4<21嵬體瓜何丈來除合

十年考情-探規(guī)律

考點(diǎn)十年考情(2015-2024)命題趨勢

2024?全國新I卷、2024?全國甲卷、2024?北京卷、2024?天津卷、

2023?全國新I卷、2023?全國甲卷、2023?全國乙卷、2023?天津卷、

2022,全國新n卷、2022?全國甲卷、2022?天津卷、2022?北京卷

空間中的平

2021?天津卷、2020?北京卷、2020?江蘇卷、2019?江蘇卷、

行關(guān)系和垂

考點(diǎn)1空間中的平2019?天津卷、2019?天津卷、2019?全國卷、2019?全國卷、

直關(guān)系依然

行關(guān)系（第一問）2018?江蘇卷2017?天津卷、2017?浙江卷、2017?全國卷

是立體幾何

（10年10考）2017?全國卷、2017?江蘇卷、2016?四川卷、2016?江蘇卷、

大題第一問

2016?天津卷、2016?全國卷、2016?山東卷、2016?全國卷、

的叩越熱點(diǎn)，

2015?江蘇卷、2015?天津卷、2015?天津卷、2015?四川卷

要熟練掌握

2015?山東卷、2015?山東卷、2015?安徽卷

2015?福建卷、2015?北京卷

空間中的距

2024?全國新n卷、2023?全國新n卷、2023?全國甲卷、2023?北京卷、

離及表面積、

2022?全國甲卷、2022?全國乙卷、2022?浙江卷、2021?全國新I卷、

體積的計(jì)算

2021?全國新n卷、2021?全國甲卷、2021?全國乙卷、2021?浙江卷

同樣是命題

2020?海南卷、2020?天津卷、2020?浙江卷、2020?山東卷、

熱點(diǎn)，異面直

2020?全國卷、2020?全國卷、2020?全國卷、2020?全國卷、

線所成角、線

2020,全國卷、2019?江蘇卷、2019?北京卷、2019?北京卷

面角、--面

考點(diǎn)2空間中的垂2019?全國卷、2019?全國卷、2019?天津卷、2019?浙江卷、

角、及其最值

直關(guān)系（第一問）2019?全國卷、2019?全國卷、2018?江蘇卷、2018?北京卷、

范圍等內(nèi)容

（10年10考）2018?北京卷、2018?全國卷、2018?浙江卷、2018?全國卷

也是高頻考

2018?全國卷、2018?全國卷、2018?全國卷、2018?天津卷、

點(diǎn)，同時也需

2017?山東卷、2017?全國卷、2017?天津卷、2017?全國卷、

掌握方程思

2017?全國卷、2017?北京卷、2017?江蘇卷、2016?浙江卷

想的應(yīng)用

2016?北京卷、2016?全國卷、2016?北京卷、2016?山東卷、

2016?浙江卷、2016?天津卷、2016?全國卷、2016?全國卷、

2015?廣東卷、2015?江蘇卷、2015?重慶卷、2015?重慶卷

2015?浙江卷、2015?浙江卷、2015?全國卷、2015?全國卷、

2015全國卷、2015?天津卷、2015?陜西卷、2015?湖南卷、

2015?湖南卷、2015?湖北卷、2015?福建卷、2015?北京卷

2015?北京卷

考點(diǎn)3求空間中的

線段長度、點(diǎn)面距的2024?全國甲卷、2024?天津卷、2023?全國甲卷、2022?全國新I卷、

值及最值或范圍2021?全國乙卷、2019?全國卷、2018?全國卷

（10年6考）

2024?上海卷、2023?全國乙卷、2022?全國甲卷、2022?全國乙卷、

2021?全國新I卷、2021?全國甲卷、2021，全國乙卷、2020?全國卷、

考點(diǎn)4求空間中的2020?全國卷、2019?全國卷、2019?全國卷、2018,全國卷

體積、表面積的值及2017?上海卷、2017?全國卷、2017?北京卷、2017?全國卷、

最值或范圍2016?江蘇卷、2016?全國卷、2016?上海卷、2016?上海卷、

（10年10考）2016?全國卷、2016?全國卷、2015?重慶卷、2015?全國卷

2015?湖南卷、2015?湖南卷、2015?湖北卷

2015?福建卷、2015?北京卷

考點(diǎn)5異面直線所

2018?天津卷、2017?天津卷、2016?上海卷、2015?廣東卷、

成角及最值或范圍

2015?全國卷、2015?上海卷、2015?山東卷

（10年4考）

2024?天津卷、2024,上海卷、2023?全國甲卷、2022?全國甲卷、

