一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知z=2-i,則z（z+i）=（）

A.6—2iB.4-2ic.6+2iD.4+2i

【答案】C

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和共輾復(fù)數(shù)的定義可求得結(jié)果.

_2

o.o.zCz+i\=（2-z）（2+2z）=4+4z-2z-2z=6+2z

【詳解】因?yàn)閦=2—J故z=2+j故IJ'八）

故選：c.

2.已知向量￡,B不共線，且向量3+丸3與（'+1）"+2‘共線，則實(shí)數(shù)2的值為（）

A.-2或-1B.-2或1C.-1或2D.1或2

【答案】B

【解析】

【分析】利用平面向量共線基本定理列等式，利用不共線向量相等列方程組求解.

【詳解】若向量Z+2否與（'+1）"+2‘共線，則存在實(shí)數(shù)無，使得

（2+1）（7+2b=k（a-\-&）=ka+kXb

又因?yàn)橄蛄縵,B不共線，所以

x+1=左，

2=k入

解得-2或彳=1.

故選：B

3.利用簡單隨機(jī)抽樣，從“個(gè)個(gè)體中抽取一個(gè)容量為10的樣本.若抽完第一個(gè)個(gè)體后，余下的每個(gè)個(gè)體

被抽到的機(jī)會(huì)為則在整個(gè)抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)為（）

5￡10

A.7B.18C,4D.37

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)等可能事件的概率計(jì)算求得“，即可求解.

1/22

9_110

【詳解】由題意可得14,故"=37,所以每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)為37,

故選：D.

4.《九章算術(shù)》問題十：今有方亭，下方五丈，上方四丈.高五丈.問積幾何（今譯：已知正四棱臺(tái)體

建筑物（方亭）如圖，下底邊長。=5丈，上底邊長6=4丈.高力=5丈.問它的體積是多少立方丈？（

)

305320400

A.75B.3C.3D.3

【答案】B

【解析】

F=-/z(5+5,+V5-5,)

【分析】利用棱臺(tái)的體積公式3'’即可求解.

V=-（S+S,+4s~^S'yt=-（a2+4a^+b2\h

【詳解】3、73X）

1

+V52X42+42\5=1x61x5=^22

=—3（V5/33

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的表面積與體積，屬于基礎(chǔ)題.

5.甲在微信群中發(fā)布6元“拼手氣”紅包一個(gè)，被乙、丙、丁三人搶完.若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人

至少領(lǐng)到1元，則乙獲得“最佳手氣”（即乙領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人）的概率是（）

3j_2

A.4B,3C.10D.5

【答案】D

【解析】

【分析】6元分成整數(shù)元有3份，可能性有（1,1,4）,（1,2,3）,（2,2,2）,然后求出每一種分法的個(gè)

2/22

數(shù)，再求出符合“最佳手氣”的個(gè)數(shù)，再利用古典概型的概率公式求解即可

【詳解】6元分成整數(shù)元有3份，可能性有（1,1,4）,（1,2,3）,（2,2,2）,第一個(gè)分法有3種，第二

個(gè)分法有6種，第三個(gè)分法有1種，其中符合“最佳手氣”的有4種，

_4__2

故概率為105.

故選：D

【點(diǎn)睛】此題考查古典概型的概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

6.水平放置的用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的△NZ'C',其中°'/'=°'8'=2,

℃=6則繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（）

A8G萬B166）兀C（8百+3）乃口（16百+12）乃

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)斜二測畫法的基本原理，將平面直觀圖還原為原幾何圖形，可得N°=B°=2,

0c=2百，-8C繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個(gè)相同圓錐的組合體，圓錐的側(cè)面展開圖

是扇形根據(jù)扇形面積公式即可求得組合體的表面積.

【詳解】根據(jù)“斜二測畫法”可得4°=80=2,OC=2M,4B=AC=BC=4,

△/8C繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個(gè)相同圓錐的組合體,

它的表面積為§=2乃〃=2乃x2Gx4=16G乃.

故選：B

3/22

【點(diǎn)睛】本題考查斜二測畫法的應(yīng)用及組合體的表面積求法,難度較易

Jk值范小

2a+b=20be[-40]

7.已知)

1

A.[0,1]B.rC.[1,2]D.[0,2]

【答案】D

【解析】

2

2-1-一1一13

—>/a——ma——m€

a-b=a-m-2aGI，。],構(gòu)造

【分析】設(shè)冽=2。+〃，可得4，可得4」，很相

據(jù)向量減法的模長不等式可得解.

