蘇教版高一寒假作業(yè)6：函數(shù)應(yīng)用

【基礎(chǔ)鞏固】

1.（2024?山東省?模擬題）函數(shù)f（x）=ln（x+1）-1的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,e）D.（3,4）

2.（2023?江蘇省揚(yáng)州市?單元測(cè)試）用二分法求方程的近似解，求得/（X）=X3+2X-9的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如

表所示:

X121.51.6251.751.8751.8125

于3-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793

則當(dāng)精確度為0.1時(shí)，方程三+2x-9=0的近似解可取為（）

A.1.6B.1.7C.1.8D.1.9

3.（2024?江西省新余市?期末考試）據(jù)有關(guān)研究，核污水中的放射性元素有21種半衰期在10年以上;有8種半

衰期在1萬(wàn)年以上.已知某種放射性元素在有機(jī)體體液內(nèi)濃度c（Bq/L）與時(shí)間t（年）近似滿足關(guān)系式c=k-

次心口為大于0的常數(shù)且a*1）.若c=細(xì)，"10;若c=白時(shí)，t=20.則據(jù)此估計(jì)，這種有機(jī)體體液內(nèi)該

o1Z

放射性元素濃度c為卷時(shí)，大約需要（）（參考數(shù)據(jù)：Iog23=1.58,log25=2.32）

A.120年B.73年C.53年D.43年

4.（2024?浙江省?期末考試）設(shè)二次函數(shù)f-區(qū)+a（a力eR）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)

g（無）=lnx+2x-b的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）

D.(2,3)

輸入該對(duì)的面帶厚度-輸出該對(duì)的面帶厚度

5.（2023?江蘇省無錫市?模擬題）定義：一對(duì)軋輻的減薄率=輸入該對(duì)的面帶厚度.如

圖所示，為一臺(tái)搟面機(jī)的示意圖，搟面機(jī)由若干對(duì)軋輻組成，面帶從一端輸入，經(jīng)過各對(duì)軋輯逐步減薄

后輸出.已知搟面機(jī)每對(duì)軋輻的減薄率都為0.2（軋面的過程中，面帶寬度不變，且不考慮損耗）.有一臺(tái)搟

面機(jī)共有10對(duì)軋輻，所有軋輻的橫截面積均為絲幽若第4對(duì)軋輻有缺陷，每滾動(dòng)一周在面帶上

71

壓出一個(gè)疵點(diǎn)，在搟面機(jī)輸出的面帶上，疵點(diǎn)的間距為I,貝女）

ooo

lokW

A.Lk=16OOxO.2^m/nB.Lk^\600x0.2mm

lOk10

C.Lk=1600xO.SmmD.Lk=1600x0.8^mm

6.（2024?河北省張家口市?月考試卷）己知函數(shù)f（x）=<°若%1，孫%3，%4是方程/（乃=t的

四個(gè)互不相等的解，則%1+冷+%3+%4的取值范圍是（）

A.[2,4）B.（2,4]C.g,4]D.g,4）

7.（2024?黑龍江省大慶市?期中考試）已知函數(shù)f（x）="°sG久）一L久2°（a>0,G豐1）,若函數(shù)圖象上關(guān)

{-loga（-x）,x<0

于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)恰有3對(duì)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

8.（多選題）（2024?湖北省十堰市?其他類型）某地野生薇甘菊的面積與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，假

設(shè)其關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，下列說法正確的是（）

川

A.此指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2；

B.在第5個(gè)月時(shí)，野生薇甘菊的面積就會(huì)超過307n2；

2

C.設(shè)野生薇甘菊蔓延到2nI2,3m,662所需的時(shí)間分別為口，t2,t3,則有tl+t2=t3；

D.野生薇甘菊在第1到第3個(gè)月之間蔓延的平均速度等于在第2到第4個(gè)月之間蔓延的平均速度.

