基于四階統(tǒng)計量的相干信號波達方向估計算法研究目錄TOC\o"1-3"\h\u80161.1數(shù)學模型的構建 143661.2Toeplitz聯(lián)合對角化 2278271.2.1四階統(tǒng)計量 2148691.2.2Toeplitz矩陣去相關 361921.2.3Toeplitz矩陣的方位估計 4137101.3仿真實驗 71.1數(shù)學模型的構建圖1.1對稱均勻直線陣建模圖假設將一直線劃分成等份，其每一等份代表一個陣元，碰撞陣列的信號是來自各個方向，其中，其信號的個數(shù)P(P<M+1)，其相干信號可表示為 式中，表示第一個信號；表示幅度衰減程度；表示相位的大小。設，時刻到達時，第m個水聽器接收到的信號是 ，是陣元間隔。式（4-2）向量狀態(tài)可表示成 P個陣元組成的向量矩陣，P個方向陣元構成的后面形成的方向矩陣，是由P個方向向量構成的導向。設滿足如下條件 又 為一個階的埃爾米特矩陣，且它是未知的；表示為 1.2Toeplitz聯(lián)合對角化1.2.1四階統(tǒng)計量由于二階統(tǒng)計量只能描繪高斯信號，但實際中非高斯信號更多，此時可以把它們的信息嵌入到四階累積量矩陣中REF_Ref18246\w\h[29]。對于除去非高斯過程中的噪聲，本章采用四階統(tǒng)計量代替其協(xié)方差REF_Ref18327\w\h[30]。我們先定義一個四階統(tǒng)計量為 。定義一個未知量為的M*M維矩陣 可以獲得在范圍內(nèi)的矩陣，得到 序號為m的陣元在方向順序數(shù)為n方向的向量,序號為P的四階統(tǒng)計量為。的取值范圍是在[-M，M]之間，可以產(chǎn)生個高階統(tǒng)計量矩陣， 則表明和它們的統(tǒng)計信息是一樣的，1.2.2Toeplitz矩陣去相關我們知道當為滿秩時則信號間是不相關的，當有相干信號時，會變成秩虧。為了避免秩虧造成性能下降，在DOA估計前，要先去相關。變量為時，得到高階累積量矩陣為 其中滿足如下關系：我們可以構造一個如下形式的Toeplitz矩陣： 為滿秩的范得蒙矩陣，P個方向向量組成的集合中，它們彼此之間是線性的且互相獨立。 當時，。因此是一個不考慮相關信源的滿秩對角陣。 1.2.3Toeplitz矩陣的方位估計可以用替換，用替換。所以替換成 是一個有聯(lián)合對角化模型的矩陣，它和A的區(qū)間是一樣的，所以得到它們相同的子空間為 的第-m和m行是共軛對稱的，和的統(tǒng)計信息相同，可表示為。用的前行組建Toeplitz矩陣，則只有(M+1)個Toeplitz矩陣包含不同的統(tǒng)計信息。然后通過個矩陣去計算的范圍，最后就可以估計DOA的變量。第P個信源的向量可以表示為 則和可以寫為 將變量代入有 。讓和平行則存在一個量，即 尋找方位角θ的最優(yōu)化問題可表示為 是參數(shù)為θ的方向向量，b是維向量，。為避免關于θ的式子中，約束由于b和均為未知參數(shù)，所以式(4-24)不能直接搜尋DOA。所以可以把式(4-24)簡化到?jīng)]有b和。展開價值函數(shù)為 把F和G(θ)的表達式代入和，則(4-25)可以寫成 通過拉格朗日乘數(shù)法，可以得到 θ和g固定時，對b求一階導數(shù)為 有上面的式子計算得出 將式(4-31)代到(4-28)，最優(yōu)化式子簡化為 只有讓最大，式(4-32)才能最小化。因為的前面有一個負號，他們是相減，要最小則可以讓的絕對值變成最大值。特征向量和特征值對應?？梢缘玫? ，將式代入到中得到 是的最大的特征值，可以寫成 因為它滿足，所以得到 將式代入到式，則的最大值變?yōu)? 只有時等式成立，式進一步簡化為 (4-38)每個統(tǒng)計量矩陣可構成個Toeplitz矩陣。因此價值函數(shù)為 相干入射信號的偽輸出功率譜為 四階矩陣估計算法仿真步驟（1）定義個在范圍為的四階累計量矩陣。（2）構建Toeplitz矩陣。（3）根據(jù)與分別構建出F及G（θ）矩陣。（4）計算空間譜P(θ)。（5）搜尋期望信號的譜峰P(θ)，得到對應的波達方向。1.3仿真實驗本節(jié)，我們將會檢驗基于高階矩陣去相干DOA估計算法的準確性。設置信號均是4QAM，均勻直線陣有8陣元，陣元間隔為半波長。(k,1)為序號是k和l的噪聲協(xié)方差矩陣 γ是衰退因子，它會改變噪聲的相干性。白高斯過程就是為時的情況。實驗一：不同入射方向情況下的功率譜仿真圖在本實驗中，SNR=10dB,設置N=500，水下入射信號的入射方向角度分別，，。設置兩個衰退系數(shù)一個為0.7一個為0。即：和圖1.2不同算法下的相干信號的功率譜對比圖圖1.2是不同算法下的相干信號的功率譜對比圖。