六、統(tǒng)計(jì)與可能性教材分析

六、統(tǒng)計(jì)與可能性（一）教學(xué)目標(biāo)1.體驗(yàn)事務(wù)發(fā)生的等

可能性以及游戲規(guī)那么的公允性，會(huì)求簡(jiǎn)潔事務(wù)發(fā)生

的可能性。

2.能遵照指定的要求設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔的游戲方案。

3.理解中位數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的意義，學(xué)會(huì)求中位數(shù)的方

法。

4.依據(jù)數(shù)據(jù)的具體狀況，體會(huì)“平均數(shù)”“中位數(shù)”各自

的特點(diǎn)。（二）教材說(shuō)明和教學(xué)建議教材說(shuō)明

本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容主要有兩個(gè)方面：一是事務(wù)發(fā)

生的等可能性以及游戲規(guī)那么的公允性，會(huì)求簡(jiǎn)潔事

務(wù)發(fā)生的概率；二是理解中位數(shù)的意義，會(huì)求數(shù)據(jù)的

中位數(shù)，在統(tǒng)計(jì)分析中能依據(jù)實(shí)際狀況合理選擇適當(dāng)

的統(tǒng)計(jì)量來(lái)描述數(shù)據(jù)的特征。

1.事務(wù)發(fā)生的可能性以及游戲規(guī)那么的公允性。

關(guān)于“可能性〃這一內(nèi)容，本套教材分兩次進(jìn)展了

集中編排。第一次是在三年級(jí)上冊(cè)，主要是讓學(xué)生初

步體驗(yàn)有些事務(wù)的發(fā)生是確定的，有些那么是不確定

的。其次次就在本單元，本單元內(nèi)容是在三年級(jí)上冊(cè)

的根底上的深化，使學(xué)生對(duì)“可能性”的相識(shí)和理解慢

慢從定性向定量過(guò)渡，不但能用恰當(dāng)?shù)脑~語(yǔ)（如“必

需""不行能""可能""常常""有時(shí)"等）來(lái)表述事務(wù)發(fā)生

的可能性大小，還要學(xué)會(huì)通過(guò)量化的方式，用分?jǐn)?shù)描

述事務(wù)發(fā)生的概率。

依據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知水平，本單元支配的

是簡(jiǎn)潔的等可能性事務(wù)，等可能性事務(wù)是概率論中探

究得最早，在社會(huì)生活中又廣泛存在的一種隨機(jī)現(xiàn)象,

它滿足以下兩個(gè)條件：⑴試驗(yàn)的全部可能結(jié)果只有有

限個(gè)，比方說(shuō)為n個(gè)。（2）每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的可能性

是相等的，都是1/n。等可能性事務(wù)在概率論開(kāi)展初

期即被人們所關(guān)注和探究，故這類隨機(jī)現(xiàn)象通常又被

稱為古典概型，本單元的例1、例2和例3及相關(guān)練

習(xí)都屬于古典概型問(wèn)題。

等可能性事務(wù)與游戲規(guī)那么的公允性是嚴(yán)密相

聯(lián)的，因?yàn)橐粋€(gè)公允的游戲規(guī)那么本質(zhì)上就是參與游

戲的各方獲勝的時(shí)機(jī)均等，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述即是他們

獲勝的可能性相等。因此，教科書(shū)在編排上就圍繞等

可能性這個(gè)學(xué)問(wèn)的主軸，以學(xué)生熟悉的游戲活動(dòng)綻開(kāi)

教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生在踴躍的參與中直觀感受到游戲規(guī)

那么的公允性，并逐步豐富對(duì)等可能性的體驗(yàn)，學(xué)會(huì)

用概率的思維去視察和分析社會(huì)生活中的事物。此外,

通過(guò)探究游戲的公允性，還可在潛移默化中造就學(xué)生

的公允、公正意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生正直人格的形成。

2.中位數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義及計(jì)算方法。

學(xué)生在三年級(jí)已經(jīng)學(xué)過(guò)平均數(shù)（主要是指算術(shù)平

均數(shù)），知道平均數(shù)是描述數(shù)據(jù)集中程度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)

量，用它來(lái)表示一組數(shù)據(jù)的狀況，具有直觀、簡(jiǎn)明的

特點(diǎn)。所以教科書(shū)在引入中位數(shù)時(shí)，就以平均數(shù)為參

照物，說(shuō)明當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有個(gè)別數(shù)據(jù)偏大或偏小時(shí),

用中位數(shù)來(lái)代表該組數(shù)據(jù)的一般水平就比平均數(shù)更

相宜。這樣編排，不但新舊學(xué)問(wèn)過(guò)渡自然，便于學(xué)生

理解和駕馭，而且清晰地說(shuō)明白中位數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義,

即中位數(shù)在數(shù)值大小上處于一組數(shù)據(jù)的最中間，主要

反映了統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的中等水平，并且不受偏大或偏小等

極端數(shù)據(jù)的影響，對(duì)人們了解事物開(kāi)展的中等水平很

有幫助。

在介紹中位數(shù)的計(jì)算方法時(shí)，教科書(shū)在編排上接

受了由易至難，逐步深化的方式。如例4和例5,列

出的一組數(shù)據(jù)都是7個(gè)，即奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，從而最中間