2022?全國乙卷、2022?浙江卷、2022?天津卷、2021?浙江卷、

2020?海南卷、2020?天津卷、2020?北京卷、2020?浙江卷

考點(diǎn)6求線面角及2020?山東卷、2020?全國卷、2019?天津卷、2019?浙江卷、

最值或范圍2018?江蘇卷、2018?浙江卷、2018?全國卷、2018?天津卷、

（10年10考）2017?上海卷、2017?天津卷、2017?浙江卷、2017?北京卷

2016?浙江卷、2016?天津卷、2016?全國卷、2016?北京卷、

2016?天津卷、2015?廣東卷、2015?浙江卷、2015?天津卷、

2015?上海卷、2015?全國卷

2024?全國新n卷、2024?全國甲卷、2024?北京卷、2024?天津卷、

2023?全國新n卷、2023?全國乙卷、2023?北京卷、2023?天津卷、

考點(diǎn)7求二面角及

2022?全國新I卷、2022?全國新H卷、2022?天津卷、2021?全國新U卷

最值或范圍

2021?全國甲卷、2021?全國乙卷、2021?天津卷、2020?天津卷、

（10年10考）

2020?江蘇卷、2020?全國卷、2020?全國卷、2019?北京卷、

2019?全國卷、2019?全國卷、2019?全國卷、2018?北京卷

2018?全國卷、2017?山東卷、2017?全國卷、2016?天津卷、

2016?山東卷、2016?浙江卷、2016?全國卷、2016?全國卷、

2015?廣東卷、2015?重慶卷、2015?浙江卷、2015?四川卷

2015?陜西卷、2015?山東卷、2015?安徽卷

2015?福建卷、2015?北京卷

考點(diǎn)8已知異面直

線所成角、線面角、2024?全國新I卷、2023?全國新I卷、2021?全國新I卷、2021?北京卷、

二面角求值或范圍2017?天津卷、2017?全國卷、2015?天津卷、2015?湖南卷、

（方程思想）2015?湖南卷、2015?湖北卷

（10年5考）

分考點(diǎn)?精準(zhǔn)練

考點(diǎn)01空間中的平行關(guān)系（第一問）

1.（2024?全國新I卷?高考真題）如圖，四棱錐尸-4BCD中，尸/,底面/BCD,PA=AC=2,BC=1,AB=也.

P

（1）若證明：40〃平面尸8C；

2.（2024?全國甲卷?高考真題）如圖，在以4,B,C,D,E,尸為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形48cZ）與四邊

形/DE尸均為等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=y/10,FB=2^<M為AD

（1）證明：W//平面COE；

3.（2024?北京?高考真題）如圖，在四棱錐尸-4BCD中，BCHAD,AB=BC=i,2。=3,點(diǎn)E在/。上,

且PE=DE=2.

P

⑴若尸為線段PE中點(diǎn)，求證：BF〃平面PCD.

4.（2024?天津?高考真題）己知四棱柱N3CD-4B]GA中，底面4BC。為梯形，ABIICD,//_L平面/BCD,

AD1AB,其中48=/4=2,4D=Z>C=1.N是4G的中點(diǎn)，M是D。1的中點(diǎn).

⑴求證AN〃平面磁陽；

5.（2023?全國新I卷?高考真題）如圖，在正四棱柱中，AB=2,A4=4.點(diǎn)4也仁也分

別在棱74,BB”CQ,上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

6.（2023?全國甲卷?高考真題）如圖，在三棱錐尸-/BC中，AB1BC,45=2,8C=2&，PB=PC=&,

BP,AP,BC的中點(diǎn)分別為D,E,O,AD=45DO,點(diǎn)尸在/C上，BFLAO.

p

⑴證明：￡尸//平面/。。；

7.（2023?全國乙卷?高考真題）如圖，在三棱錐尸一A8C中，AB1BC,AB=2,8c=2&，PB=PC=?

82/尸,3。的中點(diǎn)分別為。,￡,。，點(diǎn)尸在NC上，BFVAO.

（1）求證：E尸〃平面4DO；

8.（2023?天津?高考真題）如圖，在三棱臺ABC-44G中，平面

ABC,ABLAC,AB=AC=AAl=2,A（：i=1,M為BC中點(diǎn).，N為A8的中點(diǎn),

B

（1）求證：&V〃平面4WG；

9.（2022?全國新II卷?高考真題）如圖，尸。是三棱錐P-N8C的高，PA=PB,4B1NC,E是尸3的中點(diǎn).

