遼寧省重點高中沈陽市郊聯(lián)體

2024-2025學年度下學期4月月考高一年級試題

數(shù)學

命題人:校題人:

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一個選項

符合題目要求.）

1.已知向量”=（43）,則與向量&同向的單位向量的坐標為（）

3_4434_334

A.B.D.

5，-55J55，-55J5

【答案】B

【解析】

【分析】由向量。的坐標除以向量。的模，可得與向量。同向的單位向量的坐標.

【詳解】因為a=（4,3）,所以忖=132+42=5,

a_a3

所以與向量a同向的單位向量的坐標為:W555，

故選：B

2.已知平面向量@=(1,2)]=(2x,x-l),且a//(b-a),則()

11

A.——B.一°ID.3

33

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量的坐標運算及向量共線的坐標表示求出x.

【詳解】向量。=(1,2)]=(2羽1—1),則6—a=(2x—l,x—3),

由a//(Z?—a),得2(2x—l)=x—3,所以x=

故選：A

71（?！?）的圖象相鄰的兩條對稱軸間的距離為:，為得到y(tǒng)=/（x）的圖

3.已知函數(shù)/(x)=sinCOXH----

3

象，可將y=cosx的圖象上所有的點（）

A.先向右平移△個單位長度，再將所得點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼腏倍，縱坐標不變

B.先向右平移￡個單位長度，再將所得點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼腏倍，縱坐標不變

122

TT

C.先向右平移；個單位長度，再將所得點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變

6

71

D.先向右平移一個單位長度，再將所得點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變

12

【答案】A

【解析】

【分析】直接求出函數(shù)的周期T,利用周期公式可求得到函數(shù)的解析式，利用圖象平移的規(guī)律：左加右

減，圖象伸縮變換的規(guī)律即可得解.

JT2冗

【詳解】由題意可知T=—x2=7i,—=T=7i,.?.G=2,

2co

71

所以/(x)=sin2%+=cos—

(f)12

TT

所以可將丁=COSX的圖象上所有的點先向右平移一個單位長度得到y(tǒng)=COS

6

再將所得點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膅倍，縱坐標不變得到y(tǒng)=cos12x-的圖象，

即/(%)=5皿12%+幻的圖象，

故選：A

4.若向量。=(2,1),b=(-1,2),C=則c可用向量a，/?表示為()

11

A.—ci-\-bB.—Q—b

22

3131

C.-a+-bD,-a——b

2222

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)向量基本定理，設c=M+yb,代入計算得到方程組，解出即可.

5

【詳解】設c=w+乃，即0,x(2,l)+y(-l,2)=(2x-y,x+2y),

2x-y=0i

x=—-1--

則有《c5，解得<2,則c=—a+b.

x+2―2

。=1

故選：A.

5.達?芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名，畫中女子神秘的微笑，數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者入迷，現(xiàn)將

畫中女子的嘴唇近似的看作一個圓弧，設嘴角A、B間的圓弧長為/,嘴角間的距離為d,圓弧所對的圓

心角為6（。為弧度角），則/、d和夕所滿足的恒等關系為（）

d

>4B

.eB.2sinfeD.2cos3

,sin—,

A.2_c.COSI_d

e=7~T=7-F~=1

【答案】B

【解析】

n

【分析】由三角函數(shù)定義得廠、一、d三者之間關系，另有弧長公式，兩式相除即可.

2

【詳解】

n?.O

設該圓弧所對應的圓的半徑為廣，則2rsin—=d,6r=l,兩式相除得5d

2~e-=l

故選：B.

【點睛】本題主要考查扇形弧長公式.

71

6.已知函數(shù)/（X）=3tanCOXH----（。＞0）的最小正周期為271，則不等式/（九）〉73的解集為)

4

47兀47兀)7r>

A.+€ZB.4左?！?4左兀+—I,€Z

C.I1,^GZD.I,+oo1,GZ

【答案】A

【解析】

【分析】先根據(jù)函數(shù)的周期確定。的值，再結(jié)合正切函數(shù)的圖象解不等式即可.

【詳解】因為函數(shù)/(x)=3tan，x+"的最小正周期為2兀，所以]=2兀，得o=

所以/(x)=3tan[gx+；；

由3tan(^x+巴]〉S'得tanR_x+3]＞正，得也+烏＜工％+生＜也+女,女€2,

U4；I24J36242

TT7T

解得2E——<x<2kli+—,k&Z.

