題型九幾何探究題2025年中考數(shù)學(xué)重難題型分類練題型九幾何探究題

類型一非動(dòng)點(diǎn)探究題

1.(2024包頭)如圖.在團(tuán)4BCD中，NABC為銳角，點(diǎn)E在邊AD上,連接BE,CE,且S^ABE=S^DCE

⑴如圖①，若F是邊BC的中點(diǎn)，連接EF,對(duì)角線AC分別與BE,EF相交于點(diǎn)G,H.

⑴求證:H是AC的中點(diǎn)；

(ii)求AG:GH:HC;

(2)如圖②，BE的延長(zhǎng)線與CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M,連接AM,CE的延長(zhǎng)線與AM相交于點(diǎn)N.試探究線段

AM與線段AN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

BFCBC

圖①圖②

第1題圖

2.(2024安徽)如圖①，回48CD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)M,N分別在邊AD,BC上，且.AM=CM點(diǎn)E,

F分別是BD與AN,CM的交點(diǎn).

⑴求證：(OE=OF;

⑵連接BM交AC于點(diǎn)H,連接HE,HF.

⑴如圖②，若HEMB,求證：HF\\AD;

(ii)如圖③，若團(tuán)ABCD為菱形，且MD=2AM/EHF=60。,求點(diǎn)勺值.

圖②

第2期圖

3.(2024吉林省卷)小明在學(xué)習(xí)時(shí)發(fā)現(xiàn)四邊形面積與對(duì)角線存在關(guān)聯(lián)，下面是他的研究過程：

【探究論證】

⑴如圖①，在—C中,AB=回4C,垂足為點(diǎn)D.若CD=2,BD=1,則SAABC=_;

(2)如圖②，在菱形.4'B'C'O'中,A'C=4,B'D'=2,則S菱形A，B，CP=_；

⑶如圖③，在四邊形EFGH中，EG回FH,垂足為點(diǎn)O.若EG=5,FH=3,則S四邊形EFGH=一；若EG=a,FH=b,

猜想S四邊形EFGH與a,b的關(guān)系，并證明你的猜想；

第3題圖

【理解運(yùn)用】

⑷如圖④，在△MNK中,MN=3,KN=4,MK=5,點(diǎn)P為邊MN上一點(diǎn).小明利用直尺和圓規(guī)分四步作圖：

⑴以點(diǎn)K為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交邊KN,KM于點(diǎn)R,I；

(ii)以點(diǎn)P為圓心,KR長(zhǎng)為半徑畫弧.交線段PM于點(diǎn)1;

(出)以點(diǎn)I為圓心，IR長(zhǎng)為半徑畫弧，交前一條弧于點(diǎn)R',點(diǎn)R',K在MN同側(cè)；

(iv)過點(diǎn)P畫射線.PR',在射線PR'上截取PQ=KN,連接KP,KQ,MQ.

請(qǐng)你直接與出s4次的值.

類型二動(dòng)點(diǎn)探究題

4.(2024吉林省卷)如圖在AABC中，NC=90。,NB=30°,AC=3cm,AD是△ABC的角平分線動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)

A出發(fā)，以百cwi/s的速度沿折線AD-DB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)P作PQ||4B,交AC于點(diǎn)Q,以PQ為邊作等邊三

角形PQE，且點(diǎn)C,E在PQ同側(cè)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(t>0),APQE與△4BC重合部分圖形的面積為S

(cm2).

(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷的形狀(不必證明)，并直接寫出AQ的長(zhǎng)(用含t的代數(shù)式表示)；

⑵當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求t的值；

⑶求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的取值范圍.

5.(2024南充)如圖,正方形ABCD邊長(zhǎng)為6cm,點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，CE=24E,點(diǎn)P在AB邊上以lcm/s

的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在BC邊上以2cm/s的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為儕少((0<t<3

).

(1)求證：AAEPACEQ;

⑵當(dāng)△EPQ是直角三角形時(shí)，求t的值；

⑶連接AQ,當(dāng)tanzXQE=2時(shí)，求△4EQ的面積.

第5題圖

6.（2024重慶A卷）在△ABC中，AB=4C,點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與端點(diǎn)重合）.點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)

稱點(diǎn)為點(diǎn)E,連接AD,DE.在直線AD上取一點(diǎn)F，使Z.EFD=NB4c直線EF與直線AC交于點(diǎn)G.

⑴如圖①，若乙BAC=60°,BD<CD/BAD=a,求乙4GE的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）；

⑵如圖①，若ABAC=60°,BD<CD,用等式表示線段CG與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）如圖②，若ABAC=90。,點(diǎn)D從點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，連接AE,當(dāng)△4EG為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出

此時(shí)靠的值.

第6眶圖

類型三平移探究題

7、（2023天津）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，菱形ABCD的頂點(diǎn)0）,B（0,1）,。（2百，1）,,矩形EFGH

的頂點(diǎn)￡（*），F(xiàn)（—百|(zhì)）,"（。弓）.

