廣東省惠州市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答

題卡上.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置

上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要

求作答的答案無(wú)效.

4.考生必須保持答題卡的整潔，不得折疊.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4=2+1,Z2=3-i對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為（）

A.1B.V5C.4D.5

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意找到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，最后由兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.

【詳解】復(fù)數(shù)4=2+i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（2,1）,

復(fù)數(shù)Z2=3-i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為

則由兩點(diǎn)間的距離公式求得兩點(diǎn)之間的距離為J（2-3『+（1+=75，

故選：B.

2.已知a=（加，一1）,B=（掰一1,2），則“加=2"是的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】由可得出￡4=0,可求出實(shí)數(shù)〃7的值，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)?=（加1）,3=（加—1,2）,若則萬(wàn)石=加（加—1）—2=0,

即加2-加一2=0，解得加=-1或機(jī)=2,

因?yàn)椋?｝是｛T2｝的真子集，故“加=2”是"a±b”的充分不必要條件.

故選：A.

3.已知向量扇B滿足同=4,|同=2,且B在〃上的投影向量為-；原則COSG3的值為（）

1111

A.—B.-C.----D.—

2828

【正確答案】C

【分析】由B在2上的投影向量為即可求解.

【詳解】由B在/上的投影向量為一/,得Wcos（a,B）?壽=一1一所以cos(G,B)=-g

4a,

故選：C.

4.在AABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且5=80$人，則AABC的形狀為（）.

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D,等腰三角形

【正確答案】B

【分析】由余弦定理解三角形即可.

722_2

【詳解】由余弦定理可得b=C”化簡(jiǎn)得°2=/+〃，

Ibc

由勾股定理的逆定理可知是以角C為直角的直角三角形.

故選：B.

5.平行四邊形ABCD中，48=4,40=2,9.詼=-4，點(diǎn)P是邊CD的一個(gè)四等分點(diǎn)（靠

近C點(diǎn)），則方.而的值是（）

D

AB

A.-2B.2

C.1D.-1

【正確答案】D

【分析】由向量的線性運(yùn)算將刀,而都用彳瓦彳萬(wàn)表示，利用數(shù)量積的運(yùn)算律即可得出答案.

_____k

【詳解】由向量的線性運(yùn)算及題干條件可知，PA=PD+DA=—-DC-AD=--AB-AD,

44

PB=PC+CB=-DC+DA=-AB-AD,

44

所以

--------\3--------*?\1---*----?]1---*----*-----23—-2

PA-PB=-\-AB+AD--AB-AD\=-ABAD+AD——AB=—2+4—3=—1.

(4只4J216

故選：D.

6.已知。為V4BC的外接圓圓心，。4=2,/氏4。=45。，則方.正的最大值為（）

A.2B.4C.V2D.272

【正確答案】B

【分析】利用圓的性質(zhì)，得到/8OC=90。，將刀.反轉(zhuǎn)換為-4cos（d碇），進(jìn)而求出最大

值.

【詳解】如圖所示：

因?yàn)?。為VN8C的外接圓圓心，0A=2,ZBAC=45°,所以=2NA4C=90。,

且網(wǎng)=網(wǎng)=|因=2,

所以在.云=（礪-E）?沃;=礪?反.阮=-方.詼=-4cos@10Z。,

故當(dāng)。4,反共線反向時(shí)，方?云取到最大值4.

故選：B.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是推導(dǎo)出/8OC=90°,再由數(shù)量積的運(yùn)算律得到

AB-OC=-OA-OC=-4cos（dA,OCy

7.小明同學(xué)為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物

AB,高為15（百-l）m,在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B,M,D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A,教

堂頂C的仰角分別是15。和60°,在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°,則小明估算索菲亞教堂的

高度為（）

A.20mD.30^/3m

【正確答案】D

【詳解】根據(jù)題意，結(jié)合在中，求得=30人,再在八4。以中，由正弦定理，求得CW

的長(zhǎng)，最后在直角△DC"中，結(jié)合CD=CWsinNCMD,即可求解.