—>—>—>m2

【詳解】設(shè)加=2。+6,則

TTTTTfff2z1

b=m-2a,ayb=a-m-2ae[-40]——a人[0,2]

,所以2

T1f2-21--i-21-71-2

a——m=a——a-m-\----m——a-b-\----m

4216216

[-2_]].2-2Hi2

—m<(a—玩了V2H----mm二網(wǎng)=4

16416又

一1一13

a——m€

所以422

111

\\a\-\-m\\<a--m<||a|+|-m||

又44

則??[0,2].

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了向量的綜合運(yùn)算，考查學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化化歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力.

8.已知三棱錐/—8C。的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，幺。,平面48C,ABAC=90°,AD=2,

若球。的表面積為W兀,則三棱錐A-BCD的側(cè)面積的最大值為

5V2+—50+%^6A/3+—10V2+—

A.4B.4C,2D.2

【答案】A

4/22

【解析】

【分析】由題意畫出圖形，設(shè)球。得半徑為R,AB=x,AC=y,由球。的表面積為29",可得x2+y2=25,寫

出側(cè)面積，再由基本不等式求最值.

【詳解】設(shè)球。得半徑為R，AB=x,AC=y,

2

由4nR2=29n,得4R2=29.又x?+y2+22=(2R),得x?+y2=25.三棱錐A-BCD的側(cè)面積：S=SAABD+SAACD+SA

1c1c125572

--2XH--2y+—xy

ABC=222由x2+y222xy,得xyW2當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)取等號，由(x+y)

_572廠1至5風(fēng)生

2=x2+2xy+y2^2(x2+y2),得x+yW56'，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)取等號,；.SW5J2+22=4當(dāng)

5血5及25

+——

且僅當(dāng)x=y=2時(shí)取等號..?.三棱錐A-BCD的側(cè)面積的最大值為4.故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球、三棱錐的側(cè)面積、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯

思維能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

二、多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,

部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，所得截面的形狀是正方形，則原來的幾何體可能是()

A.長方體B.圓臺(tái)C.四棱臺(tái)D.正四面體

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用特例判斷A、C,顯然B錯(cuò)誤，畫出圖形，根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷D；

【詳解】解：對于A：若長方體的底面為正方形，則用平行于底面的平面去截幾何體，所得截面的形狀是

正方形，故A正確；

對于B：圓臺(tái)的截面均不可能是正方形，故B錯(cuò)誤；

對于C：若四棱臺(tái)的底面是正方形，則用平行于底面的平面去截幾何體，所得截面的形狀是正方形，故C

正確；

對于D：如圖所示正四面體S-將其放到正方體中,

5/22

取SB的中點(diǎn)E,SC的中點(diǎn)。，取45的中點(diǎn)尸，NC的中點(diǎn)OG,

依次連接石尸、FG、GD、DE,由正方體的性質(zhì)可知截面OEEG為正方形，故D正確;

故選：ACD

10.疫情帶來生活方式和習(xí)慣的轉(zhuǎn)變，短視頻成為觀眾空閑時(shí)娛樂活動(dòng)的首選.某電影藝術(shù)中心為了解短

視頻平臺(tái)的觀眾年齡分布情況，向各大短視頻平臺(tái)的觀眾發(fā)放了線上調(diào)查問卷，共回收有效樣本4000份,

根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖，則()

A.圖中〃=0.028

B.在400。份有效樣本中，短視頻觀眾年齡在20?30歲的有1320人

C.估計(jì)短視頻觀眾的平均年齡為32歲

D.估計(jì)短視頻觀眾年齡的75%分位數(shù)為39歲

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)頻率和為1可構(gòu)造方程求得。，知A錯(cuò)誤；由頻率和頻數(shù)的關(guān)系可求得觀眾年齡在2°?3°歲

的人數(shù)，知B正確；由平均數(shù)和百分位數(shù)的估計(jì)方法可驗(yàn)證知CD正確.

【詳解】對于A,..??°15+S033+“+0.011+().011)X10=1,，"。叫A錯(cuò)誤；

6/22

對于B,由頻率分布直方圖知：短視頻觀眾年齡在20?30歲的人對應(yīng)頻率為0.33,

???短視頻觀眾年齡在20?30歲的有4000x0.33=1320人，B正確；

對于?平均年於元=(0.015x15+0.033x25+0.03x35+0.011x45+0.011x55)x10=32正確

對于D,設(shè)75%分位數(shù)為x,則0.015xl0+0.033xl0+(x-30)x0.03=0.75,解得：x=39,D正確.

