中學(xué)高二12月月考數(shù)學(xué)試卷

姓名:年級:學(xué)號:

題型選擇題填空題解答題判斷題計(jì)算題附加題總分

得分

評卷人得分

一、填空題(共12題，共60分)

1、已知函數(shù)/(“)=”-皿+了g(x)=-lnx,而斗月表示。辦中的最小值，若函數(shù)

A(x)=nnn{/(x),.?(x)}(x>0)恰有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是__________.

【考點(diǎn)】

空

【答案】34)

￡

【解析】'-'f(x)=x3-mx+4,

.'.f"(x)=3x2-m,

￡

若m20,則&(x)20恒成立，函數(shù)f(x)=x3+mx+Z至多有一個零點(diǎn),

此時h(x)不可能有3個零點(diǎn)，故mVO,

令千'(x)=0,貝ljx=±

Vg(1)=0,

m

.,.若h(x)有3個零點(diǎn)，則<1,f(1)>0,f(、3)<o,

-3<m<0

{—+m>0

4

2m!-m1_

—J——+-<0

即3134

35

解得：m€<4>

故答案為：(4'4)

2、三個頂點(diǎn)均在橢圓上的三角形稱為橢圓的內(nèi)解三角形.已知/為橢圓(?>1)的上頂

點(diǎn),若以/為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形&岱C有且只有三解，則橢圓的離心率的取值范圍是_1化為:

a2(k2-k)=k3-1,

當(dāng)k=1時是其中一個根.

I

當(dāng)k中1時，a2=k=k+￡+1>3,

3、若函數(shù)/(x)=/T+x_2(8為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)=aj}-ax:-a-2^若存在實(shí)數(shù)玉，

使得〃5)=雇幻=°,且則實(shí)數(shù)。的取值范圍是__________

【考點(diǎn)】

一一54+123舞空

【答案】235

【解析】函數(shù)f(X)=ex-1+X-2的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=ex-1+1>0,

f(x)在R上遞增，由千(1)=0,可得f(x1)=0,解得x1=1,

存在實(shí)數(shù)x1,x2,使得f(x1)=g(x2)=0,且|x1-x2|W1,

即為g(x2)=0且|1-x2|W1,

即x2-ax-a+3=0在有解，

o

-=x3-x-l=^(x)*(x)=3f-l=0=x=±遮

a在0WxW2有解,

函數(shù)的值域?yàn)?/p>

「f-2后.1』-9-26.1-54+12萬或說.

23

4、已知等差數(shù)列值｝中，有1。-30,則在此等比數(shù)列作｝中，利用類比

推理有類似的結(jié)論：.

【考點(diǎn)】

【答案】…％=挈也…%

【解析】等差數(shù)列與等比數(shù)列的對應(yīng)關(guān)系有：等差數(shù)列中的加法對應(yīng)等比數(shù)列中的乘法，

等差數(shù)列中除法對應(yīng)等比數(shù)列中的開方，故此我們可以類比得到結(jié)論：帆兒二4=^應(yīng)用…%.

故答案為：

a

5、已知函數(shù)/(x)=d+62+阮-47。在x=i處取得極小值10,則g的值為.

【考點(diǎn)】

【答案】-2

【解析】,.*f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a,

.'.fz(x)=3x2+2ax+b,

又f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1處取得極小值10,

.??f'(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b-a2-7a=10,

.'.a2+8a+12=0,

**.a=-2,b=1或a=-6,b=9.

當(dāng)a=-2,b=1時，千'(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1),

1

當(dāng)3<xV1時，fz(x)<0,當(dāng)x>1時，產(chǎn)(x)>0,

1.f(x)在x=1處取得極小值，與題意符合；

當(dāng)a=-6,b=9時，f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)

當(dāng)xV1時，V(x)>0,當(dāng)1VxV3時，V(x)<0,

Af(x)在x=1處取得極大值，與題意不符；

b--2,

故答案為：-2.