⑴填空：如圖①，點(diǎn)C的坐標(biāo)為點(diǎn)G的坐標(biāo)為；

（2）將矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形.EFGW,點(diǎn)E,F,G,H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為設(shè)E

E'=t,矩形E，。G，V與菱形ABCD重疊部分的面積為S.

①如圖②,當(dāng)邊E'F'與AB相交于點(diǎn)M,邊G，/r與BC相交于點(diǎn)N,且矩形￡字（，可與菱形ABCD重疊部

分為五邊形時(shí)，試用含有t的式子表示S,并直接寫出t的取值范圍；

②當(dāng)言Wslantt<s/a"竽時(shí)，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.

第7題圖

8.（2022貴港）已知:點(diǎn)C,D均在直線1的上方,AC與BD都是直線1的垂線段，且BD在AC的右側(cè)，BD=2AC

,AD與BC相交于點(diǎn)O.

⑴如圖①者連接CD,則ABC。的形狀為裁勺值為；

（2）若將BD沿直線1平移，并以AD為一邊在直線1的上方作等邊△ADE.

①如圖②，當(dāng)AE與AC重合時(shí)，連接OE若AC=|,求OE的長(zhǎng)；

②如圖③，當(dāng)"CB=60。時(shí)，連接EC并延長(zhǎng)交直線1于點(diǎn)F,連接OF.求證：OF1AB.

第8題圖

類型四旋轉(zhuǎn)探究題

9.（2024山西）綜合與探究

問題情境：如圖①，四邊形ABCD是菱形，過點(diǎn)A作.4E回8c于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF14。于點(diǎn)F.

猜想證明：（1）判斷四邊形AECF的形狀,并說明理由；

深入探究：⑵將圖①中的△48E繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△點(diǎn)E,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G,H.

①如圖②，當(dāng)線段AH經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，GH所在直線分別與線段AD,CD交于點(diǎn)M,N.猜想線段CH與MD的數(shù)

量關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)直線GH與直線CD垂直時(shí)，直線GH分別與直線AD,CD交于點(diǎn)M,N,直線AH與線段CD交于點(diǎn)Q.

若AB=5,BE=4,直接寫出四邊形AMNQ的面積.

第9題圖

10.新考法開放性設(shè)問(2024福建定心卷)如圖①，在△28C中，AB=AC.^BAC=a,P為△48c內(nèi)一點(diǎn)，

連接AP,將AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得至(JAQ,連接BQ,BP,PC.

⑴若a=60。/BPC=150。,求“BP的度數(shù)；

⑵若點(diǎn)P為△ABC的外心，求證：四邊形AQBP是菱形；

(3)如圖②，若D為BC的中點(diǎn)，連接PD,PQ,當(dāng).AQBA="BC時(shí)，給出下列結(jié)論：①PD=PQ;②/APC+/B

PD=1180°；③PQ=BP,請(qǐng)任意選擇一個(gè)你認(rèn)為正確的結(jié)論加以證明.

第10題圖

11.(2024山東省卷)一副三角板分另?。萦涀鳌鰽BC和ADEF,其中4ABe=乙DEF=90°,/.BAC=45°,zEDF=3

0°,AC=OE.作BMEIAC于點(diǎn)M,ENEIDF于點(diǎn)N,如圖①.

(1)求證：BM=EN-,

⑵在同一平面內(nèi)，將圖①中的兩個(gè)三角形按如圖②所示的方式放置，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合記為C,點(diǎn)A與點(diǎn)D

重合，將圖②中的△DCF紙C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a后，延長(zhǎng)BM交直線DF于點(diǎn)P.

①當(dāng)a=30。時(shí)，如圖③，求證：四邊形CNPM為正方形；

②當(dāng)30。<a<60。時(shí)，寫出線段MP,DP,CD的數(shù)量關(guān)系，并證明當(dāng)60。<a<120。時(shí)，直接寫出線段

MP,DP,CD的數(shù)量關(guān)系.

D

反L,匕海

y

BCEFBC(E)BC

圖①圖②圖③

______第11題圖,

--p$x

三

B

備用圖

類型五折疊探究題

12.(2024濟(jì)寧)綜合與實(shí)踐

某校教學(xué)課外活動(dòng)小組用一張矩形紙片(如圖①，矩形ABCD中，AB>AD且AB足夠長(zhǎng))進(jìn)行探究活動(dòng).

【動(dòng)手操作】

如圖②,第一步，沿點(diǎn)A所在直線折疊，使點(diǎn)D落在AB上的點(diǎn)E處，折痕為AF,連接EF,把紙片展平.

第二步，把四邊形AEFD折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，折痕為GH,再把紙片展平.

第三步，連接GF.

【探究發(fā)現(xiàn)】

根據(jù)以上操作，甲、乙兩同學(xué)分別寫出了一個(gè)結(jié)論.

甲同學(xué)的結(jié)論：四邊形AEFD是正方形.