（1）證明：?！?/平面R4C；

10.（2022?全國甲卷?高考真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動，設(shè)計(jì)了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示:

底面N8CO是邊長為8（單位：cm）的正方形，AE4BQFBC,AGCD,AHDA均為正三角形,且它們所在的平

面都與平面48C。垂直.

⑴證明：￡尸//平面48。。；

11.（2022?天津?高考真題）直三棱柱ABC-4耳￡中，AA,ABAC2,AA,1AB,AC1AB,。為Z4的

中點(diǎn)，E為44的中點(diǎn)，尸為。。的中點(diǎn).

（1）求證：EF/mABC,

12.（2022?北京?高考真題）如圖，在三棱柱NBC-43G中，側(cè)面8CC圈為正方形，平面BCC同，平面，

AB=BC=2,M,N分別為4耳，/C的中點(diǎn).

（1）求證：MN//平面BCClBl；

13.（2021?天津?高考真題）如圖，在棱長為2的正方體力BCD-中，E為棱8C的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD

的中點(diǎn).

14.（2020?北京?高考真題）如圖,在正方體ABCD-44Gz中，E為8月的中點(diǎn).

15.（2020?江蘇?高考真題）在三棱柱ABC-4B心中，AB±AC,BIC_L平面ABC,E,F分別是AC,&C的中點(diǎn).

（1）求證：EF〃平面A&Q；

16.（2019?江蘇?高考真題）如圖，在直三棱柱48C—N/2/C/中，D,E分別為BC,ZC的中點(diǎn)，AB=BC.

求證：（1）4瓦〃平面。EG；

17.（2019?天津?高考真題）如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面/BCD為平行四邊形,△PCD為等邊三角

形，平面E4C_L平面尸CO,PALCD,CD=2,40=3,

(I)設(shè)G,H分別為PB,/C的中點(diǎn)，求證：〃平面P

18.(2019?天津"高考真題)如圖，AE1ABCD,CF//AE,AD//BC,

AD1AB,AB=AD=1,AE=BC=2.

（I）求證：5尸〃平面/DE；

19.（2019?全國?高考真題）如圖，直四棱柱/BCD-/出C/Di的底面是菱形，AAi=4,AB=2,ZBAD=60°,E,

M,N分別是BC,BBi,AiD的中點(diǎn).

（1）證明：〃平面CiDE；

20.（2019?全國?高考真題）如圖，直四棱柱/BCDTK/D的底面是菱形，44/=4,AB=2,ZBAD=60°,E,

M,N分別是8。BBi，的中點(diǎn).

（1）證明：〃平面。DE；

21.（2018?江蘇?高考真題）在平行六面體488-446。中，

求證：（1）43〃平面48。；

22.（2017?天津?高考真題）如圖，在三棱錐尸-4BC中，尸底面43C,/8/C=90。.點(diǎn)O,E,N分

別為棱尸區(qū),PC,3C的中點(diǎn)，W是線段的中點(diǎn)，PA=AC=4,AB=2.

（1）求證：血W〃平面8DE；

23.（2017?浙江?高考真題）如圖，已知四棱錐P-ABCD,z!\PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC〃AD,

CD1AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點(diǎn).

（I）證明：CE〃平面PAB；

24.（2017?全國?高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是邊長為2的等邊三角形且垂直于底面NBC。,

AB=BC=-AD,ABAD=NABC=9G,￡是尸。的中點(diǎn).

2

（1）證明：直線CE//平面尸48；

P

C

25.（2017?全國?高考真題）四棱錐尸-48。中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面

ABCD,=SC=-AD,ZBAD=ZABC=90°.

2

（1）證明：直線8c〃平面尸40;

26.（2017?江蘇?高考真題）如圖，在三棱錐4BC。中，AB±AD,BC±BD,平面ABD_L平面BC。，點(diǎn)E,F（E

與4。不重合）分別在棱AD,BD上，且EF_LA。.

求證：⑴EF〃平面ABC；

27.（2016?四川?高考真題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA_LCD,AD〃BC,ZADC=ZPAB=90",BC=CD=yAD.

（I）在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM〃平面PAB,并說明理由;

28.（2016?江蘇?高考真題）如圖，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，D,E分別為AB,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱&B

上，且穌尸,4G，4片.

求證：（1）直線DE〃平面A1C1F；

29.（2016?天津,高考真題）如圖，正方形ABCD的中心為O,四邊形OBEF為矩形，平面OBEF_L平面ABCD,

點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE=2.

