希望杯第一屆（1990年）初中二年級(jí)第一試試題

一、選擇題：(每題1分，共io分)

1.一個(gè)角等于它的余角的5倍,那么這個(gè)角是()

A.45°.B.75°.C.55°.D.65°

2.2的平方的平方根是()

A.2.B.2.C.±2.D.4

3.當(dāng)x=l時(shí)，aox10-aix9+aox8-aix1xb+aix'^-aox^+aix3-a?x2+a)xK()

A.0B.a?.C.D.ao-ai

4.AABC,若AB="，BC=1+J],CA=J7,則下列式子成立的是()

A.ZA>ZC>ZB;B.ZC>ZB>ZA;C.ZB>ZA>ZC;I).ZC>ZA>ZB

5.平面上有4條直線，它們的交點(diǎn)最多有()

A.4個(gè)B.5個(gè).C.6個(gè).D.7

6.5a-7的立方根是[]

(A)V2-1.(B)1-V2.(C)±(V2-1).(D)V2+1.

7.把二次根式”.JII化為最簡(jiǎn)二次根式是[]

(A)4a.(B)-4a.(C)-4~~a.(D)4--a

8.如圖1在△ABC中,AB=DC=CA,且AD=BE=CF,但D,E,F不是AB,BC,CA的中點(diǎn).又

AE,BF,CD分別交于M,N,P,如果把找出的三個(gè)全等三角形叫做一組全等三角形,

那么從圖中能找出全等三角形（）

A.2組B.3組.C.4組D.5組.

9.已知/+27+2）」1〉,），2-1-----+匕1等于一個(gè)固定的值,

x~-12）廣+孫+y+x—1x-\

則這個(gè)值是（）

A.0.B.1.C.2.【).4.

10.己知工

1--

X2個(gè)9——

1一一

X

把fmo化簡(jiǎn)后，等于（)

C.1.

A.'.B.l-x.D.x.

x1X

二、填空題（每題I分，共10分）

4.如圖2,NA=60“，N1=N2,則NABC的度數(shù)是—

5.如圖3,0是直線AB上一點(diǎn)，/AOD=117c,/BOC=123八，則/COD的度數(shù)是__度.

6.△ABC中，NC=9C°，/A的平分線與NB的平分線交于（）點(diǎn)，則/AOB的度數(shù)是

度.

7.計(jì)算下面的圖形的面積（長(zhǎng)度單位都是厘米）（見(jiàn)圖4）.答：.

8.方程x、px+q=0,當(dāng)p>0,qV0時(shí),它的正根的個(gè)數(shù)是___個(gè).

9.x,y,z適合方程組

Sx-2y+z_6x+zx+y

~532

x+y+zx-1y+1

-1=--------

3----5---------3

3x+4y=5z-1

則1989x-y+25z二.

10.已知3x、4x-7=0,則6x'+l1X3-7X、3X-7=

答案與提示

一、選擇題

題號(hào)12345678910

答案BCABCACDBA

提?。?/p>

1.因?yàn)樗蠼莂=5(90°-a),解得a=75°.故選(B).

2.因?yàn)?的平方是4,4的平方根有2個(gè)，就是±2.故選(C).

3.以x=l代入，^a<iai+a<?ai-ai+a)-ao+ai-ao+ai=2ao-3ai+3ai-2a<)=0.故選(A).

4.AB=8C=1+應(yīng)<25而2.5<J7<3,根據(jù)大邊對(duì)大角，有NC>NB>N

A.

5.如圖5,數(shù)一數(shù)即得.

6.因?yàn)?0-7>0,這就排除了(⑼和(C).

又因原式中有一個(gè)負(fù)號(hào).所以也不可能是(D),只能選(A).

=-J(-a)2—=-Apa.

7.Va<0,*aV-a故選(C).

8.有△ABE,△ABM,ZSADP,Z\ABF,ZXAMF等五種類(lèi)型.選(D).

9.題目說(shuō)是一個(gè)固定的值，就是說(shuō)：不論x,y取何值，原式的值不變.于是以

x=y=0代入，得：

匚?21+匚=1

-1-1-1'故選(B).

X1x

10.計(jì)算/1=—7Ji=1-x/==—77,…

XIXXI

可見(jiàn)/>+】=」7，而1990=3x663+1.

故選(A).

二、填空題

題號(hào)12345678910

答案11224012030135,135119900

■

提示:

1.71302-662-7(130-66)(130+66)

=-764x196=8x14-112

2.原式■[11-0.14膽J

=0.96x25=24

3.原式=2我-7/+50=0

4.ZADC=Z2+ZADB=Z1+ZADB=180°—ZA=120°

所以NADC的度數(shù)是120度.

5.NCOD度數(shù)的一半是30度.

因?yàn)樯螻COD=1230+117°-180°

2

ZA+ZB

6.ZAOB=180°

7.所求面積=12x3+6x9+^-x9=135(cm2)

8.VA=p-4q>p\

??.-p±必表示一個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù).

9.方程組可化簡(jiǎn)為：

3x+3y=4z,

,8x+5z=8,

3x+4y=5z-1.

解得：x=1,y=-1,7=0.

A1989x-y+25z=1990.