故選：BCD.

11.已知A,BC是等腰直角三角形，AB=AC=2,用斜二測畫法畫出它的直觀圖則8'。'的

長可能是()

A,2^2B,2卡C.V5-2V2D.2

【答案】AC

【解析】

【分析】通過斜二測畫法的定義可知笈為x'軸時(shí)，B'C'=2/為最大值，以歐為V軸，則此時(shí)

B'C=\BC=^7.RS「"2收

2為最小值，故8c的長度范圍是L」，C選項(xiàng)可以

以為x'軸進(jìn)行求解出，從而求出正確結(jié)果.

【詳解】以歐為％'軸，畫出直觀圖，如圖2,此時(shí)2'C'=3C=閃4=2也，

A正確，

"B'C'=-BC=42

以灰為》軸，則此時(shí)2,

則8'C’的長度范圍是［"'2后］,

若以"或“■為x軸，畫出直觀圖，如圖1,以"為x'軸，則H8'=2,4C'=1,此時(shí)過點(diǎn)C'作CZ?_L

x'于點(diǎn)〃則/C'/?=45。，

BF)

ArD^CD=—BrD=2--

則2,2,

7/22

5V=J2-—+—=^5-272

由勾股定理得：1I,C正確;

故選：AC

12.如圖，己知△/儂DEF均為等邊三角形,D,EF分別為BE,CF/￡＞的中點(diǎn)，尸為

—■1—

CM=-CA

A.延長2E交4c于“，貝|3

B,若。。+?！?。e=6,則o為A/BC的重心

x+y==

C.若2,則點(diǎn)尸的軌跡是一條線段

1

D.x+y的最小值是§

【答案】ABC

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，根據(jù)面積比求出2拉=2。0,判斷A選項(xiàng);

B選項(xiàng)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出A/BC邊長為1,寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后寫出直線制BM,/G的方程,

聯(lián)立后求出°，EE的坐標(biāo)，求出A/BC與SEE的重心坐標(biāo)，兩者重合；C選項(xiàng)，設(shè)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，

利用向量關(guān)系"尸=x"8+y"C及求出6加+26〃-3=°,得出c正確；D選項(xiàng)，利用C選項(xiàng)，得

8/22

到3,結(jié)合口47JL147」，求出X+歹的最小值.

【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)橐阎?區(qū)6?！陱S均為等邊三角形，D,EF分別為BE,CF的中點(diǎn),

連接5,AE,BF,延長龍交/C于點(diǎn)弘

貝（JS&DBC=SgCE=S"BF=^BDF=^AEF=S*DEF,

—■1—

CM=-CA

所以=2s,則AM=2CM

CBE3,A正確；

A

AB

以點(diǎn)/為坐標(biāo)原點(diǎn)，四所在直線為X軸,垂直46為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

延長交比'于點(diǎn)G,延長"'交"于點(diǎn)”由A選項(xiàng)可知:CG=2BG,BN=2AN

//-、

「5V3

設(shè)△4BC邊長為i,則〔3J〔22J133嚴(yán)田力

__V|旦

則直線CN:N=3KX-K,直線傲'-y+二"，

-3

X=—

7

273/320

y=------h弓'二廠

聯(lián)立直線3與劭求得：［7,所以L7,

-5

X二一

7

GV.立D(-,^

y=—xy-r所以U71

直線/G：5,聯(lián)立直線4G與傲求得：［7,

,5

X=一

14

V3/5⑸

聯(lián)立直線4G與制求得：〔’14,所以1I414人

因?yàn)椤！??！?。E=0,則。為SEE的重心，

9/22

(355273V3

一_|-----1-----叵

o7714、

33

則1心即4I47,

0+1+-0+0+—

22

33叵|

而△48C的重心為I即〔5'句

故。為448c的重心，B正確;

設(shè)尸（功,〃），AP=xAB+yAC結(jié)合B選項(xiàng)中建立的坐標(biāo)系，可知:

1

x+—y=m

百2

(機(jī),")=x(l,O)+y~^y=n

k227即〔2,解得:

1V32A/31

x+y=-m------n+------n=—,八/7c八

若2,則332,整理得：6m+26-3=0,

因?yàn)槭瑸镾EE內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），所以點(diǎn)尸的軌跡是一條線段，C正確;

V3273V3

x+y=m-----nH-----n=m-\------n

結(jié)合C選項(xiàng)，可知333

55V3273

mG一,nG

14777,三

其中

5GV3

m=——,n=—x+y=m-\-----n

當(dāng)1414時(shí)，-3取得最小值,

5V3V33

x+y=--1----x——=一

最小值為.143147,故D錯(cuò)誤.

