重難點(diǎn)06四邊形綜合應(yīng)用題型總結(jié)（平行四邊形綜合應(yīng)

用、菱形綜合應(yīng)用、矩形綜合應(yīng)用、正方形綜合應(yīng)用）

題型解篌?模型構(gòu)建.?真題強(qiáng)化制練?模擬通關(guān)試練

模型01平行四邊形綜合應(yīng)用）

模型02菱形綜合應(yīng)用

模型03矩形綜合應(yīng)用

模型04正方形綜合應(yīng)用

本專題主要通過上一專題三角形知識的學(xué)習(xí)路徑，類比學(xué)習(xí)平行四邊形，構(gòu)建知識樹；掌握平行四邊

形、矩形、菱形、正方形的定義、性質(zhì)和判定。清楚平行四邊形、特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）

的特征以及彼此之間的關(guān)系。經(jīng)歷從平行四邊形到矩形、菱形、正方形的研究過程，體驗(yàn)“從一般到特殊”

的研究方法；通過猜想、驗(yàn)證、歸納的過程，掌握矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理，感悟類比思想；在考

試中能利用它們的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理和計(jì)算，提高主動探究的習(xí)慣和意識。

o摸的建

模型01平行四邊形綜合應(yīng)用

w'fiSWTS..................................

平行四邊形的性質(zhì)與判定該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大，在各類考試中得分率較

高。掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的定義、性質(zhì)和判定。清楚平行四邊形、特殊平行四邊形

（矩形、菱形、正方形）的特征以及彼此之間的關(guān)系。能用平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行幾

何證明和計(jì)算是考試的重點(diǎn)。

答I題I技I巧

i.認(rèn)真分析題目，理解題意；

2.根據(jù)題意，利用平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行幾何證明和計(jì)算；

3.注意是否引入其它知識點(diǎn)，例如三角形、平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)等；

4.利用相關(guān)的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理和計(jì)算。

題筌市例

,龔俐

1.如圖，將平行四邊形4BCD沿對角線折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)E處.若41=56。，Z2=40°,

則乙4的度數(shù)為（)

112°

）支式

1.下列四個命題中，假命題是（）

A.順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形

B.對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形

C.對角線互相平分且垂直的四邊形是矩形

D.一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形

2.如圖所示，在平行四邊形ABCZ）中，對角線AC,8。相交于點(diǎn)。，AC±AB,若AB=4,AC=6,則

3.如圖，在平行四邊形ABCZ）中，對角線AC,80相交于點(diǎn)O,尸為的四等分點(diǎn)，E為OC的中點(diǎn).若EF=4,

4.如圖，已知平行四邊形ABCD.

AD

BL---------------'C

⑴尺規(guī)作圖：請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出/ABC的平分線的.(要求：不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)￡為3c上一點(diǎn)，設(shè)(1)中/ABC的平分線3P交A。于點(diǎn)R連接EF,若EC=FD,判斷四邊形ABEF

的形狀，并說明理由.

5.如圖，VABC與ADEF的邊BC,E尸在同一條直線上，AB//DE,AC〃Db且3E=CF,求證：四邊

形ABED是平行四邊形.

6.如圖，在QABCD中，點(diǎn)G,H分別是AB,CO的中點(diǎn)，且GELAC于E,HRLAC于尸.

求證：

⑴AAGE1名△CHF；

(2)四邊形EGW是平行四邊形.

模型02菱形綜合應(yīng)用

tTi-iWFW................................