10.V6x4+11X-7X2-3X-7=(3X2+4X-7)(2X2+X+1)M3x2+4x-7=0.

希望杯第一屆（1990）第二試試題

一、選擇題：（每題1分，共5分）

1.等腰三角形周長(zhǎng)是24cm,一腰中線將周長(zhǎng)分成5:3的兩部分,那么這個(gè)三角形的

底邊長(zhǎng)是[]A.7.5B.12.C.4.D.12或4

2.已知P=Jl988x1989x1990x1991+1+（一|989）2,那么P的值是[]

A.1987B.1988.C.1989D.1990

3.a>b>c,x>y>z,M=ax+by+cz,N=az+by+cx,P=ay+bz+cx,Q=az+bx+cy,則[

A.M>P>NfiM>Q>N.B.N>P>MKN>Q>M

C.P>M>Q且P>N>Q.D.Q>M>P且Q>N>P

4.凸四邊形ABCD中,ZDAB=ZBCD=90°,ZCDA：ZABC=2：1,AD：CB=1：百，則NBDA=[]

A.30°B.45°.C.60°.I）.不能確定

5.把一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形分割成面積相等的四部分，使得在其中的一部分內(nèi)存

在三個(gè)點(diǎn)，以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可以組成一個(gè)邊長(zhǎng)大于1的正三角形,滿足上述性

質(zhì)的分割[]

A.是不存在的.B.恰有一種.C.有有限多種,但不只是一種.D.有無(wú)窮多

種

二、填空題：（每題1分，共5分）

1.AABC中，NCAB/B=90°,NC的平分線與AB交于L,NC的外角平分線與BA的

延長(zhǎng)線交于N.已知CL=3,則CN二.

2.若右二T+（"—2/=0,那么

111

---1--------------F........................的值是.

ab（4+l）S+l）（。+1990）（6+1990）

3.已知a,b,c滿足a+b+c=0,abc=8,則c的取值范圍是.

4.AABC中，NB=30,,AB=后，BC二百，三個(gè)兩兩互相外切的圓全在AABC中，這三

個(gè)圓面積之和的最大值的整數(shù)部分是.

abcabacbeabc

5.設(shè)a,b,c是非零整數(shù),那么時(shí)同+悶+悶+網(wǎng)的值等于

三、解答題：（每題5分，共15分）

1.從自然數(shù)1,2,3…,354中任取178個(gè)數(shù)，試證：其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差是

177.

2.平面上有兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形ABCD和A'B'C'D',且正方形A'B'C'D'

的頂點(diǎn)卜在正方形ABCD的中心.當(dāng)正方形A'B'C'D'繞A，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)正

方形的重合部分的面積必然是一個(gè)定值.這個(gè)結(jié)論對(duì)嗎？證明你的判斷.

3.用1,9,9,0四個(gè)數(shù)嗎絹成的所有可能的四位數(shù)中，每一個(gè)這樣的四位數(shù)與自然

數(shù)n之和被7除余數(shù)都不為1,將所有滿足上述條件的自然數(shù)n由小到大排成一列

ni<n2<n3<n4...,

試求：ni?n2之值.

答案與提示

一、選擇題

題號(hào)12345

答案CBCD

提示：

1.若底邊長(zhǎng)為12.則其他二邊之和也是12,矛盾.故不可能是(B)或(D).

又：底為4時(shí)，腰長(zhǎng)是10.符合題意.故選(C).

2.P=7(19882+3x1988)(19882+3x1988+2)+1-19892

=7(19882+3x1988+1)2-19892

=19882+3X1988+1-19892

=(1988+1)2+1988-19S92=1988

3.只需選a=l,b=0,c=T,x=l,y=0,z=T代入，由于這時(shí)M=2,N=-2,P=T,Q=T.從而

選(A).

4.由圖6可知：當(dāng)NBDA=60°時(shí)，NCDB

也是60°.從而滿足AD：5C=1：V3.故選(C).

5.如圖7按同心圓分成面積相等的四部分.在最外面一部分中顯然可以找到三個(gè)

點(diǎn),組成邊長(zhǎng)大于1的正三角形.如果三個(gè)圓換成任意的封閉曲線，只要符合分

成的四部分面積相等,那么最外面部分中，仍然可以找到三個(gè)點(diǎn),使得組成邊長(zhǎng)

大于1的正三角形.故選(D).

二、填空題

題號(hào)12345

答案31991c>0或c22石0-1或7

1992

提示:

1.如圖8：ZNLC=ZB+Z1=ZCAB-90°+Z1=ZCAB-Z3=ZN.，NC=LC=3.

—+…+-----------------

ab3+1990)(8+1990)

119911992)1992

二.a,b是方程Y+cx+W=0的兩個(gè)實(shí)根.

c

,/A=c2-->C.

c

即c<0或

[C3>32.

c<0或c)2次

4..因?yàn)椤鰽BCS面積?、后?sin30°

=羋<1,所以ZXABC內(nèi)的三個(gè)圓面積之和肯定

比1小，因而整數(shù)部分為零.

5.當(dāng)a,b,c均為正時(shí)，值為7.

當(dāng)a,b,c不均為正時(shí)，值為T(mén).