故選：ABC

【點(diǎn)睛】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)來解決平面向量問題，對于一些平面向量問題可以做到事半功倍.

10/22

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.直播帶貨已成為一種新的消費(fèi)方式，據(jù)某平臺(tái)統(tǒng)計(jì)，在直播帶貨銷量中，服裝鞋帽類占28%,食品

飲料類占20%,家居生活類占19%,美妝護(hù)膚類占9%,其他占24%.為了解直播帶貨各品類的質(zhì)量情

況，現(xiàn)按分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為"的樣本.已知在抽取的樣本中，服裝鞋帽類有560件，則

家居生活類有件

【答案】380

【解析】

【分析】根據(jù)服裝鞋帽類的件數(shù)，求出“，進(jìn)而求出家具生活類件數(shù).

〃=560+28%=20002000x19%=380

【詳解】/0,故家具生活類件數(shù)為/0

故答案為：380

14.如圖，在四面體45co中，8。=2血，4c=2,M、N分別為BC、4D的中點(diǎn)，MN=\,

則異面直線4c與8。所成的角是.

【答案】45。##4

【解析】

【分析】取8的中點(diǎn)￡,連接力組，NE,即可得到即為異面直線NC與所成的角，再由

線段關(guān)系及勾股定理逆定理得到△跖花為等腰直角三角形，即可得解；

【詳解】解：取8的中點(diǎn)￡,連接建，NE,因?yàn)镸為8C的中點(diǎn)，N為AD的中點(diǎn),

NE=-ACME=-BD

所以NE〃4。且2,ME/IBD良2,

所以即為異面直線"C與8D所成的角或其補(bǔ)角，

又BD=26,AC=2,MN=1,

所以NE=1,ME=4i,所以ME?=MN?+NE?,所以NM?VE=90°,

11/22

所以為等腰直角三角形，所以NNEM=45。；

故答案為：45

15.如圖，在At-BC中，點(diǎn)M是斜邊45的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊上，且

MNLAB,MN=yf3CN=1,則幺。=

【答案】272

【解析】

【分析】設(shè)8N長后列方程求解

_____BM_BC

【詳解】設(shè)BN=x,則=G-3,由題意得BNBA,

Vx2-3_x+1

即X26-3,解得X=3,此時(shí)BC=4,AB=2a,得NC=20,

故答案為：2亞

-*-*-*-10

16.已知9+02+03=0,且，-02-03-,實(shí)數(shù)X//滿足x+y+z=l,且一一<J<1

,則

\xe,+ye,+ze\

?1Z2③|的最小值是.

12/22

【答案】4##o.25

【解析】

【分析】在平面直角坐標(biāo)系中，令'=(1,0),由此求出02與03的坐標(biāo)，再用￡y表示出

xe,+ye9+ze\

1231,然后借助柯西不等式求解作答.

［詳解］在平面直角坐標(biāo)系中，令，=(1，°),設(shè)02=(cos8,sin，)，則63=(—1—COS&-sin，)，

sin，=±L=)

e「=2+2cos?=l,解得c°s，一2

則2,依題意，不妨令22

一一一31G廠百

而Z=l-X7,則叫+g+203=(寸-,丁+晝-學(xué)，有函+運(yùn)+z〃=

222

—x+^3y=：[(一班)2+3][(1-x-y)+(-^-x+y/3y-^-)]

-g[(-x-g)+X曰x+-與)Y=g心血y~Gy=；(3y一廳

31GrrV3

—x————x+V3y----

京一，丫10<x<-<y<l(3y-1)>-

當(dāng)且僅當(dāng)733,即zx+V—i時(shí)取“="，而2，則4,

1

y—~

當(dāng)且僅當(dāng)"2時(shí)取“=”，

?——~*I?]/ri、2IIII

|xe+yey+ze^\2—(3y—I)2—1y——x=一y=一

因此，x416,當(dāng)且僅當(dāng)o2x+y=l且2,即4且.2時(shí)取

_￡_j_,」?一一一?1_

所以當(dāng)"一a,尸5,za時(shí)，卜,+"2+263]取得最小值a.