菱形的性質(zhì)與判定該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現(xiàn)在與圓結(jié)合或者利用

相似求長度、類比探究題型，具有一定的綜合性和難度。掌握菱形的性質(zhì)與判定，菱形的面積公式，

及一些特殊的菱形是解答本題的關(guān)鍵。注意菱形與平行四邊形的區(qū)別，菱形與正方形的聯(lián)系與區(qū)別，

利用數(shù)形結(jié)合及方程的思想解題。

答I題I技I巧

1.理解題意;

2.根據(jù)題意，利用菱形的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行幾何證明和計(jì)算；

3.注意菱形面積的求解，菱形與動點(diǎn)問題、圓及平面直角坐標(biāo)系的結(jié)合;

4.利用相關(guān)的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理和計(jì)算。

|題型三例

1.（2023?湖南）如圖，菱形ABC3中，連接AC,BD,若4=20。，則N2的度數(shù)為（

A.20°B.60°C.70°D.80°

）支式

1.如圖，在菱形ABCD中，AEL3c于點(diǎn)E,BE=EC,AC=2,則菱形ABCD的周長是（）

A.6B.8C.10D.12

2.如圖，AC,BD是四邊形ABCD的對角線，點(diǎn)E尸分別是AD,2C的中點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別是AC,四的中點(diǎn).下

列說法中不正確的是（）

A.四邊形項(xiàng)OW一定是平行四邊形

B.若AC上BD,則四邊形項(xiàng)ffW是矩形

C.若AB=CL>,則四邊形現(xiàn)網(wǎng)是菱形

D.AABC+ZDCB=90°,則四邊形項(xiàng)％V是矩形

3.如圖，四邊形ABCD是菱形，4（3,0）,8（0,4）,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

A.（4,-5）B.（-5,5）C.（-5,4）D.（T,3）

4.如圖，在VA3C中，尸是5c的中點(diǎn)，E是線段A8的延長線上一動點(diǎn)，連接族，過點(diǎn)C作CE>〃A3,

與線段所的延長線交于點(diǎn)。，連接瓦ZCE.

⑴求證：四邊形5ZJCE是平行四邊形.

（2）若ZABC=120。,3c=4,則在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中,

①當(dāng)?shù)臑楹沃禃r，四邊形3DCE是矩形；

②當(dāng)BE為何值時，四邊形3DCE是菱形.

5.（1）【提出問題】數(shù)學(xué)課上，老師提出問題：如圖1,在等腰Rt^ABC中，N54c=90。，點(diǎn)E在BC邊

上，以CE為邊作正方形CEFD,點(diǎn)尸在AC邊上，連接8尸，點(diǎn)尸為線段防的中點(diǎn)，連接AP,EP.以點(diǎn)尸

為對稱中心，畫出！尸跖關(guān)于點(diǎn)尸對稱的圖形，并直接寫出AP與PE的位置及大小關(guān)系；

（2）【類比探究】在等邊VABC中，D、E分別是AC、BC邊上一點(diǎn)，且CD=CE,以CE、C。為鄰邊作菱

形CEFD,再將菱形CEFD繞C點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到新的菱形CER'D如圖2,連接3尸，點(diǎn)尸為

線段89的中點(diǎn)，連接AP、PE，判斷AP與PE'的位置及大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）【遷移運(yùn)用】在（2）的條件下，若AC=4,CE=\,菱形CE陽在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)”最小時，直接寫

出S&ABP的值_________?

圖1圖2

模型03矩形綜合應(yīng)用

wWiWS...............................

矩形的性質(zhì)與判定該題型近年主要以填空及綜合性大題的形式出現(xiàn)，一般屬于多解型問題，難度系數(shù)

較大。矩形或其它特殊平行四邊形的折疊問題注意折疊前后對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等，在多解題型中，

準(zhǔn)確畫出折疊后的圖形是我們解題的關(guān)鍵。結(jié)合矩形的相關(guān)性質(zhì)及判定定理與推論和其它幾何的相關(guān)

知識點(diǎn)進(jìn)行解題。

答?題?技?巧

i,確定試題考點(diǎn)方向，折疊、旋轉(zhuǎn)、判定等；

2.應(yīng)用矩形相關(guān)的性質(zhì)與判定進(jìn)行解題；

3.注意矩形的折疊、旋轉(zhuǎn)、矩形與坐標(biāo)系結(jié)合等題型的解法;

4.進(jìn)行相關(guān)計(jì)算解決問題.

|題型三停I

1.（2023?安徽）如圖，在矩形中，BELAC,DFVAC,垂足分別為￡、F.求證：AF=CE.

