2026屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)精準(zhǔn)復(fù)習(xí)

概率與統(tǒng)計(jì)中的基本思想方法長(zhǎng)春市第六中學(xué)劉洋概率織網(wǎng)明方向，統(tǒng)計(jì)為舵穩(wěn)航程概率織網(wǎng)明方向，統(tǒng)計(jì)為舵穩(wěn)航程皮埃爾·西蒙·拉普拉斯法國(guó)著名概率論學(xué)家皮埃爾·西蒙曾說過:“生活中最重要的問題，絕大部分其實(shí)只是概率問題”.一切靠數(shù)據(jù)說話，一切憑數(shù)據(jù)決策正成為人們的共識(shí)。

概率與統(tǒng)計(jì)作為高中數(shù)學(xué)課程四條主線之一，貫穿于必修和選擇性必修課程中，是我們提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體。掌握概率與統(tǒng)計(jì)的思想方法，不僅是應(yīng)對(duì)高考的需要，更是培養(yǎng)我們科學(xué)思維和決策能力的重要途徑。題組一：與統(tǒng)計(jì)圖表相關(guān)的決策性問題例1（新課標(biāo)Ⅱ卷2023.19）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：?jiǎn)栴}：這兩組統(tǒng)計(jì)圖蘊(yùn)含了哪些有用的信息？

陰性（指標(biāo)小于等于c）陽(yáng)性（指標(biāo)大于c）

患病者

未患病

陰性（指標(biāo)小于等于c）陽(yáng)性（指標(biāo)大于c）患病者未患病患病者未患病題組一：與統(tǒng)計(jì)圖表相關(guān)的決策性問題

假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．題組一：與統(tǒng)計(jì)圖表相關(guān)的決策性問題追問：本題可以凝練成一個(gè)什么樣的統(tǒng)計(jì)問題？

找到使漏診率和誤診率總和最小的平衡點(diǎn)

題組一：與統(tǒng)計(jì)圖表相關(guān)的決策性問題頻率分布直方圖，是實(shí)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)可視化的重要手段。問題：根據(jù)頻率分布直方圖，我們還可以求出哪些常用的統(tǒng)計(jì)量呢？百分位數(shù)：第??百分位數(shù)左側(cè)的長(zhǎng)方形面積和為??%；眾數(shù)：最高矩形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)；平均數(shù)：每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和；方

差：每個(gè)小矩形的面積×（小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)-平均數(shù)）2之和。眾數(shù)、百分位數(shù)，平均數(shù)從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；而方差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度。題組一：與統(tǒng)計(jì)圖表相關(guān)的決策性問題總體數(shù)據(jù)總體的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)總體的取值規(guī)律總體的方差(標(biāo)準(zhǔn)差)總體的百分位數(shù)樣本的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)樣本的取值規(guī)律樣本的方差(標(biāo)準(zhǔn)差)樣本的百分位數(shù)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)估計(jì)估計(jì)估計(jì)決策與建議具有或然性題組一：與統(tǒng)計(jì)圖表相關(guān)的決策性問題隨機(jī)性所以在運(yùn)用統(tǒng)計(jì)結(jié)果解釋實(shí)際問題時(shí)需更加謹(jǐn)慎。所以在運(yùn)用統(tǒng)計(jì)結(jié)果解釋實(shí)際問題時(shí)需要更加謹(jǐn)慎題組二：與分布列相關(guān)的決策性問題問題：籃球運(yùn)動(dòng)員的命中率是如何獲得的呢？

追問：命中頻率是運(yùn)動(dòng)員的命中概率嗎？每一次投籃命中都是一個(gè)隨機(jī)事件，可能命中，可能不命中，因此命中頻率是隨機(jī)的，而命中概率是確定的。所以命中頻率并不是命中概率，我們只是用運(yùn)動(dòng)員命中頻率來估計(jì)他的命中概率。用頻率估計(jì)概率是獲得隨機(jī)事件概率的重要方法評(píng)估他們?cè)谶M(jìn)攻端的效率和表現(xiàn)題組二：與分布列相關(guān)的決策性問題

