陜西省安康市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試

卷

一、單選題（本大題共8小題）

1.設(shè)數(shù)列｛4｝的前“項積[=",則的=（）

2.“楊輝三角”又稱“帕斯卡三角”，是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在

中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中，是二項式系數(shù)在

三角形中的一種幾何排列，觀察楊輝三角的相鄰兩行，可以發(fā)現(xiàn)，三角形的兩個腰

上的數(shù)都是1,其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)相加，其中楊輝三角的最上方的數(shù)

字1表示第0行，則第9行第9個數(shù)是（）

1

11

】￥1

\/\/

1331

\z\z\z

11

A.8B.9C.10D.15

3.某高中足球場內(nèi)有4條同心圓環(huán)步道，其長度依次構(gòu)成公比為3的等比數(shù)列,

若最長步道與最短步道之差為520m,則最長步道為（）

A.720mB.680mC.560mD.540m

4.已知函數(shù)y=的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，則下列說法中錯誤的是（）

A.在區(qū)間（1,4）上單調(diào)遞增B.x=7是y=的極大值點

C.當(dāng)4Vx<7時，/'（x）<0D.在區(qū)間（7,+。）上單調(diào)遞減

5.已知函數(shù)/（x）=-f+8x+aln%在區(qū)間（4,+8）上是減函數(shù)，則a的取值范圍是

（）

A.[0,+oo）B.[―l,+oo）C.（—8,0]D.（~°0,1]

6.已知函數(shù)/（%）=%（%-蛾在1=2處取得極大值，貝ij〃6）=（）

A.0B.12C.16D.96

7.一個宿舍的6名同學(xué)被邀請參加一個節(jié)目，要求必須有人去，但去幾個人自行

決定.其中甲和乙兩名同學(xué)要么都去，要么都不去，則該宿舍同學(xué)的去法共有（）

A.15種B.28種C.31種D.63種

8.已知函數(shù)/(x)=e*-eT+sin2x,若*e[3,+s）,使/?（尤2）+〃4-崗<。成立，則

實數(shù)。的取值范圍為（）

13

A.(-8,2)B.—oo,——

3

13

C.(2,+oo)D.W，+8

二、多選題（本大題共3小題）

9.2025年春節(jié)檔共上映6部電影全國電影票房達95.1億元，刷新了中國影史春節(jié)

檔票房記錄.其中，《哪吒之魔童鬧海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的寶

座.小數(shù)想要觀看這6部電影，則（）

A.若將《哪吒之魔童鬧?！泛汀短铺?900》放在相鄰次序觀看，則共有120

種觀看順序

B.若《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧海》之前觀看，則共有360種觀看順序

C.若將6部電影每2部一組隨機分為3組，則共有90種分組方式

D.若將6部電影隨機分為2組，則共有31種分組方式

22

10.設(shè)雙曲線C卞-三=1（°>0）的左，右焦點分別為兄，尸2，且I咽=4,為

C上關(guān)于原點中心對稱的兩點，則（）

A.C的實軸長為20

B.||四|一|期1=2近

C.若山膜=4,則直線A3的斜率為逅

3

D.若\EA出\1，則吃它

11.已知前兩項均為1的數(shù)列｛?！埃凉M足%+2=2%+4+1,記｛%｝的前a項和為S,,,則

（）

A.“4=5

B.2szi-1=an+2

C.｛見+1+為｝和｛%+「2%｝均為等比數(shù)列

D?。2025除以3的余數(shù)為1

三、填空題（本大題共3小題）

12.曲線y=（f-2）lnx+x在點（1,1）處的切線方程為.

1

13.已知〃eN*)為首項和公差均為1的等差數(shù)列，則滿足q<1.1的〃的最

小值為.

22

14.已知橢圓E:土+工=1的左，右焦點分別為耳，尸2，E的離心率為______，過

94

^作斜率為《的直線/交E于A,8兩點，則△ABK外接圓的半徑為

四、解答題(本大題共5小題)

15.求二項展開式中的特定項或指定項的系數(shù)

(1)在的展開式中，求x的系數(shù).

(2)(Y+x+y)5的展開式中，求的系數(shù).

16.設(shè)拋物線左丁=2依(a<0)的焦點為尸，過尸作直線/交E于A3兩點.當(dāng)…x軸

時，|A5|=2.

