專題15等腰三角形中分類討論、動(dòng)點(diǎn)、半角和存在性五類問(wèn)題目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 2類型一、分類討論求角度 2類型二、分類討論求線段長(zhǎng)度 5類型三、等腰三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 6類型四、等腰三角形中的半角問(wèn)題 13類型五、等腰三角形的存在性問(wèn)題 21壓軸能力測(cè)評(píng) 271.等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）．（2）等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個(gè)三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個(gè)重要依據(jù)．性質(zhì)2用來(lái)證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等．（3）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對(duì)稱軸，通常情況只有一條對(duì)稱軸．2.等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”注意：（1）等腰三角形的性質(zhì)“等邊對(duì)等角”與等腰三角形的判定“等角對(duì)等邊”的條件和結(jié)論正好相反，要注意區(qū)分；判定定理可以用來(lái)判定一個(gè)三角形是等腰三角形，同時(shí)也是今后證明兩條線段相等的重要依據(jù)。3等腰三角形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題等腰三角形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題往往不會(huì)單獨(dú)考察，一般會(huì)和全等三角形、直角三角形、平行四邊形和特殊的平行四邊形以及平面直角坐標(biāo)系等結(jié)合考察。做此類問(wèn)題的解題技巧和全等三角形的類似，如果牽涉到時(shí)間問(wèn)題的，分為三步走：先把動(dòng)點(diǎn)走過(guò)的路程用時(shí)間表示出來(lái)；把剩余路程也用時(shí)間表示出來(lái)；根據(jù)題目中的等量關(guān)系列方程。有些不是和時(shí)間有關(guān)的，需要做輔助線類的，要根據(jù)題意做輔助線構(gòu)造等腰三角形來(lái)解決問(wèn)題。類型一、分類討論求角度當(dāng)題目中已知角度未說(shuō)明是等腰三角形的頂角或者底角的時(shí)候，要進(jìn)行分類討論，結(jié)合三角形的內(nèi)角和進(jìn)行求值。例．在中，，的垂直平分線與所在直線的夾角為，則這個(gè)等腰三角形的頂角為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意分兩種情況，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，討論求解即可；【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)是銳角三角形時(shí)，如圖：是的垂直平分線，，，；當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，如圖：是的垂直平分線，，，，；綜上所述：這個(gè)等腰三角形的頂角為或，故選：C．【變式訓(xùn)練1】．已知等腰三角形一腰上的高線與另一腰的夾角為，那么這個(gè)等腰三角形的頂角等于（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．分類討論：①當(dāng)該等腰三角形為銳角三角形時(shí)和②當(dāng)該等腰三角形為鈍角三角形時(shí)，結(jié)合題意，即可求出頂角的大?。驹斀狻拷猓孩偃鐖D，當(dāng)該等腰三角形為銳角三角形時(shí)，由題可知：，，等腰三角形的頂角，②如圖，當(dāng)該等腰三角形為鈍角三角形時(shí)，由題可知：，，等腰三角形的頂角，等腰三角形的頂角度數(shù)為或，故選：C．【變式訓(xùn)練2】．等腰三角形的一個(gè)外角是，則頂角是（）A． B．或 C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的定義，根據(jù)三角形外角定義即可求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵等腰三角形的一個(gè)外角是，∴相鄰的內(nèi)角為，∴頂角是，故選：．【變式訓(xùn)練3】．等腰三角形一個(gè)外角等于，則它的頂角為（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，難度不大，解題的關(guān)鍵是注意分類討論思想的應(yīng)用，以免漏解．已知條件中的外角可能是頂角的外角，也可能是底角的外角，需要分情況進(jìn)行討論，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和為，即可求出頂角的度數(shù)．【詳解】解：①當(dāng)頂角的外角等于時(shí)，則該頂角為：；②當(dāng)?shù)捉堑耐饨堑扔跁r(shí)，則該底角為，又由于是等腰三角形，故此時(shí)頂角為：．綜上所述，這個(gè)等腰三角形的頂角為或．故選：C．類型二、分類討論求線段長(zhǎng)度已知條件未說(shuō)明線段等腰三角形的腰或者底邊的時(shí)候，進(jìn)行分類討論，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行求值。例．等腰三角形的一邊長(zhǎng)是，另一邊長(zhǎng)是，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，分是腰長(zhǎng)和底邊兩種情況，求出三角形的三邊，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判定求解．【詳解】解：①若是腰長(zhǎng)，則三角形的三邊分別為，，；能組成三角形，周長(zhǎng)，②若是底邊，則三角形的三邊分別為能組成三角形，周長(zhǎng)，綜上所述，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是或故選：C．【變式訓(xùn)練1】．等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和7，則第三邊長(zhǎng)為（

