第1頁(yè)/共1頁(yè)2022-2024北京重點(diǎn)校高一（下）期末數(shù)學(xué)匯編數(shù)列的概念一、填空題1．（2022北京清華附中高一下期末）在數(shù)列中各項(xiàng)均為正數(shù)，且，給出下列四個(gè)結(jié)論：①對(duì)任意的，都有②數(shù)列不可能為常數(shù)列③若，則數(shù)列為遞增數(shù)列④若，則當(dāng)時(shí)，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.二、解答題2．（2024北京清華附中高一下期末）對(duì)給定的正整數(shù)，設(shè)數(shù)列，若存在，使得，則將數(shù)列進(jìn)行操作變換，得到數(shù)列，且為，或之一，記為.設(shè)（個(gè)），從開始進(jìn)行次操作變換，依次得到數(shù)列，即，.(1)當(dāng)時(shí)，分別判斷從開始進(jìn)行次操作變換，是否可以得到如下數(shù)列？若不可以，直接判斷即可；若可以，請(qǐng)寫出相應(yīng)的及；①；②；③；(2)當(dāng)時(shí)，從開始進(jìn)行次操作變換，是否可能得到數(shù)列？若不可以，請(qǐng)說明理由；若可以，求出與的所有可能取值.(3)給定正奇數(shù)，為使的各項(xiàng)均不相同，求操作變換次數(shù)的最小值.3．（2024北京東城高一下期末）設(shè)為正整數(shù)，集合．對(duì)于集合中的任意元素和，定義，，以及．(1)若，，，，求；(2)若，均為中的元素，且，，求的最大值；(3)若均為中的元素，其中，，且滿足，求的最小值．4．（2023北京101中學(xué)高一下期末）已知有窮數(shù)列滿足.給定正整數(shù)m，若存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的，都有，則稱數(shù)列A是m-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列.(1)判斷數(shù)列是否是3-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，并說明理由；(2)若項(xiàng)數(shù)為N的任意數(shù)列A都是2-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，求N的最小值；(3)若數(shù)列不是4-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，而數(shù)列，數(shù)列與數(shù)列都是4-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，且，求的值.5．（2023北京北師大附中高一下期末）已知有限數(shù)列共M項(xiàng)，其任意連續(xù)三項(xiàng)均為某等腰三角形的三邊長(zhǎng)，且這些等腰三角形兩兩均不全等.將數(shù)列的各項(xiàng)和記為．(1)若，直接寫出的值；(2)若，求的最大值；(3)若，求的最小值6．（2022北京清華附中高一下期末）設(shè)數(shù)列中每一項(xiàng)都是正整數(shù)，如果兩兩不同，則稱數(shù)列為數(shù)列.設(shè)，并且記中的元素個(gè)數(shù)為.(1)判斷數(shù)列與數(shù)列是否為數(shù)列，并說明理由；(2)若數(shù)列為數(shù)列，且，求證：的最小值為4；(3)若數(shù)列為數(shù)列，且，求證：.

參考答案1．①③④【分析】結(jié)合數(shù)列遞推式研究數(shù)列的單調(diào)性，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：對(duì)于①，在數(shù)列中，，則，又對(duì)于任意的都有，則，即，即對(duì)于任意的，都有，故①項(xiàng)正確；對(duì)于②，不妨設(shè)數(shù)列可能為常數(shù)列，則，又，則，則，即時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，故②項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于③，又，則，即，同理，當(dāng)，都有，即，即，即數(shù)列為遞增數(shù)列，故③項(xiàng)正確；對(duì)于④，，則，即，同理，當(dāng)，都有，又，即數(shù)列為遞減數(shù)列，即當(dāng)時(shí)，，故④項(xiàng)正確.故答案為：①③④.2．