人教版中學(xué)七年級數(shù)學(xué)下冊期末解答題壓軸題及答案

一、解答題

1.如圖1,用兩個(gè)邊長相同的小正方形拼成一個(gè)大的正方形.

（1）如圖2,若正方形紙片的面積為1dm?,則此正方形的對角線4C的長為_dm.

（2）如圖3,若正方形的面積為16cm2,李明同學(xué)想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面積

為12cm2的長方形紙片，使它的長和寬之比為3：2,他能裁出嗎？請說明理由.

2.（1）若一圓的面積與這個(gè)正方形的面積都是2乃cm"設(shè)圓的周長為品M正方形的周長

為。正，則。品?（填或"<〃或"〉〃號）

（2）如圖，若正方形的面枳為16cm2,李明同學(xué)想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面積為

12cm2的長方形紙片，使它的長和寬之比為3：2,他能栽出嗎？請說明理由.

3.如圖，用兩個(gè)邊長為15&的小正方形拼成一個(gè)大的正方形，

（1）求大正方形的邊長？

（2）若沿此大正方形邊的方向剪出一個(gè)長方形，能否使剪出的長方形紙片的長寬之比為

4：3,且面積為720cm2?

4.張華想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向剪出?塊面積為300cm2的長

方形紙片,使它的K寬之比為3：2.他不知能否裁得出來,正在發(fā)愁.李明見了說：“別

發(fā)愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片.”你同意李明的說法嗎？張華能

用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？

5.求下圖4x4的方格中陽影部分正方形面積與邊長.

二、解答題

6.如圖，直線入8II直線CD,線段EFIICD,連接8F、CF.

(1)求證：ZA8F+NOCF=NBFC：

(2)連接8E、CE、BC,若8E平分/48C,BEA.CE,求證：CE■平分NBCD；

(3)在(2)的條件下，G為EF上一點(diǎn),連接8G,若ZBFC=NBCF,ZFBG=2^ECF,

ZC8G=70。，求/FBE的度數(shù).

Si圖2圖3

7.如圖，MN//PQ,直線A。與MN、PQ分別交于點(diǎn)A、D,點(diǎn)8在直線尸。上，過點(diǎn)8

作8G_LAO,垂足為點(diǎn)G.

(1)如圖1,求證：ZM4G+ZPBG=90°：

(2)若點(diǎn)。在線段AO上(不與A、。、G重合)，連接BC,NM4G和NPBC的平分線

交于點(diǎn)H請?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形,猜想并證明NCBG與NA//4的數(shù)量關(guān)系;

圖1

8.如圖1,把一塊含30。的直角三角板4BC的8c邊放置于長方形直尺DEFG的EF邊上.

(1)根據(jù)圖1填空：Z1=。，Z2=

(2)現(xiàn)把三角板繞6點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)爐.

①如圖2,當(dāng)〃=25。，且點(diǎn)C恰好落在0G邊上時(shí)，求Nl、N2的度數(shù)；

②當(dāng)（TV/V180。時(shí)，是否會(huì)存在三角板某一邊所在的直線與直尺（有四條邊）某一邊所

在的直線垂直？如果存在，請直接寫出所有〃的值和對應(yīng)的那兩條垂線；如果不存在，請

說明理由.

PQ//EC交射線C。于點(diǎn)Q,連接CP.作/PCA=NPCQ,交直線A8于點(diǎn)F,CG平分

ZECF.

（1）若點(diǎn)P，F(xiàn),G都在點(diǎn)E的右側(cè)，求NPCG的度數(shù)；

（2）若點(diǎn)P,F,G都在點(diǎn)E的右側(cè)，NEGC-NECG=3（r,求NCPQ的度數(shù)；

（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的情形，使NEGC:N￡FC=4:3?若存在，求出

NCPQ的度數(shù)；若不存在，請說明理由.

10.問題情境：

（1）如圖1,AI3//CD,/以3=128。，/PCD=119。.求ZAPC度數(shù).小穎同學(xué)的解題思

路是：如圖2,過點(diǎn)P作PE//A8,請你接著完成解答.

問題遷移：

（2）如圖3,ADHBC,點(diǎn)P在射線0M上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)戶在A、8兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，

ZADP=4a,4PCE=4B.試判斷NC。。、Na、4之間有何數(shù)量關(guān)系？（提示：過點(diǎn)

〃作勿V/A。），請說明理由；

（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)尸在A、8兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不

重合），請你猜想NCP。、N。、”之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

(1)求N4EP的度數(shù)：

(2)如圖2,射線PN從P下出發(fā)，以每秒40。的速度緒P點(diǎn)按說時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)PN垂

宜A8時(shí)，立刻按原速返回至夕產(chǎn)后停止運(yùn)動(dòng)：射線EM從以出發(fā)，以每秒15。的速度繞E

點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至防后停止運(yùn)動(dòng)，若射線PN,射線石河同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)詞為

t秒.

①當(dāng)NMEP=20。時(shí)，求/EPN的度數(shù);

②當(dāng)EM//PN時(shí),求t的值.

13.已知點(diǎn)4B,。在一條直線上，以點(diǎn)。為端點(diǎn)在直線八8的同一側(cè)作射線OC,

OD,OE使ZBOC=NEOD=6().

圖①圖②備用圖

(1)如圖①，若0。平分/8OC,求NAOE的度數(shù)；

(2)如圖②，將NEOO燒點(diǎn)。按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置時(shí)，使得。。所在射線把

N8OC分成兩個(gè)角.

