2025年初升高暑期數(shù)學(xué)講義專題07集合的運算重難點突破（含答案）專題07集合的運算一、考情分析二、經(jīng)驗分享【知識點1、并集】1．并集的概念一般地，由___________屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：___________（讀作“A并B”），即．用Venn圖表示如圖所示：（1）（2）（3）由上述圖形可知，無論集合A，B是何種關(guān)系，恒有意義，圖中陰影部分表示并集．注意：并集概念中的“或”指的是只需滿足其中一個條件即可，這與生活中的“或”字含義不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．2．并集的性質(zhì)對于任意兩個集合A，B，根據(jù)并集的概念可得：（1），；（2）；（3）；（4）．【知識點2、交集】1．交集的概念一般地，由___________的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作：___________（讀作“A交B”），即．用Venn圖表示如圖所示：（1）A與B相交（有公共元素）（2），則（3）A與B相離（）注意：（1）交集概念中的“且”即“同時”的意思，兩個集合的交集中的元素必須同時是兩個集合的元素．（2）定義中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．2．交集的性質(zhì)（1）；（2）；（3）；（4）．【知識點3、全集與補集】1．全集的概念一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U，是相對于所研究問題而言的一個相對概念．學(xué)+科網(wǎng)說明：“全集”是一個相對的概念，并不是固定不變的，它是依據(jù)具體的問題來加以選擇的．例如：我們常把實數(shù)集看作全集，而當(dāng)我們在整數(shù)范圍內(nèi)研究問題時，就把整數(shù)集看作全集．2．補集的概念對于一個集合A，由全集U中___________集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作，即．用Venn圖表示如圖所示：說明：（1）補集既是集合之間的一種關(guān)系，同時也是集合之間的一種運算．求集合A的補集的前提是A是全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的，因此，它們是互相依存、不可分割的兩個概念．（2）若，則或，二者必居其一．3．全集與補集的性質(zhì)設(shè)全集為U，集合A是全集U的一個子集，根據(jù)補集的定義可得：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．三、題型分析（一）、集合的并集例1．（1）、（2022·浙江·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．（2）、（2022·北京順義·二模）已知集合，，則____________.【變式訓(xùn)練1-1】、（2022·福建·三明一中模擬預(yù)測）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1-2】、（2022·寧夏·平羅中學(xué)高一期中（理））已知集合，，則等于（

）A． B． C． D．

（二）、集合的交集例2．（1）、（2021·天津濱海新區(qū)·高二期末）設(shè)集合，，則等于（）A． B． C． D．（2）、（2022·上海交大附中模擬預(yù)測）已知集合，則___________．【變式訓(xùn)練2-1】．（2021·上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高三月考）已知集合，集合，則________．【變式訓(xùn)練2-2】．（2021·甘肅平?jīng)觥じ叨谀ɡ恚┰O(shè)集合，則（

）A． B． C． D．

（三）、集合的補集例3．（1）、（2020·上海高一專題練習(xí)）已知全集，，則___________.（2）、（2022·安徽·蚌埠二中模擬預(yù)測（文））已知，則為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3-1】、（2021·安徽·池州市貴池區(qū)烏沙中學(xué)高一期中）（多選題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練3-2】．（2021·四川宜賓市·高三三模（文））已知集合，，，則（）A． B． C． D．

（四）、集合中的新定義問題解題技巧：集合中的新定義問題(1)緊扣“新”定義：分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題的關(guān)鍵所在．(2)把握“新”性質(zhì)：用好集合的性質(zhì)(概念、元素的性質(zhì)、運算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的基礎(chǔ)，也是突破口，在解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì)．(3)遵守“新”法則：準(zhǔn)確把握新定義的運算法則，將其轉(zhuǎn)化為集合的交集、并集與補集的運算即可．例4．（2020·上海高一專題練習(xí)）定義，若，，則___．【變式訓(xùn)練4-1】．（2021·山東菏澤·高一期中）（多選題）我們知道，如果集合，那么的子集的補集為．類似地，對于集合、，我們把集合叫作集合與的差集，記作．例如，，，則有，，下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，則C．若是高一（1）班全體同學(xué)的集合，是高一（1）班全體女同學(xué)的集合，則D．若，則2一定是集合的元素

（五）、集合的運算的綜合應(yīng)用例5、（2022·福建三明·高二期中）已知集合，集合，(1)求；(2)求．【變式訓(xùn)練5-1】、（2021·湖北·車城高中高一階段練習(xí)）設(shè)集合，，.求：(1)；(2)；(3).