(1)①可以，，，，；②不可以；③不可以(2)，(3)【分析】（1）直接根據(jù)操作變換的定義判斷并證明；（2）利用每次變換后各項(xiàng)之和以及各項(xiàng)的平方和的變化規(guī)律即可證明，，然后給出符合條件的例子即可；（3）利用每次變換后各項(xiàng)之和以及各項(xiàng)的平方和的變化規(guī)律證明，再證明可以由數(shù)列經(jīng)過次操作變換得到一個(gè)各項(xiàng)互不相同的數(shù)列，即可得到操作變換次數(shù)的最小值為.【詳解】（1）對(duì)于①，可令，且，，，，即可得到所求數(shù)列；對(duì)于②，顯然無論怎樣變換，數(shù)列的各項(xiàng)之和是不變的，因此從開始進(jìn)行有限次變換后，數(shù)列的各項(xiàng)之和必定為零，故②中的不可能得到；對(duì)于③，假設(shè)當(dāng)時(shí)，通過若干次變換后得到了包含的數(shù)列，那么設(shè)數(shù)列第一次出現(xiàn)，由于這個(gè)必定是由變得的，從而必定包含兩個(gè).但由于數(shù)列的各項(xiàng)之和必定為零，故另外兩項(xiàng)或者都是，或者包含一個(gè)不大于的項(xiàng).若另外兩項(xiàng)都是，則可以不妨設(shè)（因?yàn)楦黜?xiàng)的順序并不重要），直接驗(yàn)證即知，從該數(shù)列中任意挑選一項(xiàng)加，再任意挑選另一項(xiàng)減后，得到的兩個(gè)新項(xiàng)不可能相等，所以不可能由某個(gè)數(shù)列變換得到，這導(dǎo)致矛盾；所以另外兩項(xiàng)必定包含一個(gè)不大于的項(xiàng)，這就說明，若通過若干次變換后得到了包含的數(shù)列，則在第一次出現(xiàn)之前就必定已經(jīng)出現(xiàn)過.但同理可證，若通過若干次變換后得到了包含的數(shù)列，則在第一次出現(xiàn)之前就必定已經(jīng)出現(xiàn)過.所以二者結(jié)合即知，和都是不可能出現(xiàn)的，故③中的不可能得到.（2）當(dāng)時(shí)，若能從數(shù)列經(jīng)過有限次變換得到數(shù)列，由于在變換的過程中數(shù)列的各項(xiàng)之和保持不變，故，從而必有，故.由于，故在每次變換后，數(shù)列的各項(xiàng)平方和會(huì)比變換之前增加，而的各項(xiàng)平方和為，的各項(xiàng)平方和為，故必定有，即.下面的變換過程表明，能夠?qū)崿F(xiàn)：，，，，，.故與的所有可能取值為，.（3）先證明一個(gè)公式：對(duì)正整數(shù)，有.證明：考慮在中從小到大取出三個(gè)不同的數(shù)的取法數(shù)目.一方面，取法顯然有種；另一方面，的全部可能選擇為，當(dāng)取定為后，有種可能的選擇，有種可能的選擇，且和的選擇互不影響，故所有的取法一共有種.綜合兩方面就得到，所以.這就得到.回到原題.對(duì)正奇數(shù)，設(shè)，由于在變換的過程中數(shù)列的各項(xiàng)之和保持不變，且在每次變換后，數(shù)列的各項(xiàng)平方和會(huì)比變換之前增加，故，.若兩兩不等，不妨設(shè)，由于，故不可能都非負(fù)，也不可能都非正，所以一定存在，使得.由于都是整數(shù)，故有，.所以，從而，且.將兩個(gè)不等式相加，得到，所以就得到，故.至此，我們得到.下面使用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)正奇數(shù)，可以對(duì)數(shù)列（個(gè)）進(jìn)行次變換，得到各項(xiàng)互不相同的數(shù)列.當(dāng)時(shí)，令，，，，，.則對(duì)數(shù)列進(jìn)行次變換后得到了各項(xiàng)互不相同的數(shù)列.故結(jié)論對(duì)成立.對(duì)正奇數(shù)，假設(shè)結(jié)論已經(jīng)對(duì)成立，則根據(jù)歸納假設(shè)，可以對(duì)數(shù)列（個(gè)）進(jìn)行次變換，得到數(shù)列.然后繼續(xù)進(jìn)行如下變換過程：以此類推，可得然后繼續(xù)進(jìn)行如下變換：.最終就得到了滿足條件的數(shù)列.而由于，故最終就得到數(shù)列.從而結(jié)論對(duì)也成立.綜上，對(duì)正奇數(shù)，可以對(duì)數(shù)列（個(gè)）進(jìn)行次變換，得到各項(xiàng)互不相同的數(shù)列.所以，操作變換次數(shù)的最小值【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于尋找變換前后數(shù)列的相應(yīng)特征的變化規(guī)律，從而得到相應(yīng)的限定條件，并解決問題.3．(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)，然后直接根據(jù)定義解得的值即可；（2）根據(jù)已知條件考慮中所有等于的分量的個(gè)數(shù)，得到，再對(duì)構(gòu)造符合條件的例子；（3）直接通過反證法說明不可能成立，然后對(duì)構(gòu)造符合條件的例子.