①若/COD:NBOD=1:2,求/4OE的度數(shù)；

②若NCOD:NBOD=1M"為正整數(shù))，直接用含。的代數(shù)式表示NAOE.

14.長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看

江水及兩岸河堤的情況，如圖，燈A射線自A"順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈8射線

自8P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視，若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是。？

秒，燈8轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是b?秒，且。、b滿足|〃-4力|+(。+5『=。.假定這一帶長江兩岸

河堤是平行的，即PQ〃MN,且N“AN=60。

圖2

（2）若燈8射線先轉(zhuǎn)動(dòng)45秒，燈4射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)燈8射線第一次到達(dá)8Q時(shí)運(yùn)動(dòng)

停止，問4燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？

（3）如圖，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈八射線到達(dá)AN之前.若射出的光束交于點(diǎn)C,過C作

。力，4。交?。于點(diǎn)。，QIJ在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，4AC與N3CD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?若不

變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請求出其取值范圍.

15.已知直線所//MN,點(diǎn)4B分別為痔，的V上的點(diǎn).

(1)如圖1,若NRC=ZAC8=120。，Z.CAD=-AFAC,/CBD=、NCBN,求/CBN

22

與乙4。4的度數(shù)；

(2)如圖2,若NE4C=Z4C4=120。，ZCAD=|zE4C,ZCBD=；/CBN,則

ZADB=°；

(3)若把(2)中“NE4C=ZAC9=120。，ZCAD=-ZFACtNCBD=L/CBN"改為

33

11

ZFAC=ZACB=m°fZC4D=-ZMC,ZCBD'NCBN",則

nn

ZADB=°.(用含〃?，〃的式子表示)

四、解答題

16.已知:如圖①，直線MN_L直線PQ,垂足為0,點(diǎn)A在射線。尸上，點(diǎn)6在射線0Q上

(A、8不與。點(diǎn)重合)，點(diǎn)C在射線0N上且0C=2,過點(diǎn)C作直線〃/PQ.點(diǎn)。在點(diǎn)C的

左邊且C/)=3

⑴直接寫出的ABCD面枳;

（2）如圖②，若ACJ.BC,作NC84的平分線交0C于E,交AC于尸，試說明

ZCEF=ZCFE;

H

②N

③

（3）如圖③，若NAOC=ND4C,點(diǎn)“在射線0Q上運(yùn)動(dòng).4a的平分線交OA的延長線

于點(diǎn)，，在點(diǎn)“運(yùn)動(dòng)過程中條;;的值是否變化?若不變，求出其值;若變化，求出變化范圍.

Z.ABC

17.操作示例：如圖1,在△ABC中，4。為8c邊上的中線，ZiAB。的面積記為Si,ADC

的面積記為52.則Sl=S2.

解決問題：在圖2中，點(diǎn)D、E分別是邊48、8c的中點(diǎn)，若A8DE的面積為2,則四邊形

ADEC的面積為.

拓展延伸：

（1）如圖3,在△48C中，點(diǎn)D在邊8c上，且BD=2CD,△48。的面積記為8,△ADC的

面積記為S2.則Si與52之間的數(shù)量關(guān)系為.

（2）如圖4,在△ABC中，點(diǎn)。、E分別在邊48、47上，連接8￡、CD交于點(diǎn)。，且

B0=2E0,CO=DO,若△BOC的面積為3,則四邊形4D0E的面積為.

18.在.A4C中，ZBAC=KXT,NA3C=NAC8,點(diǎn)。在直線8C上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、。重

合），點(diǎn)E在射線AC上運(yùn)動(dòng)，且NA。七=/4ED,設(shè)NQAC=〃。.

ZCDE=°；

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8的左側(cè)時(shí)，其他條件不變，請猜想㈤。和NCDE的數(shù)

量關(guān)系，并說明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)￡＞運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。的右側(cè)時(shí)，其他條件不變，4W和N8E還滿足（2）中的數(shù)量

關(guān)系嗎？請?jiān)趫D③中畫出圖形，并給予證明.（畫圖痕跡用黑色簽字筆加粗加黑）

19.如圖，直線PQ//MN.一副直角三角板A4AC,△。所中，

NACB=NEDF=90,/ABC=NBAC=45\^DFE=30;NDEF=60.

（1）若AZ犯尸如圖1投放，當(dāng)瓦）平分N莊尸時(shí)，證明：口）平分NEEW.

圖1

（2）若AABCAO爐如圖2擺放時(shí)，則N尸力E=

圖2

（3）若圖2中兇8c固定，將AZ）律沿著AC方向平移，邊。尸與直線PQ相交于點(diǎn)G,

作NFG。和NG必的角平分線G”、FH相交于點(diǎn)”（如圖3）,求NG”戶的度數(shù).

圖3

（4）若圖2中ADEF的周長35。幾A尸=5。〃?，現(xiàn)將AA8C固定，將ADE尸沿著C4方向平

移至點(diǎn)廠與A重合，平移后的得到m'E'A，點(diǎn)/）、E的對應(yīng)點(diǎn)分別是。'、￡,請直接寫

出四邊形￡＞石4少的周K.

