有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)分析綜述目錄TOC\o"1-3"\h\u15879有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)分析綜述 [2]設(shè)函數(shù)在區(qū)間上定義，若對(duì)于任意給定的正數(shù)，存在，只要，滿足時(shí)，就有，則稱函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)。在以上定義中，若固定，就能得到在點(diǎn)的連續(xù)性。即在區(qū)間上一致連續(xù)在區(qū)間上連續(xù)。注：此命題的逆命題不一定是成立的。定理1.3.5若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù)。證：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在這一區(qū)間的任意一點(diǎn)，都能找到對(duì)應(yīng)的，使得當(dāng)時(shí)有。這是因?yàn)?，?dāng)充分小時(shí)，有，所以。以表示。顯然，所有區(qū)間的總體覆蓋了區(qū)間，因此存在著有限多個(gè)區(qū)間也覆蓋了區(qū)間。設(shè)使這些區(qū)間中最小的一個(gè)長(zhǎng)度，并設(shè)為區(qū)間上彼此距離小于的任意兩點(diǎn)。那么。事實(shí)上，點(diǎn)屬于眾多區(qū)間的某個(gè)區(qū)間，但不超過。按照的定義，可得。連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有著非常廣泛的應(yīng)用，如日常生活中連續(xù)升溫或下連續(xù)降溫，數(shù)目年輪的連續(xù)增加，出行時(shí)距離目的地距離的連續(xù)減少等等，這類事件都可以抽象地用數(shù)學(xué)上的連續(xù)函數(shù)來描述。此前我們通過討論函數(shù)的性質(zhì)，如有界性，最值性，介值性等性質(zhì)的學(xué)習(xí)，局部了解了函數(shù)。此外，從某一點(diǎn)的連續(xù)性延伸到某一區(qū)間內(nèi)的一致連續(xù)性，更是函數(shù)性質(zhì)從局部到整體上的延伸拓展，使研究的函數(shù)性質(zhì)更深入全面。下面我們通過例題進(jìn)行討論。 例1.4.1設(shè)在上連續(xù)，且存在，證明：函數(shù)在上有界。 證： 取，則，當(dāng)時(shí)， 又，即： 在上連續(xù)， 在上連續(xù)。 根據(jù)有界性定理，都有成立 取 證畢。例1.4.2函數(shù)。若在有理點(diǎn)上取無(wú)理數(shù)值，在無(wú)理點(diǎn)上取有理數(shù)值，證明不是上的連續(xù)函數(shù)。證：顯然，不是上的連常值函數(shù)。因此，若是上的連續(xù)函數(shù)。由最值定理知，是一閉區(qū)間。但由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，至多是可數(shù)集，當(dāng)，也至多是可數(shù)集，故函數(shù)的值域至多是可數(shù)集。這與為閉區(qū)間矛盾。類似地，閉區(qū)間上：Riemann函數(shù)和Dirichlet函數(shù)都不是連續(xù)函數(shù)，因?yàn)檫@兩個(gè)函數(shù)的值域分別是可數(shù)集和有限集，無(wú)法充滿閉區(qū)間。例1.4.3證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根。證：令，則在區(qū)間上連續(xù)，又，，由零點(diǎn)存在定理，使得即， 方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根。例1.4.4討論函數(shù)在上的一致連續(xù)性。解：易知函數(shù)在上連續(xù)，設(shè)。當(dāng)時(shí)，設(shè)，則：，且，所以在上一致連續(xù)。當(dāng)時(shí)，，且所以在上一致連續(xù)。綜上所述，在上一致連續(xù)。例1.4.4現(xiàn)有一圓柱筒，其寬為，長(zhǎng)為，將圓筒套在另一曲線筒：上，圓筒可沿著筒滑動(dòng)，但筒的中心軸必須平行于軸。若要使筒可以成功地經(jīng)過曲線筒：所規(guī)定的部分。問：為任意小