1支式

1.如圖，矩形ABC。中，E為中點(diǎn)，連接CE.點(diǎn)尸為點(diǎn)3關(guān)于CE的對稱點(diǎn)，連接AF,BF,

4

tanZBAF^-.設(shè)=△ABB的面積為y,則》與x的函數(shù)圖象大致為（）

2.如圖，矩形ABC。中,E是5C邊上一動點(diǎn),些=里=也ZAEF=90°,若BE=L那么CF的長

ABAE

C.2D.V5

3.如圖，在矩形ASCD中，AB=4,BC=13,點(diǎn)、E,尸分別在邊ADBC上，將矩形ABCD沿跖折疊，得

到四邊形NM砂，且點(diǎn)A恰好為邊NP的中點(diǎn)，則即的長為()

A.7.2B.7.5C.8D.8.4

4.已知，矩形ASCD中，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn).

圖1圖2圖3

(1)如圖1,將AABE沿直線AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，當(dāng)N54E=33。，且CE=CF時，求ZFCE的度數(shù);

⑵如圖2,將AABE沿直線AE翻折，點(diǎn)8落在點(diǎn)P處，連接CP,DF,若AB=6BE,且CF平分ZECD,

判斷△DFC的形狀，并證明；

⑶如圖3,尸點(diǎn)為A3上一點(diǎn)，將斯沿直線所翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)尸處，若AB=8,AD=12,且EB=3,

直接寫出PD的最短距離.

5.如圖，在DABCD中，過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊CD上，CF=AE,連接ARBF.

⑴求證：四邊形跳7處是矩形；

(2)已知一。山=60。，AF平分ZD4B,若A￡>=3,求。C的長度.

模型04正方形綜合應(yīng)用

MT而T就iii................................

正方形的性質(zhì)與判定該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，本專題重點(diǎn)分析正

方形與平面直角坐標(biāo)系相結(jié)合、正方形的折疊等題型。結(jié)合各類模型展示旋轉(zhuǎn)中的變與不變，并結(jié)合

經(jīng)典例題和專項(xiàng)訓(xùn)練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時規(guī)范了解題步驟，提高數(shù)學(xué)的綜合解題

能力。

答?題?技?巧

i,確定正方形所考查知識點(diǎn)；

2.利用正方形的特殊性分析題目信息，根據(jù)已知條件得出相關(guān)結(jié)論；

3.結(jié)合各類模型中解題技巧和方法，綜合運(yùn)用；

4.結(jié)合其它幾何的相關(guān)知識點(diǎn)進(jìn)行解題；

］簸筌3例

1.(2023?湖南)如圖，點(diǎn)E、尸為正方形至⑦邊的點(diǎn)，CELDF,點(diǎn)、G、“分別為線

段CE、DF的中點(diǎn)，連接G〃，若CF=2,GH=3版,則期的長為.

>支式

1.如圖是我國古代著名的趙爽弦圖的示意圖，其由四個全等的直角三角形拼接成一個正方形ABC。，其中

ZAFB=ZBEC=ZAGD=ZCHD=90°,連結(jié)AE.DE,若NAED=NADE,DE=點(diǎn),則正方形45。的邊

長是（）

A.75B.2C.D.瓜

2

2.如圖，點(diǎn)E是正方形ABC。的邊DC上一點(diǎn),把△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°到AABF的位置.若四邊形