（5）若圖2中AZ兄尸固定，（如圖4）將AA8C繞點(diǎn)A.頤時(shí)針旋轉(zhuǎn)，1分鐘轉(zhuǎn)半圈，旋轉(zhuǎn)

至AC與直線AN首次重合的過程中，當(dāng)線段8C.與AD即的一條邊平行時(shí)，請直接寫出旋

轉(zhuǎn)的時(shí)間.

D

Q

E

「A.

圖4

20.互動(dòng)學(xué)習(xí)課堂上某小組同學(xué)對一個(gè)課題展開了探究.

小亮：已知，如圖三角形A8C,點(diǎn)。是三角形A8C內(nèi)一點(diǎn)，連接8。，CD,試探究

NBOC與NA,Zl,N2之間的關(guān)系.

小明：可以用三角形內(nèi)角和定理去解決.

小麗：用外角的相關(guān)結(jié)論也能解決.

（1）請你在橫線上補(bǔ)全小明的探究過程：

?/ABDC+ADBC+Z.BCD=180°,（）

ZBDC=180°-ZDBC-ZBCD,（等式性質(zhì)）

1/ZA+Zl+Z2+ZDBC+ZBCD=180°,

ZA+Zl+Z2=180°-ZDBC-ZBCD,

ZBDC=ZA+Z1+Z2.（）

（2）請你按照小麗的思路完成探究過程；

（3）利用探究的結(jié)果，解決下列問題：

①如圖①，在凹四邊形A8C。中，NBDC=135。,NB=NC=25。,求NA=；

②如圖②，在凹四邊形八比7）中，/48O與NAC。的角平分線交于點(diǎn)E,44=60。，

ZBDC=140°,則NE=；

③如圖③，ZABD,48的十等分線相交于點(diǎn)、人、F?、…、匕），若NBDC=120°,

NBFQ64。,則NA的度數(shù)為；

④如圖④，ZBAC,N8DC的角平分線交于點(diǎn)E,則B8,NC與NE之間的數(shù)量關(guān)系是

⑤如圖⑤，ZABD,N84C的角平分線交于點(diǎn)E,ZC=40°,ZBZX?=140°,求的

度數(shù).

A

圖②圖④

【參考答案】

一、解答題

1.（1）;（2）不能，理由見解析

【分析】

（1）由正方形面積，可求得正方形邊長，然后利用勾股定理即可求出對角線長;

（2）利用方程思想求出長方形的長邊，然后與正方形邊長比較大小即可.

【詳解】

解：

解析：（1）夜；（2）不能，理由見解析

【分析】

（1）由正方形面積，可求得正方形邊長，然后利用勾股定理即可求出對角線長;

（2）利用方程思想求出長方形的長邊，然后與正方形邊長比較大小即可.

【詳解】

解：（1）正方形紙片的面積為IMP,

正方形的邊長AB=BC=\dm?

???AC=>JAB2+BC2=y/ldm?

故答案為：V2.

（2）不能；

根據(jù)題意設(shè)長方形的長和寬分別為和2AWZ.

..?長方形面積為：2Mx=,

解得：x=6,

「?長方形的長邊為3口山.

3及>4，

「?他不能裁出.

【點(diǎn)睛】

本題考查了算術(shù)平方根在長方形和正方形面積中的應(yīng)用，靈活的進(jìn)行算術(shù)平方根計(jì)算及無

理數(shù)大小比較是解題的關(guān)犍.

2.（1）<；（2）不能，理由見解析

【分析】

（1）分別根據(jù)圓的面積和正方形的面積得出其半徑或邊長，再分別求得其周

長，根據(jù)實(shí)數(shù)大小比較的方法，可得答案；

（2）設(shè)裁出的長方形的長為，寬為，由題意得關(guān)于

解析：（1）<；（2）不能，理由見解析

【分析】

（1）分別根據(jù)圓的面積和正方形的面積得出其半徑或邊長，再分別求得其周長，根據(jù)實(shí)數(shù)

大小比較的方法，可得答案；

（2）設(shè)裁出的長方形的長為“（?！ǎ瑢挒?a（C/〃），由題意得關(guān)于。的方程，解得“的值，

從而可得長方形的K和寬，將其與正方形的邊K比較，可得答案.

【詳解】

解：（1）?圓的面積與正方形的面積都是2次、病,

二圓的半徑為夜（c〃?），正方形的邊長為,

：.Q=2梃兀=/8兀*（cm）,C正=4^2^=J32乃（cm）,

32產(chǎn)=8刀又4>8屬又4,

J32”>，

*'?。<C正.

（2）不能裁出長和寬之比為3:2的長方形，理由如下：

設(shè)裁出的長方形的長為九?〃），寬為2“（cM,由題意得：

3ax2a=\2,

解得4=0或〃=-&（不合題意，舍去），

長為?寬為2ypicm,

正方形的面積為16c〉,

?..正方形的邊長為4c7〃，

3&>4,

???不能裁出長和寬之比為3:2的長方形.

【點(diǎn)睛】

本題考查了算術(shù)平方根在正方形和圓的面積及周長計(jì)算中的簡單應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)計(jì)算

公式是解題的關(guān)鍵.

3.（1）30；（2）不能.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的面積，即可求出邊長；

（2）先求出長方形的邊長，再判斷即可.

【詳解】

解：（1）,??大正方形的面積是：

???大正

解析：（1）30；（2）不能.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的面積，即可求出邊長；

(2)先求出長方形的邊長，再判斷即可.