三、解答題

1.證法一把1到354的自然數(shù)分成177個(gè)組：

(1,178),(2,179),(3,180),(177,354).這樣的組中,任一組內(nèi)的兩個(gè)數(shù)之

差為177.從4354中任取178個(gè)數(shù)，即是從這177個(gè)組中取出178個(gè)數(shù),因而至少

有兩個(gè)數(shù)出自同一個(gè)組.也即至少有兩個(gè)數(shù)之差是177.從而證明了任取的178

個(gè)數(shù)中，必有兩個(gè)數(shù)，它們的差是177.

i止法二從1到354的自然數(shù)中，任取178個(gè)數(shù).由于任何數(shù)被177除，余數(shù)只能是

0,1,2,…，176這177種之一.

因而178個(gè)數(shù)中，至少有兩個(gè)數(shù)a,b的余數(shù)相同,也卻至少有兩個(gè)數(shù)a,b之差是177

的倍數(shù)，即ab=kX177.

乂因廣354中，任兩數(shù)之差小于2X177=354.所以兩個(gè)不相等的數(shù)a,b之差必為

177.即

ab=177.

???從自然數(shù)1,2,3,…，354中任取178個(gè)數(shù),其中必有兩個(gè)數(shù),它們的差是177.

2.如圖9,重合部分面積.是一個(gè)定值.

證明：連A'B,A'C,由A'為正方形ABCD的中心，知

A'C=A'B=—AB.NA'BE:NA'CF=45°.

2

又，當(dāng)A'B'與A'B重合時(shí)，必有A'D'與A'C重合，故知NEA，B=ZFAZC.

在AA'FC和AA'EB中,

A'C=A'B

ZA'BE=ZA'CF'=>AA'FC22AA'EB.

ZEA'B=ZFA'C

?,?SA'EK--SA,\'BC.

而SUEC=\A，BXHC(正方形對(duì)角線互相垂直)

???兩個(gè)正方形的重合部分面積必然是一個(gè)定值.

3.可能的四位數(shù)有9種:

1990,1909,1099,9091,9109,9910,9901,9019,9190.

其中1990=7X284+2,1909=7X272+5.

1099=7X157,9091=7X1298+5,9109=7X1301+2,

9910=7X1415+5,9901=7X1414+3,

9019=7X1288+3,9190=7X1312+6.

即它們被7除的余數(shù)分別為2,5,0,5,2,5,3,3,6.

即余數(shù)只有0,2,3,5,6五種.

它們加1,2,3都可能有余1的情形出現(xiàn).如0+1三1,6+2三1,5+3三(mod7).

而加4之后成為：4,6,7,9,10,沒(méi)有一個(gè)被7除余1,所以4是最小的n.

又：力口5,6有:5+3三1,6+2三1.(mod7)而加7之后成為7,9,10,12,13.沒(méi)有一

個(gè)被7除余1.所以7是次小的n.

即r)i=4,m=7

:.niXn2=4X7=28.

第二屆（1991年）初中二年級(jí)第一試試題

一、選擇題：(每題1分，共15分)

1.如圖1,已知AB=8,AP=5：0B=6,則0P的長(zhǎng)是[]

A.2：B.3;C.4;D.5

AOPB

2.方程ox2-5x+6=0的兩個(gè)根是[]?------?------*--------*

(1)

A.1,6;B.2,3;C.2,3;D.1,6

3.已知AABC是等腰三角形，則[]

A.AB=AC;B.AB=BC;C.AB=AC或AB=BC;D.AB=AC或AB=BC或AC=BC

_____3

4.a==L/=業(yè)*,c二4一±，則a,b,c的大小關(guān)系是[]

gI3+1

4

A.ci>b>cB.a=b=cC.a=c>bD.a=b>c

5.若a#b,則(b-a)Ja-Z?等于[]

A..(4-A)，;B.-,-(a-I)，;C.(a-bp;D.NS-a)，

6.己知x,y都是正整數(shù)，那么三邊是x,y和10的三角形有[]

A.3個(gè)B.4個(gè)；C.5個(gè)D.無(wú)數(shù)多個(gè)

7.兩條直線相交所成的各角中，[]

A.必有一個(gè)鈍角；B.必有一個(gè)銳角;C.必有一個(gè)不是鈍角；D.必有兩個(gè)銳角

8.已知兩個(gè)角的和組成的角與這兩個(gè)角的差組成的角互補(bǔ)，則這兩個(gè)角[]

A.一個(gè)是銳角另一個(gè)是鈍角；B.都是鈍角;C.都是直角；D.必有一個(gè)角是直角

9.方程乂2+卜|+1=0有[]個(gè)實(shí)數(shù)根.

