備戰(zhàn)整理數(shù)學(xué)專題28菱形的性質(zhì)與判定【知識(shí)點(diǎn)及十四大題型】

【知識(shí)點(diǎn)菱形的性質(zhì)與判定】

(1)定義

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

(2)菱形的性質(zhì)

菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

菱形的四條邊都相等；

菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線都平分一組對(duì)角。

(3)菱形的判定

一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

四條邊相等的四邊形是菱形。

(4)菱形的面積

S菱形=底邊長、高=兩條對(duì)角線乘積的一半

【題型1根據(jù)菱形的性質(zhì)求周長、角度、線段長、面積、坐標(biāo)】

【例1】(2023?河南濮陽?統(tǒng)考三模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形AB。。的邊B。在x軸上，固定點(diǎn)B、0,

把菱形沿箭頭方向推，使點(diǎn)C落在y軸正半軸上點(diǎn)C'處，若NCOC，=30。，OC=2,則點(diǎn)力的坐標(biāo)為()

A.(-V3,1)B.(-2,1)C.(-3,V3)D.(-2,73)

【答案】C

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，勾股定理，過點(diǎn)C作，OB于點(diǎn)。，利

用直角三角形的性質(zhì)求得。。=1,由勾股定理求得CD=遮，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)a的坐標(biāo)，掌握

菱形和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點(diǎn)C作CO，OB于點(diǎn)O,

BDO*

"：Z.COC=30°,

:.乙DOC=60°,

'：OC=OC=2,

：.OD=1,

CD=VOC2-OD2=V3,

V四邊形4B0C為菱形，

：.AC\\OB,AC=OC=OB=2,

點(diǎn)力到y(tǒng)軸的距離為1+2=3,

.,.4（-3,V3）,

故選：C.

【變式1-1］（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考二模）如圖，菱形4BCD中，以點(diǎn)4為圓心，以48長為半徑畫弧，分別交B&CD

于點(diǎn)E,F.若NE4F=60。，貝吐。的度數(shù)為.

C

【答案】80780度

【分析】ffiAABE△XDF(AAS),得N84E=^DAF,設(shè)乙B=4。=K，貝UNAEB=NB=%,/.DAF=/.BAE=

180°-2%,再由NB+N瓦W=180。求出x=80。，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：???四邊形48CD是菱形，

AB=AD=BC=DC,

由題意得：AB=AE,AD=AF,

???Z-AEB=乙B,Z-AFD=乙D,

???Z-AEB=Z.B=Z,AFD=乙D,

在△ZBE和△ZDF中，

Z.AEB=Z.AFD

乙B=ZD

、AB=AD

??△ABEAADF(AAS),

???乙BAE=Z.DAF,

設(shè)NB=(D=x,則=Z-B=x,

??.Z.DAF=^BAE=180°-2%,

???四邊形/BCD是菱形，

???ADWBC

???乙B+乙BAD=180°,

即％+180°-2x+60°+180°-2x=180°,

解得：％=80。，

???Z-D=80°,

故答案為：80。.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2](2023?內(nèi)蒙古呼和浩特?統(tǒng)考中考真題)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，連接AC,BD交于點(diǎn)

0,DE平分乙4DB交4C于點(diǎn)E,BF平分“8。交2C于點(diǎn)F,連接BE,DF.

(1)求證：zl=Z2；

(2)若四邊形4BCD是菱形且4B=2,UBC=120°,求四邊形BEDF的面積.

【答案】(1)見解析

⑵管

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)，角平分線定義推出AODE三AOBMASA),得到0E=8F,判定四邊形

DEBF是平行四邊形，推出BE||DF,得至lj/l=N2.

(2)由菱形的性質(zhì)得到BO1￡T,。。=OB,推出四邊形DEBF的菱形，由平行線的性質(zhì)得到NB4D=60。,

判定△4BD是等邊三角形，得到BD=AB=2,^ADO=60°,求出。E=￥。。=爭得到EF=2OE=子,

由菱形的面積公式即可求出四邊形8EDF的面積.

【詳解】(1)證明：???四邊形4BCD是平行四邊形，

???ADWBC,OD=OB,

???Z-ADO=Z.CBO,

???DE平分乙4。8,BF平分乙

.-.乙ODE=-^ADO,Z.OBF=-Z.CBO,

22

???Z.ODE=zJJBF,

???DE||BF,

OD=OB,Z-DOE=Z-BOF,

ODE=△OFF(ASA),

??.DE=BF,

???四邊形。EBF是平行四邊形，

BE||DF,

???zl=z2.

(2)解：由(1)知△ODE三△OBF(ASA),

??.OE=OF,

???四邊形ABCD是菱形，

BD1EF,OD=OB,AD\\BCf

???四邊形DEBF的菱形，

vAD||BC,LABC=120°,

???乙BAD+乙ABC=180°,

???/,ABC=120°,

???Z-BAD=60。，

AD=AB,

：?△ABD是等邊二角形,

BD=AB=2,Z.ADO=60°,

OD=-BD=1,

2

???乙ODE=L。。=30°,

2

CITmcnV3

33

???EF=2OE=—,

3

???四邊形BEDF的面積=|fi￡)?EF=]x2義手=，.

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和

性質(zhì)，關(guān)鍵是由AODE三AOBFIASA),得到DE=BF,判定四邊形DEBF是平行四邊形；證明四邊形BEDF

是菱形.