故答案為：4

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知幾個(gè)向量的模，探求向量問題，可以在平面直角坐標(biāo)系中，借助向量的坐標(biāo)表示,

利用代數(shù)方法解決.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

13/22

17,已知向量a，1滿足忖=3，卜一@=5.

（1）若。%=°,求歷|的值；

（2）若=1,求II的值.

【答案】（1）4（2）屈

【解析】

【分析】（1）將卜一4二5兩邊平方化簡求解即可；

\a-b\=5同=3行|2%+M=J②+肅

（2）將??兩邊平方化簡得到??,根據(jù)??7求解即可

【小問1詳解】

,?t―2—>2—>2—>—?IT?I—?i

.卜一@=5.ci—b=a+b_2〃2=9+忖=25|/)|2-即忖=4

【小問2詳解】

a-b^-a+~b-2a-b-9+^-2=25|/?|2=18即M=3五

+4/右+刃=736+4+18=V58

is.如圖，已知在正三棱柱/BO-44G中，，為棱/c的中點(diǎn),AB=Z4=2

（1）求正三棱柱口一?lI的表面積;

（2）求證：直線陽//平面G嗎

12+2百

【答案】（1）

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）求解上下底的面積，結(jié)合側(cè)面積求解即可;

14/22

(2)取G8和4。交點(diǎn)必連DM,再證明/用//。^即可

【小問1詳解】

S表=1x22x2+3x2x2=12+26

【小問2詳解】

取G8和81c交點(diǎn)以連DM,

■：D,〃分別為AC,8c中點(diǎn)，故AB111DM.

陽.平面平面80G.

19.如圖，四棱錐尸一NBC。的底面四邊形4s°。為正方形，頂點(diǎn)P在底面的射影為線段的中點(diǎn)

°，E是尸8的中點(diǎn)，4B=2,PC—3

(1)求證：°￡〃平面尸C。；

(2)求過點(diǎn)OE的平面截該棱錐得到兩部分的體積之比.

【答案】(1)證明見解析

(2)5:3或3:5

【解析】

15/22

【分析】（1）取先'中點(diǎn)戶，證四邊形購為平行四邊形，即可由線線平行證線面平行；

（2）過點(diǎn)OE的截面為平面/頌，則截出的兩部分可看作四棱錐與三棱錐E-尸。）組合,

以及三棱錐E-P4D與三棱錐￡一尸￡。組合；利用幾何關(guān)系，跟別求出各部分體積的占比，即可得出比

值

【小問1詳解】

由題，如圖，取笈中點(diǎn)F，連接外DF,則"為/BC的中位線，故￡E||BC||°D,

EF=-BC=-AD=OD

22,故四邊形如跖為平行四邊形，板OE〃DF,又。尸u平面尸5，°￡（Z平

面A力，故平面尸CD

【小問2詳解】

由（1）得，過點(diǎn)0，0E的截面為平面/班R截出的兩部分可看作四棱錐石一488與三棱錐

E~FCD組合，以及三棱錐E-PAD與三棱錐E-PFD組合；

?八八‘E-ABCD=TVp-ABCD/-BCD=T%-BCD=T^P-ABCD

由￡是尸8的中點(diǎn)，易得2,24.由尸是PC的中點(diǎn)，易得

喔-FCD=^E-PFD=W%—BCD=§^P-ABCD

故過點(diǎn)0，0E的平面截該棱錐得到兩部分的體積之比為

20,在①/—6c=/+/,②sin24+sin(8+C)=0,③2acos/+6cosc+ccosB=0,這三個(gè)條件

中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并求解.問題：如圖，在A/BC中，角480所對的邊分別為

tanC=迪

a，b，c。是邊BC上一點(diǎn)，BD=2DC,5,若

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A

(1)求角力的值；

(2)求tan/C4D的值.

,2?

A=——

【答案】(1)3

tanNC4D=J

(2)2

【解析】

【分析】(1)選①：用余弦定理可得；選②：由內(nèi)角和定理化簡，再由二倍角公式可得；選③：由正弦定

理邊化角可得；

(2)由已知結(jié)合(1)可求sinB,再由正弦定理可得6、。比值，利用余弦定理可表示出a,然后由已知

和余弦定理可解.

【小問1詳解】

b1+c2-a2a1-be-a2

resA—_______________—________________—___1__

選①：由題知2bcIbe2.