62

故選：A

7.如圖，矩形ABC。中，點E是線段AB上靠近A的三等分點，點E是線段3C的中點，則￡＞2=()

8-510-5

A.-DF——ACB.——DF——AC

9999

QS

C.——DF+-ACD.--DF+-AC

9999

【答案】A

【解析】

【分析】解法一：由平面向量的加、減、數(shù)乘運算，以及平面向量基本定理，可表示DE，

解法二：以。為原點，DC、ZM分別為X、V軸的正方向建系，由=+結(jié)合坐標運算,

求得4,4，可表示DE.

【詳解】解法一：依題意。石=。4+工。乙①，。尸二^^7+J加②，AC=DC-ZM③,

32

222I

由②③式解得ZM=—。/——AC,DC=-DF+-AC,

3333

QS

代入①式得DE=-DF——AC.

99

解法二：以。為原點，DC、ZM分別為X、y軸的正方向建立平面直角坐標系,

設DC=a,DA=b,則-—,

a

由DE=4DE+4AC,有?=4*+4（。,-6）,

3

，,1

4+4=§Q<一.g一S

有《,解得4=2,4=—9，得?！?2。歹—'AC.

'9-999

,24一=1

故選：A.

8.函數(shù)〃x)=sin如+；?>0)在區(qū)間［0,兀］上恰有兩條對稱軸，則。的取值范圍為()

22]

4'"

【答案】D

【解析】

【分析】求出函數(shù)的對稱軸方程為x="竺紀，keZ,原題等價于0W(1+4、"三兀有2個整數(shù):符

4G4力

合，解不等式l+4xl<4^vl+4x2即得解.

【詳解】/(x)=sin［ox+E］(0〉O),

.71兀T~E(1+4Z)兀~

令COXH---=kuH----,左￡Z,則%=---------，7左￡Z,

424G

函數(shù)7(%)在區(qū)間［0，兀］上有且僅有2條對稱軸，即090+4%)兀V兀有2個整數(shù)%符合,

40

0W(1+4%)兀W兀,得+d左<40,則左=0,1,

4。4。

59

即l+4xlW4ty<l+4x2,：.-<a><-.

44

故選：D.

二、多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分)

9.下列命題不正確的是()

A.單位向量都相等

B.>+可=卜一可,則。工匕

C.若a與b是單位向量，則問=}|

D.若。與匕是共線向量，6與c是共線向量，則。與e是共線向量

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)單位向量的定義即可求解AC,根據(jù)模長公式即可求解B,根據(jù)b為零向量，即可判斷D.

【詳解】對于A,單位向量是長度為1的向量，方向不一定相同，故A錯誤，

對于B,由卜+。卜卜—可可得24為，所以3=0,故。工匕，故B正確,

對于C,。與6是單位向量，則同=W=i,C正確，

對于D,若b為零向量，則無法得到。與匕共線，故D錯誤，

故選：AD

10.已知函數(shù)/(x)=Acos(0x+°，4>0,<?>0,閘<力的部分圖象如圖所示，貝ij()

A./（九）=/（5—x）

B.〃x+3）—）

C.在區(qū)間［3,5］上單調(diào)遞增

D.將/(尤)圖象向左平移g個單位長度后所得的圖象關于原點對稱

【答案】CD

【解析】

【分析】首先結(jié)合圖象求出/(%)的解析式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項分析即可.

【詳解】由圖可知A=2,/(0)=2cos9=1,

所以cos°=L,因為且點(0,1)在遞減區(qū)間上，所以°=/，

223

貝I］/(X)=2COS/X+5］,

又/［：］=2cos仁+；］=0,6y>0,且點在遞減區(qū)間上，

。冗7E7E

所以"+2=2+2E,AeZ,則。=^+4E/eZ,

2323

T2n17i

又一=——>-,所以0<口<兀，故。=—,

44。23

則f(x)=2cos生+?),則f(x)的最小正周期T3=6,

7C7T\7T?7C

因為/(5-X)=2cos—(5-x)+-j=2cos|2兀J=2cos§xw,故A錯誤；

因為/(九)的最小正周期T=6,即/(x+6)=/(%),所以〃x+3)=/(x—3),故B錯誤;

r--1,兀7T4兀日

當XG[3,5]時，—X+—G—,271

因為y=cosx在y,27T上單調(diào)遞增，所以〃龍)在區(qū)間［3,5］上單調(diào)遞增，故C正確;

將/(%)的圖象向左平移!個單位長度得到y(tǒng)=2cosHx+g］+m=2cos^j%+-|j=-2sinj%,

71

又y=-2sin§x為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關于原點對稱，故D正確；

故選：CD.