的那個(gè)數(shù)據(jù)就為中位數(shù)，可干脆在數(shù)據(jù)組中找出；然

后把7個(gè)數(shù)據(jù)變?yōu)?個(gè)，最中間就有兩個(gè)數(shù)據(jù)，引出

當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)計(jì)算中位數(shù)的方法。

教科書(shū)在選材上特別留意聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際,

如擲沙包、跳遠(yuǎn)、跳繩等活動(dòng)，都是學(xué)生幾乎每天參

與的游戲，可使學(xué)生在活動(dòng)過(guò)程中完成數(shù)據(jù)的收集和

整理，也便于老師組織教學(xué)。

教學(xué)建議

1.留意學(xué)生對(duì)等可能性思想的理解，淡化純概率

數(shù)值的計(jì)算。

在自然界和人類社會(huì)中存在兩類不同的現(xiàn)象：確

定性現(xiàn)象（即勢(shì)必事務(wù)和不行能事務(wù)）和隨機(jī)現(xiàn)象（即

不確定事務(wù)）。概率論就是探究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性的

數(shù)學(xué)分支。在小學(xué)階段設(shè)置簡(jiǎn)潔的"概率”內(nèi)容，主要

是為了造就學(xué)生的隨機(jī)思維，讓其學(xué)會(huì)用概率的眼光

去視察大千世界，而不僅僅是以確定的、一成不變的

思維方式去理解事物。因此，在可能性學(xué)問(wèn)的教學(xué)中,

應(yīng)留意加強(qiáng)對(duì)學(xué)生概率素養(yǎng)的造就，增加學(xué)生對(duì)隨機(jī)

思想的理解，而不要把豐富多彩的可能性內(nèi)容變成了

機(jī)械的計(jì)算和練習(xí)。

在教學(xué)中，老師還應(yīng)留意結(jié)合學(xué)生熟悉的游戲、

活動(dòng)（如擲硬幣、玩轉(zhuǎn)盤、摸卡片等），讓學(xué)生親自

動(dòng)手試驗(yàn)，在試驗(yàn)中直觀體驗(yàn)事務(wù)發(fā)生的可能性，探

究游戲規(guī)那么的公允性與等可能性事務(wù)的關(guān)系等，使

其閱歷學(xué)問(wèn)的形成過(guò)程。

2.加強(qiáng)學(xué)生對(duì)中位數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的理解。

中位數(shù)和平均數(shù)一樣，也是反映一組數(shù)據(jù)集中趨

勢(shì)的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。教學(xué)時(shí)應(yīng)留意結(jié)合學(xué)生已經(jīng)很熟悉

的平均數(shù)，比照教學(xué)，以幫助學(xué)生弄清兩者的聯(lián)系和

區(qū)分，使他們明白：平均數(shù)主要反映一組數(shù)據(jù)的總體

水平，中位數(shù)那么更好地反映了一組數(shù)據(jù)的中等水平

（或一般水平）。

在教學(xué)中，老師應(yīng)選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)組，以反映中位數(shù)

在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的意義和價(jià)值，在與平均數(shù)的比照中表達(dá)

中位數(shù)的特點(diǎn)。如例4、例5的數(shù)據(jù)組中，因個(gè)別數(shù)

據(jù)緊要偏大，影響到平均數(shù)也偏大，導(dǎo)致平均數(shù)不能

很好地代表該組數(shù)據(jù)的總體水平，而中位數(shù)的優(yōu)勢(shì)正

好能夠幸免一些偏大或偏小數(shù)據(jù)的影響，因而在這樣

的場(chǎng)合中，中位數(shù)就能很好地反映一組數(shù)據(jù)的一般水

平。

另外，因中位數(shù)在一組數(shù)據(jù)的數(shù)值排序中處于最

中間的位置,故其在統(tǒng)計(jì)學(xué)分析中也時(shí)時(shí)扮演著“分水

嶺”的角色。人們由中位數(shù)可對(duì)事物的大體趨勢(shì)進(jìn)展判

定和掌控。如某城市一個(gè)月的空氣污染指數(shù)的中位數(shù)

值是70（空氣質(zhì)量為良），那么說(shuō)明該城市這個(gè)月超

過(guò)一半的時(shí)間空氣質(zhì)量都為良。所以在教學(xué)中，老師

可組織學(xué)生開(kāi)展調(diào)查活動(dòng)，然后再利用中位數(shù)的這一

特點(diǎn)進(jìn)展初步的統(tǒng)計(jì)分析。如調(diào)查全班同學(xué)的睡眠時(shí)