【變式1-3](2023?浙江?模擬預(yù)測)如圖，在菱形4BCD中，E、F分別為線段力B、CD上一點(diǎn)，將菱形2BCD沿

著EF翻折，翻折后4、。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、D',4。'與CD交于點(diǎn)G.已知ZB=5,4E=l,sinN4BC=|,

若EF||AD,A'G=若乙EFD=135°,4G=.

【答案】y/3|/3.4|/2|/2.5

【分析】若EFII4D,如圖所示，過點(diǎn)尸作FN垂直BC延長線于點(diǎn)N,交4。于點(diǎn)Q,交4。于點(diǎn)P,根據(jù)折疊,

菱形，平行四邊形的性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算即可求解；若NEFD=135。，如圖所示，過點(diǎn)尸作BC邊的高RQ,

交于力。點(diǎn)R,交BC延長線于點(diǎn)Q,連接通過條件推理可得點(diǎn)6為4。'的中點(diǎn)，由此即可求解.

【詳解】解：若EFII2。，如圖所示，過點(diǎn)F作FN垂直BC延長線于點(diǎn)N,交4。于點(diǎn)Q,交4D于點(diǎn)P,

已知力B=5,4E=LsinNABC=

???菱形48CD沿著EF翻折，點(diǎn)4。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為4、D',

AD=A'D'=AB=5,

根據(jù)作圖可知PN是菱形4BCD中BC邊上的高，

PN3

smZ-ABC=sinzD=—=一，

AB5

PN==3,

???四邊形4EFD是平行四邊形，

???AE=DF=1,S.FP1AD,

.?.在RtZkDFP中，sinzZ)=-=PF=-DF=-,

DF555

根據(jù)折疊性質(zhì)可知，F(xiàn)Q=FP=I，且乙D=NZT,

???AD||EF||A'D'

???Z-FGQ=Z.D=乙D',

??.△FG。是等腰三角形，F(xiàn)G=FD'=1,

?2

???FQVA'D'.FD'=1,FQ=

GQ=QD'=5，F(xiàn)2_FQ2=Jl-(j)2=:

AO

GD'=2QD'=2x|=|,

■■■A'G=A'D'-GD',

A'G=5--=-,

55

故答案為：與；

^EFD=135°,如圖所示，過點(diǎn)尸作BC邊的高RQ,交于4。點(diǎn)R,交BC延長線于點(diǎn)Q,連接DD',

根據(jù)折疊性質(zhì)可知，乙EFD'=乙EFD=135。,OF=D'F,

???Z.DFD'=360°-乙EFD-乙EFD'=90°,

???DF1D'F,Z.D'FG=90°,

根據(jù)題意可知，RQ是菱形4BCD中BC邊上的高，RQ=3,

設(shè)DF=x,則D'F=x,CF=5-%,

3

vsinZ-ABC=sinZ-ADC=乙FRD=90°,

??.FR=1FD=|x,

設(shè)FG=a,在Rt^D'FG中，sin乙FD，G=?=三,

D'G5

則D'G=|a,

FG2+DF2=D'G2,即a2+/=（京）2,

3

?*,Cl~—X9

4

z廠5535

:?DG=-a=-x-x=-x,

3344

R7

?**CG=CF—FG=5—x—x=5—x,

44

???D'F||EA',AB||CD,

A'ELAB,連接4C,

???C到4B的距離為BC-Sinz/IBC=5x|=3,此時(shí)點(diǎn)C到AB的垂線段的垂足與點(diǎn)E重合,且點(diǎn)E、A\C三點(diǎn)

共線，貝U乙4CG=90°,

AE=A'E=1,

A'C=2,

D'F||A'C

D'FG-AA'CG

.D^_F__FG_

"AC~CGf

.￡x-4%

.?之一口4

解得％=2或%=0舍去，

??.D'F=A'C=2,△D'FG主△4CG,

???FG=CG=-x=DrG=-x=

4242

?.?A'D'=AB=S

,55

A'G=A'D'—D'G=5——=,

22

故答案為：|.

【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算方法，三角形相似的

判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合，掌握以上知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

【題型2菱形的判定定理的理解】

【例2】（2023?安徽淮北?淮北市第二中學(xué)?？级＃┤鐖D，四邊形ABC。為平行四邊形，延長AD到E,使

DE=AD,連接EB,EC,DB,下列條件中，不能使四邊形OBCE成為菱形的是（）

A.AB=BEB.BELDCC.90°D.BE平分NDBC

【答案】A

【分析】根據(jù)菱形的判定方法一一判斷即可；

【詳解】解：???四邊形ABCD為平行四邊形，

；.AD〃BC,AD=BC,

又：AD=DE,

；.DE〃BC,且DE=BC,

四邊形BCED為平行四邊形，

A、：AB=BE,DE=AD,；.BDJ_AE,.?.□DBCE為矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、???BE,DC,.?.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形，故本選項(xiàng)正確；

C、；/ABE=90。，；.BD=DE,.?.鄰邊相等的平行四邊形為菱形，故本選項(xiàng)正確；

D、：BE平分/DBC,.?.對(duì)角線平分對(duì)角的平行四邊形為菱形，故本選項(xiàng)正確.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定，正確掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式2-1］（2023?河北承德?校聯(lián)考模擬預(yù)測）依據(jù)所標(biāo)識(shí)的數(shù)據(jù)，下列平行四邊形一定為菱形的是（）

【答案】c

【分析】根據(jù)菱形的判定逐項(xiàng)排查即可解答.

