《等腰三角形中輔助線的添加》期末?？碱}型專練類型一等腰三角形中有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊上的中線1.如圖，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC邊的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且BE=AF，求證:ED⊥FD.類型二等腰三角形中沒(méi)有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊上的高2.如圖，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一點(diǎn)，且EA=EC，求證:EB⊥AB.類型三等腰三角形中證與腰有關(guān)聯(lián)的線段之間的關(guān)系時(shí)，常作腰的平行線3.如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BA移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長(zhǎng)線移動(dòng)，點(diǎn)P，Q移動(dòng)的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D.(1)求證:PD=QD;(2)過(guò)點(diǎn)P作直線BC的垂線，垂足為E，P，Q在移動(dòng)的過(guò)程中，線段BE，DE，CD中是否存在長(zhǎng)度保持不變的線段?請(qǐng)說(shuō)明理由.類型四等腰三角形中證與底邊有關(guān)聯(lián)的線段之間的關(guān)系時(shí)，常作底邊的平行線4.如圖，D是等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)DE交AC于F，過(guò)D點(diǎn)作DG⊥AC于G點(diǎn).(1)求證:AG=12(2)若DF=EF，求證:CE=AD.類型五補(bǔ)形法5.如圖所示，AD平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)C作AD的垂線，垂足為D，作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，求證:AE=CE.類型六倍長(zhǎng)中線法6.【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)試題】【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】小強(qiáng)在一次學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到了下面的問(wèn)題:如圖1，AD是△ABC的中線，若AB=5，AC=3，求AD的長(zhǎng)的取值范圍.【探究方法】小強(qiáng)所在的小組通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使ED=AD，連結(jié)BE，可以證出△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性質(zhì)可將已知長(zhǎng)度的線段與AD轉(zhuǎn)化到△ABE中，進(jìn)而求出AD的長(zhǎng)的取值范圍.方法小結(jié):從上面的思路可以看出，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將中線AD延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造出全等三角形，我們把這種方法叫做“倍長(zhǎng)中線法”.(1)請(qǐng)你利用上面解答問(wèn)題的思路方法，寫出求AD的長(zhǎng)的取值范圍的過(guò)程;【問(wèn)題解決】(2)如圖2，CB是△AEC的中線，CD是△ABC的中線，且AB=AC，下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是;(填序號(hào))

①∠ACD=∠BCD;②CE=2CD;③∠BCD=∠BCE;④CD=CB.【問(wèn)題拓展】(3)如圖3，在△ABO和△CDO中，OA=OB，OC=OD，∠AOB與∠COD互補(bǔ)，連結(jié)AC、BD，E是BD的中點(diǎn)，求證:OE=12圖1圖2圖37.如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AC上的一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，已知AE=EF.求證:AC=BF.類型七截長(zhǎng)補(bǔ)短法8.如圖所示，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，求證:AC=AE+CD.9.如圖，已知AB∥CD，CE，BE分別平分∠BCD和∠CBA，點(diǎn)E在AD上，求證:BC=AB+CD.10.如圖1，AD是△ABC的角平分，∠B=2∠C，試探究線段AB，BD，AC之間的數(shù)量關(guān)系.圖1圖2由于角平分線所在的直線是角的對(duì)稱軸，所以可以嘗試將角平分線一側(cè)的三角形翻折(構(gòu)造全等三角形)，小明的解題思路如下:①如圖2，在AC上取一點(diǎn)E，使AE=AB，連結(jié)DE.②由AB=AE，AD平分∠BAE，AD是公共邊，可得△ABD≌△AED(理由:)，則∠B=∠AED，BD=DE.

③由∠B=2∠C，∠B=∠AED得∠AED=2∠C.又因?yàn)椤螦ED=∠EDC+∠C，所以∠EDC=∠C，則DE=，

又由BD=DE，得BD=EC.④根據(jù)上述的推理可知AB，BD，AC之間的數(shù)量關(guān)系為.