間，假如中位數(shù)顯示睡眠缺乏，那么說(shuō)明全班至少有

一半的同學(xué)睡眠缺乏，據(jù)此就可建議大家少看電視和

按時(shí)作息等。

3.本單元內(nèi)容可用4課時(shí)進(jìn)展教學(xué)。

（三）具體內(nèi)容的說(shuō)明和教學(xué)建議

（第101~108頁(yè)）

本單元共支配了5個(gè)例題。

1.體驗(yàn)事務(wù)發(fā)生的等可能性以及游戲規(guī)那么的公允性,

會(huì)求簡(jiǎn)潔事務(wù)發(fā)生的可能性。

教科書(shū)通過(guò)主題圖、例1、例2和例3的教學(xué)，

使學(xué)生初步體驗(yàn)事務(wù)發(fā)生的等可能性和游戲規(guī)那么

的公允性，在編排方式上主要從三個(gè)方面綻開(kāi)：一是

體驗(yàn)事務(wù)發(fā)生的等可能性與游戲規(guī)那么的公允性之

間的關(guān)系，如例1的拋硬幣試驗(yàn)和例2的擊鼓傳花游

戲等，都是從事務(wù)發(fā)生的等可能性這個(gè)角度說(shuō)明白游

戲規(guī)那么的公允性，提出判定游戲公允性的方法就是

看事務(wù)發(fā)生的可能性是否相等；二是從事務(wù)發(fā)生的可

能性啟程，依據(jù)指定的要求，設(shè)計(jì)游戲方案，這主要

表達(dá)在“做一做”和練習(xí)題中，教學(xué)時(shí)應(yīng)留意結(jié)合相應(yīng)

的例題引導(dǎo)學(xué)生從可能性角度進(jìn)展思索；三是能對(duì)簡(jiǎn)

潔事務(wù)發(fā)生的可能性作出預(yù)料,如例2后的“做一做”，

依據(jù)設(shè)計(jì)好的轉(zhuǎn)盤，預(yù)料轉(zhuǎn)動(dòng)80次后，指針可能會(huì)

有多少次停在紅色區(qū)域，等等。（1）主題圖。

主題圖通過(guò)呈現(xiàn)學(xué)生熟悉的校內(nèi)活動(dòng)場(chǎng)景，引入本單

元的學(xué)習(xí)內(nèi)容。目的是從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)啟程，

使學(xué)生體會(huì)到在我們的身邊就存在大量的等可能性

事務(wù)，平常的游戲活動(dòng)中也隱含著許多公允性的問(wèn)題。

教學(xué)時(shí)，老師可先用實(shí)物投影儀展示這幅情景圖,

也可制成電腦課件進(jìn)展播放，讓學(xué)生身臨其境，然后

引導(dǎo)學(xué)生探究擊鼓傳花、足球競(jìng)賽等活動(dòng)中蘊(yùn)涵的概

率思想，特別要引導(dǎo)學(xué)生從事務(wù)發(fā)生的可能性這個(gè)角

度去視察問(wèn)題，如學(xué)生會(huì)直觀感到擊鼓傳花時(shí)花落到

每個(gè)人手里的可能性是相等的，拋一枚硬幣時(shí)正面朝

上和反面朝上的可能性也是相等的......在此根底上,可

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)說(shuō)這些游戲活動(dòng)對(duì)參與的各方是

否公允。教學(xué)時(shí)可先讓小組合作學(xué)習(xí)、探討，然后再

匯報(bào)探討結(jié)果，老師應(yīng)留意引導(dǎo)學(xué)生用推理的方法找

出等可能性與游戲公允性之間的因果關(guān)系，以促進(jìn)學(xué)

生形成較好的邏輯思維。

主題圖里全是情境，沒(méi)有相應(yīng)的文字說(shuō)明，故教

學(xué)時(shí)應(yīng)留意說(shuō)明每個(gè)活動(dòng)的游戲規(guī)那么，提出相關(guān)的

數(shù)學(xué)問(wèn)題讓學(xué)生探討。教學(xué)時(shí)應(yīng)留意引導(dǎo)學(xué)生從事務(wù)

發(fā)生的可能性以及游戲規(guī)那么是否公允這個(gè)角度來(lái)

思索問(wèn)題，不要過(guò)分關(guān)注游戲、活動(dòng)內(nèi)容本身。

（2）例1及“做一做〃。①例1。

本例教學(xué)最簡(jiǎn)潔的等可能性事務(wù)，即兩個(gè)事務(wù)發(fā)

生的可能性都為1/2,同時(shí)讓學(xué)生初步感知游戲規(guī)那

么公允性的數(shù)學(xué)含義。教科書(shū)呈現(xiàn)了足球競(jìng)賽前用拋

硬幣來(lái)確定誰(shuí)開(kāi)球的場(chǎng)景，由小精靈提出問(wèn)題“你認(rèn)為

拋硬幣確定誰(shuí)開(kāi)球公允嗎？”引出教學(xué)內(nèi)容。設(shè)計(jì)目的

是使學(xué)生理解隨機(jī)拋擲一枚硬幣時(shí)“出現(xiàn)正面和出現(xiàn)

反面的可能性是一樣的”,從而說(shuō)明在競(jìng)賽前用拋硬幣

的方法來(lái)確定誰(shuí)開(kāi)球比照賽雙方都是公允的。

擲一枚硬幣時(shí)，既可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反

面，預(yù)先作出確定的判定是不行能的，但假如硬幣勻

整，直觀上會(huì)感到出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的時(shí)機(jī)應(yīng)當(dāng)相