【詳解】解：,??四邊形是平行四邊形，.??對(duì)角線互相平分，故A不一定是菱形;

???四邊形是平行四邊形，.??對(duì)邊相等，故B不一定是菱形；

???圖C中,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得：180。-70。-55。=55。，.?.鄰邊相等,???四邊形是平行四邊形，.??鄰

邊相等的平行四邊形的菱形，故C是菱形；

???四邊形是平行四邊形，.??對(duì)邊平行，故D不一定是菱形.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的判定，靈活運(yùn)用菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2]（2023?北京?模擬預(yù)測）如圖，在四邊形4BCD中，E,F,G,X分別是4B,BC,CD,的中

點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)與四邊形力BCD對(duì)角線有關(guān)的條件，使四邊形EFGH是菱形，則添為.

D

【答案】對(duì)角線相等

【分析】連接4C、BD,根據(jù)三角形的中位線定理求出HG=\AC,EHWBD,HG\\AC,FG\\BD,EFWAC,

推出四邊形EFGH是平行四邊形，再求出E”=HG即可.

【詳解】連接AC、BD,

,:E,F,G,H分別是AB,BC,CD,￡M的中點(diǎn),

HG^AC,EH\\BD,HG\\AC,FG\\BD,EF\\AC,

：.EH\\FG,HG\\EF,

...四邊形EFGH是平行四邊形,

,/當(dāng)2C=B。時(shí),

：.EH=HG,

平行四邊形EFGH是菱形;

故答案為：對(duì)角線相等.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中位線的性質(zhì)、平行四邊形的判定和菱形的判定定理，能夠證出四邊形是平行四

邊形是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2023?陜西西安?高新一中?？既＃┬∏嗪托≡剖峭嗤瑢W(xué)，在上網(wǎng)課期間，老師在電腦上出

示了如圖所示的任意四邊形ABC。，E,F,G,H分別為48,BC,CD,的中點(diǎn)，要求她們添加一個(gè)條件

使得四邊形EFGH為菱形，小青添加的條件是4C=BD,小云添加的條件是EG1HF,則下列說法正確的是

B.小青正確，小云錯(cuò)誤

C.小青錯(cuò)誤，小云正確D.小青和小云都錯(cuò)誤

【答案】A

【分析】連接ac、BD,由三角形中位線定理知HGIMC,HG=\AC,EFWAC,EF=^AC,則EF=HG,EFWGH,

得四邊形HGFE是平行四邊形，根據(jù)已知條件證明四邊形EFGH為菱形，即可求解.

【詳解】連接力C、BD,

'：E,F,G,H分別為AB,BC,CD,ZM的中點(diǎn),

：.HG\\AC,HG^AC,EF\\AC,EF=^AC,

：.EF=HG,EFWGH,

二四邊形HGFE是平行四邊形,

當(dāng)4C=BD時(shí)，由三角形中位線定理得，HG=3AC,EH=”D,

貝ljHG=EH,

二四邊形HGFE菱形，

當(dāng)EG_LHF時(shí)，平行四邊形HGFE是菱形，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形，三角形中位線定理，菱形的判定等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定定理是解題

的關(guān)鍵.

【題型3證明四邊形是菱形】

【例3】（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考二模）已矢口：如圖，在團(tuán)4BCD中，點(diǎn)E,5分另U在AD,BC上,BE平分N4BC.請(qǐng)

從以下三個(gè)條件：①AE=BF；②AB=EF；③4B||EF中，選擇一個(gè)合適的條件，使四邊形力BFE為菱形.

（1）你添加的條件是（填序號(hào)）；

（2）添加了條件后，請(qǐng)證明四邊形4BFE為菱形.

【答案】（1）①或③；

（2）見解析;

【分析】（1）根據(jù)菱形的判定定理即可解答;

（2）添加條件①根據(jù)4E||BF,4E=BF即可得到四邊形4BFE是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及

角平分線的定義得到BF=EF即可解答；

添加條件③根據(jù)角平分線的定義得到N4BE=乙FBE,再根據(jù)力BIIEF得到NABE=乙BEF,進(jìn)而得到BF=

EF,最后利用AEIIBF,4BIIEF得到四邊形4BFE是平行四邊形即可解答.

【詳解】（1）解：添加的條件是4E=BF或ABIIEF,

故答案為①或③；

（2）證明：添加條件為①，理由如下：

?.,在團(tuán)4BCD中，

：.AD\\BC,

即AEIIBF,

"：AE=BF,

...四邊形ABFE是平行四邊形，

?JBE^^AABC,

."ABE=乙FBE,

'：四邊形4BFE是平行四邊形，

：.AB\\EF,

：.^ABE=乙BEF,

:.乙EBF=乙BEF,

：.BF=EF,

???四邊形4BFE是菱形；

證明：添加條件為③，理由如下：

?.?在EL4BCD中，

：.AD\\BC,

即AEIIBF,

'：AB\\EF,

二四邊形4BFE是平行四邊形，

平分N4BC,

."ABE=乙FBE,

\'AB\\EF,

：./-ABE=乙BEF,

：.Z.EBF=乙BEF,

：.BF=EF,

四邊形2BFE是菱形；

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，掌握平行四邊形的判定與性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2023?陜西西安?校考二模）如圖，AB||CD,連接8C,請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，分別在力B,CD上求

作E,F,連接CE,8F,使得四邊形CE8F是菱形.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析

【分析】作的垂直平分線交于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)0,交CD于點(diǎn)F,通過證明△BOE三△COF得到OE=。尸,

則EF與BC互相垂直平分，則可判斷CEBF是菱形.