）A．4 B．7 C．4或7 D．15或18【答案】C【分析】本題考查等腰三角形的定義，以及構(gòu)成三角形的條件，根據(jù)等腰三角形的定義，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí)，第三邊的長(zhǎng)為4，，能構(gòu)成三角形，滿足題意；當(dāng)腰長(zhǎng)為7時(shí)，第三邊的長(zhǎng)為7，，能構(gòu)成三角形，滿足題意；故選C．【變式訓(xùn)練2】．在中，，中線將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為9和12兩個(gè)部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（

）A．9 B．5 C．5或9 D．8或10【答案】C【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算，根據(jù)等腰三角形的兩腰相等，尋找問(wèn)題中的等量關(guān)系，列方程求解，然后結(jié)合三角形三邊關(guān)系驗(yàn)證答案．【詳解】解：如圖：設(shè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為，腰長(zhǎng)為，則根據(jù)題意可得：或，解方程組得：，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，此時(shí)能組成三角形，解方程組得：，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，此時(shí)能組成三角形，∴等腰三角形的底邊長(zhǎng)為5或9，故選：C．【變式訓(xùn)練3】．已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為，則該等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為和，而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【詳解】解：①為腰，為底，能構(gòu)成三角形，此時(shí)周長(zhǎng)為；②為底，為腰，則兩邊和小于第三邊無(wú)法構(gòu)成三角形，故舍去．∴該三角形的周長(zhǎng)是．故選：D．類型三、等腰三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例．已知為等腰三角形，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合）以為邊作，且，連接，．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，試說(shuō)明：①②；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，探究線段、、之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)，見解析【分析】主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．（1）①先判斷出，進(jìn)而用判斷出，即可得出結(jié)論；②利用全等三角形的性質(zhì)可得，等量代換即可求解．同（1）的方法即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，，，在和中，，；由知，，，；（2），，，在和中，，∴，【變式訓(xùn)練1】．如圖，等腰三角形中，，，D是的中點(diǎn)，M是上的動(dòng)點(diǎn)，N是上的動(dòng)點(diǎn)．M點(diǎn)由B向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，N點(diǎn)由C向A運(yùn)動(dòng)．

(1)M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為/秒，t秒后，=_________cm（用含t的代數(shù)式表示）(2)M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為/秒，且N點(diǎn)的速度與M的速度相等，若t秒后，，問(wèn)與全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出t的值．(3)M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為/秒，若N點(diǎn)的速度與M點(diǎn)的速度不相等，當(dāng)N的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能使與全等？【答案】(1)(2)與全等，理由見解析，(3)秒【分析】（1）由題意知，，根據(jù)，求解即可；（2）由題意知，，由，可知，由，可得，證明，則，即，計(jì)算求解即可；（3）由題意知，，，設(shè)N的運(yùn)動(dòng)速度為秒，則，由題意知，分，兩種情況求解；然后作答即可．【詳解】（1）解：由題意知，，∴，故答案為：（2）解：與全等，理由如下：由題意知，，∵，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∴，即，解得，；（3）解：由題意知，，，設(shè)N的運(yùn)動(dòng)速度為秒，則，由題意知，分，兩種情況求解：當(dāng)時(shí)，，，∴，，解得，，，∴N的運(yùn)動(dòng)速度為秒；當(dāng)時(shí)，，，（舍去）；∴當(dāng)N的運(yùn)動(dòng)速度為秒時(shí)，能使與全等．【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，等邊對(duì)等角，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，一元一次方程的應(yīng)用．熟練掌握全等三角形的判定條件，并分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，且，為軸上點(diǎn)右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，以為腰作等腰三角形，使，，直線交軸于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在軸上的位置是否發(fā)生改變，為什么？【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）不變，理由見解析．