【詳解】

解：(1)???大正方形的面積是：2x(15>/2)2

」?大正方形的邊長是：12x(15啦丫=眄麗=30；

(2)設(shè)長方形紙片的長為4xcm,寬為3xcm,

則4x?3x=720,

解得：x=\/60,

4x=14x4x60=\/%0>30,

所以沿此大正方形邊的方向剪出一個(gè)長方形，不能使剪出的長方形紙片的長寬之比為4：

3,且面積為720cm2.

故答案為(1)30：(2)不能.

【點(diǎn)睛】

本題考查算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意列出算式.

4.不同意，理由見解析.

【詳解】

試題分析：設(shè)面積為300平方厘米的長方形的長寬分為3x厘米，2x厘米，則

3x*2x=300,x2=50,解得x=,而面積為400平方厘米的正方形的邊長為20座

米，由于

解析：不同意，理由見解析.

【詳解】

試題分析：設(shè)面積為300平方厘米的長方形的長寬分為3x厘米，2x厘米，則3x?2x=300,

x2=50,解得x=5a，而面積為400平方厘米的正方形的邊長為20厘米，由于15&>20,

所以用一塊面積為400平方厘米的正方形紙片，沿著邊的方向裁不出一塊面積為300平方

厘米的長方形紙片，使它的長寬之比為3：2.

試題解析：解：不同意李明的說法.設(shè)長方形紙片的長為3x(x>0)cm,則寬為2xcm,

依題意得:3x?2x=300,6"=300,x2=5O,<x>0,7.x=、/方=5&，...長方形紙片的長為

154cm,???50'49,二5五>7,J.15拒A21,即長方形紙片的長大于20cm,由正方形

紙片的面積為400cm2,可知其邊長為20cm,.?.長方形紙片的長大于正方形紙片的邊長.

答：李明不能用這塊紙片裁出符合要求的長方形紙片.

點(diǎn)睛：本題考查了算術(shù)平方根的定義：一個(gè)正數(shù)的正的平方根叫這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根；0

的算術(shù)平方根為0.也考查了估算無理數(shù)的大小.

5.8；

【分析】

用大正方形的面積減去4個(gè)小直角三角形的面積可得到所求的正方形的面積為

8,然后利用正方形面積公式求8的算術(shù)平方根即可.

【詳解】

解：正方形面積=4X4-4XX2X2=8；

正方形的邊

解析：8：2&

【分析】

用大正方形的面積減去4個(gè)小直角三角形的面積可得到所求的正方形的面積為8,然后利

用正方形面積公式求8的算術(shù)平方根即可.

【詳解】

解：正方形面積=4x4-4xgx2x2=8；

正方形的邊長=際=2&.

【點(diǎn)睛】

本題考查了算術(shù)平方根：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于0,即x2=a,那么這個(gè)正數(shù)x

叫做。的算術(shù)平方根.記為石.

二、解答題

6.（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）/FBE=35°.

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NABF=ZBFE,ZDCF=ZEFC,進(jìn)而解答即可;

（2）由（1）的結(jié)論和垂直的定義解答即可；

解析：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）NFBE=35。.

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NABF=/8FE,ZDCF=AEFC,進(jìn)而解答即可；

（2）由（1）的結(jié)論和垂直的定義解答即可；

（3）由（1）的結(jié)論和三角形的角的關(guān)系解答即可.

【詳解】

證明：（1）,「4811CD,EFWCD,

：.ABWEF,

ZABF=ABFE,

,/EFWCD,

/.ZDCF=ZEFC,

/.Z8FC=N8FE+NEFC=ZABF+NDCF；

（2）VBE工EC,

ZBEC=90°,

ZEBC+N8c￡=90°,

由（1）可得：N8FC=NA8E+NECD=90°,

ZABE+ZECD=4EBC+ABCE,

???BE平分/ABC,

ZABE=Z.EBC,

ZECD=ZBCE,

CE平分NBCD；

(3)設(shè)N8CE=0,NECF=Y，

..CE平分/BCD,

ZOCE=N8CE=B，

...ZDCF=Z.DCE-NECF=B-y,

ZEFC=B-V，

,/ZBFC=Z.BCF,

：.Z8FC=Z8CE+NECF=y+B，

.,?NABF=N8FE=2y,

,/ZFBG=2ZECF,

/.ZFBG=2\,

ZABE+Z.OCE=N8EC=90°,

/.Z4BE=9O0-P，

NG8￡=NABE-ZABF-ZFBG=900-P-2y-2y,

..BE平分/ABCf

ZCBE=AABE=90°-%

ZCBG=/CBE+Z.GBE,

70°=90°-3+900-p-2y-2y,

整理得：2丫+。=55。，

ZFBE=NFBG+NGBE=2y+900-P-2y-2y=90o-(2y+P)=35°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)解答.

7.(1)證明見解析；(2)補(bǔ)圖見解析；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，.

【分析】

(1)過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；

(2)分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在上，當(dāng)點(diǎn)在上，再過點(diǎn)作即可求解.

【詳解】

(1)證明：

解析：(1)證明見解析；(2)補(bǔ)圖見解析；當(dāng)點(diǎn)C在AG上時(shí)，2Z4/7B-ZCBG=90°；

當(dāng)點(diǎn)。在。G上時(shí)，2NA〃8+NC8G=90。.