【詳解】解：如圖，點(diǎn)E、尸為所作.

證明：???EF是8c的垂直平分線

???OB=OC,BC1EF

???AB||CD

Z.EBO=Z.FCO

在aEB。和△FC。中

2EBO=Z.FCO

OB=OC

/BOE=Z.COF

BOE=△COF

OE=OF

■■E尸與8c互相垂直平分

???四邊形CEBF是菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，熟練掌握基本幾何圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2](2023?浙江杭州?校考二模)已知：如圖，在平行四邊形4BCD中，AABC的平分線交4D于點(diǎn)E,

點(diǎn)廠是BE的中點(diǎn)，連接2尸并延長交于點(diǎn)G,連接EG,CF.

(1)求證：四邊形4EGB是菱形；

(2)若tan/ABC=百，CD=8,AD=10,求CF的長.

【答案】(1)見解析

(2)2717

【分析】(1)先證明AB=4E,然后證明AAFE三△GFB(ASA),得4E=BG,證出四邊形4EGB是平行四

邊形，即可得出結(jié)論；

(2)過點(diǎn)尸作FM1BC于點(diǎn)M,由菱形的性質(zhì)得出NGBE=2BC=30°,BG=AB=8,BC=AD=10,

在RtABFG中，求出BF=4g,在RtABFM中，求出FM=2百，再求出=6,得出CM=BC—=4,

RtAFMC中，由勾股定理即可得出CF的長.

【詳解】(1)證明：平分乙4BC,

/.Z.ABE=乙CBE,

?..四邊形4BCD是平行四邊形，

：.AD\\BCS.AD=BC,

:.乙CBE=/.AEB,

：.^LABE=4AEB=乙CBE,

：.AB=AE,

:點(diǎn)P是BE的中點(diǎn)，

：.EF=BF,

,//.AFE=Z.GFB,

：.△AFE^△GFB(ASA),

：.AE=BG,

\'AD\\BC,

，四邊形AEGB是平行四邊形，

AB=AE,

，四邊形4EGB是菱形；

(2)解：VtanzABC=V3,

S./.ABC=60°,

過點(diǎn)尸作FM1BC于點(diǎn)如圖所示:

,/四邊形4BGE是菱形，

."GBE^-Z.ABC=30°,BG=AB=CD=8,BC=AD=10,

2

：

.FG=-2BG=4,

：.BF=V3FG=4V3,

：.FM=-BF=2V3,

2

：.BM=WFM=6,

：.CM=BC-BM=10-6=4,

在RtAFMC中，根據(jù)勾股定理得：

CF=VFM2+CM2=712+16=2V7.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、

三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)；添加輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3](2023?江西吉安?校考三模)如圖，在AABC中，AB=BC=4,ZC=30°,D是BC上的動(dòng)點(diǎn)，

以。為圓心，。C的長為半徑作圓交4C于點(diǎn)E,F,G分別是4B,2E上的點(diǎn)，將△4FG沿FG折疊，點(diǎn)4與點(diǎn)E恰

好重合.

B.

圖1圖2

(1)如圖1,若CD=8百一12,證明。。與直線48相切;

(2)如圖2,若OD經(jīng)過點(diǎn)B,連接ED.

①物的長是

②判斷四邊形BFED的形狀，并證明.

【答案】(1)見解析

(2)①②四邊形BFED為菱形，證明見解析

【分析】(1)過點(diǎn)。作D"14B的延長線于點(diǎn)H,由等邊對(duì)等角得N4=NC=30。，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)

求得,DBH=60。,易求得OH=8百一12=C。，即可得證；

(2)①易得CD=BD=^BC=2,由。C=DE,乙C=30?？傻?DEC=ZC=30。，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)

得出N8DE=乙DEC+4C=60°,再由弧長公式計(jì)算即可求解；②由折疊的性質(zhì)可得乙4=^FEA=30°,根

據(jù)平角的定義求得NDEF=120。，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到N8FE=60°,由ZDEF+4BDE=180°,

Z.BFE+乙DEF=180?？傻盟倪呅蜝FED為平行四邊形，再由BD=DE即可得證.

【詳解】(1)證明：過點(diǎn)。作DH14B的延長線于點(diǎn)H,

???AB=BC=4,NC=30°,

???Z-A=Z.C=30°,

???乙DBH=乙4+ZT=30°+30°=60°,

VCD=8A/3-12,

???BD=BC-CD=4-（8V3-12）=16-8/，

在Rt△BD”中，乙BDH=90°-乙DBH=90°-60°=30°,

BH=^BD=8-4V3,DH=^3BH=8V3-12,

???DH=CD,

???OD與直線相切；

(2)解:①若O。經(jīng)過點(diǎn)8,則CD=80=18。=2,

VDC=DE,Z.C=30°,

.-.乙DEC=ZT=30°,

???4BDE=乙DEC+NC=30°+30°=60°,

故答案為：爭

②四邊形BFED為菱形，

證明如下：

由折疊可知，ZX=Z.FEA=30°,

,-.4DEF=180°-Z.FEA-乙DEC=180°-30°-30°=120°,乙BFE=乙4+Z.FEA=30°+30°=60°,

???乙DEF+乙BDE=120°+60°=180°,乙BFE+乙DEF=60°+120°=180°,

EF||BD,BF||DE,

???四邊形BFED為平行四邊形，

又???BD=DE,

???四邊形BFED為菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定、三角形外角的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、

弧長公式、折疊的性質(zhì)、菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【題型4根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長】

【例4】（2023?浙江溫州?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在RtAdBC中，^ACB=90°,4E平分NC4B交CB于點(diǎn)E,

CD1AB于點(diǎn)D,交4E于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作GFIIBC交AB于F,連接EF.

