江蘇省南京師大附中2024-2025學(xué)年高一(下)期中

皿「，、憶\_rx、/▲

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知向量N=(―2,4),b=(l,x),若五〃b,則|6|=()

A.亨B.75C.2<5D.4<5

2.已知復(fù)數(shù)z滿足(1一i)z=2,貝！Jz=()

A.-1—iB.-1+iC.1—iD.1+i

3.在^ABC中，若tanB+tanC+yfStanBtanC=V_3,則A=()

B.JC.vD空

o33o

4.在△ABC中，內(nèi)角2,B,。所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,若c?=(a-+46，且。=熱則△48C的

面積為()

A.373B.學(xué)C.3D.苧

5.若sin(a+￡)=|,sin(a—￡)=—、則鬻=()

7713

A?一百B.百C.--D-T

,2cos40°—sin70°/、

o.”。=()

cos70

A岑B.-?C.y/1D.-73

7.已知正八邊形2遇244445464748的邊長(zhǎng)為2，貝何144,=()

A.2B.2<2C.4+2/1D.4+<2

8.如圖，A,B,C為某山腳兩側(cè)共線的三點(diǎn)，在山頂P處測(cè)得三點(diǎn)的俯

角分別為a=60。，0=45。，y=30°,現(xiàn)需要沿直線AC開通穿山隧道

DE,已知BC=150m,AD=30m,EB=20m,則隧道DE的長(zhǎng)度為

()

A.100+100>A3mB.150+10073m

C.150AA2+150<6mD.100<2+100/6m

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知Z],Z2是復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是()

2

A.若Z2=Z1，則-z2ERB.若Z2=Zi，則Z1Z2=|Z1|

C.若氏|=Ol，則Zi=Z2D.若一ER,則Zi€R

10.已知I而I=I而I=2,而與而夾角為(若|而|=2且而=久初+丫麗(％N0,yN0),則下列

說(shuō)法正確的是()

A.當(dāng)y=0時(shí)，而在麗上的投影向量為苧而

B.當(dāng)x=y時(shí)，OP-~MN=0

C.OP■礪的最小值為2

D.兩?兩的最大值為0

11.在AdBC中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,已知a<b<c,且a,b,c為連續(xù)正整數(shù)，則

()

A.存在唯一的△48C,使得C=90。B.存在無(wú)數(shù)個(gè)△ABC,使得C>90。

C.存在唯一的△48C,使得C=24D.不存在△ABC,使得C=34

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在△力BC中，”為BC的中點(diǎn)，M為力”的中點(diǎn).若前=4同+〃而，貝iU+〃的值為.

13.若a是第一象限角，且sMa=g,則產(chǎn)|的值為

51+tan,

14.設(shè)向量比5的夾角為8,定義4出氏若平面內(nèi)互不相等的兩個(gè)非零向量窗3滿足：

|初=1,伍—母與石的夾角為135。，則為O石的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

設(shè)X為實(shí)數(shù)，已知復(fù)數(shù)z=(x-2)+(久2一9)i.

(1)若z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求x的取值范圍；

(2)若m為實(shí)數(shù)，且z與復(fù)數(shù)m-5i相等，求m的值.

16.(本小題15分)

在△ABC中，已知|屈|=2,|冠|=4,屈和前的夾角為凡且cos8="

(1)若。為48的中點(diǎn)，求荏?麗；

(2)已知屁=4阮，若|屈|=苧，求實(shí)數(shù)2的值.

17.(本小題15分)

1

T+

已知向量記=(―cosx,sinx),n=(yJSsinx+2cosx,sinx'),函數(shù)/(x)=mH2-

(1)若xe[O,J求/(久)的最小值；

(2)若x￡[0,-],/(%)=-1,求cos(2x+迨)的值.

18.(本小題17分)

在△ABC中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知cos2B—cos24=2sin8sinC.

(1)若B=C,求4；

(2)求藍(lán)的取值范圍；

(3)設(shè)。是邊BC上一點(diǎn)，若B=&tanNC4D=咚記△ABD,△2DC的面積分別為S「S2,求3的值.

