山西省太原市2024-2025學(xué)年高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=-1+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知2=(1,2),b=(m,4),若為1(3—砂，則實(shí)數(shù)m=()

A.-2B.2C.-3D.3

3.下面不是平行六面體的幾何體是()

A.四棱臺(tái)B.長方體

C.正方體D.底面是菱形的四棱柱

4.如圖，在△&8C中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是4D的中點(diǎn)，設(shè)方=2，CB=b，則］=()

A.-a+—/)

4Z

B.白+|另

C.^a+^b

4Z

D.|a+|K

5.已知水平放置的等邊△ABC的邊長為4,則該三角形斜二測直觀圖的面積為()

A.20B.3C.5<6D.2/2

6.在△ABC中，A=30°,a=72,b=2,貝!Jc=()

A.<2B.73-1

C.O+1D.C-l或，^+1

7.已知圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為1和3,球。與該圓臺(tái)的上、下底面及其側(cè)面都相切，則球。的體積

為()

A.4，^兀B.12兀C.48兀D.32，^兀

8.已知△ABC中，過BC中點(diǎn)。的直線分別與直線AB,AC交于點(diǎn)E,F,且荏=m荏>0),

~AF=n^AC(n>0),則m+4TI的最小值為()

Q7

A.9B.1C.7D.1

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知復(fù)數(shù)z「Z2,Z3是方程(z-i)(z2-2i)=0的三個(gè)互不相同的復(fù)數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是()

A.復(fù)數(shù)z「z2,Z3的實(shí)部之和為0B.復(fù)數(shù)z「z2,Z3的虛部之積為-1

C.復(fù)數(shù)z「Z2,Z3的模長之和為3D.復(fù)數(shù)zi，Z2,Z3的積為2

10.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若4<B,則s譏4<sinB

B.若4<B,則cosA<cosB

C.若△ABC是銳角三角形，貝!JsinA>cosB

D.若sim4<cosB,則△ABC是鈍角三角形

11.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做

球冠的高.球體被平面截下的■部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫

做球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看作是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.如圖1,一個(gè)球面的半徑

為R,球冠的高是h,球冠的表面積公式是S=2兀Rh,與之對(duì)應(yīng)的球缺的體積公式是^=力兀h2（37?-八）,如

圖2,已知點(diǎn)C是以48為直徑的圓上的點(diǎn)，乙4。。=（扇形20C的面積為:，將扇形40C繞直線力B旋轉(zhuǎn)一

周得到一個(gè)幾何體，則下列結(jié)論正確的是（）

A.該幾何體是一個(gè)球缺B.該幾何體中球冠的高為1

C.該幾何體的體積為!兀D.該幾何體的表面積為（4+2/3）兀

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知復(fù)數(shù)z=3—4i,貝Uz的模長為.

13.已知益=（3,1）,b=（1,2）,則向量Z在向量石上的投影向量的坐標(biāo)為.

14.“阿基米德多面體”又稱“半正多面體”，與正多面體類似，它們都是凸多面體，每個(gè)面都是正多邊

形，并且所有棱長也都相等，但不同之處在于阿基米德多面體的每個(gè)面的形狀不全相同.某些阿基米德多面

體可由正多面體進(jìn)行“截角”得到.如圖，正八面體E-4BCD-F（每個(gè)面都是棱長相等的正三角形）的棱長

為6,取各條棱的三等分點(diǎn)，從各棱的三等分點(diǎn)處截去六個(gè)角后可得到一個(gè)阿基米德多面體，則該多面體

的表面積為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z=(巾2-2m)+(爪2—7n一2)i,當(dāng)實(shí)數(shù)zn為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z滿足下列條件：

(1)復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)；

(2)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)；

(3)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第四象限.

16.(本小題15分)

已知向量出方滿足|句=2,|瓦=6，|五+方|=百？.

(1)求向量S與石夾角的大小；

(2)設(shè)記=23一3丸n=Aa+b,若沅與元夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

17.(本小題15分)

如圖，在四邊形4BCD中，AB=3坑,ABAD=45°,AaB。的面積為:，ZBDC=135°.

(1)求BD的長；

0若AD//BC,求△BCD的面積.

18.(本小題17分)

南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家祖曜，于五世紀(jì)末提出了體積計(jì)算原理，即祖昭原理：“幕勢(shì)既同，則積不容

異”.意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩

個(gè)截面的面積總相等，那么，這兩個(gè)幾何體的體積相等.球的體積可以利用祖晅原理求出.如圖，左邊是一

個(gè)半徑為R的半球01(用經(jīng)過球心的平面截球體所得的幾何體)，右邊是從底面半徑和高均為R的圓柱中挖去

一個(gè)以該圓柱的上底面為底面、下底面圓心。2為頂點(diǎn)的圓錐所得到的幾何體，這兩個(gè)幾何體在同一平面a

上.現(xiàn)用任意一個(gè)平行于a的平面0截這兩個(gè)幾何體，記左邊半球。1被平面0截得的截面面積為S],右邊幾何

體被平面口截得的截面面積為52.

