數(shù)值分析試題庫(kù)及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.數(shù)值計(jì)算中，有效數(shù)字越多，誤差（）A.越大B.越小C.不變D.不確定2.迭代法收斂的充分條件是迭代函數(shù)的導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值（）A.大于1B.等于1C.小于1D.小于03.辛普森求積公式的代數(shù)精度是（）A.1B.2C.3D.44.用二分法求方程\(f(x)=0\)在區(qū)間\([a,b]\)內(nèi)的根，要求誤差不超過(guò)\(\varepsilon\)，則迭代次數(shù)\(n\)至少為（）A.\(\log_2\frac{b-a}{\varepsilon}\)B.\(\log_2\frac{b-a}{2\varepsilon}\)C.\(\log_2\frac{\varepsilon}{b-a}\)D.\(\log_2\frac{2\varepsilon}{b-a}\)5.高斯消去法解線性方程組的基本思想是（）A.消元B.迭代C.求逆D.分解6.牛頓插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是（）A.計(jì)算簡(jiǎn)單B.余項(xiàng)易求C.節(jié)點(diǎn)改變時(shí)部分計(jì)算可保留D.精度高7.數(shù)值積分中，復(fù)化梯形公式的誤差階是（）A.\(O(h^2)\)B.\(O(h^3)\)C.\(O(h^4)\)D.\(O(h)\)8.雅可比迭代法解線性方程組\(Ax=b\)時(shí)，迭代矩陣\(B_J\)是（）A.\(D^{-1}(L+U)\)B.\(-D^{-1}(L+U)\)C.\((D-L)^{-1}U\)D.\(-(D-L)^{-1}U\)9.已知\(x_0,x_1\)，拉格朗日插值基函數(shù)\(l_0(x)\)為（）A.\(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\)B.\(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\)C.\(\frac{x-x_1}{x_1-x_0}\)D.\(\frac{x-x_0}{x_0-x_1}\)10.數(shù)值微分中，中心差商公式\(f^\prime(x_0)\approx\)（）A.\(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)B.\(\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}\)C.\(\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}\)D.\(\frac{f(x_0+h)-2f(x_0)+f(x_0-h)}{h^2}\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.數(shù)值計(jì)算中誤差來(lái)源有（）A.模型誤差B.觀測(cè)誤差C.截?cái)嗾`差D.舍入誤差2.求解非線性方程\(f(x)=0\)的迭代法有（）A.二分法B.牛頓迭代法C.弦截法D.迭代法3.數(shù)值積分方法有（）A.梯形公式B.辛普森公式C.高斯求積公式D.復(fù)化梯形公式4.解線性方程組\(Ax=b\)的直接法有（）A.高斯消去法B.列主元高斯消去法C.三角分解法D.雅可比迭代法5.插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法有（）A.拉格朗日插值B.牛頓插值C.埃爾米特插值D.樣條插值6.衡量迭代法收斂速度的指標(biāo)有（）A.收斂階B.迭代次數(shù)C.誤差D.計(jì)算量7.數(shù)值穩(wěn)定性好的算法特點(diǎn)有（）A.舍入誤差不增長(zhǎng)B.對(duì)初始數(shù)據(jù)不敏感C.計(jì)算量小D.收斂速度快8.以下屬于線性多步法的有（）A.歐拉法B.改進(jìn)歐拉法C.四階龍格-庫(kù)塔法D.亞當(dāng)姆斯方法9.解矩陣特征值問(wèn)題的方法有（）A.冪法B.反冪法C.QR分解法D.雅可比方法10.樣條插值的優(yōu)點(diǎn)有（）A.光滑性好B.局部性C.精度高D.