(1)求證：CG=CE；

(2)若AC=3cm,BC=4cm,求線段DG的長度.

【答案】(1)見解析

瑞

【分析】本題考查等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，

勾股定理解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法，能夠通過勾股定理列方程.

(1)根據(jù)角平分線的定義可得NC4E=4BAE,根據(jù)直角三角形兩銳角互余，可得NC4E+4CEA=4BAE+

AAGD=90°,等量代換可得NCE4=N4GD=NCGE,即可證明CG=CE；

(2)先證△力GC三△AGF(ASA),推出CG=FG,結(jié)合(1)中結(jié)論可得CE=FG,結(jié)合GF||BC可證四邊形CGFE

是平行四邊形，結(jié)合CG=CE可證CGFE是菱形，根據(jù)勾股定理可得AB=5cm,根據(jù)AAGC三AAGF可得4F=

AC=3cm,進(jìn)而求出BF=2cm,再根據(jù)菱形的性質(zhì)推出￡T〃CG,進(jìn)而證明EF1AB,設(shè)CE=EF=CG=

GF=x,用勾股定理解RtAEFB求出x,再利用面積法求出CD,即可求出DG的長度.

【詳解】(1)證明：???力E平分NC4B,

???Z-CAE=Z.BAE,

???4ACB=90°,CDLAB,

???/.CAE+Z.CEA=^BAE+乙4G。=90°,

???Z-CEA=Z.AGD,

又???乙CGE=^LAGD,

???Z-CEA=Z-CGE,

CG=CE；

(2))解：???GF||BC,

???Z-CEG=(EGF,

由(1)知NCEA=ACGE,

Z.CGE=Z.EGFf

???Z-AGC=Z.AGF,

AG=AG,Z-CAE=Z.BAE,

??.△ZGC三△AGF(ASA),

CG=FG,

由(1)知CG=CE,

??.CE=FG,

???GF||BC,

???CE||FG,

???四邊形CGFE是平行四邊形，

???CG=CE,

???四邊形CGFE是菱形；

在RtZk/BC中，Z.ACB=90°,

AC=3cm,BC=4cm,

AB=7AC?+BC2=5cm,

???△AGCAGF,

AF=AC=3cm,

BF=AB-AF=2cm,

???四邊形CGFE是菱形，

??.EF||CG,

CD1AB,

???EF1AB,

設(shè)CE=EF=CG=GF=xcm,

BE=BC-CE=(4—%)cm,

在中，根據(jù)勾股定理得：

EF2+BF2=BE2,

???%2+22=(4-%)2,

解得"I,

???CG=-cm,

2

1i

S&ABC=-AC-BC=-AB-CD,

???3x4=5CD,

i2

CD=—(cm),

???GD=CD-CG=---=—(cm).

5210KJ

【變式4-1］（2023?甘肅蘭州?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形48CD的對(duì)角線4C與8。相交于點(diǎn)。，CDWOE,直線

CE是線段。。的垂直平分線，CE分別交OD,AD于點(diǎn)RG,連接

(1)判斷四邊形OCDE的形狀，并說明理由；

(2)當(dāng)CD=4時(shí)，求EG的長.

【答案】(1)四邊形OCDE是菱形，理由見解析

473

(2)EG

3

【分析】(1)證明AC。。和AE。。是等邊三角形，即可推出四邊形。CDE是菱形；

(2)利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得。尸和CF的長，利用菱形的性質(zhì)得到EF=CF=

2V3,在RtACGF中，解直角三角形求得GF的長，據(jù)此求解即可.

【詳解】(1)證明：四邊形。CDE是菱形，理由如下，

?.?矩形2BCD的對(duì)角線4C與8。相交于點(diǎn)。，

：.OC=OD=-AC=-BD,

22

?.?直線CE是線段。。的垂直平分線，

ACO=CD,EO=ED,

：.CO=CD=OD,即△COD是等邊三角形，

:.乙OCD=Z.DCO=乙DOC=60°,乙OCF=乙DCF=-AOCD=30°,

2

VCDWOE,

C.Z.EOD=乙EDO=Z.CDO=60°,

**?△E。。是等邊三角形，

ACO=CD=EO=ED,

???四邊形。COE是菱形；

(2)解：??,直線CE是線段。。的垂直平分線，且乙DCF=30。，

：.DF=Q=2,CF=?DF=2V3,

由(1)得四邊形。COE是菱形,

：.EF=CF=2V3,

在RtADGF中，NGDF=90°—4。。。=30。，

GF=￡>Ftan30°=2X—=—,

33

：.EG=EF-GF=逗.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，線段垂直平分線的性質(zhì)，

解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

【變式4-2]（2023?陜西西安??？级＃┤鐖D，在菱形ABCD中，NABC=60。，AD=6,對(duì)角線力C、BD相

交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在線段4C上，且2E=2,點(diǎn)F為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則EF+：的最小值

為.

