第17章勾股定理（單元測試-基礎卷）

【要點回顧】

【要點一】勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形兩直角邊a、Z?的平方和等于斜邊c的平方.（即：?2+ZJ2=C2）

2.勾股定理的應用

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用是：

（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；

（2）利用勾股定理可以證明有關線段平方關系的問題；

（3）求作長度為赤的線段.

【要點二】勾股定理的逆定理

1.原命題與逆命題

如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其

中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.

2.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：

如果三角形的三邊長a、b、C,滿足4+〃=02,那么這個三角形是直角三角形.

應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：

（1）首先確定最大邊，不妨設最大邊長為C；

（2）驗證與/+〃是否具有相等關系，若/+廿=02,則4ABC是以/C為直角的直角三角形，反

之，則不是直角三角形.

3.勾股數

滿足不定方程V+y2=z2的三個正整數，稱為勾股數（又稱為高數或畢達哥拉斯數），顯然，以X、y、Z

為三邊長的三角形一定是直角三角形.

常見的勾股數：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果（。、b、c）是勾股數，當t為正整數時，以ahbt、cf為三角形的三邊長，此三角形必為直角三

角形.

觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數，它們具有以下特征：

1.較小的直角邊為連續(xù)奇數；

2.較長的直角邊與對應斜邊相差1.

3.假設三個數分別為a、b、c,且a<b<c,那么存在片=b+c成立.

【要點三】勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；

聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關.

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名的數學著作《周髀算經》中.下列

各組數中，是"勾股數”的是（）

A.2,3,4B.4,5,6C.7,8,9D.6,8,10

2.消防云梯的長度是13米，在一次執(zhí)行任務時，它只能停在離大樓5米遠的地方（云梯底端離地面

高度忽略不計），則云梯可以達到建筑物的高度是（）

A.12米B.13米C.14米D.15米

3.公園有一塊長方形草坪，芳芳同學發(fā)現有極少數人為了走捷徑，踐踏草坪走出了一條路A3,為了

倡導人們愛護花草，建議公園管理人員在A處立一個標牌：“小草青青，腳下留情”.經過測量得知：AC兩

處的距離為4m,8,C兩處的距離為3m,則踐踏草坪少走的距離是（）

A.3mB.4mC.5mD.2m

4.如圖：4x1網格中每個正方形邊長為1,表示遙長的線段是（）

O

A.OAB.OBC.OCD.OD

5.如圖，已知點4（6,0）,3（0,8）,點P在〉軸負半軸上，若將沿直線AP折疊，使點8的對應點

恰好落在無軸正半軸上的點B處，則點尸的坐標是（）

A.（0,-10）B.（0,-12）C.（0,-14）D.（0,-16）

6.已知成比例的四條線段的長度分別為6cm,12cm,xcm,8cm，且AABC的三邊長分別為xcm,3cm,

5cm,則44BC是（）

A.等邊三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.無法判定

7.如圖，點P在/AO3內部，點片與點尸關于OA對稱，點鳥與點尸關于對稱.甲、乙兩位同學

各給出了自己的說法：甲：若4408=30。，則△耳。鳥是等邊三角形；乙：若6￡=夜8,則幺理=135。.對

于兩位同學的說法，下列判定正確的是（）

A.甲正確B.乙正確C.甲、乙都正確D.甲、乙都錯誤

254

8.如圖，在AACD中，AC=3,CD=4,?！辏?）于點后，以A。為直徑的半圓的面積為丁，那

8

么CE的長是（）

C.5D.2兀

9.四個全等的直角三角形按如圖1所示的方式擺放，形成兩個正方形，大正方形的面積為60cm，空

白區(qū)域所示的小正方形面積為48cm2.將圖1中的直角三角形分別沿著斜邊往里翻折，形成如圖2所示的更

小正方形，若直角三角形的兩條直角邊長分別為名優(yōu)。＞加，則代數式（。-6）的值為（）

C.12D.18

10.如圖，一個無蓋的半圓柱形容器，它的高為6cm,底面半圓直徑AC為4cm,點A處有一只螞蟻沿

如圖所示路線爬行，它想吃到上底面圓心8處的食物，則爬行的最短路程是多少（兀取3）（）

A.6y/2B.8C.2病D.10

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.若6,8,10之間滿足的等量關系是6?+82=102,則邊長為6,8,10的三角形是.