9.（多選題）（2024?浙江省杭州市?期末考試）已知函數(shù)/⑺=士-ex（x>1）,g（x）=之一InxQ>1）的

零點(diǎn)分別為與，久2,則下列結(jié)論正確的是（）

11

A.Xi=lnx2B.—+—=1C.Xi+X2>4D.xrx2<e

10.（2023?江蘇省南京市?單元測(cè)試）函數(shù)/（X）=".+X-2的零點(diǎn)在區(qū)間（%,%+1）內(nèi)，則整數(shù)k的值為

（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）

11.（2024?湖南省?聯(lián)考題）探空氣球是將探空儀器帶到高空進(jìn)行溫度、大氣壓力、濕度、風(fēng)速、風(fēng)向等氣象

要素測(cè)量的氣球，利用探空儀將實(shí)時(shí)探測(cè)到的大氣垂直方向上的氣象數(shù)據(jù)反饋給地面雷達(dá)，通過數(shù)據(jù)處

理，成為全球預(yù)報(bào)員制作天氣預(yù)報(bào)的重要依據(jù).大氣壓強(qiáng)對(duì)氣球能達(dá)到的最大高度和停留時(shí)間有非常大的

影響.已知大氣壓強(qiáng)。（所）隨海拔高度即〃）的變化規(guī)律是〃=（左=0000126）,其中區(qū)是海平面

大氣壓強(qiáng).若探空氣球在A,B兩處測(cè)得的大氣壓強(qiáng)分別為巧，0，且P]=2p2,那么48兩處的海拔

高度的差約為相.（參考數(shù)據(jù)：In2“0.693）

12.（2024?四川省瀘州市?月考試卷）聲音通過空氣傳播時(shí)會(huì)引起區(qū)域性的壓強(qiáng)值改變，稱為“聲壓”，用尸

表示（單位：&（帕））：“聲壓級(jí)”S（單位：加（分貝））表示聲壓的相對(duì)大小，已知S=201g或『兩

個(gè)不同聲源的聲壓片，鳥，疊加后的總聲壓尸=后匚甲.現(xiàn)有兩個(gè)聲壓級(jí)為60四的聲源，疊加后的聲

壓級(jí)是g（參考數(shù)據(jù)：取1g2=0.3）.

13.（2024?廣東省清遠(yuǎn)市?期末考試）在無菌培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會(huì)較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)

菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會(huì)減慢.在一次實(shí)驗(yàn)中，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量V（單位：百萬(wàn)個(gè)

）與培養(yǎng)時(shí)間N單位：小時(shí)）的3組數(shù)據(jù)如下表所示.

X235

y3.54.55.5

（1）當(dāng)X..2時(shí)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)分別用模型y=log"（x+c）+6和y=m.yjx+n+k建立y關(guān)于x的函數(shù)解析

式.

（2）若用某函數(shù)模型根據(jù)培養(yǎng)時(shí)間來估計(jì)某類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量，則當(dāng)實(shí)際的細(xì)菌數(shù)量與用函數(shù)模型

得出的估計(jì)值之間的差的絕對(duì)值不超過0.5時(shí)，稱該函數(shù)模型為“理想函數(shù)模型”.已知當(dāng)培養(yǎng)時(shí)間為9

小時(shí)時(shí)，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量為6.2百萬(wàn)個(gè)，你認(rèn)為⑴中哪個(gè)函數(shù)模型為“理想函數(shù)模

型”？說明理由.（參考數(shù)據(jù)：后。7.6）

（3）請(qǐng)用（2）中的“理想函數(shù)模型”估計(jì)17小時(shí)后，該類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量.

【拓展提升】

14.（多選）（2024?湖南省?期中考試）已知函數(shù)=-2，（蒼；°）,則下列關(guān)于函數(shù)

[Inx,（x>0）

y=f[f（kx）+i]+i（k/o）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷正確的是（）

A.當(dāng)我>0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)左>0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)左<0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)左<0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)

15.（2024?浙江省?單元測(cè)試）如圖，某房地產(chǎn)開發(fā)公司要在矩形ABCD上規(guī)劃出一塊矩形地PQCR建造住宅

區(qū)，為了保護(hù)文物，住宅區(qū)不能超越文物保護(hù)區(qū)一A石戶的界限EE由實(shí)地測(cè)量知，A3=200機(jī)，

=160?n,AE=60m,AF=40m,則當(dāng)設(shè)計(jì)矩形住宅區(qū)的長(zhǎng)乃2=,才能使其面積最

大，最大面積是.