(1)求E的方程；

⑵記點7(1,0).

(i)求點T到直線/距離的最大值；

(ii)當(dāng)|的=4時，求的面積.

17.已知正項數(shù)列｛%｝的前”項和S“滿足4s“=伍+1)%.

(1)求｛%｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛%?%｝的前〃項和

18.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面ABCD,底面ABCD是邊長為2囪的菱

形.E,尸分別為的中點，DELPC.

(2)若四棱錐P-ABCD的體積為246，求平面MC與平面NC的夾角.

19.記函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)為g(x),函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù)為力⑺，若力(毛)=0,則稱

(天,〃為))為函數(shù)的廣義反曲點.

⑴若〃x)=2e，-x2,求的廣義反曲點；

⑵已知函數(shù)？(x)=三上有三個廣義反曲點：

(i)討論函數(shù)〃(可=*琮廣義反曲點的個數(shù)；

(ii)證明：函數(shù)°(無)的三個廣義反曲點共線.

參考答案

1.【答案】A

【詳解】數(shù)列｛4｝的前“項積（=〃，即?！鸽姟籥n=n.

Tn

所以見=片=—（?>2）,當(dāng)”=1時，7]=q=l,符合上式，

如"T?

33

當(dāng)〃=1時，=-=-，

J—1Z

由題意可得名=3=磊=尚.

±23—1N

故選A.

2.【答案】B

【詳解】由楊輝三角知：第1行：C：,C；,

第2行：C°,C；,C1，

第3行：C：,C；,C；,C；,

第4行：C：,C：,C；,C：,C：,

由此可得第”行，第項<小”+1）個數(shù)為C：L

所以第9行第9個數(shù)是C；=C；=9.

故選B.

3.【答案】D

【詳解】設(shè)最長步道為由，由題意可得x-fx=||x=520,則x=540.

故選D.

4.【答案】C

根據(jù)上面導(dǎo)函數(shù)圖象，可知：/'（尤）在區(qū)間（L4）上大于零，所以〃力在區(qū)間（1,4）上

單調(diào)遞增，故A正確；

由圖可知/'（7）=0,且尸（x）在x=7左邊附近是大于零，在x=7右邊附近是小于零,

即可判斷“X）在x=7左邊附近是單調(diào)遞增，在尤=7右邊附近是單調(diào)遞減，

所以〃x）在％=7時取到極大值，故B正確；

由圖可知當(dāng)4<x<7時，/'(力>0,故C錯誤；

由圖可判斷x>7時，/'(x)<0,故〃尤)在區(qū)間(7,舟)上單調(diào)遞減，故D正確；

故選C.

5.【答案】C

【詳解】因為r(x)=-2尤+8+幺，函數(shù)/0)=-/+8尤+0111彳在區(qū)間(4,+8)上是減函

數(shù)，

所以xe(4,+s),-2x+8+3<0恒成立.

X

所以尤e(4,y),恒成立.

設(shè)g(x)=2尤2—8元，xe(4,+oo),

因為對稱軸為x=2,所以8(力=2/-8犬在(4,+00)為增函數(shù)，

所以g(x)>g(4)=0,所以alO.

故選C

6.【答案】A

【詳解】因為尸(x)=(x—c)~+x-2(x—c)=3x?—4cx+，=(尤—c)(3尤一c),

由題意/'⑵=0,所以c=2或c=6,

經(jīng)檢驗c=2時，r(x)=(x-2)(3x-2),可知》=2時，〃x)取得極小值，不符合題

意.所以c=6,因此/⑹=0.

故選A.

7.【答案】C

【詳解】若甲和乙兩名同學(xué)都去，則去的人數(shù)可能是2人，3人，4人，5人，6人,

所以滿足條件的去法數(shù)為c：+C；+C；+C；+C：=16種；

若甲和乙兩名同學(xué)都不去，則去的人數(shù)可能是1人，2人，3人，4人，則滿足條

件去法有C；+C；+C：+C=15種;

故該宿舍同學(xué)的去法共有16+15=31種.

故選C.