【答案】2V3

【分析】過F作FM1BC,由菱形4BCD,N4BC=60°,得至IjBD為/ABC平分線，求出NFBM=30°,在RtAFBM

中，利用30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得到FM=^F,故EF+/BF=EF+FM,求出EF+FM的

最小值即為所求最小值，當(dāng)E、F、M三點(diǎn)共線時(shí)最小，求出即可.

【詳解】解：過F作FM1BC,

:菱形28C0,Z.ABC=60°,

AFBM=^Z.ABC=30°,AB=BC,即AABC為等邊三角形，/.ACM=60°,

在RtAFBM中，F(xiàn)M=-BF,

2

1

??.EF+-BF=EF+FM,

2

???當(dāng)E、F、M三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，

vAE=2,AC=AB=BC=6,

：.EC=AC-AE=6-2=4,

在RtZkECM中，EM=EC-sin60°=4xy=2V3,

則EF+^BF的最小值為2V3.

故答案為：2V3.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握各自的性質(zhì)是解

本題的關(guān)鍵.

【變式4-3](2023?廣東惠州?統(tǒng)考二模)如圖，把矩形2BCD沿力C折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)E重合，AE交BC于點(diǎn)

F,過點(diǎn)E作EG||CD交4C于點(diǎn)G,交CF于點(diǎn)、H,連接DG.

(1)試判斷四邊形ECDG的形狀，并加以證明;

(2)連接ED交力C于點(diǎn)。，求證：DC2=OC-AC；

(3)在(2)的條件下，若DG=6,4G=￡,求CG的值.

【答案】(1)平行四邊形ECDG是菱形，證明見解析

(2)見解析

(3)CG=—

【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)得出DC=BC,乙DDG=KECG,再由平行線的性質(zhì)及各角之間的關(guān)系得出

乙EGC=LECG,結(jié)合菱形的判定證明即可；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出NDOC=90。，再由相似三角形的判定和性質(zhì)即可證明；

⑶根據(jù)菱形的性質(zhì)得出ED14C,OC=^CG,CD=GE=6=DG,設(shè)。C=無，貝!]CG=2x,AC=2x+y,

根據(jù)(2)中結(jié)果求解即可.

【詳解】(1)證明：四邊形ECDG是菱形，

證明如下：由折疊重合可知DC=8C,乙DDG=/LECG,

9：EG||CD,

"DOG=（EGC

而"CG=乙ECG,

：.Z.EGC=乙ECG,

：.EG=EC,

：.BG=CD,

又TEG||CD,

???四邊形ECDG是平行四邊形，

又?：DC=EC,

???平行四邊形ECDG是菱形.

（2）:四邊形ECDG是菱形，

：.ED1AC,

"DOC=90°,

???四邊形ZBCD是矩形，

：.^ACC=乙DOC=90°,

又?:乙DCO=乙ACD,

△DCOs匕ACD,

.DC_OC

*'AC-DC9

：.DC2=OC-AC

（3）,??四邊形ECDG是菱形，

：.EDLAC,OC=-CG,CD=GE=6=DG,

2

設(shè)。C=x,則CG=2x,AC=2x+y,

由（2）得：DC2=OC-AC,

Z.36=x（2x+y）,

解得比2=5（不合題意，舍去），

??.CG=?

【點(diǎn)睛】題目主要考查矩形、菱形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程,

理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

【題型5根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度】

【例5】(2023?江蘇泰州?統(tǒng)考二模)如圖1,將RtAABCQA=90。)紙片按照下列圖示方式折疊：①將△4BD

沿折疊，使得點(diǎn)4落在BC邊上的點(diǎn)M處，折痕為BD；②將ABEF沿EF折疊，使得點(diǎn)8與點(diǎn)。重合，折痕

為EF；③將ADEF沿DF折疊，點(diǎn)E落在點(diǎn)E'處，展開后如圖2,BD、PF、DF、DP為圖1折疊過程中產(chǎn)生的

折痕.

1*11

備用圖

(1)求證：DPWBC；

(2)若DE'落在DM的右側(cè)，求NC的范圍;

(3)是否存在NC使得DE與NMDC的角平分線重合，如存在，請(qǐng)求NC的大??；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)見解析;

(2)0°<ZC<30°；

(3)不存在，理由見解析.

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握折疊

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)由第二次翻折可得EF垂直平分BD,由第一次翻折可得EF=EP,證出四邊形P8FD是菱形，則可得出

結(jié)論;

(2)設(shè)/ABD=a,求出NBDF=a,Z.ADP=Z.FDM=zC=90-2a,當(dāng)OE'落在DM的右側(cè)時(shí)，a>90—2a,

求出a>30。，則可得出答案；

(3)設(shè)NABD=a,^LADP=A.FDM=zC=90-2a,Z.MDC=2a,得出90-2a+a=a,求出a=45。，

NC=0。，則可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：由第二次翻折可得EF垂直平分BD,由第一次翻折可得EF=EP,

PF與BD垂直且互相平分，

???四邊形PBFD是菱形，

DP||BC-,

(2)解：設(shè)=a,

???四邊形PBFD是菱形，

PB||DF,

Z.BDF=a,Z,ADP=Z.FDM=L.C=90—2a,

當(dāng)DE'落在DM的右側(cè)時(shí)，a>90-2a,

a>30°,

??.90°-2a<30°,

???0°<ZC<30°；

(3)解：不存在.