1ZZD2

19.(本小題17分)

正弦型函數(shù)被廣泛運(yùn)用于信號(hào)處理領(lǐng)域.不同周期的正弦型函數(shù)疊加，是構(gòu)建復(fù)雜信號(hào)的重要方式，在諸多

領(lǐng)域(如音頻處理、圖像處理、通信系統(tǒng)等)中發(fā)揮著關(guān)鍵作用.

已知函數(shù)其Q)=s/x+吟+喈+…+.黑;)x,n€N*,%6(0,2^).

(1)求元(%-y)+A(x)+A(x+等的值；

(2)設(shè)函數(shù)F(x)=h(x)?%(%),求F(x)的值域；

(3)本小題你有兩個(gè)選擇，請(qǐng)選擇其中一個(gè)作答：

①判斷函數(shù)y=%(久)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

②判斷函數(shù)y=左(%)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

(注：選擇解答①的總分比選擇解答②的總分少2分)

答案解析

1.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，向量日=（一2,4）,3=（l,x）,

若2//B,貝!!（一2）乂=1x4=4,解可得比=-2,

故歷|=VT+4=AA5.

故選:B.

根據(jù)題意，由向量平行的坐標(biāo)表示方法求出x的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案.

本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，涉及向量模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：2(1+0

z=A=1+i,

(1-0(1+0—

故選：D.

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出.

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：若tcmB+tanC+y[3tanBtanC=V_3,

tanB+tanC\T3—>[3tanBtanC

tan(B+C)=

1—tanBtanC1—tanBtanC

所以B+C話,

則a=y.

故選：c.

由已知結(jié)合和差角公式先求出B+C,然后進(jìn)而可求4

本題主要考查了和差角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：在^中，C=基由余弦定理得c?=a2+b2—2abcosC=a2+b2—ab,

結(jié)合c?=(a—bp+4V~3,可得小+b2—ab=(a—b)2+4V3,整理得ab=4v3.

所以△ABC的面積S=absinC=-^-ccb-苧x4V-3=3.

L44

故選：c.

根據(jù)余弦定理化簡(jiǎn)已知等式，可得仍=4門，然后運(yùn)用三角形的面積公式算出△48C的面積，可得答案.

本題主要考查余弦定理、三角形的面積公式等知識(shí)，考查了計(jì)算能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)

題.

5.【答案】D

【解析】解：sin（a+夕）=sinacos^+cosasin^=3①

sin（a一夕）=sinacos^—cosasin^=—②

①一②，整理得cosasi印=

①+②，整理得s譏acos/?=，，

^cosasinp_tanp_13

sinacos/?tana7,

故選：D.

依題意，利用兩角和與差的正弦同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求解即可.

本題考查兩角和與差的正弦及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，屬于中檔題.

6.【答案】C

【解析】解原式一2cos（70°—30°）—sin70°_yJ~3cos700+sin700—sin70°_

故選：c.

利用兩角和與差的三角函數(shù)求解即可.

本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，為基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：連接4睛8，與447交于點(diǎn)M,

根據(jù)正八邊形的性質(zhì)，可知M為4必的中點(diǎn)，且An%，447，

2

所以4X?而石=IA±A^I-l&a；|COSN44alM=IAxAyI-\A±M\=||Z^|.

在△久公4中，/-A^AQA7=135°,&&=&&=2,

由余弦定理得4掰=ArAl+&掰-2ArA8-A8A7COS135°=8+4/2,

所以==|x(8+4AA2)=4+272.

故選：C.

根據(jù)正八邊形的性質(zhì)與平面向量數(shù)量積的定義，算出初?無(wú)無(wú)=發(fā)不可『，然后在中運(yùn)用余

弦定理算出答案.

本題考查正八邊形的性質(zhì)、平面向量數(shù)量積的定義、余弦定理等知識(shí)，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，可得/PAC=a=60。，^PBA=p=45°,/.PCA=y=30°,乙BPC=0—丫=

15°.