A.4;B.2;C.1;D.0

10.一個(gè)兩位數(shù),用它的個(gè)位、十位上的兩個(gè)數(shù)之和的3倍減去-2,仍得原數(shù)，這個(gè)兩位

數(shù)是[]

A.26;B.28;C.36;D.38

11.若11個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是1991,把這些數(shù)按大小順序排列起來(lái),第六個(gè)數(shù)是[]

A.179;B.181;C.183;D.185

12.如果＞四十1,那么#(x+2)3_J(x+3＞等于[]

A.2x+5B.2x-5;C.ID.1

13.方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+l=0有一個(gè)實(shí)數(shù)根是[]

A.\/5+\/3;B.\/5+5/2;C.\/3+5/2;D.—y/3

14.當(dāng)aVT時(shí)，方程(a3+l)x2+(a2+l)x-(a+l)=0的根的情況是[]

A.兩負(fù)根;B.一正根、--負(fù)根且負(fù)根的絕對(duì)值大

C.一正根、一負(fù)根且負(fù)根的絕對(duì)值小;D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

15.甲乙二人，從M地同時(shí)出發(fā)去N地.甲用一半時(shí)間以每小時(shí)a公里的速度行走，另一半

時(shí)間以每小時(shí)b公里的速度行走；乙以每小時(shí)a公里的速度行走一半路程，另一半路程

以每小時(shí)b公里的速度行走.若aWb時(shí)，則[]到達(dá)N地.

A.二人同時(shí)；B.甲先；

C.乙先；I).若a＞b時(shí)，甲先到達(dá)，若aVb時(shí)，乙先

二、填空題：(每題1分，共15分)

1.一個(gè)角的補(bǔ)角減去這個(gè)角的余角,所得的角等于______度.

2.有理化分母:

V5+V7

3.方程Jx+l+x=0的解是x=

4.分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3=

5.若方程x2+(k2-9)x+k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù),則k的值是.

6.如果2x2-3x7與a(x-"2+b(xT)+c是同一個(gè)多項(xiàng)式的不同形式，那么"2=

c

7.方程x2-y2=1991有____個(gè)整數(shù)解.

8.當(dāng)m時(shí)，方程(mT)x2+2mx+m-3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

9.如圖2,在直角4ABC中:AD平分NA,J1BD：DC=2：1,則NB等于度.

(2)(3)(4)

10.如圖3,在圓上有7個(gè)點(diǎn),A,B,C,D,E,F,和G,連結(jié)每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)的線段共可作出一條.

11.D,E分別是等邊4ABC兩邊AB,AC上的點(diǎn),且AD=CE,BE與CD交于F,則NBFC等于—度.

12.如圖4,△ABC中，AB=AC=9,NBAC=120°,AD是△ABC的中線,AE是△ABD的角平分

線,DF〃AB交AE延長(zhǎng)線于F,則DF的長(zhǎng)為

13.在AABC中,AB=5,AC=9,則BC邊上的中線AD的長(zhǎng)的取值范圍是.

14.等腰三角形的一腰上的高為10cm,這條高與底邊的夾角為45°,則這個(gè)三角形的面積是

15.已知方程X2+DX+Q=0有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，D,Q是自然數(shù)，H是質(zhì)數(shù)，這個(gè)方程的根

是.

答案與提示

一、選擇題

題號(hào)123456789101112131415

答案BBDCCDCDDABACCB

提示：

1.V0P=0B-PB=0B-(AB-AP)=6-(8-5)=3.選(B).

2.???以2,3代入方程,適合.故選(B).

3.,??有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.???選(D).

4.Va=l,b=-l,c=l..??選(C).

5.;而萬(wàn)有意義，則

(2>-a)^/a-b=-(a--b

=-耳-爐.故選(C).

6.二、二y>5的任何正整數(shù)，都可以和10作為三角形的三條邊.，選(D).

7.兩直線相交所成角可以是直角，故而(A),(D)均不能成立.???選(C).

8.設(shè)兩個(gè)角為a,B.則(a+B)+(a-B)=180°,

即a=90。.故選(D).

9.???不論x為何實(shí)數(shù),x2+|x|+l總是大于零的.，選(D).

10.設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為瓦，則33+5)+2=10a+瓦即7a=2b+2,可見(jiàn)a只能為偶數(shù),b+l是7的倍

數(shù).故取(A).

11.設(shè)這11個(gè)連續(xù)奇數(shù)為：2n+l,2n+3,2n+5,…，2n+21.則

(2n+l)+(2n+3)+(2n+5)+-+(2n+21)=1991.

即ll(2n+ll)=1991.

解得n=85.J第六個(gè)數(shù)是2X85+11=181.故選(B).

12.由應(yīng)工〉為+1,得(也-女);K-1.

即工<-(力+何即工<-(4+、/)<-3.

而切一+2尸-+3)2=x+2-|x+3|

=x+2+x+3=5+2x.

???選(A).

13.原方程可?化為

(2x5-20x^+2x)+(x^-lOx2+l)=0.

即(2x+l)(x4-10x2+l)=0.

而+應(yīng)，g)2=(點(diǎn))2

--2修+3=2,(x2+l)2=12x2

即x4-10x2+1=0.故取(C).

14.a<-lW,a3+l<0,a2+l>0,a+l<0.而若方程的兩根為x1,x2,則有

々?々=-吟<0,表示有一正根一負(fù)根?

a+1

又勺+町=-岸］>0,表示負(fù)根的絕對(duì)值小于

a+1

正根.故取(C).

15.設(shè)M,N兩地距離為S,甲需時(shí)間t1,乙需時(shí)間t2,則有

at1/2+bt1/2=S,12=婆+$.

ab

2S(a+b)S

即h=

a+b2ab

2s(a+b)S

a+b2ab

3+5)2]

2ab9+b)

一虱a一時(shí)

2ab(a+b)

即甲先?