乙同學(xué)的結(jié)論：tan乙4FG=

(1)請(qǐng)分別判斷甲，乙兩同學(xué)的結(jié)論是否正確，若正確，寫出證明過程；若不正確，請(qǐng)說明理由.

【繼續(xù)探究】

在上面操作的基礎(chǔ)上，丙同學(xué)繼續(xù)操作.

如圖③,第四步,沿點(diǎn)G所在直線折疊，使點(diǎn)F落在AB上的點(diǎn)M處，折痕為GP,連接PM，把紙片展平.

第五步，連接FM交GP于點(diǎn)N.

根據(jù)以上操作，丁同學(xué)寫出了一個(gè)正確結(jié)論：

FNAM=GNAD.

⑵請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論.

13.(2024天津)將Is平行四邊形紙片OABC放直在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0(0,0),點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)B,C在第一象限

S.OC=2,/.AOC=60°.

⑴填空：如圖①，點(diǎn)C的坐標(biāo)為點(diǎn)B的坐標(biāo)為—；

（II）若P為x軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線網(wǎng)x軸，沿直線1折疊該紙片，折疊后點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。'落

在x軸的正半軸上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C.設(shè)OP=t.

①如圖②.若直線1與邊CB相交于點(diǎn)Q,當(dāng)折疊后四邊形POCQ與團(tuán)。ABC重疊部分為五邊形時(shí)，（與A

B相交于點(diǎn)E.試用含有t的式子表示線段BE的長(zhǎng)，并直接寫出t的取值范圍；

②設(shè)折疊后重疊部分的面積為s,當(dāng)（WtW?時(shí)，求S的取值范圍.（直接寫出結(jié)果即可）

圖①圖②

第13期圖

類型六類比探究題

14.（2024廣元）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，還能經(jīng)歷知識(shí)“再創(chuàng)造”的過程，更是培養(yǎng)動(dòng)手能力，創(chuàng)新

能力的一種手段.小強(qiáng)在學(xué)習(xí)《相似》一章中對(duì)“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形（如圖①）產(chǎn)生了如下問題，請(qǐng)

同學(xué)們幫他解決.

在4ABC中.點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，連接CD.

第14題圖

（1）初步探究

如圖②,若/-ACD=48,求證：AC2=AD-AB;

⑵嘗試應(yīng)用

如圖③，在⑴的條件下若點(diǎn)D為AB中點(diǎn)BC=4,求CD的長(zhǎng);

（3）創(chuàng)新提升

如圖④，點(diǎn)E為CD中點(diǎn),連接BE,若4CDB=乙CBD=30Q,AACD=乙EBD,AC=2近,求BE的長(zhǎng).

15.（2024長(zhǎng)春）如圖，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B,C重合），

作射線AD,在射線AD上取點(diǎn)P,使AP=以AP為邊作正方形APMN，使點(diǎn)M和點(diǎn)C在直線AD同側(cè).

⑴當(dāng)點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)時(shí)，求AD的長(zhǎng)；

⑵當(dāng)BD=4時(shí)，點(diǎn)D到直線AC的距離為；

（3）連接PN,當(dāng)PN回4C時(shí)，求正方形APMN的邊長(zhǎng)；

（4）若點(diǎn)N到直線AC的距離是點(diǎn)M到直線AC距離的3倍，則CD的長(zhǎng)為.（寫出一個(gè)即可）

16.（2024達(dá)州）在學(xué)習(xí)特殊的平行四邊形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)正方形的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的企倍，某數(shù)學(xué)興趣小組以此

為方向?qū)α庑蔚膶?duì)角線和邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系探究發(fā)現(xiàn)，具體如下：如圖①.

(1)：四邊形ABCD是菱形，

AC^\BD,AO=CO,BO=DO.

：.AB2^AO2+BO2.

X-AC=2AO.BD=2BO,第16題圖①

AB2=

化簡(jiǎn)整理得AC2+BD2=

【類比探究】

⑵如圖②.若四邊形ABCD是平行四邊形，請(qǐng)說明邊長(zhǎng)與對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系；

第16題圖②

【拓展應(yīng)用】

⑶如圖③，四邊形ABCD為平行四邊形，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E為AO的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC的中

點(diǎn)，連接EF,若AB=8,BD=8,AC=12,直接寫出EF的長(zhǎng)度.

第】6題圖③

類型七其他問題

17.（2024上海）在梯形ABCD中，2。|出&點(diǎn)E在邊AB上，且2E=

⑴如圖①所示，點(diǎn)F在邊CD上，且DF=[CD,連接EF,求證：EF〃BC;

⑵已知AD=AE=1.

①如圖②所示，連接DE,如果AyWE外接圓的圓心恰好落在NB的平分線上，求小ADE的外接圓的半徑

長(zhǎng)；

②如圖③所示，如果點(diǎn)M在邊BC上，連接EM,DM,EC,DM與EC交于N.如果/乙CMD=^CEM,BC=4,且C

D2=DM-DN,求邊CD的長(zhǎng).