所以sin/BPC=sin150=sin(45°—30°)=sin45°cos30°—cos45°s譏30°=￥x華-=.

LLLL4

在A8PC中，由正弦定理..=.北,可得P8=BCsi喘8=黑|=75(五+

4

由"AC=a=60°,^PBA=B=45°,可得乙4PB=180°-乙PAC-"BA=75°,

所以sin/APB=sin75°=sin(45°+30°)=sM45°cos300+cos45°sin30°=￥x￥+gxq=

LLLL>寸4.

在44P8中，由正弦定理.=含，可得4B=PBsEfPB=75(—+?4_=Q50+1Oo73)m,

sm乙4PBsinAsinA

2

所以DE=AB-AD-EB=150+100/3-30-20=(100+100/3)m.

故選：A.

由題意得NPAC=a=60°,^PBA=0=45°,APCA=y=30°,A.BPC=p-y=15°,運(yùn)用正弦定理，

先在ABPC中求出PB,然后在AZPB中求出4B,進(jìn)而求出DE的長(zhǎng)度.

本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)公式、運(yùn)用正弦定理解三角形等知識(shí)，考查了計(jì)算能力，屬于中檔

題.

9.【答案】BD

【解析】解:設(shè)Zi=a+bi,z2=c+di,(a,6,c,d為實(shí)數(shù)),

若Z2=z「則&=c,b=-d,z-^-z2-2bigR,A錯(cuò)誤；

此時(shí)Z]Z2=a?+=|z1|2,J正確;

當(dāng)Z]=i,Z2=-i時(shí)，滿足|z1|=|Z2|,但Z】KZ2，C錯(cuò)誤；

i=^biERt貝@=o,此時(shí)z=aeR,。正確.

故選：BD.

由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的基本概念及運(yùn)算檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本概念及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BCD

【解析】解：根據(jù)題意得而?而=|麗西|cos守=2x2x：=2.

對(duì)于4,當(dāng)y=0時(shí)，OP=x~OM，結(jié)合|赤|=|而'l=2且％N0，可知x=1,即加=麗,

此時(shí)亦在加上的投影向量為平平?普=?西巴c嗎.而=觀,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

|ON||ON|\ON\Z2

對(duì)于B,當(dāng)x=y時(shí)，OPx(OM+ON),

所以前?M1V=x(OM+ON)■(ON-OM)=x(0N2-OM2)=久(4—4)=0，故8正確；

對(duì)于C,因?yàn)閨而|=2=|麗|=|而I，且赤=x6i7+y麗(久N0,y20)，

如圖所示，點(diǎn)P在以。為圓心，半徑為2的劣弧癡/上，

則設(shè)NPOM=e,貝！則赤?麗=|麗||而|COS。=4cos8，

所以當(dāng)。=狎，而.曲的值最小，最小值為2,故C正確；

對(duì)于。，因?yàn)辄c(diǎn)P在劣弧前上，4MON=g所以NMPN=：(2兀一勺=亭

JZ36

則由?前=|PM||P/V|cosy--^|PM||P1V|<0,

當(dāng)P與M或N重合時(shí)，取得最大值0,故。正確.

故選：BCD.

依題意得出點(diǎn)P在以。為圓心，半徑為2的劣弧須上，再由向量數(shù)量積定義及性質(zhì)依次對(duì)每一選項(xiàng)進(jìn)行判

斷，即可求解.