AECV的面積為36,CE=4,則AF的長為（）

3.小曼和他的同學(xué)組成了“愛琢磨”學(xué)習(xí)小組，有一次，他們碰到這樣一道題："已知正方形A3CD,點(diǎn)、E、

F、G、//分別在邊AB、BC、CD、D4上，若EGLFH,則=.”為了解決這個問題，經(jīng)過思考，大

家給出了以下兩個方案：

方案一：過點(diǎn)A作4交BC于點(diǎn)過點(diǎn)、B作BN〃EG交CD于點(diǎn)、N；

方案二：過點(diǎn)A作AM〃加'交BC于點(diǎn)過點(diǎn)A作AN〃EG交邊C。的延長線于點(diǎn)N.…

圖⑴圖（2）圖（3）

⑴對小曼遇到的問題，請?jiān)趦蓚€方案中任選一個加以證明（如圖（1））.

（2）如果把條件中的“正方形"改為"長方形"，并設(shè)AB=2,BC=3（如圖（2））,試探究EG、FH之間有怎樣的

數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

⑶如果把條件中的"EG改為"EG與切的夾角為45。"，并假設(shè)正方形ABCD的邊長為2,的長

為百（如圖（3））,試求EG的長度.

4.點(diǎn)E是正方形ABC。所在平面內(nèi)一點(diǎn).

⑴如圖1,若E為C。邊上一點(diǎn)，尸為BC延長線上一點(diǎn)，且CE=CF,判斷BE與。歹之間的關(guān)系，說明理由;

圖1

⑵如圖2，若點(diǎn)E在邊BC下方，當(dāng)ZBED=90°時，過點(diǎn)A作AE的垂線交ED的延長線于點(diǎn)P,猜想線段E4,

EB,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

F

圖2

⑶在（1）的條件下，連接BD,延長的交D尸于點(diǎn)G.當(dāng)OG=2,GP=3時，求V3Z開的面積.

5.已知正方形ABCA中，AD=8,點(diǎn)G是正方形ABC。內(nèi)動點(diǎn)，且始終保持=

圖1圖2圖3

⑴如圖1,ZiADG繞A順時針旋轉(zhuǎn)90。得AABE,請?jiān)趫D中畫出AABE并求EG的長;

（2）在（1）的條件下，如圖2,當(dāng)。、G、E三點(diǎn)共線時，求ZAGD的度數(shù)及GD的長；

⑶在（1）的條件下，是否存在某時刻使得NZXM=120。，請求出OG的長；若不存在，請說明理由.

砂真粒般煉

1.如圖，在平行四邊形ABCZ）中，AB=3,4）=5.按下列步驟作圖:

D

B'GC

①以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交DC于點(diǎn)E,F；

②分別以點(diǎn)E,產(chǎn)為圓心，大于;跖長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；

③連接DP并延長交BC于點(diǎn)G.則8G的長是（）

A.1B.2C.3D.4

2.如圖，點(diǎn)。是平行四邊形OA5C內(nèi)一點(diǎn)，CO與大軸平行，30與V軸平行ZADB=135°,

S?ABD=2.若反比例函數(shù)y=；（x>0）的圖象經(jīng)過A、D兩點(diǎn),則k的值是（）

A.3B.6C.3&D.12

3.如圖，將菱形紙片ABC。折疊，使點(diǎn)3落在AD邊的點(diǎn)尸處，折痕為CE,若AB=10,石為AB的中點(diǎn),

13=60。，則四邊形3CFE的面積是（）

A.20也B.25卷C.408D.50&

4.如圖（1）,在正方形ABC。中，點(diǎn)E是對角線8。上一動點(diǎn)，點(diǎn)尸是3c上的點(diǎn)，且CF=23F.設(shè)DE=x,

CE+EF=y,已知V與X之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）所示，點(diǎn)M（加，師）是圖象的最低點(diǎn)，那么加的

A.竽B.2叵C.萼

5.如圖，。。是VABC的外接圓，是O。的直徑，點(diǎn)。在AC上，AD=BC，過點(diǎn)。作。。的切線并交R4

的延長線于點(diǎn)E,且CE>=AE.