18.(2024通遼)【實(shí)際情境】

手工課堂上，老師給每個(gè)制作小組發(fā)放一把花折傘和制作花折傘的材料及工具，同學(xué)們認(rèn)真觀察后，組裝了

花折傘的骨架，粘貼了彩色傘面，制作出精美的花折傘.

【模型建立】

⑴如圖①，從花折傘中抽象出“傘形圖"，AM=AN,DM=DM求證AAMD=乙AND;

【模型應(yīng)用】

(2)如圖②，△力中，NM4C的平分線AD交MC于點(diǎn)D,請(qǐng)你從以下兩個(gè)條件：

①NAMD=2/C;②AC=AM+MD中選擇一個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，并寫出結(jié)論成立的證明過程；(注：

只需選擇一種情況作答)

【拓展提升】

(3)如圖③,AC為0O的直徑，麗=能,NB4C的平分線AD交BC于點(diǎn)E,交0O于點(diǎn)D,連接CD.求證.AE=

2CD.

題型九幾何探究題

1.d)(i)

解題思路

由平行線之間等距，以及S-BE=SACDE可得AE=DE,再證△AEH^ACFH即可得證.

證明：；SAABE=S^DCE，

AE為AD的中點(diǎn)，

1

.?.AE=DE=-AD,

2

是邊BC的中點(diǎn),

1

?..BF=CF=加C,

???在口ABCD中,AD=BC,AD〃BC,

JAE=CF,NEAH=NFCH,

又,.?NAHE=NCHF,

，AAHE^ACHF(AAS),

；.AH=CH,

是AC的中點(diǎn)；

(ii)

解題思路

先證△AGBs^HGE,得出翌=黑，再根據(jù)仆AHE會(huì)△CHF,H為AC的中點(diǎn)求解.

HL,Hu

解:：AE=BF,AE〃:BF,

四邊形ABFE為平行四邊形,

；.AB〃EF,

/.AAGB^AHGE,

AB_AG

?,HE-HG'

VAAHE^ACHF,

???EH=FH,

ABAG仁

???—=——=2,

HEHG

AAG=2GH,

GH^-AH=-HC,

33

AAG:GH:HC=2:1:3;

(2)解：線段AM與線段AN之間的數(shù)量關(guān)系為：AM=3AN,證明如下:

如解圖，連接BD交CN于點(diǎn)I,

第1題解圖

VAB//CD,

???AB〃CM,

???ZABE=ZDME,

又AE=DE,ZAEB=ZDEM,

???AAEB^ADEM(AAS),

AAB=DM,

???四邊形ABDM為平行四邊形，

???AM〃BD,AM=BD.

TAB=CD,

二?DM=CD,

???D為CM的中點(diǎn)，

VDI//MN,

.CD_CI_1

,,CM-CN-2,

為CN的中點(diǎn)，

ADI^ACMN的中位線，

DI=-MN,

2，

VAM/7BD,

JZNAE=ZIDE,

又AE=DE,ZAEN=ZDEI,

AAEN^ADEI(ASA),

DI=AN=-MN,

2

.\MN=2AN,

?'?AM二AN+MN=3AN,

AAM=3AN.

解題技巧

連接BD交CN于點(diǎn)I,構(gòu)造出△CNM的中位線是本題的解題關(guān)鍵.

2.(1)證明:.?,四邊形ABCD是平行四邊形，

???AD〃BC,OA=OC,

???AM〃CN,

VAM=CN,

???四邊形AMCN是平行四邊形，

???AN〃CM,

???ZOAE=ZOCF,

^OAE=Z.OCF

在^AOE與^COF中，｛OA=OC,

Z.AOE=乙COF

：.△AOE^ACOF(ASA),

.*.OE=OF;

(2)(i)證明:???HE〃AB,

.OH_OE

''OA~OB1

XVOB=OD,OE=OF,

OH_OF

"OA~0Dl

9：ZHOF=ZAOD,

AHOF^AAOD,

???ZOHF=ZOAD,

AHF//AD;

(ii)解:???DABCD為菱形,

AAC±BD.

又VOE=OF,ZEHF=60°,

ZEHO=ZFHO=30°,

AOH=V3OE,

VAM/7BC,MD=2AM,

=igpHC=3AH,

HCBC3

.?.OC+OH=3(OA-OH),

.*.OA+OH=3(OA-OH),

AOA=2OH,

又,?BN//AD,MD=2AM,AM=CN,

BEBN2pricclCLTV

???一=一=-，即3BE=2ED,

EDAD3

.?.3(OB-OE)=2(OB+OE),

.*.OB=5OE,

OB=—0H,

3

.AC_OA_20H_2V3

"BD~OB~也OH-5'

3

R靠勺值為季

3.解:⑴2;

【解法提示】：在△ABC中.AB=BC,BDJ_AC,CD=2,AD=CD=2,；.AC=4,二SAABC=|XC-BD=2.