(1)當(dāng)平面￡與a的距離為h(0WhWR)時(shí)，求S「S2的值；

(2)利用祖晅原理求此半球01的體積，并由此給出球體的體積公式.

19.(本小題17分)

“費(fèi)馬點(diǎn)問題”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬所提出的一個(gè)問題：在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三

角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，此點(diǎn)被稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn).意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，即當(dāng)

A力BC的三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，使得N2PB=乙BPC=4CPA=120。的點(diǎn)「為42BC的費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)小ABC

有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為AABC的費(fèi)馬點(diǎn).已知A/IBC中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分

別為a,b,c,點(diǎn)P為A/IBC的費(fèi)馬點(diǎn).

(1)若siHB+siMC—siMa+VZsinBs譏C=0,a=2-\/-5,PB-PC=-4,求△ABC的周長；

(2)若岑=3，且AdBC的面積為/可，求而的取值范圍.

COSC乙D一C

答案解析

1.【答案】B

【解析】解：在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=-1+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1,1),所在的象限是第二象限.

故選：B.

利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解.

本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：a=(1,2),

則b—N—1,2),

若五1(b-a),

則五-(b-a)=m—l+2x2=0,解得m=-3.

故選：C.

結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：因?yàn)槠叫辛骟w是一種特殊的四棱柱，共有六個(gè)面，每個(gè)面都是平行四邊形，平行六面體的

六個(gè)面兩兩平行，并且分別是全等的平行四邊形，

所以四棱臺(tái)不是平行六面體，故A正確，B,C,D錯(cuò)誤.

故選：A.

根據(jù)平行六面體的定義即可逐個(gè)判斷.

本題考查平行六面體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：由題意，=CA+AE=CA+^AD

111

=CA-^^x(CD-CA)=CA+^x(-CB-CA)

=^CA+^CB=^a+^b.

2424

故選：D.

根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求解即可.

本題考查平面向量的線性運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，等邊A/IBC的邊長為4,其面積S=；X4X4X?=4C,

則該三角形斜二測直觀圖的面積S'==/石.

故選：C.

根據(jù)題意，求出原圖的面積，進(jìn)而由原圖面積與直觀圖面積的關(guān)系，計(jì)算可得答案.

本題考查平面圖形的直觀圖，注意原圖面積與直觀圖面積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：在AABC中，A=30°,a=y[2,b=2,

由余弦定理得a?=b2+c2—2bccosA=2,即4+c2—4c?苧=2,

整理得c2-26c+2=0,解得c=AA3±1.

故選：D.

根據(jù)題意，利用余弦定理建立關(guān)于c的方程，解之即可得到本題的答案.

本題主要考查運(yùn)用余弦定理解三角形的知識(shí)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：設(shè)圓臺(tái)的高為h,球。的半徑為R,作出圓臺(tái)的軸截面，如圖所示，

B°>A

CK6尸D

已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r=l,&=3,斜邊為圓臺(tái)母線長

圓臺(tái)的軸截面等腰梯形的高h(yuǎn)等于球的直徑2R,

因?yàn)榍蚺c圓臺(tái)側(cè)面相切，所以。E14D,

貝DOE三△。。。2，AAOE=ADOOr,

所以ED=O2D,AE=AOr,

所以/AE+ED=AOr+DO2=r+&=3+1=4,

同時(shí)h=2R,

由勾股定理可得F+(Ro—r)2=I2,

將1=4,Ro—r=3—1=2,h=2R,

代入到F+(3—「)2=(2中，

得至|J(2R)2+22=42,

化簡得4R2+4=16,

所以R=V~3>

即球。的體積為gwx(V-3)3=4V~37t.

故選：A.

作出圓臺(tái)的軸截面，根據(jù)題設(shè)和幾何性質(zhì)可得Z=r+R0=4,結(jié)合勾股定理求出球半徑，代入球的體積公

式即可.

本題考查幾何體外接球體積的計(jì)算，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：因?yàn)椤?c的中點(diǎn)，且屈=小用(m>0),AF=nAC(n>0),

貝！W=1?港+硝=|(-X￡?+-AF),

111

所以--+--

2mn

則山+鈕=26+4n)。+》=口5+非+?同(5+2］等節(jié)，

當(dāng)且僅當(dāng)m=2兀，即血=。，幾=,時(shí)取等號(hào).

Z4

故選：B.

結(jié)合向量的線性運(yùn)算求出工+工=2,然后結(jié)合基本不等式即可求解.

mn

本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，還考查了基本不等式求解最值，屬于中檔題.