等，即在大量重復(fù)試驗(yàn)中正面朝上的頻率，應(yīng)接近于

50%o為了驗(yàn)證這點(diǎn)，在概率論的開(kāi)展歷史上，曾有

許多著名的數(shù)學(xué)家也做過(guò)這個(gè)試驗(yàn)，其結(jié)果如下：

因此，盡管在拋一次硬幣時(shí)，我們事先無(wú)法確定它是

正面朝上，還是反面朝上，但當(dāng)我們大量重復(fù)拋擲一

枚硬幣時(shí)，二者出現(xiàn)的頻率在0.5旁邊搖擺，我們就

認(rèn)為正面朝上和反面朝上的概率是1/2,從而驗(yàn)證了

在足球競(jìng)賽前接受拋硬幣來(lái)確定誰(shuí)開(kāi)球的規(guī)那么是

公允的。

教學(xué)時(shí)，為使學(xué)生更直觀感受，可先讓學(xué)生小組

合作做拋硬幣試驗(yàn)，并做好結(jié)果記錄（如：每個(gè)小組

拋101次，分別算出正面朝上和反面朝上的頻率）。

在試驗(yàn)完成后，老師可讓學(xué)生匯報(bào)本組得到的結(jié)果。

針對(duì)有的小組得到的結(jié)果可能與理論上的概率值相

差較大，老師可以把各個(gè)小組試驗(yàn)的狀況匯總，再進(jìn)

展分析，就可使結(jié)果更加靠近理論值。同時(shí)，老師還

可說(shuō)明：當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)增大時(shí)，正面朝上的頻率和反

面朝上的頻率都越來(lái)越靠近12。這事實(shí)上就是概率的

統(tǒng)計(jì)定義思想。

②做一做。

這是一個(gè)簡(jiǎn)潔的轉(zhuǎn)盤游戲，學(xué)生在三年級(jí)時(shí)就已

經(jīng)接觸過(guò)了，知道指針停在紅色區(qū)域的可能性比停在

藍(lán)色區(qū)域和黃色區(qū)域的可能性都要大,所以判定“這樣

公允嗎”對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不困難,教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)放在小精

靈提出的問(wèn)題“怎樣設(shè)計(jì)這個(gè)轉(zhuǎn)盤才公允〃上。

教學(xué)時(shí)，老師可從學(xué)生已有的學(xué)習(xí)和生活經(jīng)驗(yàn)為

根底，在學(xué)生得到“這樣做不公允，因?yàn)橹羔樛Ｔ诩t色

區(qū)域的可能性要大些”的結(jié)論的狀況下,進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)

生思索：指針停在紅色區(qū)域的可能性是多大呢？從而

實(shí)現(xiàn)對(duì)可能性的相識(shí)由定性感受到定量刻畫(huà)的自然

過(guò)渡。

為便于學(xué)生理解，教材把轉(zhuǎn)盤平均分成了四份，

其中紅色區(qū)域占兩份，藍(lán)色區(qū)域和黃色區(qū)域各占一份,

所以指針停在紅色區(qū)域的可能性是2/4,即1/2,而停

在藍(lán)色區(qū)域和停在黃色區(qū)域的可能性都是1/4,從而

說(shuō)明這個(gè)轉(zhuǎn)盤設(shè)計(jì)得不公允。在此根底上，老師可引

導(dǎo)學(xué)生從等可能性的角度來(lái)重新設(shè)計(jì)這個(gè)轉(zhuǎn)盤，即將

轉(zhuǎn)盤平均分成二局部，紅、黃、藍(lán)各占1/3,就可保

證游戲的公允性了。

（3）關(guān)于練習(xí)二十中一些習(xí)題的說(shuō)明和教學(xué)建

議。

第1題，因?yàn)檎襟w各局部都很勻整和規(guī)那么，

所以投擲后6個(gè)面朝上的可能性相等，都是1/6。教

學(xué)時(shí)，可讓學(xué)生先說(shuō)說(shuō)自己的看法，再讓他們動(dòng)手試

驗(yàn)，最好多投幾次，并作好記錄，以發(fā)覺(jué)其中的概率

規(guī)律。

第2題，轉(zhuǎn)盤被平均分成了四局部，故指針停在

四種顏色區(qū)域的可能性相等，都是l/4o假如轉(zhuǎn)動(dòng)指

針101次，因指針停在每種顏色區(qū)域的時(shí)機(jī)均等，所

以停在紅色區(qū)域的次數(shù)大約就是101+4=25（次）。

第3題，雖然橡皮各局部的材料是勻整的，但它

的6個(gè)面大小不等，一個(gè)面的面積越大，投擲后朝上

的可能性也越大，所以，小強(qiáng)設(shè)計(jì)的這個(gè)方案不公允

（4）例2及“做一做”。

①例2。

通過(guò)擊鼓傳花游戲，使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)等可能

性事務(wù)的相識(shí)，學(xué)會(huì)用幾分之幾來(lái)描述一個(gè)事務(wù)發(fā)生

的概率，加深對(duì)游戲規(guī)那么公允性的相識(shí)和理解。

教學(xué)的難點(diǎn)在于讓學(xué)生相識(shí)到根本領(lǐng)務(wù)與事務(wù)

的關(guān)系，即花落到每個(gè)人手里的可能性與落到男生

（或女生）手里的可能性的聯(lián)系。為了直觀呈現(xiàn)可能

性由1/18變?yōu)?/18這一過(guò)程，教學(xué)時(shí)可借助學(xué)生熟

悉的轉(zhuǎn)盤游戲來(lái)模擬本活動(dòng)：把一個(gè)轉(zhuǎn)盤平均分成18

個(gè)區(qū)域，灰色區(qū)域代表男生，白色區(qū)域代表女生，灰

白間隔，那么例2的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為了指針停在灰色區(qū)

