頂興高級(jí)中學(xué)春季學(xué)期高二年級(jí)第一次月考卷數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊(cè)，必修第二冊(cè)，選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則下列選項(xiàng)中不是中項(xiàng)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可判斷.【詳解】時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，故ACD錯(cuò)誤；令，解得，故不是數(shù)列中的項(xiàng).故選：C2.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用并集的運(yùn)算即可求解.【詳解】.故選：B.3.已知復(fù)數(shù)，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求得，再根據(jù)模的定義求值即可.【詳解】由題意，，故．故選：B．4.據(jù)報(bào)道，從2024年7月16日起，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)組將上線新成昆鐵路和達(dá)成鐵路，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)組涂裝用的是高耐性油漆，可適應(yīng)高海拔低溫環(huán)境．“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)組列車(chē)全長(zhǎng)236.7米，由9輛編組構(gòu)成，設(shè)有6個(gè)商務(wù)座、28個(gè)一等座、642個(gè)二等座，最高運(yùn)行時(shí)速達(dá)160千米，全列定額載客676人．假設(shè)“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)開(kāi)出站一段時(shí)間內(nèi)，速度與行駛時(shí)間的關(guān)系為，則當(dāng)時(shí)，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)的加速度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過(guò)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求瞬時(shí)變化率求解．【詳解】因?yàn)椋裕十?dāng)時(shí)，，即時(shí)，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)的加速度為，故選：B5.已知，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解方程，即可求得的最小值.【詳解】由，可得，所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值．故選：A．6.“或”是“冪函數(shù)為偶函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用冪函數(shù)定義及充要條件的定義判斷.【詳解】由為冪函數(shù)，可得，解得或，且時(shí)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，也為偶函數(shù)，故“或”是“冪函數(shù)為偶函數(shù)”的充要條件．故選：C．7.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.20 B.16 C.7 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)成等差數(shù)列，得到方程，求出答案.詳解】由題意得成等差數(shù)列，故，即，解得.故選：C8.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先令，根據(jù)題中條件，判斷其單調(diào)遞減；將所求不等式化為，結(jié)合單調(diào)性，得到，求解即可.【詳解】令，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減；又，所以，因此不等式可化為，所以，解得，即不等式的解集為.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知一組互不相等的樣本數(shù)據(jù)從小到大依次為，且這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)據(jù)的中位數(shù)是B.數(shù)據(jù)分位數(shù)是C.數(shù)據(jù)的平均數(shù)是D.數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義即可判斷A；根據(jù)百分位數(shù)的定義即可判斷B；根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；根據(jù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由題意數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以?shù)據(jù)的分位數(shù)是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，故C正確；對(duì)于D，數(shù)據(jù)的方差為，所以數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】直接利用求導(dǎo)公式和法則計(jì)算導(dǎo)數(shù).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，故D正確．故選：ACD．11.已知點(diǎn)及圓，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為B.過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為C.當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)與平行的一條直線的方程為D.過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線的方程為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，利用垂徑定理和勾股定理即可求得弦長(zhǎng)；對(duì)于B，利用圓心到直線的距離等于半徑即可求得切線方程，要注意切線斜率不存在的情況；對(duì)于C，利用平行線之間的距離公式計(jì)算即得；對(duì)于D，結(jié)合圖形易得，再根據(jù)圓的軸對(duì)稱性質(zhì)求得直線的斜率即可求出其方程.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓的半徑.對(duì)于，如圖，直線的方程為0，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，故直線被圓截得的弦長(zhǎng)為故A正確；對(duì)于B，如圖，圓的過(guò)點(diǎn)的切線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即，由，解得，此時(shí)切線方程為，另一條切線是斜率不存在的直線故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)與平行的一條直線，即為與直線距離為2的圓的切線.因直線的斜率為2，可設(shè)該切線方程為，又直線的直線方程為，則可得解得故C正確；對(duì)于D，如圖，連接,易得過(guò)點(diǎn)的切線所在直線方程為，故，又由圓的對(duì)稱性可知,因,則,故直線的方程為，即，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則________.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，通過(guò)賦值求出的值即可進(jìn)一步求解.【詳解】，所以，所以.故答案為：.13.已知，，且，則向量的夾角為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義，結(jié)合已知條件求值即可.【詳解】設(shè)的夾角為，由，得，即，所以，因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?14.已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是的焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)）在上，且，則取最小值時(shí)，直線的斜率為_(kāi)_____．【答案】##或【解析】【分析】將代入拋物線方程可解得，進(jìn)而得拋物線方程為；由題意判斷直線的斜率存在且都不為0，故設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得，代入直線方程可得，結(jié)合拋物線的定義可得，同理，表示出，利用配方法可得最小值，解出斜率即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，所以，解得；所以，由題意可知直線的斜率存在且都不為0，設(shè)直線的方程為，由，得，所以，解得，所以，又，則設(shè)直線的方程為，由，得，所以，解得，所以，所以，所以當(dāng)，即時(shí)，有最小值，且最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處切線的方程；（2）求函數(shù)的極值．【答案】（1）（2）極小值為，極大值為13【解析】【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，最后根據(jù)切點(diǎn)求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)求極值.【小問(wèn)1詳解】由，得，因?yàn)?，所以，所以曲線在點(diǎn)處切線的方程為，即．【小問(wèn)2詳解】令，得或，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：300單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減又，所以函數(shù)的極小值為，極大值為13．16.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列出等式，聯(lián)立方程組求得的值，從而寫(xiě)出通項(xiàng)公式；（2）由（1）寫(xiě)出的通項(xiàng)公式，然后由裂項(xiàng)相消求得其前項(xiàng)和．【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，由，得，所以，所以．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，所以17.如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)．（1）求證：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位線性質(zhì)以及線面平行判定定理證明可得結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法計(jì)算可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè)，連接，在直三棱柱中，四邊形是平行四邊形，所以是的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以.又平面，平面，所以直線平面.【小問(wèn)2詳解】在直三棱柱中，平面，又，平面，所以，，又，所以以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)?，，，所以，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令1，得，，所以平面的一個(gè)法向量為，又，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.18.已知雙曲線的離心率是，焦距為6．（1）求的方程；（2）若直線與相交于兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的方程．【答案】（1）．（2）或．【解析】【分析】（1）依題意求出和，進(jìn)而求出，即可得雙曲線方程；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元后根據(jù)韋達(dá)定理可得，，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，代入，即可求出的值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率是，焦距為6，所以，，其中，解得，，所以．因此，的方程為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，聯(lián)立方程消去，得，因?yàn)橹本€與相交于兩點(diǎn)，所以即且，由韋達(dá)定理，得，，又，，所以，即，所以，將韋達(dá)定理代入上式，得，即，解得，滿足且，因此，的方程為或．19.對(duì)于函數(shù)，規(guī)定叫做函數(shù)的階導(dǎo)數(shù).若函數(shù)在包含的某個(gè)閉區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，且在開(kāi)區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)閉區(qū)間上任意一點(diǎn)，該公式稱為函數(shù)在處的階泰勒展開(kāi)式，是此泰勒展開(kāi)式的階余項(xiàng).已知函數(shù).（1）寫(xiě)出函數(shù)在處的3階泰勒展開(kāi)式（用表示即可）；（2）設(shè)函數(shù)在處的3階余項(xiàng)為，求證：對(duì)任意的；（3）求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)在處的階泰勒展開(kāi)式的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)定義求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出在的最大值即可證明；（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，，從而得到，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，