115

13++_<-1117

1H----<-31+齊+正+不＜4

6、觀察下列式子：232…，根據(jù)以上式子可以猜想

111

1+A+乒+…+麗、

【考點(diǎn)】

4029

【答案】2015

+萬兀+予耘+萬V]

【解析】試題分析：由已知中的式子12-V52,l+22R3<-31+02-+3-4-4,…

1112n-l1114029

芯+力+…+廣+...+

1+\Vn——1+k+,<?nie

2223n2所以223Z201522015

7、設(shè)出。C是等腰三角形，乙43c=120°,則以/、3為焦點(diǎn)且過點(diǎn)C的雙曲線的離心率為.

【考點(diǎn)】

1+由

【答案】2

【解析】由題意2c=|AB|,所以照底由雙曲線的定義，有

2a=\AC\-\BC\=2j3c-2e^a=(yl3-^c

.二—二1二百+1

一°一廠2

1+百

故答案為：2.

8、用反證法證明命題”三角形的內(nèi)角至多有一個鈍角”時，應(yīng)假設(shè)為__________.

【考點(diǎn)】

【答案】三角形的內(nèi)角至少有兩個鈍角

【解析】反證法證明時，需要假設(shè)反面成立，即原條件的否定。故應(yīng)假設(shè)為：三角形的內(nèi)角至少有兩個鈍

角。

故答案為：三角形的內(nèi)角至少有兩個鈍角。

史+其=1

9、在平面直角坐標(biāo)系工⑦中，已知橢圓95上一點(diǎn)尸到其左焦點(diǎn)的距離為4,則點(diǎn)尸到右準(zhǔn)線的

距離為.

【考點(diǎn)】

【答案】3

史十月=1

【解析】根據(jù)題意，設(shè)橢圓95的右焦點(diǎn)為口，點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為d,

橢圓95中a=3,b=

則c=2,

2

則其離心率e=3,

若P在橢圓上，且P到左焦點(diǎn)F的距離為4,則|PF，|=2a?2=2,

2

又由橢圓的離心率e=3,

M2

則有e=d=3,解可得d=3,

即點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為3；

故答案為：3.

力一直=1

10、雙曲線24"的漸近線方程為.

【考點(diǎn)】

*近

V=±----X

【答案廠2

J?好hJ2

-—一=1±—X2cL2AV=±——X

【解析】雙曲線24,漸近線方程為：y=a,a=1工b=4,故得到方程為：2

*近

y=±---x

故答案為：2。

11、曲線》=弱、在x=°處的切線方程是__________.

【考點(diǎn)】

【答案】2X->+2=0

【解析】"二方=乂’=%”=工當(dāng)自變量等于。時，函數(shù)值為2,故得到切線方程為：2x-j+2=°。

故答案為：2x-j+2=0。

12、命題“若3=1,則X=l”的否命題為.

【考點(diǎn)】

【答案】若一,1,則X/1

【解析】根據(jù)逆否命題的寫法：將條件和結(jié)論互換，既否條件又否結(jié)論，原命題的逆否命題為若3*1,

則工”

故答案為：若則xfl.

二、解答題（共6題，共30分）

2

/(x)=lnxx+1

13、已知a為常數(shù)).

（1）當(dāng)4=2時，求函數(shù)/㈤的單調(diào)性；

（2）當(dāng)〃＞2時，求證：,卜"）＜。；

（3）試討論函數(shù)/（X）零點(diǎn)的個數(shù).