(I)求證：EG〃平面ADF；

30.(2016?全國?高考真題)如圖，四棱錐尸-/BCD中，a_L底面/BCD,AD//BC,AB=4D=4C=3,PA=BC=4,

M為線段上一點(diǎn)，AM=2MD,N為尸C的中點(diǎn).

P

(I)證明ACV〃平面PAB;

31.(2016?山東?高考真題)在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓。的直徑，EF是上底面圓。，的直徑，F(xiàn)B

(I)已知G,H分別為EC,FB的中點(diǎn)，求證：GH〃平面ABC；

32.(2016?全國?高考真題)如圖，四棱錐尸一Z8CD中，平面/BCD,AD//BC,AB=AD=AC=3,

PA=BC=4,M為線段上一點(diǎn)，AM=2MD,N為尸C的中點(diǎn).

(I)證明跖平面尸45；

33.（2015?江蘇?高考真題）如圖，在直三棱柱，￡8。-a：4G中，已知dC_3C，歙窗=，軟%,設(shè).珥的

中點(diǎn)為D，81CD3C1=E.

求證：（1）DE」平面W&G。；

34.（2015?天津?高考真題）如圖，已知Z4_L平面ABC,8BJ|4九

AB=AC=3,SC=2底伏=/，幽=2幣,點(diǎn)E,F分別是BC,4g的中點(diǎn).

（I）求證:EF〃平面;

35.（2015?天津?高考真題）如圖，在四棱柱/3CD-44CQ中，側(cè)棱4/，底面/BCD,AB1AC,AB=1,

AC=AAt=2,AD=CD=y/5,且點(diǎn)Af和N分別為8。和。。的中點(diǎn).

（1）求證：兒W//平面M5CD；

36.（2015?四川?高考真題）一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中,

設(shè)3C的中點(diǎn)為“，GH的中點(diǎn)為N

DC

GE

AB

--FI?..

/\XM

H'一--------------5

⑴請將字母尸,G,〃標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不需說明理由）

（2）證明：直線跖V//平面

37.（2015?山東?高考真題）如圖，三棱臺。昉中，AB=2DE,G,〃分別為/C,8C的中點(diǎn).

（I）求證：平面FGH；

38.（2015?山東?高考真題）如圖，在三棱臺。所-48C中，N8=2。瓦G,〃分別為NC,8c的中點(diǎn).

（I）求證：&）//平面FGH；

39.（2015?安徽?高考真題）如圖所示，在多面體48QQC8/,四邊形44/田，,N3CD均為正方形,

E為3a的中點(diǎn)，過4，。,￡的平面交CR于F.

（I）證明：EFI/BXC-

40.（2015?福建?高考真題）如圖，在幾何體NBCDE中，四邊形48co是矩形，28/平面BEC,BE1EC,

AB=BE=EC,G,尸分別是線段BE,DC的中點(diǎn).

（1）求證：G/〃平面疝力；

41.（2015?北京?高考真題）如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VABL平面ABC,AVAB為等邊三角形,

AC1BC5.AC=BC=A/2，O,M分別為AB,VA的中點(diǎn).

（1）求證：VB〃平面MOC；

考點(diǎn)02空間中的垂直關(guān)系（第一問）

1.（2024?全國新II卷?高考真題）如圖，平面四邊形48。中，AB=8,CD=3,AD=5。,ZADC=90°,

___,O___?_____1____

NBAD=3U,點(diǎn)、E,尸滿足血AF=-AB,將44■沿跖翻折至！尸所，使得尸。=46.

B

(1)證明：EF1PD；

2.(2023?全國新II卷?高考真題)如圖，三棱錐Z-BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,ZADB=ZADC=60°,

E為BC的中點(diǎn).

（1）證明：BCLDA；

3.（2023?全國甲卷?高考真題）如圖，在三棱柱44cl中，4。，平面48。,//。8=90。.

（1）證明：平面水14,平面84GC；

4.（2023?北京?高考真題）如圖，在三棱錐尸-4BC中，平面/3C,PA=AB=BC=1,PC=@.

⑴求證：BCmPAB-,

5.（2022?全國甲卷?高考真題）在四棱錐尸-4BCD中，尸。_L底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=\,AB=2,DP=43

p

(1)證明：BD1PA；

6.(2022?全國乙卷?高考真題)如圖，四面體/BCD中，AD1CD,AD-CD,ZADB=ZBDC,E為ZC的中

點(diǎn).