【分析】由

sin15°=sin（45。-30。）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=^-x^--^-x—=~,

v722224

由題意知/CO/=45°,N/MC=105°,所以NZCM=30°，

]5（百-1）

='B=30后

在AZBA/中，可得sin/LAMBV6-V2

4

■CM

在A4CM中，由正弦定理得

smZACMsmZCAM

in6V2

AM-smZCAMSf

所以CM=---------------=-------——=60,

sinZACM1

2

n

在直角△OCN中，CD=CMsinZCMD=60X—=3043

2

故選：D.

8.青花瓷（blueandwhiteporcelain）,又稱白地青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，是中國(guó)瓷器的主流品

種之一，屬釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已見(jiàn)端倪，成熟的青花瓷則出現(xiàn)在元代景德鎮(zhèn)的湖田窯.

圖一是一個(gè)由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長(zhǎng)為2，圓。的

圓心為正六邊形的中心，半徑為1,若點(diǎn)/在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)48在圓。上運(yùn)動(dòng)且關(guān)

于圓心。對(duì)稱，則疝.而的取值范圍是（）

C.[2,3]D.I3

【正確答案】C

【分析】連接/瓦。河，則忘?癡=（加+刀）?（加+礪），利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可

求解.

【詳解】連接如圖所示:

A

O

B

M

則加礪=（荻+網(wǎng).（荻+幽=荻。荻祝?礪+以礪

=|w|2+w-（04+05）-1=甌,

根據(jù)圖形可知，當(dāng)點(diǎn)M位于正六邊形各邊的中點(diǎn)時(shí)，|〃。|有最小值為G，此時(shí)|該『-1=2,

當(dāng)點(diǎn)M位于正六邊形的頂點(diǎn)時(shí)，|河。|有最大值為2,止匕時(shí)|該『-1=3，

故2W疝?施W3，即祝5.而的取值范圍是[2,3],

故選：C

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知角a的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)尸則（）

4（兀）4

5U）5

44

C.sin（n-tz）=--D.tan（7i+?）=—

【正確答案】BD

【分析】利用三角函數(shù)定義結(jié)合誘導(dǎo)公式逐項(xiàng)判斷即可.

4

3474

【詳解】由三角函數(shù)定義可得cosa=—,sina=—，tan（z=^-=-,

5533

5

對(duì)于A選項(xiàng)，A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，cos|—I-|-sinc（.=—，B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，sin（7r-cr）=sincr=—,C錯(cuò)；

4

對(duì)于D選項(xiàng)，tan（兀+a）=tana=§,D對(duì).

故選：BD.

TT

10.在V45C中，內(nèi)角48,C所對(duì)的邊分別為a,"c,若c=4,C=—,sinScosZ=sin2Z,

3

且〃+。2//,則（）

A.V48C的外接圓直徑為雙i

3

B.b=2a

C.V45C的面積為3

D.VZ8C的周長(zhǎng)為4+46

【正確答案】ABD

【分析】由條件利用正弦定理求V4BC的外接圓直徑，判斷A,先證明cosZwO,利用二倍角

公式化簡(jiǎn)sin5cos/=sin24,再化角為邊判斷B,結(jié)合B的結(jié)論，由余弦定理可求。力，再利

用三角形面積公式求面積，判斷C,求周長(zhǎng)判斷D.

【詳解】因?yàn)閏=4,C=二，由正弦定理可得外接圓直徑2氏=上=迪，故A正確；

3sinC3

由/+。/易得cos%w0，

所以sin6cos4=sin2/等價(jià)于sin5cos/=2sin/cos4,

所以sin3=2siiL4,

由正弦定理得6=2Q,故B正確；

"2.A2一/

由余弦定理可得cosC二巴匯——，

lab

TT

代入C=—,c=4,b=2a,

3

解得。=述，人迪，

33

V的面積為一。加in。=-----，故C錯(cuò)誤,

23

所以V48c的周長(zhǎng)為a+6+c=4+4G，D正確.