若存在NC使得。。與4MDC的角平分線重合，

設(shè)=a,Z,ADP=Z-FDM=Z.C=90—2a,Z.MDC=2a,

???90—2a+a=a,

???a=45°,

???zC=0°,

不存在NC使得。E與NMDC的角平分線重合.

【變式5-1](2023?湖北襄陽?校考一模)如圖，nABCD中，AB=AD,點(diǎn)E是4B上一點(diǎn)，連接CE、DE,且

BC=CE,若NBCE=40。，則NaOE=.

【答案】15。/案度

【分析】首先證明四邊形2BCD是菱形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NCEB=NB=4180。-40。)=70。,

利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問題.

【詳解】解：在口4BCD中，

AB—AD,

???四邊形/BCD是菱形，

AB=AD=BC=CD,AB//CD,

???BC=CE,

CD=CE,

???Z.CED=Z-CDE,

???乙BCE=40°,

.-.乙CEB=lB=|(180°-40°)=70°,

/.ADC=NB=70°,

???乙ECD=乙BEC=70°,

???乙CDE=ACED=j(180°-70°)=55°,

.-./.ADE=70°-55°=15°.

故答案為：15。.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱

形的判定與性質(zhì).

【變式5-2](2023?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考中考真題)已知四邊形力BCD是平行四邊形，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，點(diǎn)尸

在邊BC上，連接力E,EF,DE=BF,BE=BC.

圖①圖②

(1)如圖①，求證△4ED三AEFB；

(2)如圖②，^AB=AD,AEED,過點(diǎn)C作CHIME交BE于點(diǎn)H,在不添加任何軸助線的情況下，請(qǐng)直接寫

出圖②中四個(gè)角(NB4E除外)，使寫出的每個(gè)角都與NB2E相等.

【答案】(1)見解析；

(2)NBEA=乙EFC=乙DCH=乙DHC=/.BAE,理由見解析.

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得4。=BC=BE,BC||AD,進(jìn)而有乙4DE=NEBF,從而利用S2S即可

證明結(jié)論成立；

(2)先證四邊形4BCD是菱形，得AB=BC=BE=CD=AD,又證△ABE^△CD”(AAS),得NB4E=

Z.DCH=ABEA=乙DHC,由(1)WAAED=A￡FB(SAS)=乙EFB,根據(jù)等角的補(bǔ)角相等即可證明.

【詳解】(1)證明：?..四邊形4BCD是平行四邊形，BE=BC

：.AD=BC=BE,BC||AD,

：.^ADE=AEBF,

;DE=BF,乙ADE=LEBF,AD=BE

△力EDmAEFB(SAS)；

(2)解：乙BEA=^EFC=^DCH=LDHC=LBAE,理由如下：

'：AB=AD,四邊形力BCD是平行四邊形，

/.四邊形ABC。是菱形，BC||AD,AB||CD

：.AB=BC=BE=CD=AD,4ADE=乙EBF,4ABE=乙CDH,

：.^BEA=乙BAE,

'：CHWAE,

：.^BEA=ADHC,

：.△ABE=ACDH(AAS),

：.^BAE=ADCH=乙BEA=乙DHC,

由(1)得△力EDmAEFB(SAS),

：.^AED=Z.EFB,

\"^AED+4BEA=4EFB+乙EFC=180°,

：.^BEA=4EFC=ADCH=Z.DHC=乙BAE.

AD

J

1FJ_T

圖②

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、等邊對(duì)等角、全等三角形的判定及性質(zhì)以及等

角的補(bǔ)角相等.熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3］（2023?安徽合肥?統(tǒng)考三模）如圖，在四邊形4BCD中，"8C=120。，對(duì)角線BD平分乙48C,

BD=BC,E為BD上一點(diǎn)、,S.BA=BE,連接2C交BD于點(diǎn)F,G為BC上一點(diǎn)，滿足BF=BG,連接EG交AC

于點(diǎn)H,連接

（1）①求證：乙EHF=60°；

②若H為EG中點(diǎn)，求證：AF2^2EF-EB-,

（2）若AC平分ND4B,請(qǐng)直接寫出NEC4與乙4cB的關(guān)系：

【答案】（1）①見解析，②見解析

(2)Z.ECA=Z.ACB,Z.ECA+Z.ACB=60°

【分析】（1）①通過證明AABFmAEBGISAS）得出NB4F=NBEG,再證明△EFH4FB,即可求證；②

根據(jù)點(diǎn)H為EG中點(diǎn)，得出EH=；EG,根據(jù)△EFHfAFB,得出蕓=差進(jìn)而推出蕓=嘴，結(jié)合EG=AF,

2EFEHEFEG

得出喋=翌，即可求證；

EFAF

（2）易證△BCD為等邊三角形，推出C0I4B,再根據(jù)等角對(duì)等邊得出4。=CD,進(jìn)一步得出四邊形4BCD為

菱形，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合，貝UNECa=N4CB,^ECA+^ACB=60°,

【詳解】（1）證明：①；乙48。=120。，對(duì)角線8。平分乙4BC,

AZ.ABF=Z.EBG=60°,

9：BA=BE,乙ABF=^EBG=6。。,BF=BG,

：.△ABF三△EBG(SAS),

：.ABAF=乙BEG,

?:乙EFH=2LAFB,

：.△EFH?八AFB,

?"EHF=匕ABF=60°；

②??,點(diǎn)H為EG中點(diǎn)，

i

：.EH=-EG,

2

由①可得：XEFH八AFB,

.AF_AB

**EF-EH'

9：BA=BE,

，竺=娶，整理得：竺=翌，

后尸湖EFEG

由①可得4ABF=△EBG(SAS),

：.EG=AF,

.AF_2BE

??EF一AF'

：.AF2=2EF，EB.