(2)4;

【解法提示】：在菱形ABCD中,AC=4,BD=2,S菱形如屋加=沙)?A'C=4;

⑶果

【解法提示】：EG^FH,.-.S/=\EG-FO,S^HG=-HO,vS四邊形EFGH=S^EFG+SAEHG,■■■

S四*FGH=\EG-(FO+HO)=|EG?FH,"EG=5,FH=3,S四迦防FGH=\EGFH=^.

猜想：S四邊形EFGH=3a/);

證明:；EG_LFH,

11

???S^EFG=QEG.F°,SAEHG"EG,HO,

丁S四邊形EFGH=S^EFG+S^EHG，

-11

■■■S四邊形EFGH=#G?(FO+HO)=#G?FH,

；EG=a,FH=b,

,'tS四邊形EFGH=5ab;

(4)10.

【解法提示】根據(jù)尺規(guī)作圖可知:MNK中,MN=3,KN=4,MK=5,；.MK2=KN2+MN2,△

MNK是直角三角形，且NMNK=90。,；.NNMK+NMKN=90。,：ZQPM=ZMKN,.\ZNMK+ZQPM=90°,Z.MK±PQ,

?;PQ=KN=4,MK=5,；.根據(jù)(3)的結(jié)論有：S四邊形MPKQ=]MK-PQ—10.

4.解:⑴

解題思路

根據(jù)角平分線+平行線的性質(zhì)可得△APQ是等腰三角形，再用特殊角即可求AQ的長(zhǎng).

AAPQ為等腰三角形,AQ的長(zhǎng)為t;

【解法提示】如解圖①過點(diǎn)Q作QHXAD于點(diǎn)H,由題意得：AP=V3t,VZC=90°,ZB=300,.*.ZBAC=60°,

VAD平分/BAC,；.ZPAQ=ZBAD=30°,,/PQ^AB,AZAPQ=ZBAD=30°,.\ZPAQ=ZAPQ,QA=QP,AAPQ

為等腰三角形，：QH±AP,.\HA="P=泉，在RtAAHQ中，AQ==t.

(2)如解圖②，

VAPQE為等邊三角形，

；.QE=QP,

由⑴得QA=QP,

；.QE=QA,

即AE=2AQ=2t=3,

t=-；

2

(3)

解題思路

①當(dāng)點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)E在AC上時(shí)，重合部分是等邊三角形；②當(dāng)點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)E在AC延長(zhǎng)線上時(shí),

重合部分是四邊形；③當(dāng)點(diǎn)P在DB上,重合部分是直角三角形，分類討論畫出圖形計(jì)算求解即可.

①如解圖③，當(dāng)點(diǎn)P在AD上點(diǎn)E在AC上時(shí)，重合部分為等邊三角形PQE,過點(diǎn)P作PGLQE于點(diǎn)G,

,/ZPAQ=30°,

???PG=-AP=當(dāng)，

22

VAPQE是等邊三角形，

???QE=PQ=AQ=t,

.：S=lQE-PG=^,

由⑵知當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí),t=I，,S=f/(0vt<slant^);

②如解圖④，當(dāng)點(diǎn)P在AD上點(diǎn)E在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，記PE與BC交于點(diǎn)F,此時(shí)重合部分為四邊形FP

QC,

VAPQE是等邊三角形，

ZE=60°,CE=AE-AC=2t-3,

CF=CE-tanzE=V3(2t—3),

?-?SRFCE=|C￡-CF=j(2t-3)xV3(2t-3)=y(2t-3)2,

9

???S=SAPQE-SNCE=f尸_f(2t_3)2=一斗/+6^2-V3

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，在中，AD==2陋AP=

PDRtAADCCOSZ.DAC=V3t,

t=2,

S-—~~t?+6A/3C--V3<t<2);

③如解圖⑤，當(dāng)點(diǎn)P在DB上時(shí)，重合部分為直角三角形PQC,

第4題解圖⑤

,/ZDAC=30°,ZDCA=90°,

.?.在RtAADC中，DC=AC-tanzDXC=W,AD=2V3,

二止匕時(shí)，PD=V3t-2V3,

PC=CD+PD=V3t-V3=V3(t-1),

「△PQE是等邊三角形，

ZPQE=60°,

PCV3,d

???QC=----=—PnCr=t-1,

弋tanzPQC3

...S=|QC-PC=^(t-1)2,

,/ZB=ZBAD=30°,

DA=DB=2V3,

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，V3t=AD+DB=4V3,

解得t=4,此時(shí)，不滿足PQ〃AB,

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí),t=2,

S=-1/(2Wt<4),

—t2,Oct<-

42

綜上所述s={—手/+6V^—2V3,|<t<2,

日(t—l)2,2<slantt<4

5.(1)證明:,??四邊形ABCD是正方形，

ZPAE=ZQCE=45°;

,.?CE=2AE,AP=t,CQ=2t,

tAE_AP_1

??CE-CQ-2’

AAAEP^ACEQ;

⑵解:如解圖①過點(diǎn)E作EM±AB于點(diǎn)M,過點(diǎn)E作ENLBC于點(diǎn)N.