域的可能性是多大，而這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)就比擬簡(jiǎn)潔理解

了。

②做一做。

又是一個(gè)轉(zhuǎn)盤游戲，轉(zhuǎn)盤外表被平均分成了8個(gè)局部,

并涂了紅、黃、藍(lán)3種顏色，分別占轉(zhuǎn)盤外表積的3/8、

2/8、3/8o教學(xué)時(shí)可先讓學(xué)生視察轉(zhuǎn)盤，相識(shí)到指針

停在每一個(gè)小扇形區(qū)域的可能性都是18,即根本領(lǐng)務(wù)

的發(fā)生是等可能性的，然后再視察紅、黃、藍(lán)3種顏

色各占幾個(gè)小扇形，從而依據(jù)等可能性事務(wù)的“加法

原理”就可得出指針停在紅、黃、藍(lán)三種顏色區(qū)域的可

能性分別是38、28、38o

轉(zhuǎn)動(dòng)指針80次，那么指針停在每個(gè)小區(qū)域的次數(shù)大

體上應(yīng)相等，即均為80+8=10（次），又因?yàn)榧t色占

了3個(gè)小區(qū)域，所以指針停在紅色區(qū)域的次數(shù)大約就

是10x3=30（次）。教學(xué)時(shí)應(yīng)指出這是理論上的結(jié)果，

因?yàn)殡S機(jī)事務(wù)的概率值是建立在大量重復(fù)試驗(yàn)的根

底之上的，所以在實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)80次時(shí)，有可能會(huì)偏離

這個(gè)結(jié)果，這也是正常的。

（5）關(guān)于練習(xí)二十一中一些習(xí)題的說(shuō)明和教學(xué)

建議。

第1題，①把9張數(shù)字卡片打亂依次后擺在桌子

上，隨機(jī)抽取一張，抽到每張數(shù)字卡片的可能性都是

1/9,而單數(shù)有1,3,5,7,9,共5個(gè)，所以抽到單

數(shù)的可能性是5/9,同理，抽到雙數(shù)的可能性是4/9。

可見(jiàn)，這個(gè)游戲?qū)π》级允遣还实摹＂陔m然游戲

規(guī)那么對(duì)小芳不利，但在一次或有限次試驗(yàn)中，小芳

卻不必需會(huì)輸。因?yàn)檫@里的可能性5/9和4/9都是一

個(gè)理論值，是在大量重復(fù)試驗(yàn)下抽到單數(shù)和雙數(shù)的頻

率的極限。因此，在獨(dú)立的一次游戲中，小芳還是有

可能獲勝的。③為了使游戲規(guī)那么變得公允，可去掉

一張單數(shù)卡片或再增加一張雙數(shù)卡片，從而使得摸到

單數(shù)和摸到雙數(shù)的可能性都是1/2,就實(shí)現(xiàn)了游戲的

公允。

第2題，這是一個(gè)開(kāi)放題，教學(xué)時(shí)可放手讓學(xué)生

去設(shè)計(jì)，只要他們的方案滿足紅色區(qū)域占整個(gè)轉(zhuǎn)盤面

積的一半，綠色和黃色區(qū)域各占整個(gè)轉(zhuǎn)盤面積的1/4

就行。

第3題，①轉(zhuǎn)盤被勻整地分成了10個(gè)區(qū)域，指

針停在任一區(qū)域的可能性都相等，均為1/10。當(dāng)甲轉(zhuǎn)

動(dòng)指針時(shí)，乙能猜對(duì)指針停在哪一區(qū)域（即乙獲勝）

的可能性是1/10,而乙猜錯(cuò)（即甲獲勝）的可能性是

9/10,所以這個(gè)游戲規(guī)那么對(duì)乙來(lái)說(shuō)是不公允的。

②雖然乙獲勝的可能性很小，但依據(jù)隨機(jī)事務(wù)的

特性，小概率事務(wù)也是會(huì)發(fā)生的，所以在一次試驗(yàn)中

并不能斷定乙就必需會(huì)輸，只是說(shuō)明乙輸?shù)目赡苄院?/p>

大，尤其是在該游戲大量重復(fù)進(jìn)展試驗(yàn)時(shí)，這一點(diǎn)會(huì)

表現(xiàn)得更明顯。

③針對(duì)教材中列出的四種猜數(shù)方法，第一種：不

是2的整數(shù)倍的數(shù)有1,3,5,7,9共5個(gè)，因而乙

猜對(duì)的可能性是5/10;其次種：不是3的整數(shù)倍的數(shù)