故選：ABD.

11.東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證

明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1,它由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正

方形.我們通過(guò)類比得到圖2,它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形HB'C拼成的

一個(gè)大等邊三角形48c.對(duì)于圖2.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.這三個(gè)全等的鈍角三角形可能是等腰三角形

B.若BB'=3,smZABB'=，則A'B'=2

14

C.若4B=2A'B'，則麗班'

D.若?是48'的中點(diǎn)，則V4BC的面積是AHB'C'面積的5倍

【正確答案】ACD

【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：由BB'<AB',即可判斷A；對(duì)于B選項(xiàng)：在"AB'中，利用正弦定理

求得/3'=5,進(jìn)而可判斷B；對(duì)于C選項(xiàng)：在中，設(shè)48=2/?=2,44'=x,利用余

弦定理即可求得x,進(jìn)而可判斷C；對(duì)于D選項(xiàng)：利用三角形的面積公式，可得以的,=2S^,B,C,,

進(jìn)而可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)題意，題圖2是由三個(gè)全等的針角三角形與一個(gè)小等邊三角形HB'C拼成

的一個(gè)大等邊三角形48C,

故=所以這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,在ANAg'中，sin/ABB，=些~，所以cos/A85'=U

1414

而N48'B=120°,

所以sinZBAB'=sin(60°-ZABB')=哈

BB'AB'

由正弦定理得，解得48'=5，

sin/BAB'sinZABB'

又因?yàn)?4'=BB'=3,所以=—44'=2,故選項(xiàng)B正確;

對(duì)于C,不妨設(shè)45=24B'=2,44'=x,

在△488'中，由余弦定理得AS?=班，2+45,2一2義班，x48'xcosl20°，

即4=+(x+1)2_2xxx(x+l)xI

解得A年

匚匕］ABr1+xy/5+1

所以二T7=----二—j=一，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

BB'XV5-1

對(duì)于D,若4是48'的中點(diǎn),

SAABB.sin120°=B'C-A'B'sin6Q°=2%打，，

所以S]ABC=7StA，BC，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：ACD.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是利用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式進(jìn)行分析，由此即可順利得解.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.請(qǐng)把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.

12.復(fù)數(shù)z滿足z+6i=Z(i為虛數(shù)單位)，則z的虛部為.

【正確答案】-3

【分析】設(shè)2=a+歷化簡(jiǎn)式子求得b值即可.

【詳解】設(shè)2=。+歷，則a+6i+6i=a—bi,即6i=—24得6=—3,故z的虛部為—3.

故答案為：-3

13.已知點(diǎn)2(3,—4)與點(diǎn)8(—1,2)，點(diǎn)p在直線AB上，且|前卜3忸耳，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為.

【正確答案】或(-3,5).

【分析】根據(jù)題設(shè)有衣=±3詬，設(shè)尸(x〃)并應(yīng)用線性關(guān)系的坐標(biāo)表示列方程求點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】令尸(x,y),由點(diǎn)尸在直線48上，|舒|=3|而則/=±3而，

\_3=-3-3xx=0

所以(％-3,〉+4)=3(-1一羽2-乃，貝!,可得＜1,

[y+4=6-3yy=-

、N

x-3—3+3xx——3

或(工一3,歹+4)=-3(-1一匹2-攵)，貝時(shí)，~，可得《「，

y+4=-6+3y[j=5

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或(—3,5).

故10,￡|或(-3,5).

14.在VABC中,M是邊BC的中點(diǎn),N是線段BM的中點(diǎn).設(shè)方=-，/，記左=癡+品，

則加—“=_________；若N4」,V45c的面積為逐，則當(dāng)|瑟卜__________時(shí)，AM.AN

6

取得最小值.