(1)請(qǐng)你補(bǔ)全小明的解題思路;(2)參考小明的方法，解決下面的問(wèn)題:如圖3，△ABC中，∠A=105°，∠C=30°，BD平分∠ABC，求證:AB+CD=BC.圖311.(1)如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=60°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=30°，連結(jié)EF，試判斷BE、EF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;(2)如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD，連結(jié)EF，探究(1)中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說(shuō)明理由(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)E、F分別在邊CB、DC的延長(zhǎng)線上，如圖3，探究BE、EF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.圖1圖2圖3

答案全解全析1.證明連結(jié)AD，如圖所示:∵AB=AC，∠BAC=90°，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=45°，∴△ABD與△ACD均為等腰直角三角形，∴AD=BD=CD，∠DAC=∠B，又∵BE=AF，∴△BED≌△AFD，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BDE+∠EDA=90°，∴∠ADF+∠EDA=90°，∴∠EDF=90°，即ED⊥DF.2.證明如圖，作EF⊥AC于F，∵EA=EC，∴AF=FC=12AC∵AC=2AB，∴AF=AB，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△BAE和△FAE中，AB=AF∴△BAE≌△FAE(S.A.S.)，∴∠ABE=∠AFE=90°，∴EB⊥AB.3.解析(1)證明:如圖，過(guò)P點(diǎn)作PF∥AC交BC于F，∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同，∴BP=CQ，∵PF∥AQ，∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠PFB，∴BP=PF，∴PF=CQ，在△PFD與△QCD中，∠PDF=∠QDC∴△PFD≌△QCD(A.A.S.)，∴PD=QD.(2)存在，DE是長(zhǎng)度保持不變的線段.理由:由(1)得△PFD≌△QCD，∴DF=CD，∴FD=12FC由(1)知BP=PF，∵PE⊥BF，∴EF=12BF∴ED=FD+EF=12FC+∴DE的長(zhǎng)度保持不變.4.證明(1)∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH∥BC交AC于點(diǎn)H，∴∠ADH=∠B=60°，∠AHD=∠ACB=60°，∴∠A=∠ADH=∠AHD，∴△ADH是等邊三角形，∴AD=AH=DH，∵DG⊥AC，∴AG=12AH，∴AG=1(2)∵DH∥BC，∴∠FDH=∠E，在△DHF和△ECF中，∠FDH=∠E∴△DHF≌△ECF(A.S.A.)，∴DH=CE，∴CE=AD.5.證明延長(zhǎng)CD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，如圖所示.由題意知∠1=∠2，∠ADP=∠ADC=90°.在△ADP和△ADC中，∠1=∠2∴△ADP≌△ADC(A.S.A.)，∴∠P=∠ACD.∵DE∥AP，∴∠4=∠P，∠1=∠3，∴∠4=∠ACD，∠2=∠3，∴DE=CE，AE=DE，∴AE=CE.6.解析(1)∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD.在△ADC和△EDB中，DA=DE∴△ADC≌△EDB(S.A.S.)，∴AC=BE=3，∵AB=5，∴5-3<AE<5+3，∴2<2AD<8，∴1<AD<4.(2)如圖，延長(zhǎng)CD至F，使DF=CD，連結(jié)BF.