【分析】（1）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，作AE⊥OB于點(diǎn)E，由SAS定理得出△AEO≌△AEB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)∠CAD=∠OAB，得出∠OAC=∠BAD，再由SAS定理即可得出結(jié)論；（3）設(shè)∠AOB=∠ABO=α，由全等三角形的性質(zhì)可得出∠ABD=∠AOB=α，故∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α為定值，再由OB=2，∠POB=90°可知OP的長(zhǎng)度不變，故可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴解得∴，．作于點(diǎn)，∵，，∴，，在與中，∵∴，∴．（2）證明：∵，∴，即．在與中，∵∴．（3）解：點(diǎn)在軸上的位置不發(fā)生改變．理由：設(shè)．∵，∴．由（2）知，，∴．∵，為定值，，易知形狀、大小確定，∴長(zhǎng)度不變，∴點(diǎn)在軸上的位置不發(fā)生改變．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖，、分別是、軸上兩點(diǎn)，其中與互為相反數(shù).點(diǎn)是第二象限內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)；（1）若，且是等腰三角形，求的度數(shù)；（2）點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)最短時(shí)，求的大小.【答案】（1）30°或120°或75°；（2）45°【分析】（1）根據(jù)相反數(shù)的定義與非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，即可得出，根據(jù)已知條件求出，然后分情況討論當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的度數(shù)；（2）記與軸交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，則有，當(dāng)最短時(shí)有，根據(jù)等角替換求出，則可證明≌，推出，再根據(jù)，即可求出.【詳解】解：（1）由題意有：∵與互為相反數(shù)+=0∴解得：，，∴∵，∴∵∴∴①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，；（2）記與軸交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)∴當(dāng)最短時(shí)有∴∵，∴在與中∴≌∴∵∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，垂直的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，學(xué)生需要熟練掌握每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，并學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.類型四、等腰三角形中的半角問(wèn)題等腰三角形中半角問(wèn)題，一般先找出相等的線段或者角，進(jìn)行三角形全等的證明，進(jìn)而求得線段之間的關(guān)系。例．如圖，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是頂角為120°的等腰三角形，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作，點(diǎn)、分別在、上．（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，則的周長(zhǎng)為______；（2）如圖②，求證：．【答案】（1）4；（2）見解析【分析】（1）首先證明△BDM≌△CDN，進(jìn)而得出△DMN是等邊三角形，∠BDM=∠CDN=30°，NC=BM=DM=MN，即可解決問(wèn)題；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，首先證明，再證明，得出，進(jìn)而得出結(jié)果即可．【詳解】解：（1）∵是等邊三角形，，，∴是等邊三角形，，則，∵是頂角的等腰三角形，，，在和中，，，，∵，∴是等邊三角形，，，，∴的周長(zhǎng)．（2）如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，∵是等邊三角形，是頂角的等腰三角形，，，，，在和中，，，，，∵，，在和中，．，又∵，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖所示，ΔABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，是頂角的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊交、于、，連結(jié)，求周長(zhǎng).【答案】△AMN的周長(zhǎng)為2．【分析】根據(jù)已知條件得△CDE≌△BDM，再利用DE=DM，證明△DMN≌△DEN，得到對(duì)應(yīng)邊相等即可解題.【詳解】如圖，延長(zhǎng)NC到E，使CE=BM，連接DE，

∵△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，∠DCE=180°﹣∠ACD=180°﹣∠ABD=90°，又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∵在△DMN和△DEN中，，∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE=CE+CN=BM+CN，∴△AMN的周長(zhǎng)=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2，故△AMN的周長(zhǎng)為2．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)與應(yīng)用,截長(zhǎng)補(bǔ)短的數(shù)學(xué)方法,中等難度,作輔助線證明全等是解題關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練2】．（1）閱讀理解如圖1，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的點(diǎn)，∠EAF＝45°，則我們常常會(huì)想到：把ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到ABG．易證AEF≌，得出線段BF，DE，EF之間的關(guān)系為；（2）類比探究如圖2，在等邊ABC中，D，E為BC邊上的點(diǎn)，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求線段DE的長(zhǎng)；（3）拓展應(yīng)用如圖3，在ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝150°，點(diǎn)D，E在BC邊上，∠DAE＝75°，若DE是等腰ADE的腰，請(qǐng)直接寫出線段BD的長(zhǎng)．