【分析】

(1)過點(diǎn)G作GE//MN,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；

(2)分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)C在4G上，當(dāng)點(diǎn)C在。G上，再過點(diǎn)〃作，/7/MN即可求解.

【詳解】

(1)證明：如圖，過點(diǎn)G作GE//MN,

A

N

ZAMG=ZAG￡,

MN//PQ,

GE//PQ.

/PBG=NBGE.

,/BGLAD,

ZAG6=90。，

^MAG+ZPBG=ZAGE+ZBGE=ZAGB=90°.

(2)補(bǔ)全圖形如圖2、圖3,

猜想：NC3G=90。或2ZAH8+NCBG=90。.

證明：過點(diǎn)、H作HF//MN.

圖2圖3

Z\=ZAHF.

?「MN//PQ,

HF//PQ

N2=/BHF,

ZAHB=ZAHF+NBHF=N1+N2.

??4”平分/MAG,

/.NM4G=2N1.

如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在AG上時(shí)，

BH平分NPBC,

/.ZPBC=ZPBG+Z.CBG=2Z2,

/MN//PQ,

/./MAG=/GDB,

2ZAHB=2Z1+2Z2=ZMAG+NPBG+NCBG

=NGDB+NPBG+NCBG

=90°+ZCBG

^2ZAHI3-ZCI3G=90°.

如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在DG上時(shí),

,/BH平分/PBC,

?,./PBC=4PBG-NCBG=2/2.

2ZAHI3=2ZI+2N2=NMAG+NPBG-NCBG=90°-NCBG.

即2ZAH8+NC3G=900.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的基本性質(zhì)、角平分線的基本性質(zhì)及用的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出

平行線，找出角與角之間的數(shù)量關(guān)系.

8.(1)120,90；(2)?Zl=120°-n°,Z2=90°+n°;②見解析

【分析】

(1)根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和平行線的性質(zhì)解答；

(2)①根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出NABE,再根據(jù)兩直線平行，同位角相

解析：(1)120,90；(2)?Zl=120°-n°,Z2=90°+n°；②見解析

【分析】

(1)根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和平行線的性質(zhì)解答；

(2)①根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出NA8E,再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得N1=NABE,

根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出N8CG,然后根據(jù)周角等于360。計(jì)算即可得到/2；

②結(jié)合圖形，分AB、8C、AC三條邊與直尺垂直討論求解.

【詳解】

解：(1)Z1=180°-60°=120%

Z2=90°；

故答案為:120,90；

(2)①如圖2,

/.Z八8￡=1800-60"=120",

1.1DGWEF,

：.Z1=ZABE=120a-n\

ZBCG=1800-ZCBF=1805,

ZACB+Z.BCG+N2=360°,

/.Z2=360°-/ACB-Z.BCG

=360°-90°-(1805)

=90°+〃°：

②當(dāng)/?=30。時(shí),?/Z4BC=60°,

NA8F=30°+60°=90°,

AB±DG(EF)；

當(dāng)〃=90。時(shí)，

ZC=ZCBF=90°,

BC±DG(EF),ACA.DE(GF)；

當(dāng)c=120°時(shí)，

/.AB±DE(GF).

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線角的計(jì)算，垂線的定義，主要利用了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性

質(zhì)，讀懂題目信息并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

9.(1)40°；(2)65°；(3)存在，56°或20。

【分析】

(1)依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到NPCG的度數(shù)；

(2)依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到NECG二NG

解析：(1)40。；(2)65°；(3)存在，56?；?0。

【分析】

(1)依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到/PCG的度數(shù)；

(2)依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到NECG=NGCF=25。，再根據(jù)

PQIICE,即可得出NCPQ=ZECP=65°；

(3)設(shè)NEGC=4x,NEFC=3x,則NGCF=4x-3x=x,分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)￡

的右側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)，依據(jù)等量關(guān)系列方程求解即可.

【詳解】

解：(1)VZC￡B=100%ABWCD,

ZECQ=80°,

,/zPCF=NPCQ,CG平分nECF,

ZPCG=ZPCfiZFCG=jZQCFI^ZFCE吟N￡CQ-40°；

(2)'.'ABWCD

：.ZQCG=ZEGC,ZQCG+ZECG=NECQ=80°,

ZEGC+N￡CG=80°,

又???ZEGC-N￡CG=30°,

ZEGC=55°,ZECG=25°.

ZECG=ZGCF=25。，ZPCF=ZPCQ=y(80。-50°)=15°,

,/PQIICE,

ZCPQ=ZECP=65°；

(3)設(shè)NEGC=4x,ZEFC=3x,則NGCF=NFCD=4x-3x=x,

①當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E的右惻時(shí)，

x+x+—x+—x=80°,

22

解得x=16°,

②當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí),

AFGEP

QD

則NECG=NGCF=x,

ZCGF=180°-4x,ZGCQ=800+x,

1800-4x=800+x,

解得x=20。，

/.ZFCQ=ZECF+/ECQ=4Co+80o=120°,

ZPCQ=yZFCQ=60°,

ZCPQ=ZECP=80o-60o=20°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時(shí)注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，

內(nèi)錯(cuò)角相等.