當1信號和2信號相干時，本章的聯(lián)合對角化結(jié)構去相干DOA估計算法在信號為信號1和信號2方向的歸一化輸出功率譜有兩個峰值，說明可以分辨出這兩個信號，而CBF算法、MVDR算法和MUSIC算法在1信號和2信號方向的歸一化輸出功率譜只出現(xiàn)了一個峰值，所以這三種算法不能分辨出這兩個信號。圖1.3是在相干噪聲下，不同算法下的相干信號的功率譜對比圖。當1、2信號相干時，本章提出的算法在1、2方向的歸一化輸出功率譜有兩個峰值，說明也可以分辨出這兩個信號。另外三種算法在1、2方向的歸一化輸出功率譜只出現(xiàn)了一個峰值，也不能分辨出這兩個信號。在相干噪聲下，四種算法的歸一化輸出功率都有所下降，體現(xiàn)出相干噪聲對算法的影響。根據(jù)圖1.2和圖1.3可以看出，對于有不同噪聲的情況，用本章的聯(lián)合對角化結(jié)構去相干方位估計算法在圖和圖中都有3個峰值，因此它可以高精度的對信號波達方向進行估計。圖1.3不同算法下的相干信號的功率譜對比圖圖1.4不同算法下的相干信號的功率譜對比圖圖是不同算法下的相干信號的功率譜對比圖，當背景噪聲為白噪聲下，入射信號1和3相干，2獨立時的歸一化輸出功率。當1和3信號相干時，除了MUSIC算法只能分辨出兩個信號方向，其他算法都能分辨出三個信號方向。圖1.5不同算法下的相干信號的功率譜對比圖圖1.5不同算法下的相干信號的功率譜對比圖，入射信號1和3相干，2獨立。在此條件下，只有本章的聯(lián)合對角化結(jié)構去相干方位估計算法和CBF算法，可以分辨出這兩個信號。和白噪聲情況相比，CBF算法和聯(lián)合對角化結(jié)構去相干方位估計算法的三個峰值均達到1，而MVDR算法的變化不大。圖1.6不同算法下的全部相干信號的功率譜對比圖圖1.6是用不同算法在白噪聲條件下的相干信號的功率譜對比圖，入射信號1、2和3都相干。在此條件下，唯獨本章的聯(lián)合對角化結(jié)構去相干方位估計算法可以分辨出這三個不同角度方向的信號。其中，MVDR能分辨出3信號，其他算法一個信號都不能分辨出來，所以是聯(lián)合對角化結(jié)構去相干方位估計算法的性能最好。圖1.7不同算法下的全部相干信號的功率譜對比圖圖1.7是用不同算法在相干噪聲條件下的相干信號的功率譜對比圖，入射信號1、2和3都相干。在此條件下，也是只有本章的聯(lián)合對角化結(jié)構去相干方位估計算法可以分辨出這三個不同角度方向的信號。與圖1.6不同的是，另外的三種算法一個方向的信號都不能分辨出來，所以在相干噪聲下也是聯(lián)合對角化結(jié)構去相干方位估計算法的性能最好。實驗二：不同信噪比下的均方根誤差和分辨概率仿真定義有8個水聽器，相干信號1和相干信號2的角度分別為和；獨立信號3角度的方向為。同時設置兩個快拍數(shù)分別為50和100進行對比，輸入信噪比SNR的取值范圍是。使衰退因子，可以得到一個相干性很高的噪聲，可以達到為了更一般化，使就使其更具有普遍性。在實驗一中，MUSIC算法和MVDR算法在處理相干信號時，相干信號的方向就已經(jīng)不能分辨出了，繼續(xù)研究也沒有意義，所以只對比CBF算法和本章的Toeplitz矩陣去相干算法的區(qū)別。觀察圖1.8不同算法下的相干信號的功率譜對比圖，入射信號1和2信號相干，3信號獨立，Toeplitz矩陣去相關算法的角度估計均方根誤差一直都比CBF算法的均方根誤差小。定義N次獨立實驗下的均方根誤差 和分別為DOA實際的角度和估計角度，P是信號個數(shù)。首先設置為區(qū)間范圍，則分辨概率為： 是波達估計時的允許的誤差方向，第P個信號允許存在的方位估計范圍是。當全部估計值均進入對應的估計范圍內(nèi)時，則此次估計是成功的。圖1.8CBF算法和本文算法的角度誤差對比圖（N=50）在圖是在不同信噪比下，輸入信號相干時，快拍數(shù)為N=50的CBF算法和本文算法的估計角度均方根誤差仿真圖。對比它們的曲線可以看出，在輸入信噪比不斷增大的過程中，CBF算法估計角度均方根誤差都高于本章的Toeplitz矩陣去相關算法的結(jié)果。圖1.9CBF算法和本文算法的角度誤差對比圖（N=100）在圖1.9是在不同信噪比下，輸入信號相干時，快拍數(shù)為N=100的CBF算法和本文的Toeplitz矩陣去相關算法估計角度均方根誤差仿真圖。根據(jù)它們的曲線可以看出，在輸入信噪比不斷變化的過程中，CBF算法估計角度均方根誤差都高于本章的Toeplitz矩陣去相關算法的結(jié)果。圖1.10CBF算法和本文算法的分辨概率對比圖（N=50）在圖1.10是在信噪比不斷變化的過程中，輸入信號相干時，快拍數(shù)為N=50的CBF算法和本文的Toeplitz矩陣去相關算法的分辨概率對比圖。通過它們的圖中曲線可以看出，在輸入信噪比不斷增大的過程中，兩種算法的分辨概率都在提高，不同的是當信噪超過15dB以后，Toeplitz矩陣去相關算法的分辨概率就一直為1，而CBF算法的分辨概率一直為達到1。圖1.11CBF算法和本文算法的分辨概率對比圖（N=100）