高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市5G聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，即，，所以，即，所以.故選：C2.設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則在處的切線的斜率等于（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，在處的切線的斜率為，故選：B.3.已知變量與的數(shù)據(jù)如下表所示，若關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程是，則表中（）1234510111315A.11 B.12 C.12.5 D.13【答案】A【解析】，因為經(jīng)驗回歸方程經(jīng)過樣本中心，所以，解得.故選：A.4.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍．”對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的．”從這兩個回答分析，5人的名次排列可能有多少種不同情況（）A.24 B.36 C.54 D.60【答案】C【解析】由條件可知，甲和乙都不是第一名，乙也不是最后一名，所以先排乙有3種方法，再排甲有3種方法，其他就是全排列種方法，所以5人的名次排列有種方法.故選：C5.的展開式中的系數(shù)是（）A.20 B.30 C.40 D.50【答案】A【解析】因為的展開式中，通項公式,令，得，則，又,所以的系數(shù)為.故選：A.6.柯西分布（Cauchydistribution）是一個數(shù)學(xué)期望不存在的連續(xù)型概率分布.記隨機(jī)變量服從柯西分布為,其中當(dāng),時的特例稱為標(biāo)準(zhǔn)柯西分布,其概率密度函數(shù)為,已知,,,則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)關(guān)于軸對稱，由可知，，且，則，所以.故選：D7.已知函數(shù)，則“有兩個極值”的一個必要不充分條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】的定義域為，則，因為有兩個極值，所以有兩個不等的實數(shù)解，由，得，令，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞增，在上遞減，因為，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的圖象如圖所示，由圖可知當(dāng)時，的圖象與的圖象有兩個不同的交點，即有兩個極值，因為是的真子集，所以“有兩個極值”的一個必要不充分條件是，故選：A8.已知,若,則的最小值等于()A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)，設(shè),則，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，所以，即，綜上，，即，所以，設(shè)是直線上的點，是圓上的點，而目標(biāo)式為，由，故.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題正確的是（）A.命題“對任意，”的否定是“存在，使得”B.“”的充分不必要條件是“”C.設(shè)，則“且”是“”的充分不必要條件D.設(shè)，則“”是“”的充分不必要條件【答案】BC【解析】對于A選項，命題“對任意，”的否定是“存在，使得”，故A錯誤；對于B選項，或，因為或，所以“”是“”的充分不必要條件，故B正確；對于C選項，充分性：當(dāng)且時，，則，所以具有充分性，必要性：令,，但“且”不成立，所以不具有必要性，所以“且”是“”充分不必要條件，故C正確；對于D選項，因為“”是“”的必要不充分條件，所以“”是“”的必要不充分條件，故D錯誤.故選：BC10.將四個編號為1，2，3，4的小球放入四個分別標(biāo)有1，2，3，4號的盒子中，則下列結(jié)論正確的有（）A.共有256種放法B.恰有一個盒子不放球，共有72種放法C.恰有兩個盒子不放球，共有84種放法D.沒有一個空盒但小球的編號和盒子的編號都不相同的放法共有9種【答案】ACD【解析】若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，共有種放法，故A正確；恰有一個盒子不放球，先選一個盒子，再選一個盒子放兩個球，則種放法，故B錯誤；恰有兩個盒子不放球，首先選出兩個空盒子，再將四個球分為，或，兩種情況，故共種放法，故C正確；編號為的球有種放法，編號為的球所放盒子的編號相同的球放入號或其他兩個盒子，共有，即種放法，故D正確．故選：ACD．11.下列選項中正確的是（）A.已知隨機(jī)變量服從二項分布，則B.口袋中有大小相同的7個紅球、2個藍(lán)球和1個黑球．從中任取兩個球，記其中紅球的個數(shù)為隨機(jī)變量，則的數(shù)學(xué)期望C.某射擊運動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.8，則在9次射擊中，最有可能擊中的次數(shù)是8次D.設(shè)A，是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，且，，，則【答案】ABD【解析】A.，，，故A正確；B.為超幾何分布，所以，故B正確；C.設(shè)最有可能擊中次，則，，則，得，即或，故C錯誤；D.，則，，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某市的5個區(qū)縣A，，，，地理位置如圖所示，給這五個區(qū)域染色，每個區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色．若有四種顏色可供選擇，則不同的染色方案共有______種．【答案】96【解析】第一步：從4種顏色中選3種顏色對三個區(qū)域著色有種方法，第二步：對著色分兩類，著色有2種方法，對著色有2種方法，故不同的染色方案共有種．故答案為：種.13.某學(xué)校組織學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)強(qiáng)基答題比賽，已知共有2道A類試題，4道類試題，6道類試題，學(xué)生從中任選1道試題作答,學(xué)生甲答對這3類試題的概率分別為，，，學(xué)生甲答對試題的概率為______．【答案】【解析】學(xué)生甲答對試題的概率為.故答案為：14.若對任意的，且，，則的最大值是______．