11.已知函數(shù)—5)=2sin[2x+：)+sin[2x+?),貝ij()

A.兀是函數(shù)/(%)的周期

B."%)的圖象關于直線x=：對稱

C.f(x)的最大值與最小值之積為-3

「197rl

D./(%)區(qū)間2兀,三上單調(diào)遞減

O

【答案】ACD

【解析】

兀兀

3cos2x,kn—<x<H+—,^GZ,

44

【分析】通過換元令x--=t得到/(x)=2cos2x+|cos2x|=<「，進

8C7兀73兀77

COSZX,K71+—<X<A：7H---€Z,

44

而逐項判斷即可;

7T7T

【詳解I令％--=t,則%=%+—,

88

即/?)=2sin=2sin12%+]卜sin[2/+-^=2cos2?+|cos2^|

所以/(x)=2cos2x+|cos2%|,

/(x+7l)=2cos[2(%+兀)]+卜os[2(x+7l)j

=2cos(2x+2兀)+|cos(2x+2TI)|=2cos2x+|cos2x|=/(x),故A正確；

71兀

/(0)=2cos0+|cosO|=3,/2cOS7l+|cOS7l|=-l,得/⑼w/

所以了(%)的圖象不關于直線x對稱，故B錯誤;

兀兀

3cos2%,kit—<x<^7i+—,^GZ,

/(x)=2cos2x+|cos2x|=<44

C7兀73兀7~

COSZX,E+—<X<Ed---GZ,

44

當x=E(keZ)時，/(%)取最大值3；

當戶也+：(丘2)時，/(%)取最小值—1,故八％)的最大值與最小值之積為—3,

故C正確;

因為兀是函數(shù)的周期，所以只需考慮“X）在區(qū)間0,—上是否單調(diào)遞減,

O

JT兀

當XC0,J時，2xe0,—,/(x)=3cos2x單調(diào)遞減;

IJT3兀（JT3兀

當xe丁,丁時，2xe,/（x）=cos2x單調(diào)遞減，又"了）的圖象不間斷,

V48\24

故“X）在區(qū)間0,—上單調(diào)遞減，故D正確.

O

故選：ACD.

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.已知sina,85。是關于苫的方程2尤2—%+.=0的兩根，則實數(shù)f等于.

3

【答案】--##-0.75

4

【解析】

【分析】利用韋達定理及同角公式列式計算并驗證得解.

【詳解】由方程2/—%+/=0有兩根，得△=：!—8f20,解得

8

1

sina+cosa=—

21

依題意，\則sin2a+cos2a=(sina+costz)2-2sin?cosa,解得

t4

sinacosa=—

l2

3

t=——,符合題意，

4

3

所以實數(shù)/等于-

4

3

故答案為：

4

13.已知函數(shù)=+1+是奇函數(shù)，貝ijtane的值為

【答案】昱

3

【解析】

【分析】利用余弦型函數(shù)的性質(zhì)，求出「的表達式，再利用誘導公式計算即得.

【詳解】由函數(shù)〃x)=J^cos[x+]+0J奇函數(shù)，得^+°=%兀+_|,左￡2,

則°=左兀+《水￡Z,所以當時，tan^7=tan[j=tan^=^

故答案為：走.

3

14.如圖，G是△OA3的重心，RQ分別是邊。4,08上的動點，且P,G,Q三點共線.設

OP=xOA>0Q=yOB,則一+—=

%y

【解析】

-11

【分析】利用重心性質(zhì)可得OG=—OA+—05,再根據(jù)P,G,Q三點共線利用共線定理可得

33

06=40「+〃0。,且4+〃=1,即—?—=3（4+〃）=3.

%y

一2一

【詳解】因為6是4。鉆的重心，所以可得。G=—。河，

3

易知加=L04+工03,所以可得OG=2j_LQA+_Lo5]=J_QA+J_O3；

223122）33

又因為P,G,。三點共線，可知存在實數(shù)2,，滿足OG=WP+//OQ,且丸+4=1；

又OP=x0鼠OQ=yOB,所以0G=4xOA+4y，

Ax=—3…2=—1

3x

可得《:,即,

3〃J

y

所以工+工=3（4+〃）=3.

%y

故答案為：3

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于根據(jù)平面向量共線定理，再結(jié)合重心性質(zhì)得出對應系數(shù)之間的關系,

即可得出結(jié)果.

四、解答題

.(71)(371\/、

sinI—+xIcosI-xItan(7r-x)

15.已知

/(%)=

COS(7T-X)sin(7C+x)

（1）化簡函數(shù)/（X）；

smcr+2coscr

(2)若/(?)=3,求-------------

2sin。一cosa

【答案】(1)tanx

(2)1

【解析】

分析】（1）根據(jù)誘導公式及同角三角函數(shù)關系化簡函數(shù)即可;

（2）分式中分子分母同除COSY,化弦為切即可求解.