本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解：設(shè)a,b,c分別為九一1,n,n+1,(n>3),

對(duì)于4當(dāng)C=90。時(shí)，

則(ri4-I)2=n2+(n—1)2,

解得：兀=4,

即存在唯一的△4BC,使得C=90。,

即A正確；

對(duì)于若C>90。，

則(?i+I)2>n2+(n—1)2,

則九2—4n<0,

又九eN,

則九=2,

即存在一個(gè)△ABC,使得C>90。,

即3錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若C=24,

貝！1sbic=sin2A,

則sinC=IsinAcosA,

即=a(a+b),

即(ri+l)2=(n—l)(2n—1),

即71=5,

即存在唯一的△/BC,使得C=24

即C正確；

對(duì)于O,若C=34

則sinC=sin(Z+2Z)=sinAcos2A+cosAsin2A

=sinA(2cos2A-1)+2sinAcos2A

=sinA(4cos2A—1),

即。=ax("+：<)2-a,

即九+l=(n—l)xF+(吧:F一啤一(n—i),

化簡(jiǎn)可得：5—2)(4—九一8)=0,

又n>3且?guī)譍Z,

則此方程無(wú)解，

即不存在AaBC,使得C=34,

即。正確.

故選：ACD.

由兩角和與差的三角函數(shù)及二倍角公式，結(jié)合正弦定理及余弦定理逐一判斷即可.

本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)及二倍角公式，重點(diǎn)考查了正弦定理及余弦定理，屬中檔題.

12.【答案】

【解析】解：在AABC中，H為8C的中點(diǎn)，M為的中點(diǎn),

則祠=:而=恭；(說(shuō)+而)，所以2=〃=

ZZZ4N

故答案為：

由向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形特征，求出入〃的值即可.

本題考查了向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】1

【解析】解：a是第一象限角，且5譏戊=3

所以cosa=|,

...a1---aa.a/a.a、24

rji1|1-tan2_cos種_cos]—sm^_(cos]—sm^)_1-sina_14一百_1

人磁==cosf+sinf=(cosf+sinf)(cosf-sinf)=不記=亳=§

Ha5

cos2

故答案為：

由已知結(jié)合同角基本關(guān)系及二倍角公式即可求解.

本題主要考查了同角基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】|+Y

【解析】解：設(shè)方=2，OB=b，

則瓦？=a-b，

又m-亦與弦的夾角為135。，

則N0B4=45°,

又4BOA=e,

mil1^1=]

sin(135°-0)sEn45°'

即|||=/2sin(135o-0).

則五O3=V^sin(135。-8)sin?

=(sin?+cosd)sind

1

=a(s譏26—cos20+1)

=2+苧sin(28-45。)4+苧,

當(dāng)且僅當(dāng)28-45°=90。時(shí)取等號(hào),

則五。石的最大值為苧.

1C

+

故答案為:2-2

由題意可得：aQb=/2sin(135°-d)sind＞然后結(jié)合三角函數(shù)最值的求法求解即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了三角函數(shù)最值的求法，屬中檔題.

15.【答案】?jī)z久＞3｝；

m=。或-4.

【解析】解：尤為實(shí)數(shù)，已知復(fù)數(shù)z=Q—2)+(7—9)i.

(l)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，

可得［北一々〉、：，解得”＞3,

故x的取值范圍為｛x|比＞3］；

(2)6為實(shí)數(shù)，且z與復(fù)數(shù)爪-5i相等，

可得｛町之9,解得｛；藍(lán)或

故m=0或—4.

(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的集合意義求解即可；

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)相等，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】0；

1

8-

【解析】解：中，已知|屈|=2,|而|=4,荏和近的夾角為。，且cos8="

4

則同.前=2x4x：=2,

4

又。為的中點(diǎn)，

則荏-~CD=AB-(AD-AC}

1——>2——>—>

=2AB

=2-2

=0；

(2)已知麗=4說(shuō)，

則荏=AB^~BE=AB^A(AC-AB)

=(1-刃荏+a宿

又I荏I=苧，

則4(1-4+42(1-4)+16"=苧，

叫/

(1)由平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求解即可；

(2)由平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求解即可.

本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題.