易證△BDF≌△ADC，∴BF=AC，∠FBA=∠A，∵AB=AC，∴BF=AB，∠ACB=∠ABC，∵點(diǎn)B為AE的中點(diǎn)，∴BE=AB，∴BE=BF，∵∠CBE=∠ACB+∠A，∠CBF=∠CBA+∠ABF，∴∠CBE=∠CBF，又∵CB=CB，∴△CBE≌△CBF(S.A.S.)，∴CE=CF=2CD，∠BCE=∠BCD，故②③正確.由已知條件無(wú)法證明①④正確.故答案為②③.(3)證明:如圖，延長(zhǎng)OE到J，使得EJ=OE，連結(jié)DJ.易證△BEO≌△DEJ，∴∠BOE=∠J，OB=DJ，∴OB∥DJ，∴∠ODJ+∠BOD=180°，∵∠AOB與∠COD互補(bǔ)，∴∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，∴∠AOC=∠ODJ，∵OA=OB，OB=DJ，∴OA=DJ，在△AOC和△JDO中，OA=DJ∴△AOC≌△JDO(S.A.S.)，∴AC=OJ，∴AC=2OE，即OE=127.證明如圖，延長(zhǎng)AD到G，使得DG=AD，連結(jié)BG.∵AD為BC邊上的中線，∴CD=BD.在△ADC和△GDB中，AD=GD∴△ADC≌△GDB(S.A.S.)，∴AC=BG，∠CAD=∠G，∵AE=EF，∴∠EFA=∠EAF，∴∠G=∠EFA，∵∠EFA=∠BFG，∴∠G=∠BFG，∴BG=BF，∴AC=BF.8.證明如圖，在AC上取點(diǎn)F，使AF=AE，連結(jié)OF，∵AD平分∠BAC，∴∠EAO=∠FAO，在△AEO與△AFO中，AE=AF∴△AEO≌△AFO(S.A.S.)，∴∠AOE=∠AOF.∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠ECA+∠DAC=12∠ACB+12∠BAC=12(∠ACB+∠BAC)=12∴∠AOC=180°-(∠ECA+∠DAC)=120°，∴∠DOE=∠AOC=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，∴∠COF=60°，∴∠COD=∠COF，在△FOC與△DOC中，∠COF=∠COD∴△FOC≌△DOC(A.S.A.)，∴DC=FC，∵AC=AF+FC，∴AC=AE+CD.9.證明如圖，在BC上取點(diǎn)F，使BF=BA，連結(jié)EF，∵BE，CE分別平分∠ABC和∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4.在△ABE和△FBE中，AB=FB∴△ABE≌△FBE(S.A.S.)，∴∠A=∠5.∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠5+∠D=180°，∵∠5+∠6=180°，∴∠6=∠D.在△CDE和△CFE中，∠D=∠6∴△CDE≌△CFE(A.A.S.)，∴CF=CD.∵BC=BF+CF，∴BC=AB+CD.10.解析(1)S.A.S.;EC;AC=AB+BD.(2)證明:在BC上取點(diǎn)F，使BF=AB，連結(jié)DF，如圖所示:∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠FBD，又∵BD=BD，∴△ABD≌△FBD(S.A.S.)，∴∠BFD=∠A=105°，∴∠DFC=180°-∠DFB=75°，∵∠C=30°，∴∠FDC=∠DFB-∠C=75°，∴∠DFC=∠CDF，∴FC=CD，∴BC=BF+FC=AB+CD，即AB+CD=BC.11.解析(1)EF=BE+DF.理由:如圖，延長(zhǎng)CD到M，使得DM=EB，連結(jié)AM.在△ABE和△ADM中，AB=AD∴△ABE≌△ADM(S.A.S.)，∴AE=AM，∠BAE=∠DAM，∴∠EAM=∠BAD=60°，∵∠EAF=30°，∴∠MAF=30°，∴∠EAF=∠MAF，在△EAF和△MAF中，AE=AM∴△EAF≌△MAF(S.A.S.)，∴EF=FM=DM+DF=BE+DF.(2)(1)中的結(jié)論成立.理由:如圖，延長(zhǎng)CD到M，使得DM=EB，連結(jié)AM.∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADM=180°，∴∠ABC=∠ADM，在△ABE和△ADM中，AB=AD∴△ABE≌△ADM(S.A.S.)，∴AE=AM，∠BAE=∠DAM，∴∠EAM=∠BAD，∵∠EAF=12∠BAD∴∠EAF=12∠EAM，∴∠EAF=∠MAF在△EAF和△MAF中，AE=AM∴△EAF≌△MAF(S.A.S.)，∴EF=FM=DM+DF=BE