另外：設(shè)a=l,b=2,則甲走6小時(shí)，共走了9公里，這時(shí)乙走的時(shí)間為

4.54.53

—+—=-x45>6.

122

從這個(gè)計(jì)算中,可以看到,a,b的值互換,不影響結(jié)果.故取(B).

二、填空題

題號(hào)12345678

3

答案90-6+周1-3(x+y)(x2+xy+y2)-33

-2-8m2—且tn+1

4

題與9101112131415

答案302112092<AD<750(cm2)一1，-2

提示：

1.設(shè)所求角為a,則有

(180°-a)-(900-a)=9?！?

2芯-幣_(tái)(右-々)2

"J5+J7-(，5+j7)(j5r/7)

』-2后一+反

-2

3.-Vx+1=-X,x+1=x2,x2-x-1=0.

解得X=與色，由于x<0,

故方程的解是x=±d.

22

4.x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2xy+2xy)

=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)

二(x+y)(x2+xy+y2)

5.設(shè)二根為xi，-X],則X]+(-xp=-(k2-9).

即k2-9=0.即1<=±3.

又，要有實(shí)數(shù)根，必須有△?().

即(k2-9)2-4(k+2)>0.

顯然k=3不適合上面的不等式，???!<=-3.

6.由2x2-3xT=a(x+l)2+b(xT)+c是恒等式,故由x=i代入,得c=-2;x2項(xiàng)的系數(shù)相等,有

a=2,這時(shí)再以x=0代入，得-ka-b+c.即b=l.

.a+b2+13

??------=------=——.

「一22

7.x2-y2=i991,(x-y)(y+x)=llX181可以是

x-y=11==l

<O//o*

x+y=181[x+y=ll[x+y=Wl

x—y=[991

或fx+jl又因與7+y可正可負(fù)，故知

共有8組解，

8.△=(2m)2-4(m-l)(m-3)=4(4m-3)>0,

即布乂、加=1時(shí)萬(wàn)程是一次方程，當(dāng)然不會(huì)

有兩個(gè)實(shí)根，故用>:且1時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

9.BD：DC=2：1,故有AB：AC=2：1,直角三角形斜邊與直角邊之比為2：1,則有

ZB=30°.

10.從A出發(fā)可連6條，從B出發(fā)可連5條，(因?yàn)锽A就是AB),從C出發(fā)可連4條，…，從F出發(fā)

可連一條.共計(jì)1+2+3+4+5+6=21(條).

另法：每個(gè)點(diǎn)出發(fā)均可連6條，共有42條.但每條都重復(fù)過(guò)一次，

如AB與BA.故總數(shù)應(yīng)為等=21(條).

乙

11.如圖28.

NF=N1+NA+N2.

又：^ADC也4CEB.

AZ1=Z3.

AZF=Z3+ZA+Z2=ZB+ZA=120°.

12.Z\ABC是等腰三角形,D為底邊的中點(diǎn)，故AD又是垂線，又是分角線，故NBAD=60°,N

ADB=90°.又：AE是分角線，故NDAE;

NEAB=30°.

又：DF/7AB,AZF=ZBAE=30°.

在△ADF中，/DAF=NF=30".，AD=DF.

而在AADB中，AB=9,NB=30°.

13.V4<BC<14..??當(dāng)BC為4時(shí)，BD=CD=2,

AD<7.當(dāng)BC=14時(shí)，BC=CD=7,

有AD>2..\2<AI)<7.

14.等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角是45°,則頂角是90°,高就是腰,其長(zhǎng)為

10cm.

二.面積是x10x10=50Gm°）

15.設(shè)兩根為xi，X2.則

Xl+X2=-p①XlX2=q②

由題設(shè)及①，②"J知，xi，X2均為負(fù)整數(shù).q為質(zhì)數(shù)，若q為奇數(shù)，則X1,X2均為奇數(shù).從

而P為偶數(shù),而偶質(zhì)數(shù)只有2,兩個(gè)負(fù)整數(shù)之和為-2,且不相等,這是不可能的.

若q為偶數(shù)（只能是2）,兩個(gè)負(fù)整數(shù)之積為2,且不相等,只能是T和-2.

???方程的根是T和-2.

希望杯第二屆（1991年）初中二年級(jí)第二試試題

一、選擇題：（每題1分，共io分）

1.如圖29,己知B是線段AC上的一點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)、】為純鉛的出占P%NA的中

點(diǎn),Q為MA的中點(diǎn)，則MN：PQ等于（）AQPMNB-C

圖29

A.1;B.2;C.3;D.4

2.兩個(gè)正數(shù)m,n的比是若m+n=s,則m,n中較小的數(shù)可以表示為（）

tss

A.ts;Bs-ts;C.----;D.-----.

1-51+r

3.y>0時(shí)，匚而等于（）

A.-xyfxy;B.xy]xy;C.-xy]-xy;D.xyf-xy.