【答案】【解析】因為，所以，所以由，得，所以，所以，令，則，因為對任意的，且，所以在上遞增，由，得，由，得，得，解得，所以的遞增區(qū)間為，所以的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)命題，使得不等式恒成立；命題，不等式成立．（1）若為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若命題、有且只有一個是真命題，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）若為真命題，即，使得不等式成立，則對于，即可.由于,，則.（2）若為真命題，，不等式成立，則對于，即可.由于，，，解得p、q有且只有一個是真命題，則或，解得.16.,，,這組公式被稱為積化和差公式，最早正式發(fā)表于16世紀(jì)天文學(xué)家烏爾索斯1588年出版的《天文學(xué)基礎(chǔ)》一書中.在歷史上，對數(shù)出現(xiàn)之前，積化和差公式被用來將乘除運算化為加減運算.在現(xiàn)代工程中，積化和差的重要應(yīng)用在于求解傅里葉級數(shù).為了解學(xué)生掌握該組公式的情況，在高一、高三兩個年級中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行考查，其中高三年級的學(xué)生占，其他相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：合格不合格合計高三年級的學(xué)生54高一年級的學(xué)生16合計100（1）請完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析“對公式的掌握情況”與“學(xué)生所在年級”是否有關(guān)？（2）以頻率估計概率，從該校高一年級學(xué)生中抽取3名學(xué)生，記合格的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）由100名學(xué)生中高三年級的學(xué)生占，可知高三年級的學(xué)生有60人，高一年級的學(xué)生有40人.補充完整的列聯(lián)表，如下：合格不合格合計高三年級的學(xué)生54660高一年級的學(xué)生241640合計7822100提出零假設(shè)：“對公式的掌握情況”與“學(xué)生所在年級”無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得.根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷H?不成立，即認(rèn)為“對公式的掌握情況”與“學(xué)生所在年級”有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.（2）由（1）得，高一年級的學(xué)生對公式的掌握情況合格的頻率為.依題意，得，則，，，.所以的分布列為0123.17.甲、乙兩人進(jìn)行某棋類比賽，每局比賽時，若決出輸贏則獲勝方得2分,負(fù)方得0分；若平局則各得1分．已知甲在每局中獲勝、平局、負(fù)概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨立．（1）若比賽共進(jìn)行了三局，求甲獲勝一局的概率；（2）若比賽共進(jìn)行了三局，求甲得3分的概率；（3）規(guī)定比賽最多進(jìn)行五局，若一方比另一方多得4分則停止比賽，求比賽局?jǐn)?shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)“三局比賽后，甲勝一局”為事件A，甲勝一局包含以下情形：三局中甲一勝兩平局，三局中甲一勝兩負(fù)，三局中甲一勝一平一負(fù)，所以，或，所以甲勝一局的概率為（2）設(shè)“三局比賽后，甲得3分”為事件B，甲得3分包含以下情形：三局均為平局，三局中甲一勝一平一負(fù)，所以，所以甲得3分的概率為（3）依題意知，X的可能取值為2，3，4，5，，,,，故X的分布列為：X2345P所以期望18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于方程有兩根（其中），①求的取值范圍；②當(dāng)時，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，，所以，由解得，由解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）①由，即，即，令，上式為，因為，所以在上單調(diào)遞增，故等價于，即在上有兩根，令，則，由解得，由解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以有極大值，且當(dāng)時，，其圖象如圖所示：所以的取值范圍為.②由①得在上有兩根，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，所以，可得，所以，所以.19.某疫苗生產(chǎn)單位通過驗血的方式檢驗?zāi)撤N疫苗產(chǎn)生抗體情況，現(xiàn)有份血液樣本（數(shù)量足夠大），有以下兩種檢驗方式：方式一：逐份檢驗，需要檢驗次；方式二：混合檢驗，將其中份血液樣本混合檢驗，若混合血樣無抗體，說明這份血液樣本全無抗體，只需檢驗1次；若混合血樣有抗體，為了明確具體哪份血液樣本有抗體，需要對每份血液樣本再分別化驗一次，檢驗總次數(shù)為次．假設(shè)每份樣本的檢驗結(jié)果相互獨立，每份樣本有抗體的概率均為．（1）現(xiàn)有5份不同的血液樣本，其中只有2份血液樣本有抗體，采用逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)過3次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率；（2）現(xiàn)取其中份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為；采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為．①若，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；②已知，以檢驗總次數(shù)的期望為依據(jù)，討論采用何種檢驗方式更好？參考數(shù)據(jù)：,,，，．解：（1）設(shè)恰好經(jīng)過3次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來為事件，事件A分為兩種情況，一種是前兩次檢驗中，其中一次檢驗出抗體，第三次檢驗出抗體，二是前三次