12.小亮家有一個高3m、寬2m的大門框（如圖），為了防止其變形，他在對角線（圖中虛線）的兩

端點間加固兩根木條，則其中一根木條的長度為m.

13.若R/0ABe兩直角邊上的中線分別是AE和80,則人序+及M與人所的比值是.

14.如圖，A3為一段斜坡，已知斜坡的高AC=3m,水平長度BC=2jT5m,現要在斜坡A3上鋪上

紅地毯，則至少需要紅地毯的長度（即A3的長度）為m.

15.如圖，在原點為。的數軸上，作一個兩直角邊長分別是1和2,斜邊為。3的直角三角形，點A在

點。左邊的數軸上，且Q4=O3,則點A表示的實數是

16.蕩秋千是中國古代北方少數民族創(chuàng)造的一種運動.小亮想利用所學的勾股定理的知識測算公園里

一架秋千的繩索AB的長度.如圖.他發(fā)現秋千靜止時，秋千踏板離地面的垂直高度3c=1m,將踏板往前

推送，使秋千繩索到達。的位置，測得推送的水平距離為6m,即DE=6m.此時秋千踏板離地面的垂直高

度￡>b=3m.那么，繩索的長度為m.

17.如圖，在小正方形邊長為1的方格中，以線段A8、BC、為邊的三角形的面積為

（2）若03=8,AB=10,點A在點。的北偏西50°方向，則點B在點O北偏東度的方向上.

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

19.（8分）政府計劃將如圖所示的四邊形閑置地修建成市民休閑區(qū).已知NC=90。，AB=200m,

AD=150m,BC=70m,CD=240m.政府計劃投入240萬元進行打造，預計每平方米的費用為100元.通

過計算說明政府投入的費用是否夠用.

20.（8分）如圖，點B在。C上，ZAOB=90°,OA=OB=^OC,AC=2A/10,求AB的長為多少？

21.（10分）如圖，某校有一塊三角形空地A3C,ZACB=90°,為了更好的落實"雙減"政策，豐

富孩子們的課業(yè)生活，學校計劃將該三角形空地改造成多功能區(qū)域，現要求將三角形ACD區(qū)域設計成手工

制作區(qū)，其余部分設計成健身區(qū)，經測量：CD=3O米，AD=40米，BC=120米，AB=13O米.

（1）求NADC的度數；

（2）求圖中健身區(qū)（陰影部分）的面積.

C

AB

22.（10分）如圖，在AABC中，ZC=90°,BC^a,AC=b,AB^c.延長CB到點。，使瓦）=6；

過點。作8的垂線并在垂線上截取=連結BE和AE.求證:

（1）AB=BE,AB±BE.

（2）利用此圖的面積表示式證明

23.（10分）如圖，將等邊ADEF放在含有30。角的直角三角板ABC上（ZA=9O°,ZC=30°）,

使E尸落在線段AC上，DE與。尸分別交邊8c于點從G,其中FG=2.

（1）證明：GF=FC；

（2）求CG的長.

24.（12分）已知等邊AABC,點。、點B位于直線AC異側，ZADC=30°.

（1）如圖1,當點。在8C的延長線上時，①根據題意補全圖形；②下列用等式表示線段AD,BD,

。之間的數量關系：I.AD+CD=BD；II.AD2+CD2^BD2,其中正確的是（填"I"或"II"）；

（2）如圖2,當點。不在BC的延長線上時，連接3。，判斷（1）②中線段A￡）,BD,CD之間的正

確的數量關系是否仍然成立.若成立，請加以證明；若不成立，說明理由.

C

圖2

參考答案:

1.D

【分析】根據“勾股數”的定義，逐項判斷，即可求解.

解：A、22+32^42,不是"勾股數"，故本選項不符合題意；

B、42+52^62,不是"勾股數"，故本選項不符合題意；

C、72+82^92,不是"勾股數"，故本選項不符合題意；

D、62+82=102,是“勾股數"，故本選項符合題意；

故選：D

【點撥】此題主要考查了勾股數，關鍵是掌握勾股數的定義：若滿足片+62=02的三個正整數,

稱為勾股數.

2.A

【分析】根據題意畫出圖形，再利用勾股定理求解即可.

解：如圖，

回梯子的底端離建筑物5米，梯子長為13米，

0AC=7132-52=12（米）?