由題意易知AE=2&,AM=ME=2,EN=CN=4,AP=t,CQ=2t,BQ=6-2t,MP=|t-2|,BP=6-t,QN=|2t-4|.；.EP2=EM2+

MP2,BPEP2=22+(2-t)2=t2-4t+8,

PQ2=BP2+BQ2,即PQ2=(6-t)2+(6-2ty=5t2-36C+72,

EQ2=EN2+NQ2,即EQ2=42+(2t-4)2=4t2-16t+32

①當(dāng)NEPQ=90。時(shí)，有EQ?=EP2+PQ2,

22

即4t-16t+32=d_牝+8+5t2-36t+72,整理得，t-12t+24=0,解得亢=6-2V3,t2=6+2V3

(不合題意，舍去)；

②當(dāng)NPEQ=90。時(shí)，有PQ2=EP2+EQ2,

即5t2-36t+72=產(chǎn)_射+8+4t2-16t+32,整理得,匕2=0,解得t=2;

③當(dāng)NPQE=90。時(shí)，有EP2=PQ2+EQ2,

即t2-4t+8=5t2-36t+72+4t2-16t+32,整理得，，產(chǎn)一6t+12=0,該方程無實(shí)數(shù)解.

綜上所述，當(dāng)仆EPQ是直角三角形時(shí)，t的值為(6-2魂或2;

第5題解圖①

⑶解加解圖②過點(diǎn)A作AFLAC,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接FE交AQ于點(diǎn)G.

VAF±AC,ZACF=45°,

；.AF=AC,

又；CE=2AE,

.AE_AE_1

''AC-AF~

???tanZ-AFE=

3

1

tan乙4QE=

JZAFE=ZAQE,

ZAGF=ZEGQ,

.,.△AGF^AEGQ,

AG_GF日nAG_EG

EG~GQ罔GF-GQ"

???ZAGE=ZFGQ,

.,.△AGE^AFGQ,

ZAEG=ZFQG,

ZAFE+ZAEF=90°,

???NFQG+NEQG=90°,即NFQE=90°,

???△EQC是等腰直角三角形.

2

QC=4,SAAQE=SKAQC-SAEQC^QC-AB-^QC-EQ=4(cm),

AAEQ的面積為4cm2.

第5題解圖②

6.解:(1)：BD<CD,

???點(diǎn)F在線段AD上，

,?ZBAC=60°,ZEFD=ZBAC,

ZAFG=ZEFD=60°,

ZBAD=a,

ZFAG=60°-a,

在小AFG中,NFAG+/AFG+NAGF=180。，

AAAGF=180°-60°-(60°-a)=60°+a,

即AAGE=60°+a;

(2)DE="G,證明如下：

"?BD<CD,

.?.點(diǎn)F在線段AD上，

如解圖①，連接BE過點(diǎn)B作BQ//EG,分別交AD,AC于點(diǎn)P,Q,則NBPD=/EFD,

A

第6題解圖①

:ZBAC=60°,ZEFD=ZBAC,AB=AC,

ZABC=ZC=ZBPD=60°,

.?ZBPD=ZBAD+ZABQ,ZABC=ZABQ+ZCBQ,

.ZBAD=ZCBQ,

在^ABD和^BCQ中，

乙ABD=乙BCQ

{AB=BC,

乙BAD=乙CBQ

：.AABD^ABCQ(ASA),

???BD=CQ,

??,點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于直線AB對(duì)稱,

設(shè)DE與AB交于點(diǎn)H,

.*.BE=BD,EH=HD,ZEBA=ZABD=60°,ZBHE=ZBHD=90°,

???乙BEH=乙BDH=30。,?！?yFD,

DE=2DH=2XyBZ)=WBD,

ZEBD=120°,

.*.ZEBD+ZC=180°,

???EB〃AC,

???四邊形EBQG是平行四邊形，

.\BE=QG,

ABD=GQ=CQ,

???CG=2BD,

DE=—CG;

2

(3琮的值為早或?qū)W.

【解法提示】如解圖②，連接BE，記AB與DE的交點(diǎn)為點(diǎn)N,AB=AC,ZEFD=ZBAC=90°=ZAFG,Z.ZA

BC=45。,由對(duì)稱的，版知/EAB=/DAB,/EBA=/DBA=45\DE_LAB,NE=ND,當(dāng)點(diǎn)G在邊AC上時(shí)，由于NEAG>9

0°,當(dāng)^AEG為等腰三角形時(shí),只能是AE=AG,設(shè)/BAD=a,：ZBAC=ZAFG=90°,.\ZBAD+ZDAC=ZDAC+ZA