(2)解：9：^ABC=120°,80平分4ABC,

???匕ABD=乙CBD=60°,

?；BD=BC,

???△BCD為等邊三角形，

?"CDB=60°,CD=BC=BD,

：.CDWAB,

：.^DCA=ABAC.

?「AC平分"48,

：.Z.DAC=LBAC.

：.^DCA=^DAC,

：.AD=CD,

9：AB=BD,

V/.ABD=60°,

...乙48。為等邊三角形，

則AB=AD=BD,

：.AB=BC=CD=AD,

...四邊形ABC。為菱形，

'：BA=BE,

此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合，

：.AECA=AACB,Z.ECA+乙ACB=60°,

故答案為：/-EGA=Z.ACB,Z.ECA+/.ACB=60°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，

菱形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和判定定理，并靈活運(yùn)用.

【題型6根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積】

【例6】(2023?貴州遵義?統(tǒng)考一模)小明學(xué)習(xí)菱形時(shí)，對(duì)矩形4BCD進(jìn)行了畫圖探究Q4D>4B),其作法和

圖形如下：

①連接BD；

②分別以點(diǎn)B,。為圓心，大于BD長的一半為半徑作弧，兩弧相交于M,N兩點(diǎn)，作直線MN交8。于點(diǎn)。,

交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)尸；

③連接BE,DF.

(1)根據(jù)以上作法，判斷四邊形BFDE的形狀，并說明理由；

(2)若AB=4,AD=8,求四邊形BFDE的面積.

【答案】(1)四邊形BFDE是菱形，理由見詳解

(2)20

【分析】(1)根據(jù)作圖可知：EF垂直平分BD,先證明ABFE"DFE,再證明ADFE=乙DEF,即有DE=DF,

進(jìn)而有8￡1=?！?=。?=8?，問題得解；

(2)由4。=8,可得AE=8—DE=8—BE,在RtA4BE中，^AB2+AE2=BE2,即有4?+(8-BE)2=

BE2,解方程即可求出DE=BE=5,問題得解.

【詳解】(1)四邊形8FDE是菱形，理由如下：

根據(jù)作圖可知：EF垂直平分BD,

：.BE=ED,BF=FD,

'：FE=EF,

△BFE=△DFE,

：.ABFE=乙DFE,

???在ABCO中，AD\\BC,

:?乙BFE=乙DEF,

：.Z-DFE=乙DEF,

：.DE=DF,

：.BE=DE=DF=BF,

???四邊形BFDE是菱形；

(2)'：AB=4,AD=8,

：.AE=AD-BE=8-DE,

???四邊形BFDE是菱形，

：.BE=DE=DF=BF,

：.AE=8-DE=8-BE,

???在中，^AB2+AE2=BE2,

.*.42+(8-BE)2=BE2,

：.BE=5,

：.DE=BE=5,

'S菱形BEOF=DExAB=5x4=20.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的尺規(guī)作圖，菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等

知識(shí)，掌握菱形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

【變式6-1］（2023下?內(nèi)蒙古包頭?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某同學(xué)剪了兩條寬均為舊的紙條，交叉疊放在

一起，且它們的交角為60。，則它們重疊部分的面積為（）.

A.3B.2V3C.3V6D.6

【答案】B

【分析】過點(diǎn)A作4E1BC于E,AF1CD=^F,則4E=4F=百，/.AEB=Z.AFD=90°,求出四邊形

是平行四邊形，證出AAEB三△4FD,推出=求出四邊形2BCD是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出=

BC,解直角三角形求出48,最后根據(jù)菱形的面積公式求解即可.

【詳解】如圖，過點(diǎn)A作4E_L8C于E,4F_LC0于尸，

由題意可得4E=2F=遮，4AEB=AAFD=90°.

'：AD||BC,AB||CD,

四邊形2BCD是平行四邊形，

J.Z.ABE=/.ADF=60°.

Z-ABE=Z..ADF

在^AEB^AZFO中，\z.AEB=^AFD,

、AE=AF

：.△AEB三△ZFO(AAS),

：.AB=AD,

???四邊形/BCD是菱形，

：.AB=BC.

在Rt△4EB中，4AEB=90°,AE=A/3,Z.ABE=60°,

：.BE=4Etan600=1,AB=2Esin600=2,

：.BC=AB=2,

,重疊部分的面積是BCXAE=2V3.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)

用，能證明四邊形是菱形是解答此題的關(guān)鍵，難度適中.

【變式6-2](2023?廣西玉林?統(tǒng)考模擬預(yù)測)在矩形ABCD中，兩條對(duì)角線2C,BD相交于點(diǎn)。，C作4Mli

BD,CN||BD,且力M=CN=BD,連接MN.

(1)判斷四邊形4MNC的形狀，并說明理由；

(2)若AB=6,NACB=30。，求四邊形4MNC的面積.

【答案】(1)四邊形4MNC為菱形