°rf------------f

______\v

4

16.（2024?浙江省杭州市?單元測(cè)試）已知函數(shù)/（x）=1-——（a>0,aw1）且/（0）=0.

2a+a

⑴求〃的值；

⑵若函數(shù)g（x）=（2,+1）"（X）+人有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)上的取值范圍；

⑶當(dāng)尤￡（0,1）時(shí)，/（%）〉”2*-2恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，屬于基礎(chǔ)題.

利用函數(shù)零點(diǎn)的判定定理求解.

【解答】

解：?.?函數(shù)=ln(x+1)一；在(1,+8)上單調(diào)遞增且連續(xù)的，

且/(I)<0,/(2)="3-1>0,

：?函數(shù)/'(%)=ln(x+1)一(的零點(diǎn)所在區(qū)間是(1,2),

故選8.

2.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用及二分法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

由二分法及函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可知.

【解答】

解:/。)=/+2X—9在定義域R上單調(diào)遞增，

由表格可得，函數(shù)/(勸=彳3+2尤—9的零點(diǎn)在(1.75,1.8125)之間；

結(jié)合選項(xiàng)可知，方程方程V+2x-9=0的近似解可取為(精確度為0.1)可以是1.8；

故選：C.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查利用指數(shù)函數(shù)模型解決實(shí)際問題，考查對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題.

k-a10

由題意可得已，求出a和k的值，繼而可得。=而，令?=擊，代入關(guān)系式，利用對(duì)數(shù)運(yùn)

算法則即可求出t的值.

【解答】

rw

-=k.a

解：由題意可得，,

1

a10

解得《2,則

k-L

k~3：：F

故c="x(J°

當(dāng)。=擊時(shí)，即告=H(曠

即G尸=4，兩邊取對(duì)數(shù)可得，

f-1

行=logi—=log40=log(23X5)=log23+log5?5.32,

1U54U2222

則t=53.2,

這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度c為卷時(shí)，大約需要53年.

故選C.

4.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，屬于一般題.

由二次函數(shù)的圖象確定出b的范圍，計(jì)算出g(g)和g(D的值的符號(hào)，從而確定零點(diǎn)所在的區(qū)間.

【解答】

解：結(jié)合二次函數(shù)/(x)=f一所+a的圖象知,

/(0)="€(0,1),/(1)=一+。=0,.-.b^a+l,..2w(l,2),

g(x)=Inx+2x-》在(0,+oo)上單調(diào)遞增且連續(xù)，

g(1)=ln|+l-Z7<0,g⑴=lnl+2—6=2—>>0,.?.函數(shù)g(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(：,1),

故選A.

5.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)模型的綜合應(yīng)用，是中檔題.

由題意即可得出答案.

【解答】

解：設(shè)軋輻的半徑為r,則療2=W22四，所以『=則，所以軋輻的周長(zhǎng)為2萬(wàn)廠=1600〃加，

7171

設(shè)輸入第一對(duì)面帶的厚度為例”加，寬度為因?yàn)榈谧髮?duì)軋輯出口處相鄰疵點(diǎn)間距離為軋輻周長(zhǎng),

所以在第左對(duì)出口處的兩疵點(diǎn)間面帶的體積為16004(1-0.2))(加加)，

而在搟面機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間面帶的體積為4以1-0.2)1°八加4),因?qū)挾认嗟?，且無損耗，由體積相等

得,

1600以1-0.2))=4尸(1一0.2/7,所以。=1600x0.8i°mm.

故選D

6.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)零點(diǎn)、方程的根的個(gè)數(shù)，屬于難題.

根據(jù)函數(shù)圖象可得|/。92(—%)1=h*2—6%+2=t(x20)各有兩解，從而可用t表示四根之和，結(jié)合t的

范圍可求久1+X2+X3+%4的取值范圍.

【解答】

解：函數(shù)/'(>)的圖象如圖所示：

設(shè)X[<*2<%3<尤4，

結(jié)合圖象可得：%i<-1<%2<0,且￡+%4=6,0<t<2,

而1,。。2（—"1）1="。。2（—”2）1=t,故刀2=—2",X]——2‘，

故X1+與+久3+久4=6—卜'+/），0<tW2,

設(shè)s=2t6（1,4],而丫=s+工在（1,4]上為增函數(shù)，2<S+」W￥，

SS4

故4WX1+*2+*3+久4<4.