【考點(diǎn)】

【答案】（1）/（X）在（°」）上單調(diào)遞增，在（LE）上單調(diào)遞減（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：（1）將參數(shù)值代入得到函數(shù)表達(dá)式，求導(dǎo)研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可；（2）記

/(?")=€(4)=々+當(dāng)夕＞2時，gS）＜°,對函數(shù)求導(dǎo)研究單調(diào)性求最值即可;

,由題意即證,

（3）直接對函數(shù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的變化趨勢，結(jié)合圖像討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)。

解析：

⑴解當(dāng)以=2時，/（x）=lnx-x+l所以'（X）-x（x＞0）,

當(dāng)x€（OJ）時/'（x）＞0；當(dāng)x€（L+8）時/'（x）＜0；

故〃X）在（。」）上單調(diào)遞增，在（L+00）上單調(diào)遞減.

/（。"）=晨々）=々_"+1

（2）證明：記'/''a,

由題意即證，當(dāng)a＞2時，

下（4=42（以-1）「

又W/（"2）,

記=時則〃（1-/）＜0,

所以1⑷＜°在⑵珂上恒成立，則雇以）在⑵句上單調(diào)遞減,

晨水晨2）=3-/VO,即證

（3）由題意，,㈤=

(x>0).

①若GVO,則/'GA。，牧〃x）在（°/8）上單調(diào)遞增,

/尸卜”-尸<0/⑴=i-2〉o

由零點(diǎn)存在性定理知，〃x）在（°，+8）上有且只有一個零點(diǎn).

②若G〉0,當(dāng)則/（X）在卜巧）上單調(diào)遞增;

當(dāng)巴/?）<。,則〃x）在G'力上單調(diào)遞減,

”-萬是/㈤在（°/8）上的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn)，""皿’團(tuán)1az

所以,

⑴SO<2<1,即0VG<2,〃x）<°恒成立，則/（X）在但板）上無零點(diǎn);

（ii）當(dāng)萬一）即〃=2,，（x）g=°,則〃％）在（9m）上有一個零點(diǎn),

->1?/（x）=ln->0

（iii）當(dāng)2,即4>2,/no2

而當(dāng)a>2時，有2,理由如下：令2（々>2），則''2,

所以“㈤在⑵網(wǎng)上單調(diào)遞增，〃㈤即廣..

/（?g）=（1-?）--s~a<0/彳「嗚>。

'）a，由（2）知JY尸"，而12）2,

由〃x）在（9對上的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理可知，/卜）分別在I①和15'1上各有一個零

點(diǎn)、,即〃x）在9”）上有兩個零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)夕<?；颉?2時，在（°收）上有一個零點(diǎn);

當(dāng)”2時，〃x）在⑥板）上有兩個零點(diǎn)；

當(dāng)0<々<2時，〃x）在但枚）上沒有零點(diǎn)..

二+片=11

M、在平面直角坐標(biāo)系X,中，橢圓C：?2b1（a>2z>0）的離心率為2,連接橢圓C的四個頂

點(diǎn)所形成的四邊形面積為4,5.

（1）求桶圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若橢圓C上點(diǎn)N到定點(diǎn)”（也°）（0<w<2）的距離的最小值為1,求m的值及點(diǎn)N的坐標(biāo);

（3）如圖，過橢圓C的下頂點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓C于點(diǎn)M,N,設(shè)直線W的

2

v=-*-----1-x▲

斜率為上，直線九k分別與直線皿，AN交于點(diǎn)、P,Q.記"MV,AXPQ的面積分別為

3=竺

七邑，是否存在直線人使得％65?若存在，求出所有直線/的方程；若不存在，說明理由.

【考點(diǎn)】

之十/=1=—x=--x

【答案】G）43-（2）加的值為2,點(diǎn)"的坐標(biāo)為（2°）（3）y~3X,y~3

1

C~ar（々=Z

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意列出式子2ab=4?解得〃=也從而得到橢圓方程；（2）根

=—J?-2mx+m2+3

據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距公式得到4,研究這個函數(shù)的最值即可；（3）聯(lián)立直線和橢圓得到二

品-APAQ孫卜國

次方程，2,將面積比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之比代入即可。

解析：

{a2,（a=M

（1）由題意得：Z力=4瓦解得b=屈

7一爐-1

c---'----1

所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為43

（2）設(shè)"（'J）,由定點(diǎn)”（也°）,考慮距離的平方:

MN2=(x-w)a+>>2={x-m^+3I"*')

=7X2-2ro+m2+3

則4

二次函數(shù)的圖象對稱軸為％=4用,

由橢圓方程知-24x42,

由題設(shè)知o<4m<8,

GV1

①當(dāng)。<4加42,即m2時，在工=4加時有肪L?=一3/?'+3=1,

解得34,不符合題意，舍去;

1Vm<2

②當(dāng)4加,2,即5時，由單調(diào)性知：在x=2時有明「=m'_m+4=l

解得加=1或加=3（舍）.

綜上可得：用的值為2,點(diǎn)"的坐標(biāo)為（2°）.

（3）由（D知，"（°'一"），則直線的方程為）=丘一百，

y=AX-G,

/、「_8四

聯(lián)立43-消去J并整理得O+解得“"一強(qiáng)而;

XR顯

直線/"的方程為kX,同理可得4f32'+4.

y=kx-M,

<Jt2-1指

y=------x>_1^9XQ=-------

聯(lián)立k解得與二心上,同理可得k,

1~川）?2顯8版

.AM.AN:跖卜?二64^竺

邑-APAQ網(wǎng)⑷.岳.更（3+叱）（3必+4）65

所以2k,

i2=l

即靠‘一10必+3=0,解得V=3或3,

P-12-J2一

所以無一3或亍，

2百2昌

V=---xV=----X

故存在直線,：3,3滿足題意.

=9一4

15、已知數(shù)列｛4｝滿足4=1,14-%（"為正整數(shù)）.

（1）求丐，巧，4并猜想出數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式；

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）的結(jié)論.

【考點(diǎn)】

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）寫出數(shù)列中的幾項(xiàng)，通過觀察找出規(guī)律，歸納出通項(xiàng)；（2）根據(jù)數(shù)序歸納法的

步驟，①當(dāng)"=1時，猜想成立，②假設(shè)當(dāng)"=*（無wN*）時，猜想成立；證明即可。

解析：

同理可求｛I⑵設(shè)/㈤的導(dǎo)函數(shù)是/'（"）,在⑴的條件下，若加，力€【-”1,求〃m）+/'S）

的最小值.

【考點(diǎn)】

【答案】（1）a=2（2）-11

/'（1）=tan—=1

【解析】試題分析：G）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到4，，-3+3=1,即a=2；（2）

根據(jù)題意寫出/（E）和/‘（力）的表達(dá)式，分別求兩者的最值即可。

解析：

x-3xJ+2/1tan1

（1）/1（）=?據(jù)題意，/（）-4-.-3+2a=l即《=2.

（2）由⑴知〃%）=—-TM（x）=Tx'+4x

.對于?。┳钚≈禐椤ā悖?T

=2

??,/'（"）=-*'+4%的對稱軸為“一§,且開口向下，

.xe[-Ll]時，最小值為了,（T）與/1（1）中較小的

/'（T）=-7,.??當(dāng)辿-Ll]時，/'（X）的最小值為-7.

.?.當(dāng)問-L1]時,尸㈤的最小值為-7,

.+r⑸的最小值為_]]

17、試用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笞C下列命題：

（1）求證：46-2后＞有-療；

11

（2）求證：1,&,、后不可能是同一個等差數(shù)列中的三項(xiàng).

【考點(diǎn)】

【答案】（1）見解析（2）見解析

1

【解析】試題分析：（1）分析法人手，從要證的結(jié)果入手，兩邊移項(xiàng)平方即可；（2）反證法假設(shè)1,&,

1

括是同一個等差數(shù)列?=m+q（p*o）中的/、由、"三項(xiàng)，最后推出矛盾即可。

解析：

(1)要證明再-2后〉有一療，

只要證、，*+近>五+2亞，

只要證⑼"八回2&)：

只要證13+27