程的解即可；

(2)根據(jù)方程根的情況得到ANO,求出m的取值范圍即可.

【詳解】(1)解：把加=2代入方程d—2(機(jī)+l)x+1+5=0得了2一6犬+9=0，

解得占=%=3；

(2)解:根據(jù)題意得A=4(力7+1)2-4(加+5)20,

解得〃2，2.

6.閱讀材料，各類(lèi)方程的解法：

求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為。的形式，求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為

一元一次方程來(lái)解；類(lèi)似的，三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組.求解一元二次方程，把它

轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解.求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來(lái)解，由于“去分母"可能產(chǎn)生增根，

所以解分式方程必須檢驗(yàn).各類(lèi)方程的解法不盡相同，但是它們有一個(gè)共同的基本數(shù)學(xué)思想一一轉(zhuǎn)化，把

未知轉(zhuǎn)化為已知.

用"轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程.例如，一元三次方程/+/一2x=。，可以通過(guò)因式分

解把它轉(zhuǎn)化為元(/+x-2)=0,解方程元=0和爐+%—2=0,可得方程/+爐-2彳=0的解.

APD

XX

BC

(1)問(wèn)題：方程尤(尤2+x—2)=。的解是：西=0,x2=_,x3=_-

⑵拓展：用"轉(zhuǎn)化”思想求方程j2x+3=x的解;

(3)應(yīng)用：如圖，已知矩形草坪A5CD的長(zhǎng)AD=21m,寬AB=8m,點(diǎn)尸在AD上(">PD),小華把一根

長(zhǎng)為27m的繩子一段固定在點(diǎn)8,把長(zhǎng)繩網(wǎng)段拉直并固定在點(diǎn)尸，再拉直，長(zhǎng)繩的另一端恰好落在點(diǎn)C,

求AP的長(zhǎng).

【答案】⑴1,-2

(2)x=3

⑶15

【分析】本題考查了轉(zhuǎn)化的思想方法，一元二次方程的解法.解無(wú)理方程是注意到驗(yàn)根.

(1)首先提出x,然后因式分解多項(xiàng)式，然后得結(jié)論；

(2)兩邊平方，把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解，注意驗(yàn)根；

(3)設(shè)AP的長(zhǎng)為池，根據(jù)勾股定理和B