【詳解】（1）設(shè)，則由，，知.所以，得.而，故，從而.所以.（2）由已知有，，這些條件的含義是，都恰有個(gè)分量等于，且任意兩個(gè)不同向量沒有同時(shí)為的分量.由于，故一共只有個(gè)分量，這表明全體的所有分量中，至多有個(gè).而顯然一共有個(gè)，故，得.顯然，，滿足條件，此時(shí).這就說明的最大值是.（3）由，，知，.而條件的含義是，在序列中，任意一對(duì)相鄰的向量都恰有個(gè)分量不相等.根據(jù)題目?jī)?nèi)容，已有.若，則，，且恰有個(gè)分量不相等，恰有個(gè)分量不相等.換言之，恰有個(gè)分量相等，恰有個(gè)分量相等.而，故一定存在，使得的第個(gè)分量不相等，的第個(gè)分量也不相等.這就表明的第個(gè)分量相等，但，，它們沒有相等的分量，矛盾；這就表明.注意到，，，滿足全部條件，此時(shí).所以的最小值是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)新定義的理解，以及構(gòu)造性地給出符合條件的例子.4．(1)是，理由見解析；(2)11；(3)0.【分析】（1）根據(jù)新定義直接驗(yàn)證數(shù)列作答.（2）先根據(jù)新定義證明時(shí)，數(shù)列一定是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，再驗(yàn)證時(shí)，不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列即可.（3）由都是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列可得，，再由反證法證得，即可得出的值.【詳解】（1）數(shù)列是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，理由如下:數(shù)列中，，即有，所以數(shù)列是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列.（2）設(shè)集合，則中的元素個(gè)數(shù)為，因?yàn)樵跀?shù)列中，所以，若，則，所以在這個(gè)有序數(shù)對(duì)中，至少有兩個(gè)有序數(shù)對(duì)相同，即存在正整數(shù)，使得，所以當(dāng)項(xiàng)數(shù)時(shí)，數(shù)列一定是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，若，數(shù)列不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；若，數(shù)列不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；若，數(shù)列不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；若，數(shù)列不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；若，數(shù)列不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；若，數(shù)列不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；若，數(shù)列不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；若,數(shù)列不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，所以的最小值為11.（3）因?yàn)榕c都是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，所以存在兩兩不等的正整數(shù),使得，，下面用反證法證明，假設(shè)，因?yàn)椋灾兄辽儆袃蓚€(gè)數(shù)相等，不妨設(shè)，則所以是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，與題設(shè)矛盾，所以，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于新定義問題，一般先要讀懂定義內(nèi)容，第一問一般是給具體的函數(shù)或數(shù)列驗(yàn)證是否滿足所給定義，只需要結(jié)合新定義，驗(yàn)證即可，在驗(yàn)證過程中進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)新定義的理解，第二步一般在第一步強(qiáng)化理解的基礎(chǔ)上，所給函數(shù)或數(shù)列更加一般或復(fù)雜，進(jìn)一步利用新定義處理，本題第三問根據(jù)與都是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列得出，，利用反證法求是關(guān)鍵點(diǎn).5．