【答案】（1）AGF，EF＝DE+BF；（2）DE＝；（3）BD＝2或2【分析】（1）證明△AGF≌△AEF（SAS），則GF＝EF，即GF＝BG+BF＝DE+BF＝EF，即可求解；（2）證明△AFD≌△AED（SAS），則FD＝DE，在Rt△FBH中，∠FBH＝60°，則BH＝BF＝1，F(xiàn)H＝BFsin60°＝2×＝，則,即可求解；（3）①當(dāng)DE＝AD時(shí)，△ADE≌△ADF（SAS），在△ABC中，AB＝AC＝，∠HAC＝30°，由BC2＝（AB+AH）2+HC2得：BC2＝（x+x）2+（x）2，求出BC＝4+2；在△ADE中，AD＝DE＝a，∠ADE＝30°，同理可得：AE＝，由AB2+AE2＝BE2，求出a＝2，即可求解；②當(dāng)DE＝AE時(shí)，BD對(duì)應(yīng)①中的CE，即可求解．【詳解】解：（1）由圖象的旋轉(zhuǎn)知，AG＝AE，∠DAE＝∠GAB，∵∠BAF+∠DAE＝∠BAD﹣∠EAF＝45°，∴∠GAF＝∠GAB+∠BAF＝∠DAE+∠BAF＝90°﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，又∵AG＝AE，AF＝AF，∴△AGF≌△AEF（SAS），∴GF＝EF，即GF＝BG+BF＝DE+BF＝EF，即EF＝DE+BF，故答案為：AGF，EF＝DE+BF；（2）將△AEC圍繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AFB的位置，連接FD，由（1）知，△AFB≌△AEC（SAS），則AF＝AE，F(xiàn)B＝EC＝2，∵∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠EAC+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣30°＝∠DAE，∵AD＝AD，AF＝AE，∴△AFD≌△AED（SAS），∴FD＝DE，∠ABF＝∠C＝60°，在△BDF中，BD＝1，BF＝2，∠FBD＝∠ABF+∠ABC＝60°+60°＝120°，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BD交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則∠FBH＝60°，在Rt△FBH中，∠FBH＝60°，則BH＝BF＝1，F(xiàn)H＝BFsin60°＝2×＝，則故DE＝；

（3）①當(dāng)DE＝AD時(shí)，則∠DAE＝∠DEA＝75°，則∠ADE＝180°﹣2×75°＝30°，在等腰△ABC中，∠BAC＝150°，則∠ABC＝∠ACB＝15°，將△AEC圍繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AFB所在的位置（點(diǎn)F對(duì)應(yīng)點(diǎn)E），連接DF，由（2）同理可得：△ADE≌△ADF（SAS），∴DF＝DE，∵∠ADE＝∠ABC+∠BAD＝15°+∠BAD＝30°，故∠BAD＝15°＝∠ABD，∴AD＝BD＝ED，設(shè)BD＝a，則AD＝BD＝ED＝a，則BE＝2a，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則∠HAC＝2∠ABC＝30°，在△ABC中，AB＝AC＝，∠HAC＝30°，設(shè)AC＝x，則CH＝x，AH＝x，由BC2＝（AB+AH）2+HC2得：BC2＝（x+x）2+（x）2，將x＝代入上式并解得：BC＝4+2；在△ADE中，AD＝DE＝a，∠ADE＝30°，同理可得：AE＝，∵∠ABE＝15°，∠AEB＝75°，故∠BAE＝90°，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，即（）2+（）2＝（2a）2，解得a＝±2（舍去負(fù)值），故a＝2，則BD＝2，CE＝BC﹣2a＝4+2﹣4＝2；②當(dāng)DE＝AE時(shí)，BD對(duì)應(yīng)①中的CE，故BD＝2；綜上，BD＝2或2．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.【變式訓(xùn)練3】．請(qǐng)閱讀下列材料：已知：如圖（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別為線段BC上兩動(dòng)點(diǎn)，若∠DAE＝45°．探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系：（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，直接寫出你的猜想；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段BC上，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線段CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖（2），其它條件不變，（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明；（3）已知：如圖（3），等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E在邊AB上，且∠DCE＝30°，請(qǐng)你找出一個(gè)條件，使線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù)．【答案】（1）DE2＝BD2+EC2；（2）關(guān)系式DE2＝BD2+EC2仍然成立，詳見解析；（3）當(dāng)AD＝BE時(shí)，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，且頂角∠DFE為120°．