4.（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式，則a,b,c的關(guān)系可以寫(xiě)成（）

A.a<b<c.B.(a-b)2+(b-c)2=0.C.c<a<b.I).a=b#c

5.如圖3(),AC=CD=DA=BC=DE.則NBAE是NBAC的'：)

A.4倍.B.3倍.C.2倍.D.1倍

6.D是等腰銳角三角形ABC的底邊BC上一點(diǎn)，則AD,BD,CD滿足關(guān)系式()

A.AD2=BD2+CD2.B.AD2>BD2+CD2.C.2AD2=BD2+CD2.D.2AD2>BD2+CD2

7.方程卜,-=—1(x+—9)的實(shí)根個(gè)數(shù)為()

A.4B.3.C.2I).1

8.能使分式《—F■的值為112G的x?、y2的值是（）

A.x2=l+V3,y2=2+V3；B.x2=2+V3,y2=2-V3;

C.x2=7+4V3,y2=7-4V3;D.x2=l+2^,y2=2-73.

9.在整數(shù)0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中，設(shè)質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)為x,偶數(shù)的個(gè)數(shù)為y,完全平方數(shù)的

個(gè)數(shù)為z,合數(shù)的個(gè)數(shù)為u.則x+y+z+u的值為（）

A.17B.15.C.13D.11

10.兩個(gè)質(zhì)數(shù)a,b,恰好是x的整系數(shù)方程xJ21x+t=0的兩個(gè)根,則2+f等于（）

ab

58、2402365

A.2213;B.—;C.-----;Dr.-----.

214938

二、填空題（每題1分，共10分）

1.1989X19911991-1991X19891988=

2.分解因式：a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc;

3.(a2+bci+bc+ac)：[(b2+bc+ca+ab)：(c2+ca+ab+bc)]的平方根是

4.邊數(shù)為a,b,c的三個(gè)正多邊形，若在每個(gè)正多邊形中取一個(gè)內(nèi)角，其和為18（）0,那么

111

—i---1—=

abc

x+ay=5

5.方程組〈?有正整數(shù)解，則正整數(shù)a=—

y-x=\

6.從一升酒精中倒出;升,再加上等量的水,液體中還有酒精

升;攪勻后，再

倒

出《升混合液，并加入等量的水，攪勻后，再倒出?升混合液，并加入等量的水，這

33

時(shí),所得混合液中還有升酒精.

7.如圖31,在四邊形ABCD中.AB=6厘米,BC=8厘米,CD=24厘米,DA=26厘米.且

NABC=9（）°,則四邊形ABCD的面積是

8.如圖32,N1+N2+N3/4+N5+N6;

9.x+&|+2x+4的最小值的整數(shù)部分是

3

if4

圖32

10.已知兩數(shù)積abWl.且

2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,則3=______.

b

三、解答題：（每題5分，共10分,要求：寫(xiě)出完整的推理、計(jì)算過(guò)程,語(yǔ)言力求簡(jiǎn)明，字

跡與繪圖力求清晰、工整）

1.已知兩個(gè)正數(shù)的立方和是最小的質(zhì)數(shù).求證：這兩個(gè)數(shù)之和不大于2.

2.一塊四邊形的地（如圖33）化0〃尸1（,011〃任）內(nèi)有一段曲折的水渠,現(xiàn)在要把這段水

渠E0HGKF改成直的.（即兩邊都是直線）但進(jìn)水口EF的寬度不能改變,新集占地面積

與原水渠面積相等，目要盡可能利用原水渠，以節(jié)省工時(shí).那么新渠的兩條邊應(yīng)當(dāng)怎

么作？寫(xiě)出作法,并加以證明.

答案與提示

一、選擇題

題號(hào)12345678910

答案BDCBADCCAD

提示：

1.VMN=AN-AM.PQ=---..?.選(B).

22

2.設(shè)m=3,n=1,則t=3,s=4.

只有EY=y^=l=n.故選(D).

3.由y>0,可知xVO.故選(C).

4.容易看到a=b=c時(shí)，原式成為3(x+a)2,是完全平方式.故選(B).

5.z^ACD是等邊三角形，z\BCA和aADE均為等腰三角形.故知ZBAC=3O°，而/

BAE=120°,所以選(A).

6.以等邊三角形為例，當(dāng)D為BC邊上的中點(diǎn)時(shí),WAD2>BD2+CD2,當(dāng)D為BC邊的端點(diǎn)時(shí),

有AD2=BD2+CD2,故有2AD2>BD2+CD2.故選(D).

10

7.當(dāng)同〉1時(shí)，有方程--1■記(x+而)，

由根與系數(shù)關(guān)系可知，方程有一正根一負(fù)根，且

正根符合要求，當(dāng)況＜1時(shí)，有方程1

(x+磊)，同理可知也是一正根一負(fù)根，正根符

合要求，所以共有2個(gè)根.故選(C).

故選(C).

8?/X、—/_x'-y，_(x」—y2)(x2+丹

yxxyxy

從1=7+4依，y2=7-4^,代入，是1⑵反

，選(C).

9.Vx=4,y=5,z=4,u=4.?,?選(A).

10.由a+b=21,a,b質(zhì)數(shù)可知a,b必為2與19兩數(shù).

