淺析柯西中值定理及其應(yīng)用摘要 柯西中值定理及其應(yīng)用摘要：本文首先給出柯西中值定理，并運(yùn)用輔助函數(shù)構(gòu)造法、有限覆蓋定理和同增量性三種方法對柯西中值定理進(jìn)行證明；其次探究了柯西中值定理在證明等式、不等式、函數(shù)有界性及單調(diào)性、界值存在性問題和求函數(shù)極限六方面的應(yīng)用；最后，介紹了存在有限個間斷點(diǎn)函數(shù)的柯西中值定理及柯西中值定理的高階推廣形式.關(guān)鍵詞：柯西中值定理;輔助函數(shù);間斷點(diǎn)漸;漸進(jìn)性CauchyMeanValueTheoremandItsApplicationsAbstract:Inthispaper,Cauchy'smeanvaluetheoremisfirstgiven,andthentheCauchy'smeanvaluetheoremisprovedbythreemethods:auxiliaryfunctionconstru-ctionmethod,finitecovertheoremandthesameincrement;Secondly,itexplorestheapplicationofCauchymeanvaluetheoreminprovingequality,inequality,functionboundednessandmonotonicity,existenceofboundaryvalueandfunctionlimit;Finally,Cauchymeanvaluetheoremwithfinitenumberofdiscontinuitiesanditshigherordergeneralizationareintroduced.KeyWords:Cauchymeanvaluetheorem;Auxiliaryfunction;Breakpoint;Gradualness引言微分中值定理主要描述了原函數(shù)在定義域上的整體性態(tài)，鑿?fù)撕瘮?shù)及其導(dǎo)函數(shù)之間的隧道，為導(dǎo)數(shù)的深入研究奠定了基礎(chǔ).早在古希臘時期，就已經(jīng)開始了對微分中值定理的討論.柯西作為最先系統(tǒng)地重構(gòu)微積分理論的學(xué)者，極大地推動了微分中值定理的完善.近年來，證明柯西中值定理的渠道不斷拓寬.同時，探索定理在各個方面的應(yīng)用也更加有意義．關(guān)于柯西中值定理的證明，不少學(xué)者對其有過研究.宋鐵莎運(yùn)用連續(xù)函數(shù)的介值定理、單調(diào)有界定理給出了柯西中值定理的一種證明[12].張玉忠借助連續(xù)函數(shù)性質(zhì)、閉區(qū)間套定理給出了定理的另一證法[13].黃德麗更是運(yùn)用5種不同的方法對定理進(jìn)行了證明[14].近年來，柯西中值定理的證明思路不斷拓寬．文獻(xiàn)[2]-[4]分別介紹了從構(gòu)造輔助函數(shù)、有限覆蓋定理和同增量性定理出發(fā)，多角度證明定理的方法.文獻(xiàn)[5]對定理中的漸進(jìn)性進(jìn)行了初步分析.文獻(xiàn)[6]-[9]整理了定理在證明等式、函數(shù)極限等六方面的應(yīng)用，鞏固了定理的理解.除此之外，文獻(xiàn)[10]-[13]介紹了存在有限個間斷點(diǎn)函數(shù)的柯西中值定理以及柯西中值定理的高階形式.本文一開始介紹了構(gòu)造輔助函數(shù)的新方法，并套用此方法來證明柯西中值定理.緊接著從有限覆蓋定理和同增量性定理入手證明了柯西中值定理.在理解的基礎(chǔ)上給出了定理在證明等式、不等式、函數(shù)單調(diào)性等六方面的具體應(yīng)用，層層相扣，形成知識網(wǎng)絡(luò).最后介紹了具有有限個間斷點(diǎn)函數(shù)的柯西中值定理以及柯西中值定理的高階形式，并給出了簡單的應(yīng)用.