答：云梯可以達到建筑物的高度是12米.

故選：A.

【點撥】本題考查的是勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解

決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖.領會數形結合

的思想的應用.

3.D

【分析】本題考查了勾股定理.熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

由勾股定理得，AB=y/AC2+BC2=5-根據AC+3C-AB,計算求解即可.

解：由題意知，AC=4m,BC=3m,

由勾股定理得，AB=yjAC2+BC2=5m>

回AC+BC—AB=2m,

團則踐踏草坪少走的距離為2m,

故選：D.

4.B

【分析】利用勾股定理求出每條線段的長，再進行判斷即可.

解：由勾股定理得，。4="喬=應

OB=df+聯(lián)=6，

OC=Vl2+32=A/10-

0￡>=在+42=岳,

???表示正應為線段08.

故選：B.

【點撥】本題考查在網格中表示無理數的長，掌握勾股定理求線段的長是解題關鍵.

5.B

【分析】根據勾股定理求得,設尸(0/),/<0,根據折疊的性質得出AB，=AB=10,P?==8T,

在Rt△尸OB'中，勾股定理即可求解.

解：團點4(6,0),3(0,8),

回OA=6,OB=8,

0AB=VO*A2+OB2=10>

回將AFAB沿直線AP折疊，使點6的對應點恰好落在尤軸正半軸上的點處,

SAB'=AB=W

SOB'=OA+AB'=10+6=16,

設P(0j),r<0,

0PB'=PB=8—t

在Rt△尸O?中，OP=-t,

0(-r)2+162=(8-f)2

解得：t=-12,

回尸的坐標為(O,T2)

故選B.

【點撥】本題考查了勾股定理與折疊問題，坐標與圖形，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵.

6.C

【分析】本題考查了成比例線段和勾股定理的逆定理，掌握成比例線段定理是解答此題的關鍵.根據

題意求出尤的值；然后再根據勾股定理的逆定理，確定三角形的形狀即可.

解：???四條線段成比例，

「?6:12=x:8

解得：x=4；

AABC的三邊長分別為xcm,3cm,5cm,32+42=52,

「?AABC是直角三角形，

故選：C.

7.C

【分析】連接。尸，根據對稱的性質以及垂直平分線的判定和性質可得。尸=04,OP=OP2,

ZPlOA=ZPOA,ZP2OB=ZPOB,推得。尸=O/]=O￡,ZP.OP,=2ZAOB,根據等腰三角形的性質和三角

形內角和定理可求得N"鳥=180。-乙4。氏若ZAOB=30。，求得/片。2=60。，根據等邊三角形的判定即

可證明甲同學的說法正確；若6呂=在8,根據勾股定理的逆定理可推得90。，即可證明乙同學

的說法正確.

解：連接。尸，如圖：

回點A與點尸關于Q4對稱，點八與點尸關于08對稱，

即OA是小的垂直平分線，是尸鳥的垂直平分線，

回O尸=?！?，OP=OP2,ZP,OA=ZPOA,ZP2OB=ZPOB,

^\OP=OP[=OP2,

又團ZAOB=NPQ4+ZPOB,

回

APXOP2=APXOA+ZAOB+AP2OB=2ZAOB,

在等腰三角形4。尸中，4PoJ80°一;尸邛=90。_；NPO[,

在等腰三角形尸中，組

60PO='Cl。7°、=90o_lzpOp2,

則/垃PR=NRPO+ZP2PO=180°--NROg=180°-ZAOB；

若ZAOB=30°,則N[。鳥=2ZAOB=60°,

又回。6=。巳，

回為等邊三角形，故甲同學的說法正確；

若他=0OP,

團OP=OPi=OP2,

即他=描當=技線，

則初,。月，。心滿足4鳥2=。尸+。牙,

回△《06為直角三角形，

回=90°,

則/RP鳥=180°-1NROB=180。-45。=135。，故乙同學的說法正確；

故選：C.

【點撥】本題考查了對稱的性質，垂直平分線的判定和性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，

等邊三角形的判定，勾股定理的逆定理，熟練掌握以上判定和性質是解題的關鍵.

8.A

257r

【分析】根據以AZ）為直徑的半圓的面積為P，可求得AP=5,再由勾股定理的逆定理確定△ACD為

O

直角三角形，然后借助AACD的面積求解即可.