故選：D.

7.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查己知分段函數(shù)求參或自變量，函數(shù)零點(diǎn)、方程的根的個(gè)數(shù)，函數(shù)的對(duì)稱性，屬于中檔題.

根據(jù)題意，由x>0時(shí)，函數(shù)g(x)=log。％的圖象與函數(shù)/(久)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，轉(zhuǎn)化為/(久)=

cosgx)—l,xN0與g(久)=/9底(久>。)的圖象至少有3個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象，列出不等式組，即

可求解.

【解答】

解：當(dāng)》<0時(shí)，函數(shù)f(x)=TogJ-x)，

則久>0時(shí)，函數(shù)g(x)=ZogM的圖象與函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

又因?yàn)橛?gt;0時(shí)，f(x)=cos(^x)-1,

畫出fO)=cos(^x)-l,x>0與g(久)=logax(x>0)的圖象，如圖所示，

要使得f(x)=cos(^x)-l,x>。與gQr)=logax(x>0)的圖象至少有3個(gè)交點(diǎn)，

則滿足0<a<11/(6)<g(6),f(10)>g(10),

0<a<10<a<1V-6V-6

-2_=<^<—

gp-2<loga6,可得a>6,解得o6

2

-2>loga10a-<10/V30、/TO

所以誓<a<1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(誓,坐).

1Uo1Uo

8.【答案】ABC

【解析】【分析】

本題考查指數(shù)函數(shù)模型、對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于中檔題.

根據(jù)圖象可得該指數(shù)函數(shù)的解析式為/O)=2%可判定AB正確;根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算，可判

斷CD.

【解答】

解：???其關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，圖象過點(diǎn)(1,2),

???根據(jù)圖象可得該指數(shù)函數(shù)的解析式為/(?=2方，指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2,故A正確；

當(dāng)t=5時(shí)，S=32>30,故B正確；

**,I1=1,《2=log2?，=lo§29***故C正確;

根據(jù)圖象的變化快慢不同知。不正確，

綜上可知A8C正確.

故選ABC.

9.【答案】ABC

【解析】【分析】

本題考查了函數(shù)零點(diǎn)、方程根的分布，屬于中檔題.

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的對(duì)稱性逐一判定即可.

【解答】

解：如圖，因?yàn)楹瘮?shù)y=士（久>1）的圖象關(guān)于直線y=久對(duì)稱，

y=e*與y=Inx的圖象也關(guān)于直線y=久對(duì)稱，

設(shè)y=喜。>1）的圖象與y=蠟圖象的交點(diǎn)為4（X1，/1）,

y-^-（x>1）的圖象與y=Inx圖象的交點(diǎn)為BQ2，lnx2），

則點(diǎn)4（%1，靖1）與點(diǎn)B（%21n%2）也關(guān)于直線y=%對(duì)稱，

X1

對(duì)于%i=ln%2，x2=e,故A正確；

對(duì)于8,因?yàn)槿痪浮?0,所以3r=到，

x1—lx1—l4

11

則%1+%2=%1%2，即^--F—=1,B正確；

對(duì)于C,若=%2>1，則由%1%2=X2+久1可得就=2X1，則％1=%2=2,

這與=也即/=2矛盾，所以％1。第2，

%1+%2=（x1+x2）^+^）=2+g+^>2+2jg^|=4,

當(dāng)且僅當(dāng)/=&時(shí)等號(hào)成立，

又%]±%2,則等號(hào)取不到，。正確；

對(duì)于。，易知久1>1,所以%2=C&>U，所以由不等式的基本性質(zhì)可得第1%2>C，。錯(cuò)誤.

故選ABC.

10.【答案】0

【解析】【分析】

本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于基礎(chǔ)題.

求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)的判定定理求出左的值即可.

【解答】

解：因?yàn)閒(x)=G+x-2,則/(x)=e*+l,又/>0,故/'(x)>0在R上恒成立.

則/(無)在R上單調(diào)遞增，而/(O)=—1<。，/(l)=e-l>0,故函數(shù)/(無)的零點(diǎn)在(0,1)內(nèi)，故左=0.

故答案為0.