17.【答案】-g

AA6-2/3

6-■

【解析】解：(1)由題意，/(%)=—y/~3sinxcosx—2cos2x+sin2%+|

V3.1+cos2x1—cos2x1

=—SITL2.X-2x----------------1--------2--------H3

=—sin2x+苧cos2x)=V_3sin(2x—與)，

因?yàn)橛?[0,芻，所以[—手芻,

因此當(dāng)2%-亨=一熱即”需時(shí)，

y-V-3sin(2x-等取得最小值一73；

(2)因?yàn)閒(%)=-1,所以V3sin(2%一等=-1,即sin(2%一爭(zhēng)=一?，

因?yàn)閄e[0,勺，所以2%—：e,0],

若2%+弓E—芻，則sin(2%+勺W—，，不合題意，

DD乙。乙

所以2%-亨€(一權(quán)0],故cos(2久一等>0,

所以cos(2久-y)=J1-sin2(2%-y)-華,

則cos(2x+今=cos(2x-y+y)=-^ycos(2x-y)-^sin(2x-y)=^~2^.

(1)由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得；

(2)由題設(shè)，利用三角函數(shù)的條件求值和三角公式的性質(zhì)求解即可.

本題考查三角恒等變換與三角函數(shù)的性質(zhì)，考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬中檔題.

18.【答案】4(1,2)；等.

【解析】解：(1)因?yàn)閏os2B—cos2A=2sinBsinC,

所以(1—2sin2B>)—(1—2sin2A)=2sinBsinC,即siMA—sin2B=sinBsinC,

由正弦定理得，a2—b2=be,

若B=C,貝昉=c,所以M=b2+c2,

故4

(2)由(1)知M—b2=be,

由余弦定理知，cosA="F="^=券

2bc2bc2b

所以b=c—2bcosA,

由正弦定理知sinB=sinC-2sinBcosA,

而s譏C=sin(4+8)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinB=sinAcosB+cosAsinB—2sinBcosA=sinAcosB-cosAsinB=sin(Z—B),

因?yàn)?BG(0,71),所以8=4—8,即A=28,

4十口片』丁中乙日asinAsin2B

由正弦定理得，-==2ocosBn,

bsinBsinB

因?yàn)閏=71-35>0,所以0<B嗎

1

所以cosBGG，l),

所以藍(lán)的取值范圍是(1,2).

⑶由B=gA=2B,知力=￡C=乎,

1264

斫以%—_sinCsinNB?!。_苧sin("4C砌

-h-ADsin^CAD~bsin^CAD~sinBsin^CAD-^-^sin^CAD

N4

i—^cosZ.CAD—^-sinZ-CAD,-iA/-3,—i7-3A/-3+1

=(C+1),^~~——二(小1)，(^^_釜=(門+1)卡:竽

(1)結(jié)合二倍角公式與正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，可得口2—62=兒，再利用等角對(duì)等邊與勾股定理，即可求

出角力；

(2)結(jié)合(1)中所得與余弦定理，可知c=6+26cos2,再利用正弦定理化邊為角，推出4=2B,然后結(jié)合

二倍角公式、正弦定理以及角B的范圍，即可得解；

(3)根據(jù)已知條件可得4=卷C=與，再結(jié)合三角形的面積公式、正弦定理以及兩角差的正弦公式，求解

即可.

本題考查解三角形，熟練掌握正余弦定理，三角形的面積公式，三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵，考查邏

輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

19.【答案】0；

嗚；

選擇①，1,理由見解析；

選擇②，1,理由見解析.

【解析】解：(1)因?yàn)?i(x)=sinx,

所以先(久-y)+A(x)+ft(x+y)=Sin(x-y)+sinx+sin(x+,)=0；

(2)因?yàn)?sin(2x+%)=2sinxcos2x+(1—2sin2x)sinx=3sinx—4sin3%,

32

所以F(%)=fr(x)^(%)=sinx(sinx+箸)=sinx(sinx+sinx—|sinx)=2sinx—gsin。，

令力=sin2%,貝！JO<t<1,

即尸(%)=2t-#=+p

所以F。)值域?yàn)椋?,勺;

(3)選擇①：月(久)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1,理由如下：

11

%(％)=sinx+-sin3x+-sinSx,

因?yàn)閟in3%=3sinx—Asin^x,cos3x=4cos3x—3cosx,

所以sizi5%=sin3xcos2x+cos3xsin2x

=(3sinx—4sin3x