25萬

解：根據題意，以切為直徑的半圓的面積為丁，

O

e,[,.17257r.

則有彳%（zF-）=k，解hT得AD=5,

22o

又回AC=3,CD=4,

回AC?+CD?=32+42=25=AD2,

回△ACD為直角三角形，

團CE_LAZ）,

SISAACD=^AC-CD=^AL>-CE,

gp|x3x4=1x5xCE,解得CE=2.4.

故選：A.

【點撥】本題主要考查了勾股定理的逆定理、半圓的面積等知識，利用勾股定理的逆定理證明AACD為

直角三角形是解題關鍵.

9.B

【分析】本題考查勾股定理以及完全平方公式，注意觀察圖形：發(fā)現各個圖形的面積和a,b的關系是

解決本題的關鍵.根據正方形的面積公式以及勾股定理，結合圖形進行分析發(fā)現：圖1中：大正方形的面

積為（。+勾2=60,小正方形的面積為6+〃=48,則四個直角三角形的面積和是大正方形的面積減去小正

方形的面積為2必=12.在圖2中，最中間的正方形面積為（a-Bp,也可以用圖1中的小正方形面積減去

四個直角三角形的面積，即48-2仍=36,即可求解.

解：根據題意，得4x^aZ?=60-48,

2

回2ab=12,

0（a-Z?）2=48-2。6=36,

Sa-b=6.

故選：B.

10.D

【分析】此題考查平面展開-最短路徑問題.要求螞蟻爬行的最短距離，需將半圓柱的側面展開，進而

根據"兩點之間線段最短"通過勾股定理得出結果.

解：將圓柱的側面展開為矩形，

其中AC為半圓的弧長［乃?d=6cm,CD為半徑的長2cm,BD=6cm,

2

根據勾股定理可得AB=V62+82=10（cm）,

故爬行的最短路程為10cm.

故選：D

11.直角三角形

【分析】根據勾股定理逆定理判斷即可.

解：因為6+8?=102,

所以邊長為6,8,10的三角形是直角三角形.

故答案為：直角三角形.

【點撥】本題主要考查了勾股定理的逆定理，理解勾股定理逆定理是解題的關鍵.

12.V13

【解析】略

13.5：4

【分析】由勾股定理可得AE2=AC2+CE2①，BD2=BC2+CD2@,AC2+BC2=AB2,再將等式變形為：

AE2+BD2=AB2+CD2+CE2,結合三角形中線的性質可得進而可求解.

解：如圖，I3C=9O°,

A

由勾股定理可得：A￡2=AC2+CE2①，BD2=BC2+CD2②,AC2+BC2=AB2,

①+②得AE2+8r)2=Ac2+CE2+2C2+Cr)2=AB2+cz)2+cE2,

0AE,8。是0A8C的中線，

SCD=^AC,CE=《BC,

回82+加=(44C)2+(^BC)2」A￥,

224

SAE2+BD2=AB2+-AB2=-AB2,

44

即AEr+BD2與4#的比值是5：4.

故答案為：5：4.

【點撥】本題主要考查勾股定理，三角形的中線，靈活運用勾股定理解題是求解的關鍵.

14.7

【分析】根據勾股定理直接求解即可.

解：ElAC=3m,BC=25m,

團在直角三角形ABC中，

AB=y/BC2+AC2=42回j+3?=7m,

故答案為：7.

【點撥】本題考查了勾股定理的應用，比較簡單，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

15.-75

【分析】根據勾股定理求出直角三角形斜邊的長度，也就求出了Q4的長，結合圖中點A的位置確

定點A表示的數.

解：由題知，在直角三角形中，根據勾股定理得，

直角三角形的斜邊03=彳導=6,

貝ijOA=OB=5

回如圖，點A是以原點。為圓心遙為半徑作弧與數軸的交點，

回點A表示的數為-君.

故答案為：-亞.

【點撥】本題考查了實數與數軸，根據勾股定理確定斜邊的長度，即確定。4的長度是解答本題的關鍵.

16.10

【分析】先根據題意得出EC=DR=3ni,AB=AD,在設AE=.xm,得至!]AB=(x+2)m,最后根據勾

股定理求解即可.