有1,2,4,5,7,8,10共7個(gè)，因而乙猜對(duì)的可

能性是7/10；第三種：大于6的數(shù)有7,8,9,10共

4個(gè)，因而乙猜對(duì)的可能性是4/10；第四種：不大于

6的數(shù)有1,2,3,4,5,6共6個(gè)，因而乙猜對(duì)的可

能性是6/10。比擬四種方法后發(fā)覺(jué)，乙選擇其次種方

法獲勝的可能性最大，所以乙應(yīng)選擇其次種。特別要

指出的一點(diǎn)是，第三種和第四種方法在概率論里稱為

“互補(bǔ)事務(wù)”，兩個(gè)互補(bǔ)事務(wù)發(fā)生的概率之和等于1。

所以，假如我們已經(jīng)知道了第三種方法獲勝的可能性,

第四種方法獲勝的可能性就可干脆通過(guò)減法計(jì)算求

得。

④因?yàn)檫@個(gè)游戲只有甲、乙兩個(gè)人參與，所以公

允的游戲規(guī)那么應(yīng)是甲乙雙方獲勝的可能性都為1/2,

設(shè)計(jì)規(guī)那么時(shí)只要滿足這個(gè)條件即可。如可讓乙猜指

針停在單數(shù)或雙數(shù)上，或猜指針停在1?5這5個(gè)數(shù)

"J_1^9

（6）例3及“做一做〃。①例3通過(guò)判定小麗和小強(qiáng)

接受“石頭、剪子、布”來(lái)確定誰(shuí)跳是否公允這一活動(dòng)，

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)小麗獲勝和小強(qiáng)獲勝的可能性進(jìn)展思索

和分析。但與例1、例2不同，例3并沒(méi)有給出小麗

和小強(qiáng)玩“石頭、剪子、布〃的全部可能的結(jié)果，所以

不能干脆計(jì)算出小強(qiáng)獲勝的可能性，而應(yīng)先陳設(shè)出他

們兩人玩“剪子、石頭、布〃的全部可能的結(jié)果。教學(xué)

時(shí)，老師可以先引導(dǎo)學(xué)生找出小麗和小強(qiáng)玩“石頭、剪

子、布”的全部可能的結(jié)果（如下表）。

從表中可見(jiàn)，一共有9種可能的結(jié)果，因?yàn)槊咳?/p>

出石頭、剪子、布的可能性都一樣，所以上述9種結(jié)

果出現(xiàn)的可能性都相等，均為1/9o其中小強(qiáng)獲勝的

結(jié)果有3種，小麗獲勝的結(jié)果有3種，平的結(jié)果也有

3種，故小強(qiáng)獲勝的可能性就是3/9,同理，小麗獲勝

的可能性也是3/9,二者相等，所以用“石頭、剪子、

布”來(lái)確定誰(shuí)跳是公允的。

為了不重復(fù)、不遺漏地列出全部可能的結(jié)果，教

學(xué)時(shí)可讓學(xué)生結(jié)合以前學(xué)的排列組合學(xué)問(wèn)進(jìn)展思索0

在找出游戲的全部可能結(jié)果后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生相識(shí)到每

種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，在此根底上，再解決“小

強(qiáng)獲勝的可能性是多大”就比擬簡(jiǎn)潔了。

②做一做。

為了求擺出的三位數(shù)是單數(shù)的可能性，首先應(yīng)陳

設(shè)出3,5,6這三張卡片能夠擺出的全部三位數(shù)，即

3個(gè)數(shù)的全排列共有=6種：356,365,536,563,635,

653。由此可見(jiàn)，6個(gè)三位數(shù)中單數(shù)有4個(gè)，雙數(shù)有兩

個(gè)，所以擺出的三位數(shù)是單數(shù)的可能性是4/6=2/3,

是雙數(shù)的可能性是2/6=1/3。教學(xué)時(shí)，應(yīng)留意引導(dǎo)學(xué)

生利用以前學(xué)習(xí)的排列組合方法，以保證在陳設(shè)時(shí)做

到不重復(fù)不遺漏。

除了列舉法，也可依據(jù)單數(shù)和雙數(shù)的特性來(lái)分析

問(wèn)題。判定一個(gè)數(shù)是單數(shù)還是雙數(shù)主要看這個(gè)數(shù)的個(gè)

位，假設(shè)個(gè)位上的數(shù)字是單數(shù)，那么該數(shù)就是單數(shù),

反之，那么說(shuō)明該數(shù)是雙數(shù)。此時(shí)此刻來(lái)看3,5,6

這3個(gè)數(shù)字，3,5都是單數(shù)，只有6是雙數(shù)，所以當(dāng)

3或5都放在個(gè)位時(shí)，組成的三位數(shù)就是單數(shù)，只有

當(dāng)6放在個(gè)位時(shí)，組成的三位數(shù)才是雙數(shù)，因而擺出

的三位數(shù)是單數(shù)的可能性是2/3,是雙數(shù)的可能性是

1/3o

由以上的分析可以看出，這個(gè)游戲規(guī)那么對(duì)猜"擺出的

三位數(shù)是雙數(shù)〃的一方不利，所以游戲不公允。

（7）關(guān)于練習(xí)二十二中一些習(xí)題的說(shuō)明和教學(xué)

建議。

第1題，從4張數(shù)字卡片中隨意抽取兩張，這是

一個(gè)組合問(wèn)題，共有種，分別是：①2,3;02,7:

③2,8；（4）3,7；（5）3,8;?7,8。其中第一種和

第五種狀況下兩數(shù)的乘積既是2的整數(shù)倍又是3的整

數(shù)倍，所以可解除，即有效的組合有4種。在這4種

組合中，乘積是2的整數(shù)倍的有3種（2,7；2,8；

7,8）,乘積是3的整數(shù)倍的有1種（3,7）,所以

這個(gè)玩法不公允。

依據(jù)已有的規(guī)那么，為了使游戲公允，那么必需

換掉卡片或卡片，并且新加的數(shù)字卡片應(yīng)滿足如下條

件：該數(shù)字是不能被3整除的單數(shù)，如5o教學(xué)時(shí)，

應(yīng)留意說(shuō)明當(dāng)兩個(gè)數(shù)的乘積既不能被2整除又不能被

3整除時(shí)，也要重來(lái)。

第2題，投擲一粒骰子，朝上的數(shù)字有6種可能

的結(jié)果，依據(jù)乘法原理，同時(shí)擲兩粒骰子時(shí)，那么可

能出現(xiàn)的結(jié)果共有6x6=36種，并且這36種結(jié)果出現(xiàn)

的可能性都相等，均為1/36o與此對(duì)應(yīng)，36種狀況下

兩個(gè)數(shù)字的和的分布狀況如下表陰影局部所示：

從表中可見(jiàn)，和是單數(shù)的結(jié)果有18種，所以和

是單數(shù)的可能性是18/36=1/2,同理，和是雙數(shù)的可

能性也是1/2,故這個(gè)游戲?qū)﹄p方是公允的。

第3題，此題是開(kāi)放的，學(xué)生可依據(jù)自己的生活

實(shí)際，從熟悉的游戲、活動(dòng)中找尋題材，先探究這些

游戲、活動(dòng)的規(guī)那么是否比照賽各方都公允，假如不

公允，那么依據(jù)等可能性思想，對(duì)游戲的規(guī)那么進(jìn)展

矯正，或重新制定，直到使其滿足公允性。

2.理解中位數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，會(huì)求數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

了解中位數(shù)與平均數(shù)的聯(lián)系和區(qū)分，會(huì)依據(jù)數(shù)據(jù)的具

體狀況合理選擇統(tǒng)計(jì)量。

中位數(shù)和平均數(shù)一樣，也是描述一組數(shù)據(jù)集中趨

勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量，但它和平均數(shù)有以下兩點(diǎn)不同：一是平

均數(shù)只是一個(gè)“虛擬”的數(shù)，即一組數(shù)據(jù)的和除以該組

數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得的商，而中位數(shù)并不完全是“虛擬”數(shù),

當(dāng)一組數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，它就是該組數(shù)據(jù)依次排列后

最中間的那個(gè)數(shù)據(jù)，是這組數(shù)據(jù)中真實(shí)存在的一個(gè)數(shù)

據(jù)；二是平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里的每個(gè)數(shù)據(jù)都有

關(guān)系，任何一個(gè)數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)引起平均數(shù)大小的變

更，而中位數(shù)那么僅與一組數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān),

某些數(shù)據(jù)的變動(dòng)對(duì)中位數(shù)沒(méi)有影響，所以當(dāng)一組數(shù)據(jù)

的個(gè)別數(shù)據(jù)偏大或偏小時(shí)，用中位數(shù)來(lái)描述該組數(shù)據(jù)

的集中趨勢(shì)就比擬相宜。

在講中位數(shù)的概念時(shí)，還要留意一組數(shù)據(jù)的中位

數(shù)只有一個(gè)，在數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)的狀況下，中位數(shù)是

這組數(shù)據(jù)最中間的那個(gè)數(shù)據(jù)；在數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)的狀

況下，中位數(shù)是最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

(1)例4。

本例通過(guò)解決“用什么數(shù)表示第3組同學(xué)的擲沙

包水平比擬相宜”這一問(wèn)題，引出了中位數(shù)的概念。在

第一學(xué)段，學(xué)生確定道用平均數(shù)來(lái)描述一組數(shù)據(jù)的總

體狀況比擬便利和適用，但平均數(shù)與一組數(shù)據(jù)中的每

個(gè)數(shù)據(jù)都有干脆的關(guān)系，隨意一個(gè)數(shù)據(jù)大小的變更都

會(huì)對(duì)平均數(shù)值產(chǎn)生影響。例如本例，因?yàn)閭€(gè)別數(shù)據(jù)偏

大，導(dǎo)致平均數(shù)不能很好地反映第3組同學(xué)擲沙包的

一般水平。由此沖突，就要求我們找尋新的統(tǒng)計(jì)量來(lái)

"彌補(bǔ)”平均數(shù)在描述某些數(shù)據(jù)組時(shí)的缺乏，從而很自

然地引入中位數(shù)的概念。

教學(xué)時(shí)，應(yīng)把握好以下幾個(gè)層次：一是引入中位

數(shù)的必要性；二是定義中位數(shù)的概念時(shí)，要突出中位

數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義；三是說(shuō)明中位數(shù)與平均數(shù)各自的特點(diǎn)

和適用范圍。

首先，老師可出示統(tǒng)計(jì)表，提出問(wèn)題：你們覺(jué)得

第3組同學(xué)擲沙包的一般水平應(yīng)當(dāng)是多少呢？學(xué)生可

能會(huì)估計(jì)他們的一般成果在23?25米之間，然后再

讓學(xué)生算出該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是27.7,從而發(fā)覺(jué)與他