9.【答案】ABD

【解析】解：由(z—i)Q2_2(=0,得z-i=0或Z?-2i=0,

則z=i或z?=2i,

當(dāng)z?=2i時(shí)，設(shè)z=a+bi｛a,bGR),

由(a+bi?=a2-b2+2abi=2i,得1~,

12ab=2

解得｛￡二;或｛'I,

方程(z-i)(z2-2i)=0的三個(gè)互不相同的復(fù)數(shù)根分別為i,1+i,-1-i,

對(duì)于4,復(fù)數(shù)Z「z2,Z3的實(shí)部之和為0,故A正確；

對(duì)于B,Zi，Z2，Z3的虛部之積1x1x(―1)=-1,故B正確；

對(duì)于C,氏|+憶2|+憶3|=1+Y1+，I=1+2/1,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,Z1?z2,Z3=i(l+i)(—1—I)—(—1+i)(—1—,)=2,故D正確.

故選：ABD.

根據(jù)題意，求出方程(z-i)(z2-2i)=0的3個(gè)根，由此分析選項(xiàng)是否正確，綜合可得答案.

本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，涉及復(fù)數(shù)模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ACD

【解析】解：選項(xiàng)4由正弦定理知，二=芻，

sinAsinB

若4<B,則a<b,所以sizM<s譏B,故選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B,因?yàn)閥=cos。在(0?)上單調(diào)遞減，

若4<B且均為銳角，貝!JcosA>cosB,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

選項(xiàng)C,在銳角三角形中，A+B>^,即］>4>>B>0,

因?yàn)閥=s譏。在(0《)上單調(diào)遞增，

所以si?vl>sin?-8)=cosB,故選項(xiàng)C正確；

選項(xiàng)。，若sinA<cosB,貝!|B為銳角，且sinA<sin/一B),所以4不為直角，

若4為鈍角，則△ABC為鈍角三角形；

若4為銳角，因?yàn)閥=s譏0在(0,方上單調(diào)遞增，所以0<4<尹3<》即4+B<與

此時(shí)C=兀一Q4+B)>》即△ABC為鈍角三角形，故選項(xiàng)。正確.

故選：ACD.

結(jié)合大角對(duì)大邊與正弦定理，即可判斷選項(xiàng)A；利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷選項(xiàng)5利用銳角三角形中

兩角之和大于90。的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C；通過三角函數(shù)關(guān)系式與三角函數(shù)的性質(zhì)證明必存在鈍角可判斷選

項(xiàng)D

本題考查解三角形，主要涉及三角形中角與邊的關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性，以及銳角三角形和鈍角三角形

的判定條件，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】解：因?yàn)橐?。。=半

設(shè)圓的半徑為R，

又T7Sc扇形40c=51義7r爐c?=§2兀,

解得R=2,

過點(diǎn)C作CE1A8,交4B于點(diǎn)E,

則CE=OCsinW=苧R，0E=0C-cos?=*

DZ5乙

將扇形力0C繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為一個(gè)半徑R=2的球中上面的球缺和一個(gè)圓錐的組合體，故

A錯(cuò)誤;

其中球缺的高八=^=1,故8正確;

1R5

-XXR--

一個(gè)球缺的體積匕=j7r/i02(3/?37T(3237T

圓錐的體積匕=3兀X(<3)2X1=7T,

所以幾何體的體積：1/=/+匕=尊故C正確；

圓錐的高色=*底面半徑「=噂/?,

則其中一個(gè)球冠的表面積S[=2?iRh=nR2=4兀，

圓錐的側(cè)面積5側(cè)=兀苧R-R=2，1兀，

所以幾何體的表面積S表=S]+$側(cè)=4兀+2門兀，故。正確.

故選：BCD.

將扇形力0C繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為一個(gè)半徑R=2的球中上面的球缺和一個(gè)圓錐的組合體，由

旋轉(zhuǎn)體的表體積公式和體積公式求解.

本題考查幾何體體積與表面積的計(jì)算，屬于中檔題.

12.【答案】5

【解析】解:z=3-41,

則團(tuán)=732+(-4)2=5.

故答案為：5.

結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】（1,2）

【解析】解：向量a在向量3上的投影向量為駕方=|xK=K=（i,2）.

\b\z5

故答案為：（1,2）.

根據(jù)投影向量的定義進(jìn)行求解.

本題主要考查平面向量的投影向量，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】24+48<3

【解析】解：由題意可知：該多面體的棱長為2,且表面由6個(gè)正方形和8個(gè)正六邊形組成，

故該多面體的表面積為6x2x2+8x6x|x2x2xsin60°=24+4873.

故答案為：24+48t.

根據(jù)該多面體的棱長為2,且表面由6個(gè)正方形和8個(gè)正六邊形組成，利用面積公式即可求解.