⑴求證：四邊形AC3E是平行四邊形;

⑵AB=8,求3c的長.

6.如圖，在正方形ABCD中，E為對角線3。上一點(diǎn)（不與6、。重合），連接AE,過點(diǎn)石作EFLE4交

邊BC于點(diǎn)F,連接相、EC.

⑴判斷△鉆尸的形狀，并說明理由；

⑵若AB=4,直接寫出可曲的取值范圍是;

⑶延長EE交射線8于點(diǎn)M,請將圖形補(bǔ)充完整，猜想線段和線段時的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

7.綜合與實(shí)踐

在綜合實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“圖形的旋轉(zhuǎn)"為主題開展數(shù)學(xué)活動，下面是同學(xué)們進(jìn)行相關(guān)問題的研究:

如圖1,已知是等腰直角三角形，ZBAC=90°,點(diǎn)。是2c的中點(diǎn)，作正方形QE/G,使點(diǎn)A,C分

別在。G和。E上，連接AE,BG.

⑴試猜想線段2G與AE的關(guān)系為一

（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)。逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度（旋轉(zhuǎn)角度大于0。，小于或等于360。）.如圖2,在旋

轉(zhuǎn)過程中，請判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由；

（3）若BC=8,￡>G=10.

①將正方形?！闒G繞點(diǎn)。逆時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖3位置，即A、B、G三點(diǎn)在一條直線上，且點(diǎn)3在A、G

之間，求AE的長；

②在圖2中，若AG=2jW,過點(diǎn)G作ABDG中邊的高線，與的延長線交于點(diǎn)尸，請直接寫出PC的

長.

⑥模核學(xué)用

1.如圖，矩形ABCO的對角線相交于點(diǎn)尸，點(diǎn)及尸分別是邊上的點(diǎn)，且PELPF.若AB=3,BC=5,

則受PF的值是（）

PF

57

A.-B.一C.一D.-

4333

2.如圖，AC是矩形ABC。的對角線，E是AD邊上的中點(diǎn)，連接跖，BE,AC于點(diǎn)歹，連接。尸，分析

下列四個結(jié)論：（1）AAEF^ACAB；②CF=2AF；③FC=DC；@CD:AD-.2.其中正確的結(jié)論有

C.3個D.4個

3.如圖，在正方形ABCD中，E,尸是對角線AC上兩點(diǎn)，AE=CE=g￡F,。匹止的延長線分別交AB,BC

于點(diǎn)G,H,則:的值為（）

3.如圖，在邊長為3的正方形ABCD的外側(cè)，作等腰三角形ADE,￡A=￡D=|.若F為此的中點(diǎn)，連

接AF并延長，與C。相交于點(diǎn)G,則AG的長為()

4.【問題初探】

(1)李老師給出如下問題：如圖1,在平行四邊形ABCZ)中，ACYCD,且AC=CD,點(diǎn)E是A3的中點(diǎn)，

點(diǎn)尸為對角線AC上的點(diǎn)，且A笠F=1連接線段防，若8=2,求跖的長.

FC3

小鵬同學(xué)考慮到點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，從中點(diǎn)的角度思考，想辦法構(gòu)造另一個中點(diǎn)，從而形成中位線，所以想

到連接3。，與AC交于點(diǎn)。.請你利用李老師的提示，幫助小鵬同學(xué)解決這個問題.

【類比拓展】李老師為了幫助學(xué)生更好地感悟中點(diǎn)的解題策略，李老師提出了下面問題，請你解答.

(2)如圖2,在VABC中，班平分工ABC,過點(diǎn)A作BE延長線的垂線，垂足為點(diǎn)。，BE=DE,求證:

AE=3CE.

【學(xué)以致用】

(3)如圖3,在VA8C中，AC>AB,點(diǎn)。在AC上，AB=CD,點(diǎn)