計(jì)算簡(jiǎn)單三、判斷題（每題2分，共10題）1.有效數(shù)字位數(shù)越多，近似數(shù)越精確。（）2.迭代法收斂則一定有唯一解。（）3.數(shù)值積分中，積分節(jié)點(diǎn)越多，精度一定越高。（）4.高斯消去法一定能求解任意線性方程組。（）5.拉格朗日插值多項(xiàng)式和牛頓插值多項(xiàng)式是相同的。（）6.雅可比迭代法和高斯-賽德?tīng)柕ㄊ諗啃韵嗤?。（?.數(shù)值微分的精度與步長(zhǎng)有關(guān)。（）8.冪法可以求矩陣的任意特征值。（）9.樣條插值函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。（）10.復(fù)化梯形公式比梯形公式精度高。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述數(shù)值計(jì)算中誤差分析的重要性。誤差分析能評(píng)估計(jì)算結(jié)果的可靠性，幫助判斷算法優(yōu)劣，合理控制計(jì)算過(guò)程中的誤差積累，避免因誤差導(dǎo)致結(jié)果嚴(yán)重偏離真實(shí)值，確保數(shù)值計(jì)算的有效性和準(zhǔn)確性。2.簡(jiǎn)述牛頓迭代法的基本原理。對(duì)于方程\(f(x)=0\)，在初始值\(x_0\)附近，用切線近似代替曲線，切線與\(x\)軸交點(diǎn)作為新的近似值\(x_1\)，迭代公式為\(x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^\prime(x_k)}\)，逐步逼近方程的根。3.簡(jiǎn)述高斯消去法解線性方程組的步驟。通過(guò)初等行變換將增廣矩陣化為上三角矩陣，然后從最后一個(gè)方程開(kāi)始，依次回代求解出各個(gè)未知量的值。4.簡(jiǎn)述插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)概念。插值多項(xiàng)式\(P(x)\)與被插函數(shù)\(f(x)\)在插值節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值相等，但在其他點(diǎn)可能有差異，余項(xiàng)\(R(x)=f(x)-P(x)\)，用于衡量插值多項(xiàng)式逼近被插函數(shù)的誤差。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論數(shù)值計(jì)算中如何選擇合適的算法。要綜合考慮問(wèn)題特點(diǎn)、精度要求、計(jì)算量、穩(wěn)定性等。如計(jì)算簡(jiǎn)單問(wèn)題可選用基礎(chǔ)算法；高精度要求選精度高算法；對(duì)舍入誤差敏感問(wèn)題選穩(wěn)定性好算法；計(jì)算量大的情況優(yōu)先考慮計(jì)算量小的算法。2.討論迭代法收斂性與初始值選取的關(guān)系。初始值選取對(duì)迭代法收斂性影響較大。合適的初始值能使迭代快速收斂，若初始值選得不好，可能導(dǎo)致迭代發(fā)散。有些迭代法對(duì)初始值要求寬松，有些則很嚴(yán)格，需根據(jù)具體迭代法性質(zhì)和問(wèn)題特點(diǎn)合理選取初始值。3.討論數(shù)值積分中不同方法的適用場(chǎng)景。梯形公式簡(jiǎn)單但精度低，適用于精度要求不高情況；辛普森公式精度較高，常用于一般精度需求；高斯求積公式精度高但節(jié)點(diǎn)和系數(shù)確定復(fù)雜，適用于高精度計(jì)算；復(fù)化公式通過(guò)細(xì)分區(qū)間提高精度，適用于區(qū)間較大情況。4.討論直接法和迭代法解線性方程組的優(yōu)缺點(diǎn)。直接法優(yōu)點(diǎn)是經(jīng)過(guò)有限步運(yùn)算可得到精確解，缺點(diǎn)是計(jì)算量大，對(duì)內(nèi)存要求高，且對(duì)系數(shù)矩陣病態(tài)情況敏感；迭代法優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單、存儲(chǔ)量小，適用于大型稀疏矩陣，缺點(diǎn)是可能不收斂，收斂速度可能慢。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.C3.C4.B5.A6.C7.A8.B9.A1