們的估計(jì)有較大出入，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，然后引

導(dǎo)學(xué)生發(fā)覺(jué)大多數(shù)同學(xué)的成果都低于平均值，說(shuō)明用

平均數(shù)來(lái)表示第3組同學(xué)擲沙包的一般水平不太相宜,

由此引出中位數(shù)。

教學(xué)時(shí)應(yīng)把中位數(shù)特點(diǎn)講清晰，讓學(xué)生明白：把

一組數(shù)據(jù)按大小依次排列后，最中間的數(shù)據(jù)就是中位

數(shù)，它的優(yōu)點(diǎn)是不受偏大或偏小數(shù)據(jù)的影響。如在本

例中，因?yàn)橛袃蓚€(gè)同學(xué)的成果太高，緊要偏離了大多

數(shù)同學(xué)的水平，這時(shí)用中位數(shù)來(lái)表示第3組同學(xué)擲沙

包的一般水平就比擬相宜。在教學(xué)怎樣求中位數(shù)時(shí)，

要強(qiáng)調(diào)“中位”是相對(duì)一組數(shù)據(jù)的數(shù)值大小依次而言

的，計(jì)算中位數(shù)前首先應(yīng)將該組數(shù)據(jù)遵照大小依次進(jìn)

展排列，再找出處于最中間位置的數(shù)據(jù)。

最終，老師可適當(dāng)小結(jié)一下，使學(xué)生相識(shí)到平均

數(shù)與中位數(shù)都是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量，但

針對(duì)具體的一組數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，那么應(yīng)依據(jù)數(shù)據(jù)組中各個(gè)

數(shù)據(jù)的分布狀況，合理選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量。如當(dāng)一組

數(shù)據(jù)中某些數(shù)據(jù)緊要偏大或偏小時(shí)，就最好選用中位

數(shù)來(lái)表示該組數(shù)據(jù)的一般水平。

（2）例5。

設(shè)計(jì)本例的目的是使學(xué)生進(jìn)一步理解中位數(shù)的概念,

駕馭求中位數(shù)的方法，另外更重要的一點(diǎn)是讓學(xué)生體

會(huì)中位數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的作用。

本例呈現(xiàn)了幾名男生的跳遠(yuǎn)成果，并從平均數(shù)和

中位數(shù)兩個(gè)角度對(duì)該數(shù)據(jù)組進(jìn)展了分析，結(jié)果說(shuō)明用

中位數(shù)代表這組成果的一般水平更相宜。針對(duì)給定的

一組數(shù)據(jù)，判定某個(gè)統(tǒng)計(jì)量?jī)?yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)就是該統(tǒng)計(jì)量

是否包含了數(shù)據(jù)組足夠多的信息量，是否很好地反映

了該組數(shù)據(jù)的大局部特征，也即該統(tǒng)計(jì)量蘊(yùn)涵了更多

的有關(guān)該組數(shù)據(jù)的信息。對(duì)例5而言，7名男生跳遠(yuǎn)

成果的平均數(shù)是2.96,中位數(shù)是2.89,分析發(fā)覺(jué)有5

名男生的成果都低于平均值，從而說(shuō)明在這里用平均

數(shù)來(lái)代表該組成果不太相宜，應(yīng)選用中位數(shù)。為讓學(xué)

生更完整地駕馭求給定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)的方法，在

本例最終，有意將原數(shù)據(jù)組的7個(gè)數(shù)據(jù)變成了8個(gè),

以向?qū)W生介紹當(dāng)一組數(shù)據(jù)有偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)中位數(shù)的

求法。

教學(xué)時(shí)，先出示五（2）班7名男生的跳遠(yuǎn)成果

統(tǒng)計(jì)表，讓學(xué)生依據(jù)統(tǒng)計(jì)表說(shuō)說(shuō)用什么數(shù)來(lái)代表該組

數(shù)據(jù)比擬相宜，引導(dǎo)學(xué)生從已經(jīng)學(xué)過(guò)的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量的

角度進(jìn)展思索。在學(xué)生計(jì)算中位數(shù)時(shí)，本例與例4不

同之處是統(tǒng)計(jì)表中7個(gè)數(shù)據(jù)還沒(méi)有按大小依次排列,

故應(yīng)先調(diào)整統(tǒng)計(jì)表中各數(shù)據(jù)的位置，使之有序排列，

然后再仿例4進(jìn)展計(jì)算?？勺寣W(xué)生通過(guò)小組探討的形

式來(lái)分析平均數(shù)和中位數(shù)的特點(diǎn)，并引導(dǎo)他們結(jié)合本

例的實(shí)際狀況，以做出合理的選擇。

（3）關(guān)于練習(xí)二十三中一些習(xí)題的說(shuō)明和教學(xué)

建議。

第1題，教學(xué)時(shí)，可以先讓學(xué)生依據(jù)7名同學(xué)的

成果估一估他們跳繩的一般水平大約應(yīng)是多少，然后

再分別計(jì)算出平均數(shù)和中位數(shù)，比擬后發(fā)覺(jué)用中位數(shù)

140來(lái)表示該小組同學(xué)跳繩的一般水平相宜，因?yàn)槠?/p>

均數(shù)是144,而7人中有5人的成果都低于該數(shù)值，

所以不具有代表性。進(jìn)一步探究會(huì)發(fā)覺(jué)，造成平均數(shù)

偏