柯西中值定理及其證明1.1柯西中值定理定理1(柯西中值定理)設(shè)函數(shù)和滿足：(i)在閉區(qū)間上連續(xù)；(ii)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(iii)和不同時為零；(iv)；則存在,使得[1].微分中值定理主要包含了羅爾定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理.令柯西中值定理中的,顯然在連續(xù)，在可導(dǎo),符合柯西中值定理?xiàng)l件.結(jié)論化簡為,即拉格朗日中值定理.下面給出拉格朗日中值定理：定理2(拉格朗日中值定理)若函數(shù)滿足如下條件：(i)在閉區(qū)間上連續(xù)；(ii)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在上至少存在一點(diǎn)，使得[1].當(dāng)條件中時，是拉格朗日中值定理的特殊情形，即羅爾定理.下面給出羅爾定理：定理3(羅爾定理)若函數(shù)滿足如下條件：(i)在閉區(qū)間上連續(xù)；(ii)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(iii)；則在上至少存在一點(diǎn)，使得[1].所以，柯西中值定理是拉格朗日中值定理和羅爾定理的統(tǒng)一形式.2.2柯西中值定理的證明2.2.1借助輔助函數(shù)法證明轉(zhuǎn)化思想作為最基本的一種數(shù)學(xué)思想，貫通于對數(shù)學(xué)問題的探索和研究中.把難以解答的問題進(jìn)行一次或多次轉(zhuǎn)換，巧妙地變成相對一般的問題更有利于問題解決.這部分內(nèi)容抓住微分中值定理的內(nèi)涵，從根本上進(jìn)行研究，提出了輔助函數(shù)的構(gòu)造過程，補(bǔ)充了教材中在證明定理時直接給出輔助函數(shù)的空白，使得輔助函數(shù)的構(gòu)造過程有跡可循.構(gòu)造輔助函數(shù)的步驟如下：(i)將要證明的等式變形、移項(xiàng)、化簡，使得等式左端構(gòu)成的函數(shù)，右端為0；(ii)把化簡好的等式中的用替代.然后將左端化為某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，或是通過某種恒等變換化成某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；(iii)令此函數(shù)為，驗(yàn)證滿足羅爾中值定理的條件后，套用羅爾中值定理的結(jié)論即可.下面給出利用輔助函數(shù)構(gòu)造法證明柯西中值定理的具體步驟：證將定理中的結(jié)論變形，得.移項(xiàng)，得.將替換為，并找到等號左邊函數(shù)的一個原函數(shù)，即得輔助函數(shù).由題意得，在連續(xù)，在可導(dǎo).因此在連續(xù)，在可導(dǎo).又因?yàn)?，，即，由羅爾定理可知，，使得，即，移項(xiàng)、變形即證得.定理得證.2.2.2利用有限覆蓋定理證明首先給出有限覆蓋定理和達(dá)布定理：定理4(有限覆蓋定理)[1]若開區(qū)間所成的區(qū)間集覆蓋一個閉區(qū)間，則總可以從中選出有限個開區(qū)間，使這個有限開區(qū)間覆蓋.定理5(達(dá)布定理)[1]設(shè)在可導(dǎo)，，且.則滿足：，都使得.下面給出利用定理證明柯西中值定理的具體方法：證由定理中的條件可知，對，.令，又因?yàn)榕c在連續(xù)，在可導(dǎo)，所以在連續(xù)，在可導(dǎo).令，顯然.下面利用反證法證明，使得.若，使得，則以下三種情況其一成立：(1)；(2)；(3)存在，有或.由定理得：若情況(3)成立，則，使得，出現(xiàn)矛盾.推出情況(3)不成立.不妨設(shè)情況(1)成立，即，在內(nèi)任取兩點(diǎn)、，使得.