8.【答案】D

【詳解】因為/(r)=ef—e，—sin2x=—/(x),所以〃x)為奇函數(shù)，

又廣⑺=e，'+e及皿os23c必底—&x=+x>,故在R上單調(diào)遞增，

由f(n+/(4-辦)<0,得/優(yōu))<一〃4-詞=〃依-4),所以％2<歐_4,

若mve[3,+<?),X2<ax-4,a>x+—,只需[尤+一),

XXXJmin

令g(x)=x+：,由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知g(x)在B+e)上單調(diào)遞增，

故且⑺皿一8⑶二(，故

故選D.

9.【答案】BD

【詳解】若將《哪吒之魔童鬧海》和《唐探1900》放在相鄰次序觀看，可將這兩

部電影看作一個整體，

與其余4部電影全排列，再將這兩部電影內(nèi)部進行全排列，所以觀看順序為

A；A；=240種，故A錯誤;

若《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧?！分坝^看，則在6部電影的全排列中，

《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧?！分暗那闆r占總情況的一半，

故共有=360種觀看順序，故B正確；

若將6部電影每2部一組隨機分為3組，

則可以從6部電影中先選出2部，再從4部電影中選出2部，最后除以A；消除重

復(fù)情況,

故分組方式為隼4=15,

故C錯誤;

若將6部電影隨機分為2組，則可按兩組分別有1和5部、2和4部、3和3部電

影的三種情況分組,

按1和5,有C；C；=6種分組方式；

按2和4,有C；C：=15種分組方式；

按3和3,有*=10種分組方式，

所以共有31種分組方式，故D正確.

故選BD.

10.【答案】ABD

【詳解】設(shè)c為雙曲線C的半焦距，則。=險=2,

2

由。2=°2-2=2,即。=血，所以c的實軸長為20，故A正確;

由于關(guān)于原點中心對稱，片,入關(guān)于原點中心對稱,

所以四邊形裕3工為平行四邊形，所以|前|=|巡

所以||伍|-忸周|=忸可-忸用=2a=2/,故B正確;

由%*=25呼=2［后公園=4,解得園=2,所以禺|=4道=后,

所以直線斜率即直線OB斜率，2土迎=土生,故C錯誤；

xB3

尸41

由胃■=§,1M|-|A耳|=2&,可得|隹|=3&,|A耳卜忘,

則\AF^+|耳用『=2+i6=i8=|A月「，所以人耳，居耳,

又AF、呼,所以8耳J.月耳，故D正確.

故選ABD.

11.【答案】AC

【詳解】對于A,令”=1可得%=2q+%=3,令〃=2可得%=2%+%=5,故A正

確；

對于B,因為a?+2=2a,+a,+i,所以％=不(%+2—,

所以Sn=Gj+a2+H---卜a”=—(%-a2+a4-a3+%-%+???+an+2-an+l)=—(a?+2-?2)=

11

2fl?+2-2,

故2s.+1=*,故B錯誤；

對于c,由題意可得%+2+%+i=2（%+1+4），所以數(shù)列｛q,+i+q,｝是首項為的+G=2、

公比為2的等比數(shù)列，

所以+a'=2",①'同理可得?！?2—2。用=—（4+]—2a“），

所以數(shù)列｛?！?「2%｝是首項為%-2q=-1,公比為-1的等比數(shù)列，所以凡+「

2a?=（-l）\②,故C正確；

對于D,①-②得a=2"所以一切=絲土L詠=好+]=（9—1）一+],

"33399

因為（9-if”展開后最后一項為一1,其余各項均能被9整除，所以的）25能被3整除,

故D錯誤.

故選AC.

12.【答案】y-l=O（或y=l）

【詳解】易得）/=2油U+王^+i,y（i）=o,故曲線y=（尤2-2）hx+x在點（i,i）處的

X

切線方程為y-i=o.

13.【答案】11

11

【詳解】由等差數(shù)列的定義可得一「n,則a,=l+L

4Tn

所以令1+工<1.1,解得”>10,所以滿足條件的力的最小值為11.