（六）、含有參數(shù)的集合的運算的綜合應(yīng)用例6．（2022·河北·保定市第二十八中學(xué)高二階段練習(xí)）已知集合，非空集合．(1)當(dāng)時，求；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求的取值范圍．【變式訓(xùn)練6-1】、（2022·山西運城·高二階段練習(xí)）已知集合．(1)若，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)α的取值范圍．專題07集合的運算一、考情分析二、經(jīng)驗分享【知識點1、并集】1．并集的概念一般地，由___________屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：___________（讀作“A并B”），即．用Venn圖表示如圖所示：（1）（2）（3）由上述圖形可知，無論集合A，B是何種關(guān)系，恒有意義，圖中陰影部分表示并集．注意：并集概念中的“或”指的是只需滿足其中一個條件即可，這與生活中的“或”字含義不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．2．并集的性質(zhì)對于任意兩個集合A，B，根據(jù)并集的概念可得：（1），；（2）；（3）；（4）．【知識點2、交集】1．交集的概念一般地，由___________的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作：___________（讀作“A交B”），即．用Venn圖表示如圖所示：（1）A與B相交（有公共元素）（2），則（3）A與B相離（）注意：（1）交集概念中的“且”即“同時”的意思，兩個集合的交集中的元素必須同時是兩個集合的元素．（2）定義中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．2．交集的性質(zhì)（1）；（2）；（3）；（4）．【知識點3、全集與補集】1．全集的概念一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U，是相對于所研究問題而言的一個相對概念．學(xué)+科網(wǎng)說明：“全集”是一個相對的概念，并不是固定不變的，它是依據(jù)具體的問題來加以選擇的．例如：我們常把實數(shù)集看作全集，而當(dāng)我們在整數(shù)范圍內(nèi)研究問題時，就把整數(shù)集看作全集．2．補集的概念對于一個集合A，由全集U中___________集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作，即．用Venn圖表示如圖所示：說明：（1）補集既是集合之間的一種關(guān)系，同時也是集合之間的一種運算．求集合A的補集的前提是A是全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的，因此，它們是互相依存、不可分割的兩個概念．（2）若，則或，二者必居其一．3．全集與補集的性質(zhì)設(shè)全集為U，集合A是全集U的一個子集，根據(jù)補集的定義可得：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．三、題型分析（一）、集合的并集例1．（1）、（2022·浙江·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用并集的定義可得正確的選項.【詳解】，故選：D.（2）、（2022·北京順義·二模）已知集合，，則____________.【答案】【解析】【分析】利用并集概念及運算法則進行計算.【詳解】在數(shù)軸上畫出兩集合，如圖：.故答案為：【變式訓(xùn)練1-1】、（2022·福建·三明一中模擬預(yù)測）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先求出集合B，然后取并集即可.【詳解】集合則，故選：A【變式訓(xùn)練1-2】、（2022·寧夏·平羅中學(xué)高一期中（理））已知集合，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)并集的定義計算可得；【詳解】解：因為，，所以；故選：B（二）、集合的交集例2．（1）、（2021·天津濱海新區(qū)·高二期末）設(shè)集合，，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合的交集運算求解即可.【詳解】解：集合，，則=，故選：A（2）、（2022·上海交大附中模擬預(yù)測）已知集合，則___________．【答案】【解析】【分析】求得再求交集即可【詳解】；故答案為：【變式訓(xùn)練2-1】．（2021·上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高三月考）已知集合，集合，則________．【答案】【分析】由集合的交運算求即可.【詳解】由題設(shè)知：.故答案為：【變式訓(xùn)練2-2】．（2021·甘肅平?jīng)觥じ叨谀ɡ恚┰O(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式及一元一次不等式的解法求出集合，再利用集合交集的定義即可求解.【詳解】由，解得，所以，由，解得，所以，所以.故選：D.（三）、集合的補集例3．（1）、（2020·上海高一專題練習(xí)）已知全集，，則___________.【答案】【分析】根據(jù)集合補集的定義求解即可．【詳解】則故答案為：（2）、（2022·安徽·蚌埠二中模擬預(yù)測（文））已知，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)交集的定義求出.【詳解】因為，所以=.故選：B【變式訓(xùn)練3-1】、（2021·安徽·池州市貴池區(qū)烏沙中學(xué)高一期中）（多選題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】【分析】解不等式得，再依次討論各選項即可得答案.【詳解】解：因為，，所以，A正確；，B錯誤；因為，，所以，C錯誤；所以，D正確.故選：AD.【變式訓(xùn)練3-2】．（2021·四川宜賓市·高三三模（文））已知集合，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，再求即可.【詳解】解：∵集合，，，∴，.故選：A.（四）、集合中的新定義問題解題技巧：集合中的新定義問題(1)緊扣“新”定義：分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題的關(guān)鍵所在．(2)把握“新”性質(zhì)：用好集合的性質(zhì)(概念、元素的性質(zhì)、運算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的基礎(chǔ)，也是突破口，在解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì)．(3)遵守“新”法則：準(zhǔn)確把握新定義的運算法則，將其轉(zhuǎn)化為集合的交集、并集與補集的運算即可．例4．（2020·上海高一專題練習(xí)）定義，若，，則___．【答案】.【分析】直接利用的定義求出.【詳解】∵，，且∴故答案為：（2）．【變式訓(xùn)練4-1】．（2021·山東菏澤·高一期中）（多選題）我們知道，如果集合，那么的子集的補集為．類似地，對于集合、，我們把集合叫作集合與的差集，記作．例如，，，則有，，下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，則C．若是高一（1）班全體同學(xué)的集合，是高一（1）班全體女同學(xué)的集合，則D．若，則2一定是集合的元素【答案】AC【解析】【分析】選項AC符合題意，正確；選項BD可以通過舉反例來證明錯誤.【詳解】選項A：，，則.判斷正確；選項B：令，，則，但.判斷錯誤；選項C：表示高一（1）班全體同學(xué)中去除全體女同學(xué)后剩下的全體同學(xué)的集合，即為高一（1）班全體男同學(xué)的集合，則必有.判斷正確；選項D：令，，則，，此時.判斷錯誤；故選：AC（五）、集合的運算的綜合應(yīng)用例5、（2022·福建三明·高二期中）已知集合，集合，(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由一元二次不等式的解法可求得集合，再由集合的并集定義，計算即可；（2）先根據(jù)全集和集合求出集合的補集，然后再求出集合的補集與的交集.(1)由題意得，，

．(2)，