而*白乎二法》等故選①).

abab2x1938

二、填空題

題號(hào)12345

答案1991(a+b+c)(a+2b+3c)±(a+c)11或2

題號(hào)678910

答案8144(cm2)360°3

7727

提示：

1.1989X19911991-1991X19891988=1989

(1991X104+1991)-1991(1989X1()4+1988)

=1989X1991-1991X1988=1991.

2.原式

=a^+b^+c^+2ab+2bc+2ca+b^+2c^+ab+2ac+3bc

=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)

=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)

=(a+b+c)(a+2b+3c).

3.原式:(a+c)(a+b)：[(b+a)(b+c)：(c+a)(c+b)]

(a+c)2(a+b)

=(a+c)2.

(b+a)

,平方根為土(a+c).

4.正多邊形中，最小內(nèi)角為60°,只有a,b,c均為3時(shí)，所取的內(nèi)角和才可能為180°.

5.兩式相加有

(1+a)y=6,因?yàn)閍,y均為正整數(shù),故a的可能值為5,這時(shí)產(chǎn)1,這與y-x=l矛盾，舍去；可

能值還有a=2,a=l,這時(shí)y=2,y=3與y-x=l無(wú)矛盾.

，a=l或2.

6.倒一次后，剩下:3升酒精，倒第二次后剩

下的是(2$2升，倒第三次后，剩下的是《2尸升酒精.

所以應(yīng)答J.

乙?

7.在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm,在AADC中，三邊長(zhǎng)分別是10,24,26,

由勾股定理的逆定理可AADC為直角三角形.從而有面積為

11

-x6x8+-xl0x24=144(cm02).

22

8.N1+N2+N3+/4+/5+/6,正好是以/2,Z3,N5為3個(gè)內(nèi)角的四邊形的4個(gè)內(nèi)角之

和.

???和為360°.

9.根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，可知，當(dāng)x取-點(diǎn)或

-2嶼時(shí)，可能是最小值，比較

x=-應(yīng)時(shí),原式=卜2我+4閻=2|20-閭.

x=-20時(shí)，原式=卜24+闋=|2b-闋.

??.最小值是其整數(shù)部分為2.

10.由已知條件可知

a是方程2x2+1234567890x+3=0的一個(gè)根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一個(gè)根,后

者還可以看成:

1是3(1)2+1234567890-+2=0的根，或者說(shuō)

byy

:是2/+1234567890〉+3=0的一個(gè)根，從而可以

b

認(rèn)為以和?是方程2,+1234567890x+3=。的兩個(gè)根.

b

.1白3

?"?I=I=2*

(注意：ab=1,保證了a,g是方程2一+

b

1234567890%+3-。的兩個(gè)不等的根.

三、解答題

1.設(shè)這兩個(gè)正數(shù)為a,b.則原題成為已知a3+b3=2,求證a+bW2.

證明(反證法)：

若a+b>2由于a3+b3=2,必有一數(shù)小于或等于1,設(shè)為bWl,-a>2b,這個(gè)不等式

兩邊均為正數(shù),一a3>(2-b)3.

-*a^>8-l2b+6b2-b，.

->a3+b3>8-12b+6b2.

f6b2-12b+6Vo.

-b2-2b+l<0.

-*(b-l)2<0.矛盾.

???a+bW2.即本題的結(jié)論是正確的.

2.本題以圖33為準(zhǔn).

由圖34知OK〃AB,延長(zhǎng)EO和FK,即得所求新渠.這時(shí),HG=GM(都等于OK),且OK〃AB,

故△OHG的面積和的面積相同.即新渠占地面枳與原渠面積相等.而且只挖

了△KGU這么大的一塊地.

我們?cè)倏戳硪环N方法，如圖35.

作法：①連結(jié)法,FG.

②過(guò)。作EH平行線交AB于N,過(guò)K作FG平行線交于AB于M.

③連結(jié)EN和FM,則EN,⑶就是新渠的兩條邊界線.

又：EH〃UN

???△EOH面積=Z\FNH面積.

從而可知左半部分挖去和填出的地一樣多，同理,右半部分挖去和填出的地也一樣

多.即新渠面枳與原渠的面積相等.

由圖35可知，第二種作法用工較多（???要挖的面枳較大）.

故應(yīng)選第一種方法.

希望杯第三屆（1992年）初中二年級(jí)第一試試題

一、選擇題：（每題1分，共10分）

1.已知a>b>0,則有[]

A.a+b>l;B.ab>l;C,—;D.a-b>l.

b

2.已知三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為1：2：3,若這個(gè)三角形的最短邊長(zhǎng)為,那么它的

最長(zhǎng)邊等于[]

A.2;B.2&;C.3;1）.30.

3.若4=；（百+6=；（逐一后），那么a2-ab+b"的值為[]

A.1;B.2;C.3

222。?務(wù)?

4.,3-2及的值等于[]

A.>/3-V2;B.\/3—1;C.G+&;I).V2-1.

5.AABC+,ZA=0-a,ZB=0,ZC=0+a,0°<a<0<90°.若NBAC與NBCA的

平分線相交于P點(diǎn)，則/APC=[]

A.90°B.105°.C.120°D.150°

G.個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根為a(a>1),則與這個(gè)自然數(shù)相鄰的兩個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平

方根為[]

A.a~l,a+1;B.Ja—1、Ja+1;C.—1,4/+1;D.a2-l,a2+l.