11.【答案】5500

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)模型，數(shù)學(xué)建模能力以及運(yùn)算估算能力，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

khkh2

解：依題意，■=2,px=pQe^',p2=pQe~,二；=；；-柩=2,

兩邊取對(duì)數(shù)得左(九—％)=In2,4—九=三aUM=5500/n

'k0.000126

12.【答案】63

【解析】【分析】

本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)模型解決實(shí)際問題.

pP

將S=60代入S=201g丁鬲萬(wàn),求出P,從而求出疊加后的總聲壓，再代入s=201g西濟(jì)中即可得解.

ZX1u

【解答】

Ppp

解：將S=6°代入S=2°lgb,得35=3,所以寸=1",

解得P=2x10-2,即q=鳥=2義10-2,所以疊加后的總聲壓為尸=+婷=9=2應(yīng)x10-2,

代入S=201gAM中，得S=201g2,：音=201g(后X103)=60+101g2?63dB.

即疊加后的聲壓級(jí)是63dB.

loga(2+c)+b=3.5,

13.【答案】解：⑴若選用」=log0(%+c)+〃,則依題意得log/3+c)+b=4.5,

loga(5+c)+b=5.5,

解得a=2,c=—1fb=3.5,所以y=log2(%—l)+3.5(x..2),

m72+n+k=3.5,

若選用y=my/x+n+k，則依題意得＜m<3+n+k=4.5,

mq5+n+k=5.5,

—15,左=3,所以y=血小工—￡+3Q..2).

解得m=，n=-

8

(2)對(duì)于y=log2(%—l)+3.5("2),當(dāng)％=9時(shí)，y=65

對(duì)于y=0Jx-+3,當(dāng)無=9時(shí)，y=^^-+3.

因?yàn)閨嚀+3-6.2付0.6>0,5,16.5-6.21=0.3<0.5,

所以y=log2。-D+3.5Q..2）為“理想函數(shù)模型”.

⑶因?yàn)楫?dāng)x=17時(shí)，y=log?16+3.5=7.5,所以17小時(shí)后，該類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量為7.5百萬(wàn)個(gè).

【解析】本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

⑴結(jié)合所給的模型，利用待定系數(shù)法，即可得解；

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，計(jì)算分析即可得解；

（3）當(dāng)x=17時(shí)，y=log216+3.5=75

14.【答案】AC

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)零點(diǎn)、方程的根的個(gè)數(shù)，考查分類討論思想，屬于中檔題.

先求得/Q）+i=o的根，可得/（五）+1=。或/■（依）+i=L即八⑺=-i或再分類討論即

ee

可.

【解答】

解：令+由“令/尤,（；＞。），則由%）+』0,

f/,,0[r>0i

可得，c1八或I,1八，解之得1=0或/=—；

[e—2+1=0[In/+1=0e

則由/U■（爪）+1]+1=。，可得/（而）+1=0或/■（加+廣士

e

即/儂）=-1或/（丘）」一1;

e

p,fb;,0設(shè)〉0

則①隼01或②]或③h01I或④"、11；

[e-2=-l[ln（Ax）=-1e-2^--iIn（fcr）=--l

.eIe

1Il-i

由①得x=0,由②得x=二，由③得尤無解，由④得x=^e，；

kek

綜上，當(dāng)左>0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)A判斷正確，選項(xiàng)8判斷錯(cuò)誤；

當(dāng)左<0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)C判斷正確，選項(xiàng)。判斷錯(cuò)誤.

故選AC

79900

15.【答案】190m；當(dāng)“病

【解析】【分析】

本次考查利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，二次函數(shù)的最值，屬于中檔題.

設(shè)兒。=尤（啖/60）,則QR=x,RC=200-x,根據(jù)三角形相似可得根,表示出矩形住宅區(qū)的

面積，利用二次函數(shù)求最值即可.

【解答】

設(shè)。P,HP分別交A。，A8于M,N點(diǎn)，設(shè)MP=x(0i!k60),則QZ?=x,RC=200—x,

FMMP,口E.22

FMP?FAE,「.——=~―FM=—x,/.M4=40——x,

FAAE33

(2i240

S^PQCR=(200-x)160-[40--XI=--^2+yx+24000

777?0A77700

=-；（》-10）2+號(hào)2（O>60）