GE,/.ZBAD=ZAGE=a,ZEAB=ZDAB=a,/.NEAD=2a,：AE=AG,EG_LAD,/.ZFAG=ZEAD=2a,.\在RtAA

FG中,a+2a=90。,解得a=30o,.\/EAD=60。,又：AE=AD,.\AAED為等邊三角形,，AE=ED,設(shè)AF=x,：ZEAD=6

0°,???AG=AE=ED==2x,：.DN=x,.在RtADAN中，AN=-N-=WDN=V3x,???DEEIAB,^ABC=

cos60°tanz.DAB

45°,BN==DN=x,AC=AB=V3x+x,CG=AC-AG=43x+x-2x=^43-l）x,???=等；

當(dāng)點(diǎn)G在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，只能是GE=GA,如解圖③，設(shè)/BAD=/BAE=[3,；.NDAC=/GAF=9（r-|3,NEAF=18O。

-2p,.\ZGAE=ZEAF-ZGAF=90°-p,VGE=GA,AZGAE=ZGEA=90。-。,：NEFD=NBAC=90。,...在RtAAF

E中，90。-0+180°-2|3=90。,解得/B=60°,^DAC=90°-60°=30°=NGAF,設(shè)GF=y，則AG=GE=2y,AF=V3y,

在RtAEFA中,EF=2y+y=3y,由勾股定理求得.AE=2巡"在RtAEAN中，AN=AE-cos60°=V3y,EN=DN=

BN=AE-sin60°=3y,.\AB=AC=3y+V3y,/.CG=AG+AC=（5+W）y,???黑=等;當(dāng)點(diǎn)G在AC的延長(zhǎng)線上,Z

EAG>90。,易得AG>AE,不符合題意.綜上所述，當(dāng)△AEG為等腰三角形時(shí)靠=3工或等.

【解法提示】如解圖①，連接AC,BD,交于點(diǎn)M,VB（0,l）,D（2遍,1）,，：6口與軸,：四邊形ABCD是菱形,，AC

±BD,HAC=2AM,/.ACy?*.AC=2AM=2BO=2,???C（V3-2）;???E（0-1）,F（-V3,|）,//（0<|）,.?.FE=43,HO

=*又：四邊形EFGH是矩形，；.G（-V3-j）.

第7題解圖①

⑵①：點(diǎn)E（0,4點(diǎn)F（一百1）,點(diǎn)H（0，|）,在矩形EFGH中,EF〃x軸,EH_Lx軸，EF=V3,EH=1,...在矩形

E'F'GH中,EF〃x軸,EH_Lx軸,E'F'=V3,E'H'=1,

一點(diǎn)A（遍,0）,點(diǎn)B（0,l）,

OA=百,OB=1,

在RtAABO中,tan"B。=籌=百，

ZABO=60°,

在RtABME中,；EM=EB-tan60°,=1-1=

???EM=―2,

SABME=}BE-EM=^,

Zo

同理可得SABNH=￡，

???EE'=t,

S的肱EWH=EE',EH=t,

又???S二S矩形EEHH-S^BME-S^NH，

.-.S=t-唱的取值范圍是^<t<V3;

4Z

②痣

【解法提示】由①及題意可知，乎<slantt<slant挈時(shí)，矩形EFGH與菱形ABCD重疊部分的面積S

是增大的，由①知S=t-^(^<t<V3),止匕時(shí)S最“=乎—F=等;當(dāng)學(xué)<tW竽時(shí)，矩形EFGH與菱形

ABCD重疊部分的面積S是減小的，???當(dāng)仁手時(shí)，矩形移動(dòng)至解圖②位置，止匕時(shí)S為矩形的面積，且取得最大

值，最大值為V3X1=8.當(dāng)t=竽時(shí)，矩形移動(dòng)至解圖③位置，設(shè)矩形與菱形交于點(diǎn)P,Q,過點(diǎn)D作DK

LPQ,此時(shí)S取得最小值，為△DPQ的面積,YDK=2遮—(竽-V3)==iXC=S=|xi=

Q?dS|的取值范圍為噂<slants<V3.

Iololzlo

c

圖②圖③

第7題解圖

8.⑴解:等腰三角形，!