【小問1詳解】

.(n),、

sin12+%JcosI-xItan(7r-x)

cosx(-sinx)(-tanx)_

f(x)=—tanx

COS(7T-X)sin(7t+x)(一cos%)(—sinx)

【小問2詳解】

因為/（。）=3,所以tana=3,

?…sina+2cos。tana+2_3+2

所以-------------

2sincif-cos6Z2tana-12x3-1

2

16.如圖，在VABC中，D,尸分別是3C,AC的中點，AE=-AD,AB-a，AC=b-

A

（1）用分別表示向量AE，BF；

（2）求證:5,E,尸三點共線.

【答案】（1）AE=-（a+b）,BF=-a+-b；

32

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合幾何圖形用基底凡6表示向量即得.

（2）由（1）的信息，利用共線向量的定理推理即可.

【小問1詳解】

在VABC中，由。是BC中點，得AD=g（AB+AC）=；（a+?,

2221-1

而A石=于是人石=§4￡>=耳*2（〃+切=§（〃+3

又尸是AC的中點，所以3/=24+4/=—46+工4。=—。+」兒

22

【小問2詳解】

由（1）知，AE=-AB+-AC=-AB+-x2AF=-AB+—AF,因此BEuZEb，

333333

即BE//所，而BE,EF有公共點E，所以8,E,歹三點共線.

17.據(jù)市場調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每月的價格滿足函數(shù)關系式：加）=Asin（°x+°）+2

[A〉0,O〉0,|9|<1],x為月份.已知3月份該商品的價格首次達到最高，為9萬元，7月份該商品的價

格首次達到最低，為5萬元.

（1）求人x）的解析式；

（2）求此商品的價格超過8萬元的月份.

（兀7T]

【答案】（l）40=2sin-]+7；（2）2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的

價格超過8萬元.

【解析】

【分析】（1）由最大值和最小值求得A3,由周期求得。，再用最高點坐標（3,9）代入可得。，從而得解

析式；

（JT冗\

（2）解不等式2sin-X--+7>8中在[1,12]上的整數(shù)解即得.

【詳解】解（1）由題意可知二=7—3=4,，T=8,

2

2兀_兀

?.①

于一Z

”5

A=2

又〈2

9-5B=7

=A

[2

即7(x)=2sin[+°)+7.(*)

又/(x)過點(3,9),代入(*)式得2sinH+。)+7=9,

..(3萬j?31?兀n,

/.sin------F0=1,??------\-(p―——\-2k7jc,kRZ.

I4)42

「兀71

又1研＜77，，9=-

24

71幾

.*./(x)=2sin—X------+7(1<A^12,XGN).

44

71冗

(2)令/(x)=2sin—x------+7>8,

44

71711

sin—X------＞萬，

44

7T_77C7C57r否7.

??—2k兀v—x-----v------2左》，左￡Z,

6446

513

可得—+8%<x<-----P8左，k^Z.

33

又10爛12,xGN\???X=2,3,4,10,11,12.

即2月份、3月份、4月份、10月份、H月份、12月份此商品的價格超過8萬元.

【點睛】本題考查三角函數(shù)/(%)=Asin(@x+0)+M的應用，解題關鍵是根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)

解析式.

71)一

18.函數(shù)/(x)=sin(0x+°)0〉0,忸|＜-的部分圖像如圖所示.

(1)求/(%)的解析式;

(2)若=求cos(2%-7］的值；

JTJT

(3)若Vxe，［/(x)f-時(％)-140恒成立，求”的取值范圍.

TT

【答案】(1)/(x)=sin(2x+-)

⑵-

5

⑶

L2j

【解析】

【分析】(1)根據(jù)圖象中特殊點的坐標，結(jié)合余弦型函數(shù)的周期公式進行求解即可;

(2)根據(jù)誘導公式可求解；

(3)根據(jù)函數(shù)零點的定義，結(jié)合余弦型函數(shù)的有界性分類討論進行求解即可.

【小問1詳解】

3_5兀兀32兀3兀c

由圖可得一T=---------=>--------=——=>0=2,

46124co4

函數(shù)f(x)=sin(2x+°)過點七,lj,

兀)IE7E

［2—+I=1,則%+夕=5+2左兀(左￡Z),

解得°=；+2E(左wZ),

jI*jIj?

又|夕|<5,則9=w，所以/(x)