10.（1）見解析；（2）,理由見解析；（3）①當(dāng)在延長線時(shí)（點(diǎn)不與點(diǎn)重

合），；②當(dāng)在之間時(shí)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），.理由見解析

【分析】

（1）過P作PEIIAB,構(gòu)造同旁內(nèi)角，利用平行線性質(zhì)，可得NAPC=

解析；（1）見解析；（2）NCPD—N&+18O。-/4，理由見解析；（3）①當(dāng)〃在84延

長線時(shí)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合），ZCPD=1800-Z/7-Za；②當(dāng)P在BO之間時(shí)（點(diǎn)尸不與

點(diǎn)B,。重合），NC9=Na—180。+//.理由見解析

【分析】

（1）過P作PEIIA8,構(gòu)造同旁內(nèi)角，利用平行線性質(zhì)，可得/4PC=113。：

（2）過過?作尸尸交CD于尸，，推出A。//尸尸//8C,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

?BCP180??。，即可得出答案；

（3）畫出圖形（分兩種情況：①點(diǎn)P在8A的延長線匕②當(dāng)?在8。之間時(shí)（點(diǎn)P不與

點(diǎn)B,。重合）），根據(jù)平行線的性偵即可得出答案.

【詳解】

解：（1）過尸作

AB/ICD,

:.PEHABI1CD,

\2APE制8=180,ZCPE+ZPCD=180°,

VZE4B=128°,ZPCD=119°

ZAPE=52°,ZCPE=61°,

ZAPC=52O+61O=113°；

（2）ZCPD=Za+180°-Z/7,理由如下：

如圖3,過P作廳7/AO交C。于產(chǎn)，

ADIIBC,

：.AD//PFHI3C,

:4DP=4DPF,NBCP=NCPF,

vZfiCP+ZPCE=180°,￡P(guān)CE=￡。,

/.ZBCP=1800-Z/7

又.ZADP=Z.a

\?CPD1DPFWPF=67+180??b；

o

(3)①當(dāng)尸在84延長線時(shí)(點(diǎn)?不與點(diǎn)A重合)，ZCPD=18()-Z/?-Z0f;

理由：如圖4,過。作外//A。交C。于產(chǎn)，

???AD//BC,

:.ADHPFI/BC,

:.ZADP=/DPF,ZBCP=NCPF,

ZBCP+NPCE=180°,/PCE=邛,

ZBCP=180°-Z/7,

又；ZADP=4a,

/CPD=ZCW-/DPF=180。-Na—：

②當(dāng)?在8。之間時(shí)(點(diǎn)p不與點(diǎn)A，0重合)，ZCPD=Za-18O°+Z/7.

理由：如圖5,過戶作夕尸//A。交CD于產(chǎn)，

?/AD//BC,

/.AD//PFHBC,

:.ZADP=4DPF,4BCP=/CPF,

ABCP+ZPCE=180°,ZPCE=4,

ZZ^CP=180°-Z/?,

又：NAOP=Na

NCPD=NDPF-NCPF=Za+Z/?-180°.

M

A

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線

構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角.

三、解答題

11.(1),;(2)1：(3)不變，值為2

【分析】

(1)根據(jù)絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，求得a,b的值，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公

式即可得出答案；

(2)先得出CP=t,0P=2-t,0Q=2t,AQ=4-

解析：(1)C(2,0),A(0,4)；(2)1；(3)不變，值為2

【分析】

(1)根據(jù)絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，求得。，b的直，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出

答案；

(2)先得出CP=30P=2?t,0Q=2t,4Q=4?2t,再根據(jù)S400P=SAODQ,列出關(guān)于t的方程，

求得t的值即可；

(3)過H點(diǎn)作AC的平行線，交x軸于P,先判定0GII4C,再根據(jù)角的和差關(guān)系以及平行

線的性質(zhì),得出NPHO=ZGOF=Z1+Z2,

ZOHC=NOHPgPHONGOF+N4=Z1+Z2+Z4,最后代入烏空卷處進(jìn)行計(jì)算即可.

Z.OEC

【詳解】

解：(1),/y/a-2b+\b-2\=Q,

a-2b=0,b-2=0.解得。=4,b=2,

：.A(0,4),C(2,0).

(2)存在，理由：如圖1中，D(1,2),

圖1

由條件可知：P點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)時(shí)間為2秒，Q點(diǎn)從。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)間為2秒:

―2時(shí),點(diǎn)Q在線段4。上，即CP=t,0P=2-t,0Q=2t,4Q=4-2t,

SADOP=^?OP*yo=^(2-t)x2=2-t,SADOQ=^*OQ*XD=x2txl=f,

?SAOD^SAODQf

2-0,

/.t=l.

(3)結(jié)論：0嚓W”的值不變，其值為2.理由如下：如圖2中，

Z.OEC

圖2

???Z2+Z3=90°,又＜Z1=Z2,Z3=ZFCO,

ZGOC+ZACO=180°,

/.OGWAC,

：.Z1=ZCAO,

：.ZOEC=NC40+Z4=Z1-Z4,

如圖，過丹點(diǎn)作八c的平行線，交x軸于P，則N4-NP〃C,PHWOG,

：.ZPHOMGOF=/1+Z2,

ZOHC=ZOHP+NPHIGOF+N4=Z1+Z2+Z4,

.4)HC+Z4CE_N1+/2+/4+/4_2

"~ZOEC-Z1+Z4-?

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角形綜合題、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.