【分析】（1）DE2＝BD2+EC2，將△ADB沿直線AD對(duì)折，得△AFD，連FE，得到△AFD≌△ABD，然后可以得到AF＝AB，F(xiàn)D＝DB，∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，再利用已知條件可以證明△AFE≌△ACE，從而可以得到∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝45°+45°＝90°，根據(jù)勾股定理即可證明猜想的結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的思路一樣可以解決問(wèn)題；（3）當(dāng)AD＝BE時(shí)，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形．如圖，與（1）類似，以CE為一邊，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD＝DF，EF＝BE．由此可以得到∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°，這樣就可以解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）DE2＝BD2+EC2；證明：如圖，將△ADB沿直線AD對(duì)折，得△AFD，連FE，∴△AFD≌△ABD，∴AF＝AB，F(xiàn)D＝DB，∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°∴∠BAD+∠CAE＝45°,∠FAD+∠FAE＝45°,∴∠CAE=∠FAE又AE=AE,AF=AB=AC∴△AFE≌△ACE，∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝45°+45°＝90°，∴DE2＝FD2+EF2∴DE2＝BD2+EC2；（2）關(guān)系式DE2＝BD2+EC2仍然成立．證明：將△ADB沿直線AD對(duì)折，得△AFD，連FE∴△AFD≌△ABD，∴AF＝AB，F(xiàn)D＝DB，∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴AF＝AC，∵∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝∠FAD+45°，∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB，∴∠FAE＝∠EAC，又∵AE＝AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2，即DE2＝BD2+EC2；（3）當(dāng)AD＝BE時(shí)，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形．如圖，與（2）類似，以CE為一邊，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD＝DF，EF＝BE．∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°．若使△DFE為等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE，∴當(dāng)AD＝BE時(shí)，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，且頂角∠DFE為120°．【點(diǎn)睛】此題比較復(fù)雜，考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，此題關(guān)鍵是正確找出輔助線，通過(guò)輔助線構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，要掌握輔助線的作圖根據(jù)．類型五、等腰三角形的存在性問(wèn)題 題目未說(shuō)明等腰三角形的頂角或者腰時(shí)，一般要對(duì)腰進(jìn)行分類討論，在結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解。例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線與x軸相交于點(diǎn)A，與直線交于點(diǎn)B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1．(1)求直線的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)點(diǎn)P是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)是以為底角的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或或【分析】本題主要考查運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式、一次函數(shù)的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)：（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（2）分和兩種情況討論求解即可【詳解】（1）解：令，則∴點(diǎn)B坐標(biāo)為，由題意，，解得，，∴直線的函數(shù)關(guān)系式為（2）分和兩種情況討論求解即可解：令=0，解得∴點(diǎn)A坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P是線段的垂直平分線與直線的交點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，把代入，得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)P縱坐標(biāo)為由題意，