7.已知實(shí)數(shù)a滿足門(mén)992-aI+&-1993=0,那么a-199f的值為[]

A.1991.B.1992.C.1993.I).1994.

8.正整數(shù)a被7除,得到余數(shù)4,則a、5被7除,得到的余數(shù)是[]

A.0.B.2.C.4.D.6.

9.—后+小6+后的值為[]

A.S+5,B.V14;C.-(y/l-y/5)；D.1.

2

10.方程x、667x+1992=0的較大的那個(gè)實(shí)根的負(fù)倒數(shù)等于[]

1111

A.——；B.-----;C.-----;1).一.

66466719923

二、填空題：(每題1分，共10分)

1.一個(gè)角的補(bǔ)角是它的余角的3倍,則這個(gè)角的度數(shù)等于.

二次根式xj-g化為最簡(jiǎn)根式應(yīng)是

2.

3.若(x-1)^aox^aix^a^x,-a^x^-aix^-asx-ae,則比=

4.若a、b、c為△.《(：的三邊的長(zhǎng)，則

5.如圖39,4ABC中，NBCA=90°,NBAC=60°,BC=4.在CA延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D,使AD=AB,則

D,B兩點(diǎn)之間的距離等丁.

6.V2的小數(shù)部分我們記作m,則n)2+m+后=,

7.若a>b>c>0,一元二次方程(a-b)x?+(b-c)x+(c-a)=O的兩個(gè)實(shí)根中，較大的一個(gè)實(shí)

根等于.

8.如圖40,Nl+N2+N3+/4+N5=.

9.一個(gè)兩位質(zhì)數(shù)，將它的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)后

仍是一個(gè)兩位質(zhì)數(shù)，我們稱(chēng)它為“無(wú)瑕質(zhì)數(shù)”，

則所有“無(wú)瑕質(zhì)數(shù)”之和等于.

10.若3x°+4yT0=0,貝ij15x+3x?y+20xy+4y：；+3x：!-50x-6y=

答案與提示

一、選擇題

題號(hào)12345678910

答案CBADCCCDBD

提不：

1.用特殊值法,不妨設(shè)a=0.4,b=0.2,則a+b=().6<1,可排除(A);ab=O.08<1,可排除

(B);

a-b=0.4-0.2=0.2<l,可排除①)，所以應(yīng)選(C).

事實(shí)上，a>0,b>0,且a〉b,所以*〉1成立.

2.根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°及三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為1：2：3,容易得出三個(gè)內(nèi)角為

30°,60°,9。0.30°角對(duì)邊為最短邊，由題設(shè)知，

它的邊長(zhǎng)為血.90。角所對(duì)邊為最長(zhǎng)邊，即直角

三角形的斜邊，其長(zhǎng)應(yīng)為30°角對(duì)邊的2倍，即為

2場(chǎng)，所以應(yīng)選(B).

3.a+b=ab=—,

2

a2—ab+b2=(a+b)2—3ab

=(75)2-3XI=Z.應(yīng)選(A).

4.?/73-272=7(V2)2-2^/2+l

=J(點(diǎn)-I)」=&-3

應(yīng)選(D).

5.由/八+/8+/6=180°,即(6-(1)+8+(9+<1)=30=180。，

e=ZABC=60",因此，|(z^c+

Z5C4)=1(180°-60°)=60°,

/.AAPC-\W-^ZBAC+ZBCA,)

=180°-60°=120°

工應(yīng)選(0.

6.設(shè)這個(gè)自然數(shù)為％則赤=￡>1,便知

%=/〉1,所以與力相鄰的兩個(gè)自然數(shù)分別為

n-l=a2-l,n+l=a2+l,其算術(shù)平方根分別為

八2-1與42+1,故應(yīng)選(C).

7.由題意知aT99320,因而a21993.

于是|1992-a|=a-1992.

由|1992-。|+八一1993=。,可知，4-1992

+Va-1993=a即4-1993=1992,

從而a-1993=1992；故2-1992'=1993.二應(yīng)選(C).

8.設(shè)a=7k+4(k為正整數(shù))、則

a3+5=(7k+4)3+5

=(7k)3+3X(7k)2X4+3X(7k)X42+43+5

=7(72k3+3X7k2X4+3kX42+9)+6

因此,a：'+5被7除余6,故應(yīng)選(D).

9.i妙=?-后+&+春,則

/=(6-735)+(6+735)+

27(6-^/35)(6+735)=12+2=14,

?.”〉0,.?3=W....應(yīng)選(B.)

10.設(shè)較大的那個(gè)實(shí)根為x,則當(dāng)■之時(shí)，

x664

x-一664,當(dāng)一------時(shí)，x-667,當(dāng)一一-----

x667」x1992

時(shí)，x--1992,當(dāng)-工■tE寸，x--3.由于方程

x3

x、667x+1992=0不能有非負(fù)根，所以x=667排除,剩下的-664,T992,-3三個(gè)數(shù)中，最大者

為-3,以-3代入原方程，恰好滿足方程,所以應(yīng)選(D).

注：此