12.(1)；(2)①或；②秒或或秒

【分析】

(1)通過延長作輔助線，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到，再根據(jù)外角的性質(zhì)可計(jì)算

得到結(jié)果；

(2)①當(dāng)時(shí)，分兩種情況，I當(dāng)在和之間，n當(dāng)在和之間，由，計(jì)算出的運(yùn)

動(dòng)時(shí)間

解析：(1)30。；⑵①手或竽②5秒或需或3秒

【分析】

(1)通過延長尸G作輔助線，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到/PGE=90。，再根據(jù)外角的性質(zhì)

可計(jì)算得到結(jié)果；

(2)①當(dāng)NMEP=20。時(shí)，分兩種情況，I當(dāng)ME在AE和EP之間，II當(dāng)M石在砂和用

之間，由尸=20。，計(jì)算出EM的運(yùn)動(dòng)時(shí)間/,根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間可計(jì)算出NFPN,由己知

NG￡=120°可計(jì)算出NEPN的度數(shù)；

②根據(jù)題意可知，當(dāng)而/"火時(shí)，分三種情況，

I射線PN由。尸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，EM//PN,根據(jù)題意可知ZA￡M=15/。，47>N=40/。，再平

行線的性質(zhì)可得/何="尸，再根據(jù)三角形外角和定理可列等量關(guān)系，求解即可得出結(jié)

論；

n射線PN垂直AB時(shí)，再順時(shí)針向。戶運(yùn)動(dòng)時(shí)，EMHPN,根據(jù)題意可知，ZA￡W=15/°,

ME//PN,Z.GHP=\5t°,可計(jì)算射線PN的轉(zhuǎn)動(dòng)度數(shù)180。+90。-15產(chǎn)，再根據(jù)PN轉(zhuǎn)動(dòng)可列

等量關(guān)系，即可求出答案；

ID射線PN垂直/W時(shí)，，再順時(shí)針向。”運(yùn)動(dòng)時(shí)，EMNPN,根據(jù)題意可知，ZAEM=\5t°,

9

ZGP^V=40(/--)0,根據(jù)(1)中結(jié)論，ZPEG=30°,ZPGE=60,可計(jì)算出NPEM與

NEPN代數(shù)式,再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可列等量關(guān)系，求解可得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)延長/千與A8相交于點(diǎn)G,

如圖1,

.PFLCD,

NPFD=NPGE=W,

/EPF=ZPGE+NAEP,

NA￡P(guān)=NET斗NPGE=120°—90°=30°；

(2)①I如圖2,

ZA"=30°,/MEP=20。，

:.ZAEM=}O°f

in7

???射線ME運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，=]=（（秒），

7Qfp

?,?射線PN旋轉(zhuǎn)的角度ZFW=-x400=—,

又ZEPF=120°,

/.NEPN=/EPF-NEPN=12（F--

3

圖2

n如圖3所示，

?.ZAEP=30P,/MEP=20。,

:.ZAEM=50Q,

???射線ME運(yùn)動(dòng)的時(shí)間r=*￥（秒）,

「?射線PN旋轉(zhuǎn)的角度/m7=爭40。=竿,

又ZEPF=120°,

400040°

/./EPN=Z.FPN-NEPF=---------120°=—：

33

圖3

②I當(dāng)夕N由P廠運(yùn)動(dòng)如圖4時(shí)EM//PN,

PN與A8相交于點(diǎn)，，

根據(jù)題意可知，經(jīng)過/秒，

ZAEM=\5t0,NFPN=4()廣,

EMf/PN,

：.ZAEM=ZAHP=\5t0,

又.4FPN=/PGH+4PHA,

.-.40/°=90°+15/°,

1Q

解得（秒）;

J

II當(dāng)PN運(yùn)動(dòng)到PG,再由PG運(yùn)動(dòng)到如圖5時(shí)

PN與A8相交于點(diǎn)”，

根據(jù)題意可知，經(jīng)過/秒，

ZAEM=\5t0,

EM//PN,

NGHP=15/°,NGPH=90^-15/°,

/W運(yùn)動(dòng)的度數(shù)可得，18O0+NG/W=4O/。，

圖5

m當(dāng)PN由PG運(yùn)動(dòng)如圖6時(shí)，EMWPN,

根據(jù)題意可知，經(jīng)過/秒，

ZAEM=\5t°,NG/W=407-180°,

?.ZAEP=3O°,ZEPG=6O°,

.?./尸4”=15尸一30°,Z￡P(guān)/V=240°-40r,

又EM//PN,

ZPEM+ZEPN=180°,

.?.15/。―30°+40/—240°=180°,

解得/=*（秒），

185490

當(dāng)Z的值為1秒或三或三秒時(shí)，即｝PN.

圖6

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行線性質(zhì)，合理添加輔助線和根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形時(shí)解決本題的關(guān)

鍵.

13.(1)；(2)①；②.

【分析】

(1)依據(jù)角平分線的定義可求得，再依據(jù)角的和差依次可求得和，根據(jù)鄰補(bǔ)角

的性質(zhì)可求得結(jié)論；

(2)①根據(jù)角相等和角的和差可得NEOC=NBOD,再根據(jù)比例關(guān)系可得，最

解析：(1)ZAOE=90°；(2)①ZAOE=80。；(2)zAOE=(120--)°.