(1)證明：平面BED_L平面/CD；

7.(2022?浙江?高考真題)如圖，已知Z3CD和CDEF都是直角梯形，ABHDC,DC//EF,AB=5,DC=3,

EF=\,ABAD=ZCDE=60°,二面角尸一。C-5的平面角為60。.設(shè)M,N分別為/旦3c的中點(diǎn).

(1)證明：FN1.AD；

8.(2021?全國新I卷?高考真題)如圖，在三棱錐中，平面43。_L平面BCD,AB=AD,O為BD

的中點(diǎn).

A

（1）證明：CMLCD；

9.（2021?全國新H卷?高考真題）在四棱錐。-/BCD中，底面/BCD是正方形，若

AD=2,QD=QA=45,QC=3.

（1）證明：平面。，平面NBCD；

10.（2021?全國甲卷?高考真題）已知直三棱柱NBC-44cl中，側(cè)面姿為正方形，AB=BC=2,E,F

分別為/C和的中點(diǎn)，。為棱4月上的點(diǎn).BF1AXBX

Cl）證明：BFIDE；

11.（2021?全國乙卷?高考真題）如圖，四棱錐尸-48CD的底面是矩形，尸。，底面/BCD,〃■為8c的中

點(diǎn)，且尸.

p

(1)證明：平面PZ"J_平面尸；

12.(2021?浙江?高考真題)如圖，在四棱錐尸-4BCD中，底面/5C。是平行四邊形，

^ABC=n(f,AB=1,BC=4,PA=J?,M,N分別為8C,PC的中點(diǎn)，PD1DC,PMLMD.

B

(1)證明：ABVPM

13.(2020?海南?高考真題)如圖，四棱錐P/8CD的底面為正方形，PD,底面ABCD.設(shè)平面力。與平面P8C

的交線為/.

(1)證明：U平面PDC；

14.(2020,天津?高考真題)如圖，在三棱柱ABC-4B￡中，CQ，平面ABC,AC1BC,AC=BC=2,CC1=3,

點(diǎn)2E分別在棱％和棱CC,±,且/。=1CE=2,M為棱的中點(diǎn).

(I)求證：CtM1B.D■

15.(2020?浙江?高考真題)如圖，ABC-DEFtf，平面ACFD_L平面ABC,ZACB=ZACD=45°,DC=2BC.

(I)證明:EF±DB；

16.(2020?山東?高考真題)如圖，四棱錐尸/BCD的底面為正方形，尸。,底面ABCD設(shè)平面BID與平面

PBC的交線為/.

(1)證明：/_L平面尸DC；

17.(2020?全國?高考真題)如圖，在長方體/BCD-431GA中，點(diǎn)、E,廠分別在棱。A，叫上，且2DE=ER,

BF=2FB1.證明：

cB

（1）當(dāng)/3=3C時，EF1ACy

18.（2020?全國?高考真題）如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，“3C是底面的內(nèi)接正三角形,

尸為。。上一點(diǎn)，ZAPC=90°.

（1）證明：平面以B_L平面而C；

19.（2020?全國?高考真題）如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，4E為底面直徑，AE=AD.^ABC

是底面的內(nèi)接正三角形，P為。。上一點(diǎn)，PO=^DO.

6

20.（2020?全國?高考真題）如圖，已知三棱柱ZBC-4B】G的底面是正三角形，側(cè)面34GC是矩形，M,N

分別為BC,&G的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn).過和P的平面交八8于E,交AC于F.

（1）證明：AA111MN,且平面AH/WN_L平面EB】GF；

21.（2020?全國?高考真題）如圖，已知三棱柱ABC-4&Q的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，M,N

分別為BC,B心的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)、,過&G和P的平面交AB于E,交AC于F.

（1）證明：AAi//MN,且平面414MN_LEB】QF；

22.（2019?江蘇?高考真題）如圖，在直三棱柱48C—出囪。中，D,￡分別為BC,/C的中點(diǎn)，AB=BC.

C

求證：（1）43/〃平面DEG；

（2）BELCiE.

23.（2019?北京?高考真題）如圖，在四棱錐P-ZBC。中，P/_L平面/BCD,底部48。為菱形，E為CD

的中點(diǎn).

p

（I）求證：平面PAC-,

（II）若/，8C=60。，求證：平面為3_L平面為E；

24.（2019?北京?高考真題）如圖，在四棱錐尸-4BCD中，以_L平面/BCD,NDLCD,4D〃2C,PA=AD=CD=2,

PF1

BC=3.E為尸。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在PC上，且正=§?