本題考查幾何體表面積的計(jì)算，屬于中檔題.

15.【答案】T或2；

0；

(—1,0).

【解析】解：（1）當(dāng)巾？—m—2=0時(shí)，即當(dāng)m=-1或m=2時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù);

⑵當(dāng)償］募工°’時(shí)

即當(dāng)m=0時(shí)，

復(fù)數(shù)z是純虛數(shù);

小、當(dāng)儼2-m-2<0,

時(shí)，即當(dāng)—l<m<0時(shí),

Im2—2m>0,

復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第四象限.

（1）結(jié)合實(shí)數(shù)的概念，即可求解；

（2）結(jié)合純虛數(shù)的概念，即可求解；

（3）結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題,

16.【答案】300；

22

(-3,-g)U(-3,4-00).

【解析】解：(1)設(shè)2與3夾角為氏

由|句=2,|fo|=\a+b\=V13,

可得|乙+可2=32+K2+2a-b=7+2x2x/3cos0=13,

解得cos。=又0。<e<180°,所以e=30°,

即a與3夾角為30。；

(2)由南=2/一33,n=Aa+b,記與元夾角是鈍角，

可得沆?n<0且南與日不共線，

又記-n=(2a-3ft)-(Aa+K)=又片—3片+(2—3QN?3

=8A-9+2AA3(2-3A)cos30°=-A-3<0,解得4>-3,

令沅=kn,貝!J21-3b=/c21+/cb,

即［二咚，所以｛:=一:'

所以一3<4<-^或2>-|,

故實(shí)數(shù)4的取值范圍為(一3,-1)U(―|,+8).

(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求得夾角余弦值，進(jìn)而求得夾角；

(2)由夾角為鈍角，得兩向量數(shù)量積小于零且不共線，即可列式求解.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，屬中檔題.

17.【答案】5；

75

T,

【解析】解：⑴四邊形ABCD中，AB=3/2,乙BAD=45°,△4BD的面積為今上BDC=135°.

由題意得SgBo=-AD-sin^BAD=|x342x4。x苧=?,

可得力O=7,

又因?yàn)閆B=3/2

由余弦定理得=AB2+AD2-2AB-ADcosz.BAD=18+49-2x3^2x7x苧=25,

解得BD=5；

222

(2)在4ABD中，由余弦定理得C0SN2DB=:祟=J，

LAU,DU3

所以sinNADB=|,

因?yàn)?D〃BC,所以NCBD=乙ADB,

所以sin/CBD=|,coszCSO=J

在ABC。中，因?yàn)镹8DC=135。，所以NCBD+NDCB=45。,

由正弦定理手前=—^萬，

smz.CBDsmZ.BCD

可得CD—\06也"80_______3_____

」何匕〃一sin^BCD-sin（45°—a8。）

所以△BCD的面積為SABCO=^DC-BDsin^BDC=|xx5x=y.

(1)由△48。的面積及三角形的面積公式可得力。的值，再由余弦定理可得B。的值；

(2)由余弦定理可得cosN/WB的值，進(jìn)而可得sin4WB的值，再由4D〃BC,可得NCBD=NADB,由正弦

定理可得CD的表達(dá)式，進(jìn)而求出CD的大小，代入三角形的面積公式可得△BCD的面積的大小.

本題考查三角形面積公式的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案】Si=(R2-八2)兀，52=(R2_八2)兀；y="R3.

【解析】解：(1)當(dāng)平面0與a的距離為h(0<h<R)時(shí)，

其半徑勺=VR2—h2>

則S]=(R2_八2)兀,

右邊幾何體被平面S截得的截面為圓心相同的圓環(huán)，

易得大圓的半徑為R,因?yàn)閳A柱的高等于底面半徑，

所以小圓的半徑為C=%，

則52=(7?2-%2)兀；

22

(2)由⑴得當(dāng)平面S與a的距離為％(0<h<R)時(shí)，Sr=S2=(R-h)n,

即對(duì)于任意％6[0,即,都有工=S2,

由祖唯原理可得左邊半球的體積等于右邊幾何體體積，

12

即A球='圓柱一'圓錐=兀&-§兀&=^TlR3,

所以半徑為R的球體的體積公式為U='R3.

(1)求出截面圓的半徑二1，以及小圓的半徑萬，利用面積公式即可求解;

(2)根據(jù)祖唯原理可得左邊半球的體積等于右邊幾何體體積，即可求解.

本題考查幾何體體積與表面積的計(jì)算，屬于中檔題.

19.【答案】2/5+2AA2+2；

【解析】解:(1)因?yàn)閟iMB+siMC—siMa+=0,

由正弦定理得爐+c2—a2+y[2bc—0,即+o2—a?=-y/~2bc,

再由余弦定理可得：=-苧，