724-1

【分析】

(1)依據(jù)角平分線的定義可求得NCOQ=30。，再依據(jù)角的和差依次可求得NEOC和

NBOE,根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可求得結(jié)論；

(2)①根據(jù)角相等和角的和差可得NEOC=NBOD,再根據(jù)比例關(guān)系可得/8。力，最后依

據(jù)角的和差和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可■求得結(jié)論；

②根據(jù)角相等和角的和差可得NEOCNBOD,再根據(jù)比例關(guān)系可得NH。。，最后依據(jù)知的

和差和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可求得結(jié)論.

【詳解】

解：(1)???0。平分N30C,ZBOC=ZEOD=60°,

ZCOD=-ZBOC=30°,

2

/.ZEOC=ZEOD-/COD=30°,

/BOE=4E0C+/BOC=90。,

ZAOE=180°-=90°；

(2)①NBOC=NEOD,

/.ZEOC+ZCOD=ZBOD+ZCOD,

/.ZEOC=ZBOD,

/ZBOC=60°,NCOD:NBOD=1:2,

ZSOD=60°x-=40°,

3

/EOC=/BOD=4(r,

/BOE=NEOC+NBOC=100。,

ZAOE=180°-NBOE=80°；

②:/BOC=NEOD,

：.ZEOC+ZCOD=ZBOD+ZCOD,

/.ZEOC=ZBOD,

/ZBOC=60°,NCOD:/BOD=l:〃,

/.ZBOD=60°x—=(—)°,

n+\n+\

ZEOC=ZBOD=(—)°,

〃+l

4BOE=ZEOC+NBOC=(—+60)°,

〃+l

ZAOE=180°-ZBOE=(120--)°.

n+\

【點(diǎn)睛】

本題考查鄰補(bǔ)角的計(jì)算，用的和差，角平分線的有關(guān)計(jì)算.能正確識(shí)圖，利用角的和差求

得相應(yīng)角的度數(shù)是解題關(guān)鍵.

14.(1),；(2)15秒或63秒；(3)不發(fā)生變化，

【分析】

(1)利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解決問題即可.

(2)分三種情形，利用平行線的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題.

(3)由參數(shù)表示，即可判斷.

【詳解】

解析：(1)。=4,/?=1：(2)15秒或63秒；(3)不發(fā)生變化，3NBAC=4/BCD

【分析】

(1)利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解決問題即可.

(2)分三種情形，利用平行線的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題.

(3)由參數(shù)/表示NBAC,N8C￡>即可判斷.

【詳解】

解：(1)卜一44+(.+6-5『=0,

卜-48=0

-[?+/?-5=0z

.\a=4,Z?=l；

(2)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)f秒，兩燈的光束互相平行，

①當(dāng)0</<45時(shí)，

4r=(45+z)xl,

解得r=15；

②當(dāng)45〈/<90時(shí)，

47-180=180-(r+45),

解得f-63：

③當(dāng)90</<135時(shí)，

4r-360=/+45,

解得f=135,(不合題意)

綜上所述，當(dāng)t=15秒或63秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；

(3)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為/秒，

???NOW=180。一4/,

/.NBAC=60°-(1800-4/)=4/-120°,

又PQ//MN,

.?.ZBCA=ZCBD+ZC4?V=/+18(T-4/=180o-3/,

而NACD=90。，

:"BCD=90°-4C4=90。-(180。-3/)=3/-90°,

.?.N8AC:N8CD=4:3,

即3/8AC=4N8CO.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行線的性質(zhì)和判定，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用

參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型.

15.(1)1205,1205；(2)160；(3)

【分析】

(1)過點(diǎn)作，，根據(jù)，平行線的性質(zhì)和周角可求出，則，再根據(jù)，，可

得，，可求出,,根據(jù)即可得到結(jié)果；

(2)同理(1)的求法，

fj—I

解析：(1)1209,1205；(2)160；(3)——(360-/H)

【分析】

(1)過點(diǎn)C。作CG，EF,DHEF,根據(jù)Z/^C=ZACB=120°,平行線的性質(zhì)和周

角可求出NGC8=120。，則NCAN=NGCA=120。，再根據(jù)=

2

NCBD=L/CBN,可得NCBD=LNCBN=60。,ZCAD=-ZFAC=60\可求出

22-

ZADH=ZFAD=60°,NBDH=/DBN=60°,根據(jù)aDB=4ADH+Z.BDH即可得到結(jié)果；

(2)同理(1)的求法，根據(jù)NE4C=ZAC8=120。，2CAD=|zFAC,

NCBD=1/CBN求解即可；

(3)同理(1)的求法，根據(jù)NE4C=ZACB="?。，ZCAD=-ZFAC,KBD=、NCBN

nn

求解即可；

【詳解】

解：(1)如圖示，分別過點(diǎn)作CGEF,DHEF,

?「EF(iMN.

：.EF}fMNf：CGDH,

ZACG=ZE4C=120°,

Z.GCB=360°-ZACG-Z4CB=120°,

/CBN=NGCB=120°,

-：Z.CBD=-Z.CBN=60°,ZCAD=-ZFAC=()0°

22

/.ZDBN=Z.CBN-^CBD=60°,

又?「ZFAD=ZFAC-ZCAD=60°,

ZADH=ZMD=60°,NBDH=NDBN=60。

：.ZADB=ZADH+ABDH=120°.

(2)如圖示，分別過點(diǎn)C,。作CGEF,DHEF,

?/EFHMN，.tEFrMNNCGRDH,

...ZACG=ZE4C=120°,

ZGCB=360°-ZACG-ZACB=120°,

/CBN=/GCB=T20