(1)；(2)8；(3)50【分析】（1）直接列舉出數(shù)列，即可求得；（2）先構(gòu)造數(shù)列使，再說明不同的等腰三角形只有6個(gè)，故，即可求得的最大值；（3）先構(gòu)造數(shù)列使，再設(shè)T為數(shù)列的每一組連續(xù)三項(xiàng)的和的和，得，列舉出不同的等腰三角形，使和最小，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】（1）邊長(zhǎng)為1或2的等腰三角形只有1，1，1；1，2，2；2，2，2；若前三項(xiàng)為1，1，1，則該數(shù)列只有3項(xiàng)，不合題意；若前三項(xiàng)為1，2，2，該數(shù)列只有4項(xiàng)，該數(shù)列只能為1，2，2，2；若前三項(xiàng)為2，2，2，該數(shù)列只有4項(xiàng)，該數(shù)列只能為2，2，2，1；綜上：；（2）①構(gòu)造數(shù)列：1，2，2，2，3，3，3，1，此時(shí).②當(dāng)存在連續(xù)三項(xiàng)為1，1，1時(shí)，本題中有兩條邊為1，1的等腰三角形僅有1，1，1，即數(shù)列只有3項(xiàng)，與矛盾，舍去.③當(dāng)不存在連續(xù)三項(xiàng)為1，1，1時(shí)，連續(xù)三項(xiàng)（不考慮這三項(xiàng)的順序）共以下6種可能：1，2，2；1，3，3；2，2，2；2，2，3；2，3，3；3，3，3.又相鄰的4項(xiàng)組成的2個(gè)等腰三角形中間2項(xiàng)是共用的，則總的項(xiàng)數(shù)為不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)加上首尾2項(xiàng)，所以.④由①②③，M的最大值為8.（3）①構(gòu)造數(shù)列：1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，5，5，5，3，3，1，此時(shí).②設(shè)T為數(shù)列的每一組連續(xù)三項(xiàng)的和的和，則，即.③連續(xù)三項(xiàng)（不考慮這三項(xiàng)的順序）及這三項(xiàng)的和（標(biāo)注在下面的括號(hào)內(nèi)）有以下可能：其中畫橫線的連續(xù)三項(xiàng)不能同時(shí)滿足和前一項(xiàng)、后一項(xiàng)構(gòu)成3個(gè)等腰三角形，故必為數(shù)列的首三項(xiàng)或尾三項(xiàng)，故其對(duì)應(yīng)的三角形在14個(gè)三角形中至多出現(xiàn)兩個(gè).④由③，要使最小，則使和最小，在畫橫線的連續(xù)三項(xiàng)中取和最小的2組，在沒畫橫線的連續(xù)三項(xiàng)中取合最小的12組，同時(shí)令，則，，又由②，，所以.⑤由①④，S的最小值為50.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于設(shè)T為數(shù)列的每一組連續(xù)三項(xiàng)的和的和，得，將最小，轉(zhuǎn)化為和最小，列舉出不同的等腰三角形，使和最小，進(jìn)而得到，再構(gòu)造數(shù)列使即可求解.6．(1)數(shù)列是數(shù)列，數(shù)列不是數(shù)列，理由見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）由數(shù)列的定義依次判斷兩個(gè)數(shù)列即可；（2）先由、和時(shí)，數(shù)列不是數(shù)列說明，再舉特殊數(shù)列說明可以等于4即可；（3）由及數(shù)列為數(shù)列得中的元素之和最小為26，此時(shí)，即可證得結(jié)論.【詳解】（1）對(duì)于數(shù)列，，則數(shù)列是數(shù)列；對(duì)于數(shù)列，，由于，則數(shù)列不是數(shù)列；（2）先說明，若，顯然，不滿足數(shù)列為數(shù)列；若，不妨設(shè)，且均為正整數(shù)，則的值為或，又從選取可以相同的兩數(shù)作商，不同的結(jié)果有個(gè)，則必出現(xiàn)相同的結(jié)果，不滿足數(shù)列為數(shù)列；若，不妨設(shè)，不相等且均為正整數(shù)，則的值為或或，又從選取可以相同的兩數(shù)作商，不同的結(jié)果最多有個(gè)，則必出現(xiàn)相同的結(jié)果，