令是任意小的正數(shù)，假設(shè)，對任意的，，當(dāng)時.顯然開區(qū)間族覆蓋，其中.由定理可知，存在有限個開區(qū)間，，，覆蓋區(qū)間，其中，在區(qū)間中任取，有；；；；；.故；；；；.從而；；；；.等式左右兩端相加，得.因?yàn)樵邳c(diǎn)連續(xù)，所以，同理可得,，故.出現(xiàn)矛盾，所以情況(1)不成立.同理可證，不成立.綜上，，使得=0.代入，得，移項(xiàng)、變形即得.定理得證.2.2.3利用同增量性證明引理1對于在同一個閉區(qū)間上連續(xù)，并且在區(qū)間內(nèi)部任意點(diǎn)可導(dǎo)的兩個函數(shù).若在這一個區(qū)間上具有相同的增量，則在這區(qū)間內(nèi)至少存在一個點(diǎn)，使得這兩個函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值相等[4].首先對引理進(jìn)行證明：證因?yàn)榕c在連續(xù)，在可導(dǎo)，并且.則在連續(xù)，在可導(dǎo)，且，即.所以滿足羅爾定理.則，使得.即同在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值相等.引理得證.下面利用引理證明柯西中值定理：證在柯西中值定理中，與在連續(xù)，在可導(dǎo)，且在任意點(diǎn)都不為0.則與在連續(xù)，在可導(dǎo)，并且具有相同的增量.由引理可知，在至少存在一個點(diǎn)，使.由定理知，,.因?yàn)?，，所?因此.定理得證.2.3對柯西中值定理中漸進(jìn)性的初步分析定理6設(shè)柯西中值定理中的函數(shù),滿足[5]：(i)在閉區(qū)間上分別具有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，其中均是自然數(shù)，且；(ii)；(iii)在區(qū)間上連續(xù)，且,則柯西中值定理中的滿足：.證根據(jù)條件(i)(ii)以及泰勒公式得：.(1)其中,.同時，我們有.(2)對(1)求導(dǎo)可得：,.(3)同理,(4).(5)其中.由條件(i)以及無窮小量的性質(zhì)，有.同時乘以,即有.將-式代入，并在等式兩邊同時取極限，可得.故，由條件(iii)存在使得.從而.結(jié)論得證.結(jié)論通過對定理中漸近性的分析，得出了在內(nèi)的數(shù)目和漸近位置，使得近似計(jì)算更便捷﹒柯西中值定理的應(yīng)用2.1證明等式例1設(shè)在上二次可微，滿足柯西中值定理.證明：，，在與之間，使得.(6)成立.證當(dāng)時，代入，等式右邊.等式右邊.顯然等式成立.當(dāng)時，將(6)式移項(xiàng)、變形得.令,,則，.顯然，.所以.第一次應(yīng)用定理，，使得.第二次應(yīng)用定理，，使得=.又因?yàn)?，，所?.即 .等式得證.同理可證當(dāng)時，等式成立.綜上所述，等式成立.2.2證明不等式例2設(shè)，證明：.證令，.顯然和滿足柯西中值定理?xiàng)l件，所以，使得，即，其中，即.2.3證明函數(shù)有界性例3設(shè)在連續(xù)且可導(dǎo)，函數(shù)在上有界.證明函數(shù)在有界.證設(shè)，其中.首先對函數(shù)，套用柯西中值定理，使得.至此，證得函數(shù)，是有界的.接著證明函數(shù)，有界.,由此，證得函數(shù)，有界.2.4證明函數(shù)單調(diào)性例4已知函數(shù)滿足，在上單調(diào)遞增.證明在上單調(diào)遞增.證因?yàn)?，所?由柯西中值定理可知，，使得.又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以,因此，即.所以.故在上單調(diào)遞增.此題得證.2.5證明界值存在性問題例5設(shè)函數(shù)在連續(xù)，在可導(dǎo).證明:,使得.證由題意知在連續(xù)，在可導(dǎo)，由定理可知，,使得.