（I）求證：⑦,平面我》

25.（2019?全國?高考真題）圖1是由矩形優(yōu)必A43c和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中

AB=1,BE=BF=2,ZFBC=60°,將其沿/民8。折起使得BE與8尸重合，連結(jié)。G,如圖2.

c1）證明圖2中的4CG,。四點(diǎn)共面，且平面4BC1平面3CGE；

圖1圖2

26.（2019?全國?高考真題）圖1是由矩形《△48C和菱形3尸GC組成的一個平面圖形，其中/3=1,

BE=BF=2,ZFBC=60°,將其沿/瓦3c折起使得與3斤重合，連結(jié)。G,如圖2.

（1）證明：圖2中的4,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面/3C_L平面8CGE；

圖1圖2

27.（2019?天津?高考真題）如圖，在四棱錐P-A8CZ）中，底面/BCD為平行四邊形，APCD為等邊三角

形，平面尸NC_L平面尸CD,PALCD,CD=2,40=3,

（I）設(shè)G,〃分別為尸2,/C的中點(diǎn)，求證：GH〃平面尸4D；

（II）求證：PA1平面PCD；

28.（2019?浙江?高考真題）如圖，已知三棱柱/Be-/"。，平面N4GCJ.平面NBC,/A8C=90。,

ZBAC=30°,A,A=4。=AC,E,F分別是AC,AXBX的中點(diǎn).

B

（1）證明：EFIBC■,

29.（2019?全國?高考真題）如圖，長方體的底面/BCD是正方形，點(diǎn)￡在棱44/上

Cl

（1）證明：8￡_L平面EB/G；

30.（2019?全國?高考真題）如圖，長方體NBCDT/BaD/的底面N2CD是正方形，點(diǎn)￡在棱44/上,

BELECi.

（1）證明：3￡_1平面即/。；

31.（2018?江蘇?高考真題）在平行六面體48co-4片。］。1中，AA\=4B,ABJB￡.

求證：（1）/8〃平面48。；

（2）平面平面48c.

32.（2018?北京?高考真題）如圖，在三棱柱A8C-44。中，CC；，平面D,E,F,G分別為“4，

AC,/￡,8月的中點(diǎn)，AB=BC=45,AC=AA^2.

（1）求證：/C_L平面5EF；

33.（2018?北京?高考真題）如圖，在四棱錐尸-48CD中，底面48CD為矩形，平面尸，平面/BCD,

PALPD,PA=PD,E、尸分別為40、的中點(diǎn).

（I）求證：PE1BC；

（II）求證：平面P48平面尸CD；

34.（2018?全國?高考真題）如圖，邊長為2的正方形48co所在的平面與半圓弧也所在平面垂直，M是歷

上異于C,。的點(diǎn).

（1）證明：平面_L平面氏0C；

35.（2018?浙江?高考真題）如圖，已知多面體N3C-4月均垂直于平面

ABC,/ABC=120°,4/=4,C\C=1,AB=BC=B1B=2.

（I）求證：/4，平面44。1；

36.（2018?全國?高考真題）如圖，在三棱錐尸一4BC中，AB=BC=26，PA=PB=PC=AC=4,O為AC

的中點(diǎn).

（1）證明：尸平面4BC；

P

37.（2018?全國?高考真題）如圖，在平行四邊形中，AB=4C=3,ZACM=90°,以NC為折痕將

△/CM折起，使點(diǎn)”到達(dá)點(diǎn)。的位置，且

38.（2018?全國?高考真題）如圖，在三棱錐尸一48c中，AB=BC=26，P4=PB=PC=AC=4,O為AC

的中點(diǎn).

P

Cl）證明：尸平面48C；

39.（2018?全國?高考真題）如圖，四邊形48co為正方形，E產(chǎn)分別為3c的中點(diǎn)，以。尸為折痕把A￡WC

折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且尸尸，3尸.

（1）證明：平面尸平面血力；

40.（2018?天津?高考真題）如圖，在四面體4BCD中，△/2C是等邊三角形，平面/2C_L平面點(diǎn)、M

為棱48的中點(diǎn)，AB=2,AD=2。ZBAD=90°.

(I)求證：ADLBC-,

41.（2018?全國?高考真題）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其內(nèi)部）以AB邊所在直線為

旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120。得到的，G是而的中點(diǎn).

（1）設(shè)P是無上的一點(diǎn)，且APLBE,求/CBP的大?。?/p>

42.（2017?全國?高考真題）（2017新課標(biāo)全國III理科）如圖，四面體/BCD中，A42c是正三角形，^ACD

是直角三角形，ZABD^ZCBD,AB=BD.