【正確答案】①.7##0.5②.2

【分析】利用平面向量基本定理得到/——N■=33^+1上-6,得到加=31,求出他一〃；由三角

4444

形面積公式得到48MC=46，結(jié)合翔=；君+3^和平面向量數(shù)量積公式，基本不等式得

到無(wú)匠?前的最小值，此時(shí)48=2,2。=26，由余弦定理得到BC=2.

【詳解】由題意得彳獷=方+麗=方+：及；=益+；(%—萬(wàn))

3—?1―?31-

=-AB+-AC=-a+-b,

4444

故加=3,"=L故加i=

44442

A

由三角形面積公式得S“BCug/B-NCsinEuC,

26

故A8MC=4百，

其中=+上ZC,

22

故而灰=3萬(wàn)+g.河+#卜|病+g商."+#

=-AB2+-AC2+3>2,-AB2--AC2+3

88V88

=JZ82C+3=6,

4

31

當(dāng)且僅當(dāng)§462=衛(wèi)2。2,即A8=2,2。=26時(shí)，等號(hào)成立,

止匕時(shí)BC2=AB2+AC2-2AB-ACcos-=AB2+AC2-6ABAC

6

=AB2+AC2-12=4+12-12=4,

故3C=2

故g'2

四、解答題：本題共5小題，共77分.第15題13分，第16、17題15分，第18、19題17分.解

答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.必須把解答過(guò)程寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)指定的區(qū)域內(nèi)，超

出指定區(qū)域的答案無(wú)效.

15.已知向量5=(1,2),3=(—3,2),c=a-2b.

(1)求同；

@__

(2)右向量1=(5,2),試用N,Z)表示d；

(3)若。/加+2尻求實(shí)數(shù)卜的值.

【正確答案】(1)V53

⑵d^2a-b

(3)k—

【分析】(1)先寫出0的坐標(biāo)，再計(jì)算模長(zhǎng)即可；

(2)按照向量的坐標(biāo)運(yùn)算解方程即可；

(3)先求出向量揚(yáng)+2否的坐標(biāo)，再結(jié)合萬(wàn)的坐標(biāo)按照向量共線解方程即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?=(1,2),3=(—3,2),

所以I=2-2石=(1,2)-2(-3,2)=(7,-2),

所以同=在+(—2『=V53.

【小問(wèn)2詳解】

由題可知￡與書(shū)不共線，故設(shè)2=xZ+.vB(x,yeR),

即(5,2)=x(l,2)+y(-3,2),

x-3y=5

所以:解得x=2，y=-l.

2x+2y=2

因此d=2a-b-

【小問(wèn)3詳解】

由題意得焉+=左(1,2)+2(-3,2)=(*-6,2左+4).

因?yàn)?/焉+2。

所以—2(左一6)=7(2左+4),

解得左=—1.

16.記VZ8C內(nèi)角4瓦。的對(duì)邊分別為a，6，c,已知sinC=5-恒58/—02=逝口分,

(1)求3；

（2）若c=2正，求V48C的面積.

71

【正確答案】（1）B=—；

4

（2）2省+2.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理求出角C,進(jìn)而求出反

（2）利用和角的正弦及正弦定理、三角形面積公式計(jì)算得解.

【小問(wèn)1詳解】

在V45c中，由4+廿―=6仍及余弦定理，得2abeosC=y5ab，

解得cosCnY^，而0＜。＜兀，則。=巴，由sinC=Y^COS3，得cosB=立~，

2622

TT

又0＜8＜兀，所以3=—.

4

【小問(wèn)2詳解】

由(1)，Wsin^4=sin(5+C)=sin—cos—+cos—sin—=+

46464

.及2A/2X—

由正弦定理得b=%1—=——-^-=4,

sinC1

2

所以VABC的面積為S=—besmA=—x4x2^/2x+=2百+2

224

17.已知a-(sin@x,cosGx),b=(cos。,sin9),其中g(shù)>0,時(shí)</,設(shè)函數(shù)f(x)=2a-b,

且/(o)=-l,函數(shù)/(x)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為

（1）求函數(shù)/（x）的解析式;

（2）若函數(shù)/（x）在區(qū)間-加上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)機(jī)的最大值.