構(gòu)造輔助函數(shù),顯然在連續(xù)，在可導(dǎo)，由柯西中值定理，,使.即.所以.此題得證.2.6求函數(shù)極限例6求.解令，，顯然和在滿足柯西中值定理.因此，使得，.當(dāng)時，有，因此.存在有限個間斷點(diǎn)函數(shù)的柯西中值定理3.1存在有限個間斷點(diǎn)函數(shù)的柯西中值定理定理7設(shè)函數(shù)和在均可導(dǎo)，和均為和的第一類間斷點(diǎn)，且和不同時為，，則，使得.其中，，，，[10].證構(gòu)造輔助函數(shù),.由題意可知，和在連續(xù)，在可導(dǎo)，且和不同時為，.所以，使.(7)任意，有和，故有.(8)將(8)式代入(7)式，可得.因此,至少存在一點(diǎn)使得.定理得證.3.2存在有限個間斷點(diǎn)函數(shù)的柯西中值定理的應(yīng)用例7證明函數(shù)，其中，在至少存在一點(diǎn)，使得[12].證在,兩個點(diǎn)上沒有定義,但是存在單側(cè)極限,所以點(diǎn)和點(diǎn)是的第一類間斷點(diǎn),而且在內(nèi)可導(dǎo).令，.因?yàn)?，所以點(diǎn)和點(diǎn)是的第一類間斷點(diǎn),而且在可導(dǎo).，，由定理可知，使得,（9）其中，，，代入(9)式，即得.此題得證.柯西中值定理的高階推廣柯西中值定理的高階形式定理8設(shè)函數(shù)和滿足下列條件：(i)在閉區(qū)間連續(xù)；(ii)在開區(qū)間都階可導(dǎo)；(iii)對，都有，則存在,使得.(10)證當(dāng)時，式(10)就是柯西中值定理，結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)時，式(10)成立，即.(11)當(dāng)時，令，.則，且：.(12)顯然和在區(qū)間上滿足柯西中值定理，于是，使得：.(13)注意到：，得到：.(14)同理可得：.(15)將式()和式()代入式()，可得：.(16)令，，則：.(17)將式()代入到式()，并記，，可得：.(18)現(xiàn)在對，在區(qū)間上應(yīng)用階的柯西中值定理公式式(11)，得，使得：.(19)最后，將式(12)、(18)、(19)聯(lián)立，得.因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知，式(10)對一切自然數(shù)都成立，定理得證.柯西中值定理高階形式的應(yīng)用例8證明.證由柯西中值定理的高階形式可知，當(dāng)時，.分母中.它是函數(shù)的步長為的階差分.由差分的積分形式：.得知的步長為的階差分是：.于是得到.(20)將式代入定理，注意到，得到.設(shè)，,則在上對自然數(shù)有，且，使得.于是有.(21)把，代入式(21)得：，即.此題得證.

結(jié)束語本文給出柯西中值定理的三種證明后，緊接著探索定理在證明函數(shù)單調(diào)性、界值存在性問題、求數(shù)列極限等六個方面的應(yīng)用.文中列舉的例題大多存在不唯一的解法，但柯西中值定理無疑幫我們提供了一條更方便、快捷的途徑.然后利用輔助函數(shù)構(gòu)造法證明了存在有限個間斷點(diǎn)函數(shù)的柯西中值定理，并舉例了定理在證明等式中的應(yīng)用.最后，將柯西中值定理推廣到了高階形式，隨后借助柯西中值定理的高階形式證明了不等式.在具體情境中，我們要善于發(fā)現(xiàn)柯西中值定理的“前身”.比如在求函數(shù)極限的題目中，本文給出的例題若是借助常用的洛必達(dá)法則會顯得復(fù)雜難解.因此要在合適的時候選用柯西中值定理，以達(dá)到事半功倍的效果.當(dāng)然，文中列舉的柯西中值定理的應(yīng)用只是冰山一角，仍然還有許多其他方面的應(yīng)用等著我們?nèi)ヌ剿?

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