（1）證明：平面NCD_L平面/8C；

43.（2017?全國"高考真題）如圖，在四棱錐尸-/BCD中，AB//CD,ZBAP=ZCDP=90°.

44.（2017?天津?高考真題）如圖，在四棱錐尸-/BCD中，4D_L平面尸DC,AD||BC,PD1PB,AD=1,

BC=3,CD=4,PD=2.

（I）求異面直線/P與BC所成角的余弦值;

（II）求證：PZ）_L平面尸8C；

45.（2017?全國?高考真題）如圖，四面體ABC。中，△ABC是正三角形，AD=CD.

46.（2017?全國?高考真題）如圖，在四棱錐尸一/BCD中，AB//CD,且NB4P=NCDP=90°.

Cl）證明：平面尸_L平面尸/。；

47.（2017?北京?高考真題）如圖，在三棱錐尸一/8C中，PALAB,PALBC,ABLBC,PA=AB=BC=2,

D為線段/C的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn).

⑴求證：PALBD-,

⑵求證：平面8D￡_L平面為C；

48.（2017?江蘇?高考真題）如圖，在三棱錐4BCD中，AB1AD,BC1BD,平面ABD_L平面BCD,點(diǎn)E,F（E

與A,。不重合）分別在棱AD,BD上，且EF_LAO.

求證：⑴EF〃平面ABC；

（2）AD±AC.

49.（2016?浙江?高考真題）如圖，在三棱臺ABC-DEF中，平面BCFE_L平面ABC,ZACB=90°,BE=EF=FC=1,

BC=2,AC=3.

（I）求證：BFJ_平面ACFD；

50.（2016?北京?高考真題）如圖，在四棱錐尸-HSCD中，PC_平面/啜倒，AB//DC,DC±AC.

（I）求證：OC_L平面P4C；

（II）求證：平面尸_L平面P/C；

51.（2016?全國?高考真題）如圖，菱形48CD的對角線/C與AD交于點(diǎn)O,點(diǎn)瓦廠分別在4D,C。上,

AE=CF,EF交BD于點(diǎn)、H,將NDEF沿EF折起到AD'EF的位置.

D'

（I）證明：AC1HD'；

52.（2016?北京?高考真題）如圖，在四棱錐尸-/BCD中，平面尸平面/BCD,PA1PD,PA=PD,

AB1AD,AB=1,AD=2,AC=CD=45.

P

（1）求證：尸。一平面尸45;

53.（2016?山東?高考真題）在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點(diǎn)，EF〃DB.

(I)已知AB=BC,AE=EC.求證：AC±FB；

54.(2016?浙江?高考真題)如圖，在三棱臺43C-DE尸中，平面平面

ABC,ZACB=90°,BC=2,AC=3,BE=EF=FC=1.

（I）求證：平面/CFO；

55.（2016?天津?高考真題）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED_L平面ABCD,EF||AB,AB=2,BC=EF=1,

AE=V6,DE=3,ZBAD=605,G為BC的中點(diǎn).

FE

（I）求證：FG||平面BED；

（II）求證：平面BED_L平面AED；

56.（2016?全國?高考真題）如圖，菱形48co的對角線/C與AD交于點(diǎn)45=5,NC=6,點(diǎn)E,尸分別在

AD,CD上,AE=C產(chǎn)=3，EF交BD于■點(diǎn)、H,將ADEF沿E尸折到AD,E尸位置，OD=M.

（1）證明：。歸，平面/38；

D'

D

57.（2016?全國?高考真題）如圖，在以A,B,C,D,E,尸為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABE尸為正方形,

AF=2FD,ZAFD=90°,且二面角。一4F—E與二面角。一8￡-尸都是60°.

（1）證明：平面48所_L平面￡7叫C；

58.（2015?廣東?高考真題）如圖，三角形△PDC所在的平面與長方形/BCD所在的平面垂直，PD=PC

=4,AB=6,BC=3,點(diǎn)E是CO的中點(diǎn)，點(diǎn)RG分別在線段48、3c上，且/尸=2必，CG=2GB.

（1）證明：PE1FG；

59.（2015?江蘇?高考真題）如圖，在直三棱柱A5C-斗BQ］中，已知/蜉，強(qiáng)管,霸窗=陶，設(shè)，珥的

中點(diǎn)為￡）,

BC}=E.

求證：（i）DE平面.《WG。；

（2）螂%1.N哪.

60.（2015?重慶?高考真題）如圖，三棱錐P-ABC中，平面PAC_L平面ABC,ZABC=,點(diǎn)D、E在線段AC

上，且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,點(diǎn)F在線段AB上，且EF〃BC.