解得，，∴所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或【變式訓(xùn)練1】．如圖1，已知點(diǎn)，點(diǎn)C為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，和都是等邊三角形．(1)求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在上時(shí)．①求的長(zhǎng)及點(diǎn)E的坐標(biāo)；②在x軸上是否存在點(diǎn)P，使為等腰三角形？若存在，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；【答案】(1)見解析(2)①，；②點(diǎn)P坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可證得結(jié)論；（2）①過(guò)先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；②分、、三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴；（2）解：①過(guò)E作軸于F，則，∵和都是等邊三角形，∴，，∴，在中，，∴，∴，又，即，∴，，在中，，，∴，，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為；②當(dāng)時(shí)，∵，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為或；當(dāng)、時(shí)，∵，∴為等邊三角形，∴,∴點(diǎn)P坐標(biāo)為，綜上，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、坐標(biāo)與圖形、等腰三角形的定義等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合）．以D為頂點(diǎn)作，射線交邊于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)試探究當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，？請(qǐng)給出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由；(3)過(guò)點(diǎn)A在右側(cè)作，交射線于點(diǎn)F，連接．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)，理由見解析(3)的度數(shù)為或【分析】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵在于利用分類討論的思想解決問(wèn)題．（1）根據(jù)，，即可證得；（2）根據(jù)，可得，再結(jié)合，，可證得，從而求得的長(zhǎng)；（3）根據(jù)題意畫出草圖，利用等腰三角形性質(zhì)證明，得到，根據(jù)為等腰三角形，分①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③，三種情況討論，再結(jié)合等腰三角形性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)求解，即可解題．【詳解】（1）證明：由圖可知：，，；（2）解：時(shí)，理由如下：，為等腰三角形，，又，在與中：，，此時(shí)；（3）解：，，，，，，，，，，為等腰三角形，①當(dāng)時(shí)，，；②當(dāng)時(shí)，，，，③，，與點(diǎn)D為邊上一動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生矛盾，故此類型不存在；綜上所述，的度數(shù)為或．【變式訓(xùn)練3】．圖，在中，，，，，、是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)從點(diǎn)開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為秒．

(1)_____（用t的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒后，是等腰三角形？(3)當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)秒后，是以或?yàn)榈走叺牡妊切?？【答案?1)(2)秒(3)11秒或12秒【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．用時(shí)間表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)，化“動(dòng)”為“靜”是解決這類問(wèn)題的一般思路，注意方程思想的應(yīng)用．（1）根據(jù)題意即可用可分別表示出；（2）結(jié)合（1），根據(jù)題意再表示出，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到，可得到關(guān)于的方程，可求得；（3）用分別表示出和，利用等腰三角形的性質(zhì)可分和三種情況，分別得到關(guān)于的方程，可求得的值．【詳解】（1）由題意可知，，，，故答案為：；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，為等腰三角形時(shí)，則有，即，解得，出發(fā)秒后，能形成等腰三角形；（3）①當(dāng)是以為底邊的等腰三角形時(shí)：，如圖1所示，

則，，．，，，，，；②當(dāng)是以為底邊的等腰三角形時(shí)：，如圖2所示，

則，，綜上所述：當(dāng)為11或12時(shí)，是以或?yàn)榈走叺牡妊切危蚀鸢笧椋?1秒或12．1．用一條長(zhǎng)為的細(xì)繩首尾連接圍成一個(gè)等腰三角形，若其中有一邊的長(zhǎng)為，則該等腰三角形的腰長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，忽略三角形的三邊關(guān)系是解題的易錯(cuò)點(diǎn)．分已知邊是腰長(zhǎng)和底邊兩種情況，分別確定三邊，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷，然后確定第三邊即可．【詳解】解：當(dāng)是腰長(zhǎng)時(shí)，底邊為，∵，∴不能組成三角形；當(dāng)是底邊時(shí)，腰長(zhǎng)為，∵，∴能夠組成三角形．綜上所述，它的腰長(zhǎng)為．故選：B．2．如圖，在中，已知，DE垂直平分，且，，則的周長(zhǎng)為（

