組合理論試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.從5個(gè)元素中選2個(gè)的組合數(shù)是（）A.10B.15C.20D.252.組合數(shù)$C(n,k)$與$C(n,n-k)$的關(guān)系是（）A.相等B.互為相反數(shù)C.相加為1D.相乘為13.若$C(n,3)=C(n,5)$，則$n$的值為（）A.6B.7C.8D.94.從8個(gè)不同元素中選取3個(gè)元素的組合數(shù)計(jì)算式是（）A.$8\times7\times6$B.$\frac{8!}{3!(8-3)!}$C.$\frac{8!}{3!}$D.$\frac{8!}{5!}$5.5個(gè)人中選2個(gè)人去參加活動(dòng)，有多少種選法（）A.10B.8C.12D.166.組合數(shù)$C(7,2)$的值是（）A.21B.14C.28D.357.從$n$個(gè)元素中選$n$個(gè)元素的組合數(shù)是（）A.0B.1C.$n$D.$n!$8.若$C(n,2)=10$，則$n$等于（）A.4B.5C.6D.79.從6個(gè)元素中選4個(gè)元素的組合數(shù)是（）A.15B.20C.18D.2410.組合數(shù)$C(n,k)$中$n$、$k$的取值范圍是（）A.$n\inN,k\inN$B.$n\inN,k\leqn,k\inN$C.$n\inR,k\inN$D.$n\inN,k\gtn,k\inN$多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是組合數(shù)的性質(zhì)（）A.$C(n,k)=C(n,n-k)$B.$C(n,k)+C(n,k+1)=C(n+1,k+1)$C.$C(n,0)=1$D.$C(n,n)=1$2.從6個(gè)不同元素中選取若干個(gè)元素的組合情況包括（）A.選0個(gè)B.選1個(gè)C.選2個(gè)D.選6個(gè)3.計(jì)算組合數(shù)$C(8,3)$可能用到的公式有（）A.$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$B.$C(n,k)=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$C.$C(n,k)+C(n,k+1)=C(n+1,k+1)$D.$C(n,k)=C(n,n-k)$4.下列組合數(shù)相等的有（）A.$C(7,3)$與$C(7,4)$B.$C(6,2)$與$C(6,4)$C.$C(10,5)$與$C(10,6)$D.$C(9,1)$與$C(9,8)$5.組合數(shù)$C(n,k)$在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景可能涉及（）A.人員選拔B.物品選取C.分組問(wèn)題D.排隊(duì)問(wèn)題6.關(guān)于組合數(shù)$C(5,3)$說(shuō)法正確的是（）A.表示從5個(gè)元素中選3個(gè)元素的組合數(shù)B.計(jì)算結(jié)果為10C.與$C(5,2)$相等D.其值小于$C(6,3)$7.以下哪些情況可以用組合數(shù)計(jì)算（）A.從10種水果中選3種購(gòu)買B.從8個(gè)班級(jí)中選2個(gè)班級(jí)參加活動(dòng)C.5個(gè)人站成一排的排列方式D.7個(gè)不同顏色球中選4個(gè)球的選法8.組合數(shù)滿足的關(guān)系有（）A.$C(n,k)\leqC(n,k+1)$（當(dāng)$k\lt\frac{n}{2}$時(shí)）B.$C(n,k)\geqC(n,k+1)$（當(dāng)$k\geq\frac{n}{2}$時(shí)）C.$C(n,0)+C(n,1)+\cdots+C(n,n)=2^n$D.$C(n,k)\gtC(n-1,k)$（當(dāng)$k\geq1$時(shí)）9.已知$C(n,k)$，當(dāng)$n$固定時(shí)，隨著$k$從0到$n$變化，組合數(shù)的變化規(guī)律是（）A.先增大后減小B.