（I）證明：AB_L平面PFE.

61.（2015?重慶?高考真題）如圖，三棱錐P-/8C中，尸平面

ABC,PC=3,ZACB=y.RE分別為線段上的點(diǎn)，且CD=DE=g,CE=2EB=2.

⑴證明：平面尸CD；

62.（2015?浙江?高考真題）如圖,在三棱錐43C-481G中，ZBAC=900,AB=AC=2,/4=4,在底面

ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D為4G的中點(diǎn).

（1）證明：4D，平面A|BC；

63.（2015?浙江"高考真題）如圖，在三棱柱48C-44G-中，ZBAC=90°,AB=AC=2,AtA=4,A

在底面4BC的射影為8c的中點(diǎn)，。為的中點(diǎn).

（1）證明：4D_L平面43c；

64.（2015?全國?高考真題）如圖四邊形/2CO為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)、,8E_L平面/3CD,

（I）證明：平面/EC_L平面BE。；

65.（2015?全國?高考真題）（2015新課標(biāo)全國I理科）如圖，四邊形為菱形，ZABC=120°,E,F是

平面同一側(cè)的兩點(diǎn)，3￡_L平面4BC￡>,。尸_L平面/BCD,BE=2DF,AE±EC.

（1）證明：平面/￡。_1平面/尸C；

66.（2015?天津?高考真題）如圖，已知幺4,平面ABC,33/1區(qū)幻

AB=AC=3,BC=2j^W4=布，幽=2#,點(diǎn)E,F分別是BC,44的中點(diǎn).

（I）求證:EF〃平面4瓦以；

（II）求證:平面一平面BC4.

jr

67.（2015?陜西?高考真題）如圖1,在直角梯形ABCD中，AD//BC,ZBAD=-,AB=BC=1,AD=2,

E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn).將AABE沿BE折起到AA^BE的位置，如圖2.

4⑷

（I）證明：CD_L平面AQC；

68.（2015?湖南?高考真題）如圖，直三棱柱NBC-48c的底面是邊長為2的正三角形，凡尸分別是8C,C。

的中點(diǎn).

（1）證明：平面平面48CC］；

69.（2015?湖南?高考真題）如圖，已知四棱臺48co的上、下底面分別是邊長為3和6的正方形,

44=6,且4力，底面ABCD,點(diǎn)分別在棱DD「BC上.

（1）若尸是。，的中點(diǎn)，證明：ABXLPQ.

70.（2015?湖北?高考真題）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,

將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臊.

如圖，在陽馬尸-/BCD中，側(cè)棱PDL^ABCD,且PD=CD,過棱尸C的中點(diǎn)E,作EFLPB交PB

于點(diǎn)尸，連接DE,DF,BD,BE.

p,

（I）證明：尸8,平面QE尸.試判斷四面體D8E尸是否為鱉席，若是，寫出其每個面的直角（只需寫

出結(jié)論）；若不是，說明理由；

71.（2015?福建?高考真題）如圖，48是圓。的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于4B的點(diǎn)，PO垂直于圓O所在的

平面，且PO=OB=1.

（I）若。為線段/C的中點(diǎn)，求證AC_L平面PDO；

72.（2015?北京■高考真題）如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB，平面ABC,AVAB為等邊三角形,

AC1BC1.AC=BC=V2>O,M分別為AB,VA的中點(diǎn).

（1）求證：VB〃平面MOC；

（2）求證：平面MOC_L平面VAB；

73.（2015?北京■高考真題）如圖，在四棱錐”-EFC3中，△/￡尸為等邊三角形，平面4EF_L平面EFC3,

EF//BC,3c=4,EF=2a,ZEBC=ZFCB=60°,。為E產(chǎn)的中點(diǎn).

A

C

(1)求證：AOVBE.

考點(diǎn)03求空間中的線段長度、點(diǎn)面距的值及最值或范圍

L(2024?全國甲卷?高考真題)如圖，ABIICD,CDI/EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=屈,

/E=2A/J,可為CZ>的中點(diǎn).

⑴證明：EM//平面3CF；

⑵求點(diǎn)M到的距離.

2.（2024?天津?高考真題）己知四棱柱438-4月10］中，底面4BCD為梯形，AB//CD,4/，平面/BCD,

AD1AB,其中48=/4=2,/。=。。=1.N是用（；的中點(diǎn)，”是。，的中點(diǎn).

⑴求證AN〃平面磁陽；

（2）求平面CB.M與平面55.CC,的夾角余弦值;

⑶求點(diǎn)B到平