求由甲參加第一階段比賽時(shí)，該隊(duì)比賽成績(jī)的分布列。題組二：與分布列相關(guān)的決策性問題

(1)若由甲參加第一階段比賽，(2)若由乙參加第一階段比賽，（1）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大,應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽?（2）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大,應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽?如果我們關(guān)心的是如何使成績(jī)最大化，我們可以根據(jù)哪種方案做出決策；如果我們關(guān)心的是如何使我們得分的平均水平達(dá)到最高，我們可以根據(jù)哪種方案能夠使做出決策題組二：與分布列相關(guān)的決策性問題每一個(gè)運(yùn)動(dòng)員在賽場(chǎng)上都不是一個(gè)人在戰(zhàn)斗，他們的背后都有一個(gè)強(qiáng)大的數(shù)據(jù)分析團(tuán)隊(duì)，為制定戰(zhàn)術(shù)、優(yōu)化陣容提供科學(xué)依據(jù)。期望值決策是一個(gè)合理的決策原則，然而他也有其自身的局限性追本溯源決策：要看他們的平均成績(jī)?cè)谒袇①愡x手中的位置，如果都排在前面，就選擇成績(jī)穩(wěn)定的乙選手，否則選甲。追本溯源題組二：與分布列相關(guān)的決策性問題新教材人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修三67頁(yè)問題2問題：如果挑選一名代表班級(jí)參加比賽，是否一定選擇乙？題組三：與成對(duì)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析相關(guān)的決策性問題例3（改編選擇性必修三140頁(yè)8題）為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法對(duì)患病情況進(jìn)行檢查，得到如下列聯(lián)表：（單位：只）藥物疾病合計(jì)未患病患病未服用7566141服用11247159合計(jì)187113300問題：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)如何直觀分析該藥物對(duì)預(yù)防疾病是否有效？

未服用藥物的動(dòng)物患病率約是服用藥物的動(dòng)物患病率的1.58倍，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率，可以推斷服用藥物對(duì)預(yù)防疾病有效。左邊的橘色和藍(lán)色條的高度分別是未服用藥物中患病與未患病的頻率；右邊的橘色和藍(lán)色條的高度分別是服用藥物中患病與未患病的頻率。通過比較發(fā)現(xiàn)，未服藥與服藥的患病比例有差異。追問：由此得到的“服用藥物對(duì)預(yù)防疾病有效”這一結(jié)論是否有可能是錯(cuò)誤的？由于樣本具有隨機(jī)性，所以很可能會(huì)出現(xiàn)這樣的情況：即在隨機(jī)抽取的樣本中，這兩個(gè)頻率存在差異，但在總體中，這兩個(gè)比例實(shí)際上沒有差別。那么，在這種情況下，我們推斷出的結(jié)論就是錯(cuò)誤的。題組三：與成對(duì)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析相關(guān)的決策性問題追問：在高中，我們有沒有一種更為合理的推斷方法，能夠?qū)Τ霈F(xiàn)錯(cuò)誤推斷的概率有一定的控制和估算呢？

題組三：與成對(duì)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析相關(guān)的決策性問題例3（改編選擇性必修三140頁(yè)8題）為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法對(duì)患病情況進(jìn)行檢查，得到如下列聯(lián)表：（單位：只）藥物疾病合計(jì)未患病患病未服用7566141服用11247159合計(jì)187113300

題組三：與成對(duì)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析相關(guān)的決策性問題例3（改編選擇性必修三140頁(yè)8題）為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法對(duì)患病情況進(jìn)行檢查，得到如下列聯(lián)表：（單位：只）藥物疾病合計(jì)未患病患病未服用7566141服用11247159合計(jì)187113300

在這里，我們不難發(fā)現(xiàn)，同一組數(shù)據(jù)，依據(jù)不同的檢驗(yàn)規(guī)則，我們獲得的結(jié)論是相反的，可見，推斷的結(jié)論與檢驗(yàn)規(guī)則息息相關(guān)！

題組四：與成對(duì)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析相關(guān)的決策性問題追問：為了進(jìn)一步研究動(dòng)物的年齡和患病率的關(guān)系，研究人員對(duì)141只未服藥的動(dòng)物的年齡與患病率進(jìn)行了分析，得到如下數(shù)據(jù)：年齡（月）69121824動(dòng)物數(shù)（只）202742466病例數(shù)（只）61319244患病率（%）3048.145.252.266.67請(qǐng)根據(jù)所給數(shù)據(jù)建立動(dòng)物年齡與患病率的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)21個(gè)月大動(dòng)物的患病率。

題組三：與成對(duì)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析相關(guān)的決策性問題

顯然不一定。實(shí)際上影響動(dòng)物患病率還有很多其他的因素，而動(dòng)物的年齡并不能完全決定患病率。在這里，我們只是利用一元線性回歸模型簡(jiǎn)化刻畫動(dòng)物年齡和患病率的相關(guān)關(guān)系。事實(shí)上，該模型也未必是刻畫這兩個(gè)數(shù)值變量關(guān)系的最佳模型！

題組三：與成對(duì)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析相關(guān)的決策性問題問題：