解：由題意可知：BC=Im,DE=6m,EC=DF=3m,AB=AD,

AE=xm,貝！jAB=AD=AE+￡B=AE+(EC_BC)=(x+2)m,

在RtA4￡D中，AE2AD2-DE2>

0x2=(X+2)2-62,

解得x=8,

0AB=8+2=10(m),

故答案為：10.

【點撥】本題考查了勾股定理的應用，讀懂題意并熟練運用勾股定理是解題的關鍵.

17.y/lQ

【分析】結合圖形根據勾股定理求得線段A&BC、CD的長度，從而得出8C2+3C2=AB2,推出以線

段A3、BC、C。為邊的三角形是以線段為斜邊的直角三角形，進而根據直角三角形的面積公式求解即

可.

解：在RtHABZ)中，AB=[Ab2+BEP=及+3。=岳，

同理，BC=M+22=5DC"”=26,

回(指)2+(20)2=(可)2,

即BC2+DC2=AB2,

回以線段AB、BC、為邊的三角形是以線段A8為斜邊的直角三角形，

回該直角三角形的面積為：!BCx￡)C=1x^x2A/2=Vw.

z2

故答案為：Vio.

【點撥】本題考查三角形的面積，解題的關鍵是由三角形三邊滿足/2+%2=四2得出該三角形是

個直角三角形，從而利用直角三角形的面積公式求解.

18.6A/340

【分析】(1)根據勾股定理直接求解即可得到答案；

(2)根據勾股定理的逆定理得到NAO3=90。，再由方向角定義，互余定義列式求解即可得到答案.

解：(1)在AAQB中，/AOB=90。，AB=12,OA=6,則由勾股定理可得

OB=VAB2-OA2=A/122-62=6百，

故答案為：6百；

(2)如圖所示：

在AAOB中，OA=6,OB=8,AB=10,貝UOA。+05?=AB?,

ZAOB=9G°,

:點A在點。的北偏西50°方向，

ZAOC=50°,

..ZBOC=90°-50°=40°,

.,.點8在點。北偏東40度的方向上，

故答案為：40.

【點撥】本題考查勾股定理求線段長、勾股定理的逆定理及方向角，熟記勾股定理、勾股定理的逆定

理及方向角定義是解決問題的關鍵.

19,夠用，理由見分析

【分析】本題考查了勾股定理的應用，靈活運用定理及其逆定理是解題的關鍵.

根據勾股定理的逆定理得到NA=90。，根據三角形的面積公式即可得到結論.

D

C

A、B

解：連接30.

ZC=90°,BC=70m,CD=240m,

BD=y/BC2+CD2=A/702+2402=250m-

0AD2+AB2=22500+40000=62500=BD2,

.?.△ABD是直角三角形，且ZA=90。.

回四邊形ABCD的面積為：

-x200xl50+-x240x70=23400(m2).

22v7

所以所需費用為：23400x100=234(萬元).

234<240,

回投入的費用夠用.

20.AB=2叵

【分析】根據勾股定理計算即可.

解：SZAOB=90°,AC=2A/10,OA=^OC,

EOA2+OC2=AC2,

即。42+(3。4『=40,

得1001=40,

即OA=2,

^OA=OB,

^AB=y/o^+OB2=V22+22=272.

【點撥】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題關鍵.

21.(1)ZADC=90°；(2)2400平方米

【分析】本題考查勾股定理定理和逆定理，三角形的面積，掌握勾股定理和逆定理是解題的關鍵.

(1)先利用勾股定理求出AC的長，然后再利用狗狗股定理的逆定理得到△ADC是直角三角形即可;

(2)利用三角形的面積解題即可.

解：（1）因為NAC3=90。，3c=120米，AB=130米,

所以AC=JAB?-BC。=J130?一吃。？=50（米），

因為CD=30米，AT>=40米，

所以AD?+CD2=AC2=2500-

所以△ADC是直角三角形，ZADC=90°.

（2）圖中陰影部分的面積=1ACX3C—LAOXO）=UX50X120-LX40X30=2400（平方米）.

2222

22.（1）見分析；（2）見分析

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，勾股定理.

（1）證明V3Z宏式VACB即可；

（2）梯形的面積等于三個直角三角形的面積之和，即可得證.

解：（1）證明：^\DEYBD,

EZr）=ZC=90°,

回DE=BC=a,AC=BD=b,

國VBDEAACB,

團A3=BE,/A