第1頁/共1頁2024北京重點校高一（下）期末數(shù)學匯編平面向量的運算一、單選題1．（2024北京懷柔高一下期末）設(shè)非零向量，則“”是“或”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．即不充分也不必要條件2．（2024北京石景山高一下期末）八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，則下列命題：①；②；③在上的投影向量為；④若點為正八邊形邊上的一個動點，則的最大值為4．其中正確的命題個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2024北京順義高一下期末）已知，且．點是所在平面內(nèi)的動點，滿足．則的最小值為（

）A．2 B． C．1 D．4．（2024北京西城高一下期末）平面向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，則（

）A． B．0 C．1 D．25．（2024北京海淀高一下期末）已知是非零向量，則“”是“對于任意的，都有成立”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2024北京東城高一下期末）設(shè)，為非零向量，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．7．（2024北京第八中學高一下期末）若單位向量，，滿足，，則（

）A．0 B． C．0或 D．0或二、填空題8．（2024北京延慶高一下期末）已知長方形中，，點為上的動點，則；的取值范圍是.9．（2024北京海淀高一下期末）在中，，P滿足，則．10．（2024北京昌平高一下期末）已知菱形的邊長為，，，則.11．（2024北京西城高一下期末）在中，，則，．三、解答題12．（2024北京順義高一下期末）已知，是兩個單位向量，其夾角為，，．(1)求，；(2)求與的夾角．13．（2024北京海淀高一下期末）已知．(1)求；(2)若，求的最小值．

參考答案1．B【分析】結(jié)合向量的運算，根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷【詳解】因為所以，又不能推出或；但若“或”，則一定有，所以“”是“或”的必要不充分條件，故選：B.2．C【分析】正八邊形中，每個邊所對的角都是，中心到各頂點的距離為2，然后再由數(shù)量積的運算判斷①②,由投影向量和投影數(shù)量判斷③④得答案．【詳解】由題意可知，正八邊形每個邊所對的角都是，中心到各頂點的距離為2，對于①，，故①錯誤；對于②，，則以，為鄰邊的對角線長是的倍，可得，故②正確；對于③，在上的投影向量為，故③正確；對于④，設(shè)的夾角為，則，其中表示在上的投影數(shù)量，易知,延長DC交AB延長線于Q,當P在線段DC上運動，投影數(shù)量最大，易知為等腰直角三角形，且,則在中，,在等腰三角形中，則.故④正確.則正確的個數(shù)共有3個.故選：C．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題問題④的關(guān)鍵是利用數(shù)量積的幾何意義確定在上的投影的最大值.3．A【分析】由可得，再利用向量的線性運算及向量的三角不等式求出最小值.【詳解】在中，由，得，因此，當且僅當與同向，且時取等號，所以的最小值為2.故選：A4．C【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義即可求解.【詳解】由圖可知：在方向上的投影為，故，故選：C5．C【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及數(shù)量積的運算律判斷即可.【詳解】因為是非零向量，若，則，所以，所以對于任意的，都有成立，故充分性成立；若對于任意的，都有成立，則，即，所以，所以，所以，故必要性成立；所以“”是“對于任意的，都有成立”的充要條件.故選：C6．C【分析】根據(jù)線性運算判斷AB；根據(jù)數(shù)量積的運算律判斷CD.【詳解】當時，，故A錯；當與反向共線時，且時，，故B錯；，故C正確；，，故D錯.故選：C.7．D【分析】由題意，根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義求得，進而或，結(jié)合數(shù)量積的定義計算即可求解.【詳解】由題意知，，得，又，所以，則或，故或.故選：D8．4?1,0【分析】利用向量的線性運算，再利用向量的數(shù)量積運算即可求出結(jié)果.【詳解】①由已知長方形，，可得，②因為點為上的動點，可設(shè)，，則，所以，因為，所以，故的取值范圍是?1,0.故答案為：①；②?1,0.9．0【分析】根據(jù)已知及數(shù)量積運算律，即可求解.【詳解】由題意可知，.故答案為：10．【分析】利用向量的線性運算得到，，再利用數(shù)量積的定義及運算，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，又，所以，又菱形的邊長為，，所以，故答案為：.11．12【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義求解即可；（2）利用向量的減法運算化簡，再由數(shù)量積的運算法則求模即可.【詳解】由已知可得，.故答案為：12；12．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的定義、數(shù)量積的運算律求解即可.（2）利用向量的運算律求出，再利用夾角公式計算即得.【詳解】（1）單位向量，的夾角為，則，所以，.（2）由（1）知，，因此，而，所以與