選②：sin2N+sin(8+C)=2sinNcosN+sin/=0,因?yàn)閆e(O,?)，sin/〉O,

,1

cosA=——

所以2；

選③?由正弦定理邊化角可得?2sin"cos"+sin'cosC+sinCcos'=2sin"cos"+sin('+C)=0,同

,1

cos/=——

②可得2.

,2?

——

因?yàn)閆e(0,?),所以3

【小問2詳解】

tanC^

Ce(0,1)

因?yàn)?

17/22

.二2百

sinC=-----cosC

5.廠_265

.22ri1sinC-—1—,cosC-—1—

所以由sm-C+cosC=1解得V37V37

sin5=sin(^+C)=sin^cosC+cos^sinC=—=

所以2V372V372V37

bsin53

所以csinC4

記b=3，,c=4/,/>0

a?=9r+16/—2X3/X4/X(—')=37/2

則2即a=V371

CD=

因?yàn)锳D=2DC,所以

AD="

AD2=9t"+—t2-2x3tx

所以9,得3

?+當(dāng)上2

cosACAD=------2——魯—

2x3tx再7

所以3

ZCADe(0,-)sin/C4O=巨巧

tanZC^￡>=—

因?yàn)?,所以7,所以2

21.如圖，在正六邊形4gCDE/中，AB=2,H為DE上一點(diǎn)、,且

(

EH=2EDO<2<1),BEFH交于點(diǎn)G

(1)當(dāng)2時(shí)，試用NDZE表示屈;

(2)求4G,CH的取值范圍.

18/22

—?3—-1—■

AH=-AD+-AF

【答案】(1)42

(2)巴6]

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形可得；

(2)記。D=a,°E=E,=借助區(qū)G、〃共線可得幾和〃之間的關(guān)系，然后根據(jù)平面向量的

線性運(yùn)算表示出所求，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)可得.

【小問1詳解】

由正六邊形性質(zhì)可知，AF=0E,

2=-OH=OE+~ED=OE+]-(dD-OE)=-AF+-OD

因?yàn)?,所以2222

——?—?——?1—?1—?1—?3—?1—?

AH=AO+OH=—AD+—AF+—OD=—AD+—AF

記OD=a,OE=b,OG=/jb

則4G=a+/ubAH-AO+OE+AED=(A+l)a+(1—2)b…①

將。=—代入①整理得AH=(2+1)^4G+(1-2--//)AF

1

因?yàn)椋縂、，共線，所以('+1)+(1—2—川—〃)=1,即“4+1

yCH=CZ5+(l-2)DE=6+(l-2)(6-a)=(2-2)6+(2-l)a

a=W=2=2x2xcosy=2

所以4G.e7/=(q+,[(2—+(X—1)Q]=24+6〃一2

19/22

1—-—.8

〃=——AG-CH=2(A+1)+------4

將4+1代入上式整理可得彳+1

—■—■8

AG-CH=2m+——4,me[1,2]

令4+1=機(jī)，則m

當(dāng)了一2（機(jī)+刃）4在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減,

由對勾函數(shù)可知,

所以當(dāng)加=1時(shí),/G,ca取得最大值6；當(dāng)加=2時(shí)，NG,C77取得最小值4.

所以同?麗的取值范圍為［4,6］.

22.某校有高中生2000人，其中男女生比例約為5：4,為了獲得該校全體高中生的身高信息，采取了以

下兩種方案：方案一：采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，抽收了樣本容量為〃的樣本，得到頻數(shù)分布表

和頻率分布直方圖.方案二：采用分層隨機(jī)抽樣方法，抽取了男、女生樣本量均為25的樣本，計(jì)算得到男

生樣本的均值為170,方差為16,女生樣本的均值為160,方差為20.

身高（單位：

[145,155)[155,165)[165,175)[175,185)[185,195]

cm）

頻數(shù)mq64

頻率/組距

0.040

0.036

0.032

0.028

0.024

0.020

0.016

0.012

0.008

0.004

°145155165175185195身高/cm

（1）根據(jù)圖表信息，求”，"并補(bǔ)充完整頻率分布直方圖，估計(jì)該校高中生的身高均值；（同一組中的數(shù)

據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值為代表）

（2）計(jì)算方案二中總樣本的均值及方差；

（3）計(jì)算兩種方案總樣本均值的差，并說明用方案二總樣本的均值作為總體均值的估計(jì)合適嗎？為什么？

【答案】（1）〃=50,1=16,頻率分布直方圖見解析，身高均值1