【解法提示】如解圖①，過點(diǎn)C作CF±BD于點(diǎn)F,AC±1.BD±1,AC//BD,ZCAB=ZDBA=ZCFB=90°,

四邊形ABFC是矩形,；.AC=BF,：BD=2AC,，BF=DF,；SaBCF和△DCF中,△DCF(SAS),；.BC=DC,；.Z\BCD

是等月要三角形;：AC〃BD,ZACO=ZDBO,ZOAC=ZODB,.,.AAOCADOB,BF=DF2￡

OA

(BFC二乙DFC,:.ABCF^

CF=CF

⑵①解:如解圖②過點(diǎn)E作EGLAD于點(diǎn)G,

???"=1，△ADE是等邊三角形,

BD=2AC=3,/EAD=60°,

ZDAB=90°-ZEAD=30°,

；.AD=AE=2BD=6,

由⑴得票號(hào)，

1

A0=sAD=2,

AG=-AD=3,

2

.,.OG=AG-AO=1,

EG=^JAE2-AG2=V62-32=3V3,

???OE=y/OG2+EG2=Jl2+(3V3)2=2近；

②證明：如解圖③，連接CD,

由⑴可知^BCD是等腰三角形，

VZACB=60°,AC^BD,

???ZDBC=ZACB=60°,

???ABCD是等邊三角形,NABC=30。，

.\CD=BD,ZCDB=60o,

ZEDC=ZEDA-ZCDA=60°-ZCDA,

ZADB=ZCDB-ZCDA=60°-ZCDA,

JNEDONADB,

在^ECD和^ABD中，

ED=AD

｛乙EDC=^ADBf

CD=BD

：.AECD^AABD(SAS),

JZECD=ZABD=90°,

???NACF=NECD+NDCB+NACB-180o=90°+60o+60°-l80°=30°,

設(shè)AF=x,

貝!]AC=V3X,AB=V3AC=3X,

AF_x_1_2。

"AB~3x―3~AD1

*：ZOAF=ZDAB,

???△OAFS△DAB,

???ZOFA=ZDBA=90°,

AOF±AB.

第8題解圖③

9.解:⑴四邊形AECF是矩形，理由如下:

VAE±BC,CF±AD,

JZAEC=ZAFC=90°,

??.四邊形ABCD為菱形,???AD〃BC,

JZAFC+ZECF=180°.

ZECF=180°-ZAFC=90°,

.??四邊形AECF為矩形；

⑵①

解題思路

方法一：可先證△11人乂名4口人。得出人乂=人（2,根據(jù)線段的和差關(guān)系得出CH=MD.方法二：可先連接HD,證△C

DHgZXMHD,直接得出CH=MD.

CH=MD,理由如下：

:四邊形ABCD為菱形，

Z.AB=AD,ZB=ZD,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)彳導(dǎo)AB=AH,NB=/H,

.?.AH=AD,ZH=ZD.

ZHAM=ZDAC,

AAHAMADAC,

；.AM=AC,

.,.AH-AC=AD-AM,

；.CH=MD;

一題多解

CH=MD,理由如下：

如解圖①，連接HD,

:四邊形ABCD為菱形，

；.AB=AD,/B=/ADC.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)彳導(dǎo)AB=AH,/B=NAHM,

AH=AD,ZAHM=ZADC,

AZAHD=ZADH,

ZAHD-ZAHM=ZADH-ZADC,

ZMHD=ZCDH,

：DH=HD,

.".△CDH^AMHD,

.\CH=MD.

解題思路

對(duì)于旋轉(zhuǎn)的面積問題，首先分類討論，根據(jù)情況畫出草圖，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)或相似進(jìn)行

計(jì)算即可，需要注意的是四邊形AMNQ是不規(guī)則的，需要用割補(bǔ)法，用三角形面積的和差解決.

丁63T或］9

【解法提示】如解圖②,：AE_LBC,AABE旋轉(zhuǎn)得到

AAHG,；.AG_LGH,：GH_LCD,；.AG〃CD,：AB〃CD,；.A,G,B三點(diǎn)共線,：AB=5,BE=4,；.AE=3.易知GN的長(zhǎng)是

AB與CD之間的距離，過點(diǎn)A作AW±CD于點(diǎn)W,"乙B=乙D,tanD=tanB=怒=|,???

AD=5,，AW=3,；.GN=3^^^,GH=BE=4,AG=AE=3,，HN=HG+GN=7^AAHGs/\QHb^,黑=券，即；=

3211121147,2

—,???NQ=—,：?S^QHN=二HN-NQ=-x7x—=——.AD\\BC,A.MAG=LB,；.tanzJVMG=tanB=vAG=

NQ4y2248"4

a71-|7o-i______14,77-1

3,：.MG=1；.HM=GH-MG=SAAMH=-HM.AG-x-x3=四邊形AMNQ的面積為—

44ZZooo

梟如解圖③，當(dāng)直線GH與CD垂直時(shí),則/HNQ=90。,,.^AE_LBC,.,./AEB=90。,^.^△ABE旋轉(zhuǎn)得到AAHG,；.

ZG=ZAEB=90°,.,.AG//CD//AB//CD,/.B,A,G三點(diǎn)在一條直線上，：AB=5,BE=4,；.AE=3,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得

39

AG=AE=3,GH=BE=4,：AG〃CD,；.ZGAM=ZADC=ZB,.\tanZGAM=tanB=-VAG=3,.\GM=-,???HM=

9

=

GH—MG=—,?9-SAAKALJ=—HM,AG=-x—x3一.sinZ.GAM=sinB,即,AM=一,<'.MD=5-----=

42248eAM5'44

5.nMN3nJrKT3TTnrTTnJIn,nr73.Arrccrr“rGHAG口口43Arc3

一，sin。=—=一，.??MN=-/.HN=HM-MN=----=1,AHG△QHN,?..——=—,???NQ=-,???

4'MD5"4'44"'NHQN'"1NQ’<4'

11RR