）A．20 B．22 C．10 D．14【答案】D【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，先利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得，然后利用等量代換可得的周長(zhǎng)，從而進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵垂直平分，∴，∵，∴的周長(zhǎng)，故選：D．3．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的定義、直角三角形兩銳角互余等知識(shí)點(diǎn)，依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．分等腰三角形為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，然后分別根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可得．【詳解】解：依題意，分以下兩種情況：（1）如圖1，等腰為銳角三角形，頂角為，，，（2）如圖2，等腰為鈍角三角形，頂角為，綜上，頂角的度數(shù)為或故選：C．4．已知等腰三角形的周長(zhǎng)是，底邊長(zhǎng)是腰長(zhǎng)的函數(shù)，則下列圖象中，能正確反映與之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象，三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于利用三角形的三邊關(guān)系求自變量的取值范圍．先根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式求出函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊求出的取值范圍，然后選擇即可．【詳解】解：由題意得，，所以，，由三角形的三邊關(guān)系得，，解不等式得，，解不等式的，，所以，不等式組的解集是，正確反映與之間函數(shù)關(guān)系的圖象是選項(xiàng)圖象．故選：．5．如圖，在等腰中，，腰長(zhǎng)為，則點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查了等腰三角形的定義，關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征．先根據(jù)等腰三角形的定義得出，推出點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征，即可求解.【詳解】解：在等腰中，，腰長(zhǎng)為，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴則點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)．(1)求m和b的值；(2)直線與軸交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段上從點(diǎn)開始以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．①若的面積為10，求的值；②是否存在的值，使為等腰三角形？若存在，直接寫出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)①7秒；②當(dāng)秒或秒或秒時(shí)，為等腰三角形．【分析】本題考查的是一次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到等腰三角形的性質(zhì)、面積的計(jì)算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．（1）把點(diǎn)代入直線中得：，則點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，，；（2）①由題意得：，，中，當(dāng)時(shí)，，，，，即可求解；②分、、三種情況，分別求解即可．【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入直線中得：，點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，，；（2）解：①由題意得：，中，當(dāng)時(shí)，，，，中，當(dāng)時(shí)，，，，，的面積為10，，，則的值7秒；②設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)、的坐標(biāo)為：、，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)在的中垂線上，即，解得：；當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)在點(diǎn)的正下方，故，解得：；當(dāng)時(shí)，同理可得：或（舍去）故：當(dāng)秒或秒或秒時(shí)，為等腰三角形．7．如圖，點(diǎn)P是線段外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為腰向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，連接．(1)求證：；(2)添加適當(dāng)字母，求證：；(3)若，求線段的最大值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)：（1）證明，結(jié)合得出結(jié)果；（2）設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，得到，即可；（3）根據(jù)，求出的最大值即可．【詳解】（1）解：∵等腰直角三角形和等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴；（2）設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖：∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）∵，，∴，∴的最大值為，∵，∴的最大值為．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，將線段沿y軸向上平移4個(gè)單位，得到線段．(1)寫出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)E在x軸上，求出點(diǎn)E坐標(biāo)，使得；(3)線段沿軸向下平移得線段，軸上是否存在點(diǎn)，使得為等腰直角三角形？若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)，并寫出求其中一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的過(guò)程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)(3)x軸上存在點(diǎn)P，使得為等腰直角三角形，點(diǎn)坐標(biāo)為：或或【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作答即可；（2）設(shè)，，，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，，，則，求得，進(jìn)而求出點(diǎn)