【正確答案】(1)/(x)=2sin12x-￡

71

(2)

~6

【分析】⑴利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算得到/(x)=2sin(s+°),根據(jù)/(O)=—1,求得

(p=--,再由函數(shù)/(x)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為工，求得。=2即可；

62

(2)由加］,得到2%一：€1一個(gè),2加一：］,再根據(jù)函數(shù)/(X)在區(qū)間(一］,加］上單

調(diào)遞減，由(一?,2加一］］之［一壽,一J求解.

I66；L22J

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)橄蛄?=(sin69x,cos69x),b-(cos9,sin9),

所以f(x^=2a-b=2(sin5cos9+cos5sin°)=2sin［cox+(p^,

因?yàn)?⑼=2sin0=—l,所以sino=—g，

因?yàn)镮d(巴，所以°二-三，又函數(shù)/(x)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為三.

262

所以工=工.女=巴，則0=2,

22G2

所以/(x)=2sin12x_t］；

【小問(wèn)2詳解】

,,,「兀兀/7兀c兀)

因?yàn)?"，冽J,所以2x———,2m——I,

又因?yàn)楹瘮?shù)/(X)在區(qū)間加］上單調(diào)遞減，

bi、/771c兀、「3兀兀1e7兀f兀/兀

所以----,2m——cl----,——,則----<2m——<——,

(66J［_22J662

解得—<加V—,

26

所以實(shí)數(shù)加的最大值-

6

18.在銳角V45c中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且。卜也8+J§"cos8)=戊.

(1)求角A的大小;

(2)求2cosB+cosC的取值范圍.

jr

【正確答案】(1)A=-

3

(2)佟㈤

\7

【分析】(1)利用正弦定理進(jìn)行邊化角，由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與和角公式，結(jié)合三角形的幾何

性質(zhì)，可得答案；

(2)由三角函數(shù)的差角公式與輔助角公式，整理可得正弦型函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得答

案.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)椤皊inB+J^cosB)=抬c,所以sin/卜inB+ecosB)=6sinC.

因?yàn)?+3+。=兀，所以sinC=sin(%+5)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sin/sinB+Gsin/cosB=6sin/cos_5+6cosZsinB，即

sinsin5=A/3cos^4sin5?

因?yàn)?<5<5，所以sinBwO,所以sin4=Geos4，BPtanA=y[3-

7T7T

因?yàn)?<Z<—,所以z=—.

23

【小問(wèn)2詳解】

jr27r27r

因?yàn)閦=二，所以8+C=」，所以C=」—8,

333

則2cosB+cosC=2cosB+cosf--5>1=—cosB+-sin5=V3sinf5+—

U)22I3

771

因?yàn)閂4BC是銳角三角形，所以〈C解得一71<B<一,

?2JI7t62

0<----O

[3B<—2,

所以烏<8+2<2,所以，<sin(B+巴]<1,則且<Gsin，5+殳]〈月,

2362{3J23；

即2cos3+cosC的取值范圍是

2

7

19.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義非零向量(W=(a,Z?)的“友函數(shù)”為/(x)=asinx+bcosx(xeR),

向量。A/=(a,b)稱為函數(shù)/(x)=asinx+bcosx(xeR)的“友向量”.

(1)記加=。,1)的“友函數(shù)”為/(x),求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)設(shè)〃(x)=cos1x+：，2cos(x+6),其中6?eR,求/z(x)的“友向量”模長(zhǎng)的最大值；

(3)已知點(diǎn)滿足6/+5品+〃<(),向量?jī)傻摹坝押瘮?shù)在x=x()處取得最大

/、cosx-sinx

值.當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求g(%)=—~2n--------n的取值范圍.

sinx0+cosx0

3兀兀

【正確答案】(1)------F2左兀,—,keZ

_4