n

14.【答案】v

335

【詳解】由題意可得E的離心率為e=趙^=在，

33

不妨記點A在％軸上方,則tan/A耳耳=；,

/、、尺、六

由可鳥?°㈤可知csicns^A/1FR/=萬1，解得sin/A耳&=占，cos/AKK2==,

LU〉//1-rlr2乙JJ

故可知點尸2到直線/的距離d=|耳段sin/96=2,

忻閭2TA用2

設(shè)陷，貝|J|A￡|=6—由余弦定理知COSZAFF=

X221A胤由村

加沖（67）-+20_7

解得t=2,

丁一4灼6一）

故r=d,所以A瑞故NBA工=1,

2

設(shè)8耳=尤，貝UBF2=6-x,i^AF^+AB=BF^,

即（4+4+4=（6-x）2,解得廣：，

故|的=|叫+防=4+：=§,\BF2\=6-x=^-,

在AAB外中，利用正弦定理得2R=」H1”，代入數(shù)據(jù)得R==.

sinZBAF,5

15.【答案】⑴6

（2）30

【詳解】（1）解：由二項式（石-1）4展開式的通項為

r42r

Tr+l=C；（?）j（一=（-l）.C〉，

4—V

令亍=1,解得r=2,所以展開式中尤的系數(shù)為（-1產(chǎn)戲=6.

（2）解：由,2+x+y,=［（爐+尤）+》7，

要使得含有產(chǎn)項，可得

其中（V+%）3中含V的項為C；Y.x=C*5,

所以三產(chǎn)的系數(shù)為C；C；=30.

16.［答案］⑴/=一2元

(2)(i)-；(ii)述

22

【詳解】(1)顯然尸，,0),當(dāng)/Lx軸時，/：x=|,

y1=2ax

聯(lián)立qa，得到丁=。2,即y=a或y=Y,

x=—

I2

于是|^^|=一2〃=2,解得〃=—1,

故E的方程為丁=—2%.

(2)(i)尸不妨設(shè)/：%=小》一；，BPx-my+-^=O.

1+-

點T到/的距離,233,取等條件：m=0,

y/1+m2241+療2

3

故點7至h距離的最大值為;.

2

y2=-2x

(ii)設(shè)A(%,y),8(々,%),聯(lián)立I1,

x=my-—

有V+2沖—1=0,于是％+%=-2相，%必二—1，

IAB|=J1+病J(x+%)-%%

=V1+V4m2+4=2^m2+1j=4,得至(JM2：］,

3372

故此時點7到/的距離。=

271+m2丁

故△Z4B的面積S=Ld.|AB|=d《

2112

17.【答案】⑴見=2"

(2)r=僅―1b2"+3+8

【詳解】(1)對于正項數(shù)列{%},令“=1得^=2%,解得4=2,

即可得2S“=(〃+l)a”,2s,+i=("+2)%,

兩式相減得到=5+2)%+1-("+1)紇,

即nan+l=5+1)%,

故"，于是是常數(shù)列，

〃+1nInj

可得組=,=2,

n1

故為=2n.

(2)由(1)可得4?%1=2〃-2X2"=〃-2"+2,

(^7；,=lx23+2x24+---+n-2"+2,

21=1x24+2x2$+…+(〃-1)-2,1+2+n-2,,+3,

,3_,〃+3

兩式相減得到7；=小2-3-Q3+…+2'"2)=〃.2"3一_-Z_=(〃-1).2-3+8

18.【答案】(1)證明見解析

(2)7

【詳解】(1)：PD_L平面ABCDQECDu平面ABCD,

:.PD±DE,PD±CD,

PD±DE,DEI.PC,PDcPC=P,PD,PCu平面PCD,

:.DE_L平面PCD,

又CDu平面PCD,

:.DELCD,

又PDLCD,PDcDE=D.PD,DEu平面PDE

\CD八平面PDE,

又防u平面PDE,:.CD±EF.

(2)由(1)可知QE1CD,又AB〃CO,

DA=DBqABD是等邊三角形，

由（1）知PDLDE,PDLDC,DELCD,

所以四棱錐P-ABCD的體積V=^-SABCD-PD=”.今（2回-PD=24括.

:.PD=12,

如圖，以。為原點，以方后，覺，而為x，%z軸正方向，建立空間直角坐標系，則

￡）（0,0,0）,C（0,2>^,0）,F（0,0,6）,E（3,0,0）,

平面歹8法向量為為=（1,0,0）,

一3%+6z=0

貝Uj—3x+2A=0

令y=坦,則x=2,z=l

.?.玩=(2,6,1)為平面尸EC的一個法向量，

設(shè)平面所C與平面OFC的夾角為。，可0,曰

cos0=Icos(m,n]\=---,?=

1'711x74+3+12

TT

故平面