中間項(xiàng)最大C.當(dāng)$n$為偶數(shù)，$k=\frac{n}{2}$時(shí)最大D.當(dāng)$n$為奇數(shù)，$k=\frac{n-1}{2}$或$k=\frac{n+1}{2}$時(shí)最大10.計(jì)算組合數(shù)$C(9,4)$時(shí)，正確的是（）A.用公式$C(9,4)=\frac{9!}{4!(9-4)!}$B.用公式$C(9,4)=\frac{9\times8\times7\times6}{4!}$C.其值為126D.可轉(zhuǎn)化為$C(9,5)$計(jì)算判斷題（每題2分，共10題）1.組合數(shù)$C(n,k)$中$n$必須大于$k$。（）2.$C(5,2)$和$C(5,3)$計(jì)算結(jié)果相同。（）3.從3個(gè)元素中選0個(gè)元素的組合數(shù)是0。（）4.組合數(shù)的計(jì)算與元素順序有關(guān)。（）5.若$C(n,k)=C(m,k)$，則$n=m$。（）6.$C(n,1)=n$。（）7.組合數(shù)$C(n,k)$一定是整數(shù)。（）8.從7個(gè)元素中選7個(gè)元素的組合數(shù)是7。（）9.$C(n,k)+C(n,k-1)=C(n+1,k)$。（）10.組合數(shù)$C(4,2)\ltC(4,3)$。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述組合數(shù)與排列數(shù)的區(qū)別。答案：組合數(shù)只關(guān)注元素選取，不考慮順序；排列數(shù)不僅考慮選取元素，還關(guān)注元素的排列順序。2.寫出組合數(shù)的兩個(gè)重要性質(zhì)。答案：性質(zhì)一：$C(n,k)=C(n,n-k)$；性質(zhì)二：$C(n,k)+C(n,k+1)=C(n+1,k+1)$。3.如何用公式計(jì)算$C(6,3)$？答案：根據(jù)公式$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$，$C(6,3)=\frac{6!}{3!(6-3)!}=\frac{6\times5\times4}{3\times2\times1}=20$。4.舉例說(shuō)明組合數(shù)在生活中的應(yīng)用。答案：比如從8名志愿者中選3名去參加活動(dòng)，用組合數(shù)計(jì)算選法數(shù)量，不考慮選出志愿者的順序。討論題（每題5分，共4題）1.在計(jì)算復(fù)雜組合數(shù)時(shí)，如何選擇合適的方法？答案：若數(shù)據(jù)較小，可用定義公式直接算；數(shù)據(jù)大時(shí)，利用性質(zhì)轉(zhuǎn)化，如$C(n,k)=C(n,n-k)$減少計(jì)算量，還可結(jié)合楊輝三角等輔助計(jì)算。2.組合數(shù)性質(zhì)在證明一些數(shù)學(xué)結(jié)論時(shí)有什么作用？答案：可簡(jiǎn)化證明過(guò)程，通過(guò)性質(zhì)對(duì)組合數(shù)進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化，利用已知關(guān)系推導(dǎo)新結(jié)論，像證明二項(xiàng)式系數(shù)相關(guān)結(jié)論等。3.當(dāng)遇到“至少選幾個(gè)元素”這樣的組合問(wèn)題時(shí)，如何思考？答案：可從反面思考，先求“選不到規(guī)定最少元素個(gè)數(shù)”的組合數(shù)，再用總組合數(shù)減去它；也可分類討論，按選到規(guī)定最少元素個(gè)數(shù)及更多的情況分別計(jì)算組合數(shù)再相加。4.探討組合數(shù)與概率問(wèn)題的聯(lián)系。答案：在古典概型中，計(jì)算事件發(fā)生的概率常涉及組合數(shù)。確定基本事件總數(shù)和事件包含的基本事件數(shù)時(shí)，若不考慮順序，常用組合數(shù)計(jì)算，進(jìn)而求出事件發(fā)生概率。答案單項(xiàng)選擇題1.A2.A3.C4.B5.A6.A7.B8.B9