2025年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬押題卷數(shù)學（二）本試卷總分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若“”是真命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由判別式即可求解.【詳解】由題意可得：，解得：，所以實數(shù)的取值范圍為，故選：A2.已知圓錐的底面半徑為3，高為4，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓錐表面積公式可求.【詳解】圓錐母線，則圓錐的表面積，故選：D.3.已知函數(shù)的最小正周期為，則在上的最大值為（）A.1 B. C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】由周期公式求得，然后由換元法即可求解.【詳解】由題意，解得，，所以的最大值為3.故選：D.4.若的展開式中的各項系數(shù)和為243，則該展開式中的系數(shù)為（）A.20 B.40 C.60 D.80【答案】D【解析】【分析】令求出，然后根據(jù)展開式的通項求解即可.【詳解】令，可得，則，則的展開式的通項為，，令，得，則的展開式中的系數(shù)為.故選：D.5.已知向量，向量在向量上的投影向量是，且，則（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由投影向量的公式可求的值，將轉化為，則可代入的值進行計算求得結果。【詳解】由得，因為在上的投影向量為，所以，，即，代入與得，解得.故選：B.6.古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用表示，即，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二倍角公式與誘導公式即可求解.【詳解】因為，所以，所以.故選：D.7.已知函數(shù)，若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】對函數(shù)求導，根據(jù)導函數(shù)可得為R上的增函數(shù)，利用單調性比較大小即可.【詳解】由，得，，當且僅當，即時等號成立，而，，即在R上單調遞增，，，即.故選：A.8.已知橢圓的右焦點為，過點作兩條相互垂直的直線分別與相交于，和，則四邊形面積的最小值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】先求出橢圓的右焦點坐標，然后分情況討論直線的斜率情況.設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式求出和，進而得到四邊形的面積表達式，再通過函數(shù)求最值的方法求出面積的最小值.【詳解】在橢圓中，，，則，所以右焦點.當直線的斜率存在且不為時，設直線的方程為，，.聯(lián)立，消去可得：即由韋達定理可得，.根據(jù)弦長公式，可得：因為，所以直線的斜率為，同理可得.則四邊形的面積根據(jù)基本不等式可得，當且僅當，即時等號成立.所以.當直線的斜率為時，此時，，則四邊形的面積.當直線的斜率不存在時，此時，，則四邊形的面積.綜上所得，則四邊形的面積最小值為故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.對于集合、，定義運算：且，.若，，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題中定義以及集合運算逐項判斷即可.【詳解】對于A選項，根據(jù)題中信息可得，A對；對于B選項，根據(jù)題意可得，故，B對；對于C選項，，C錯；對于D選項，，D對.故選：ABD.10.已知定義在上的函數(shù)，，其導函數(shù)分別為，，，，且為奇函數(shù)，則（）A.的圖象關于對稱B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】先根據(jù)條件分析出的周期性和對稱性，再得到的周期性，根據(jù)函數(shù)性質、簡單復合函數(shù)求導逐個判斷即可得結果.【詳解】由題意可得，兩式相減可得①，所以,令，可得,所以，所以的圖象關于對稱，故A正確；因為為奇函數(shù)，所以關于中心對稱，所以②，②式兩邊對求導可得，結合，可得：所以，令，可得：，所以即，故B錯，因為，可知也是周期為4的周期函數(shù)，即，兩邊求導可得，所以，故C正確；是周期為4的周期函數(shù)，所以，因為，令，則，即，又，所以，又因為是周期為4的周期函數(shù)，則，由可得，所以，所以，D正確.故選：ACD11.在直三棱柱中，，則（）A.異面直線與所成的角為B.若點在線段上運動，則的最小值為C.點在側面上運動，點在棱上運動，若直線是共面直線，則點的軌跡長度為D.若分別為的中點，則平面截三棱柱所得截面的周長為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意可證平面，繼而可得，A錯；路徑問題，沿展開平面即可求解；由題知點為平面與側面的交線；根據(jù)截面問題作出截面，然后求各邊長即可.【詳解】在直三棱柱中，，，又,平面平面，又平面，，又，，異面直線與所成的角為，故A錯誤；平面沿展開到平面中，如圖，∵，∴，，故展開圖為矩形，（當在連線上時取等），故B正確；點在側面上運動，點在棱上運動，若直線是共面直線，所以點的軌跡為平面與側面的交線，長度為，故C正確；分別為的中點，在平面中，延長交于，連接交于，連接，故四邊形為所求截面，如圖，∵為的中點，∴為的中點，∵為的中點，∴為的重心，，，，，所以截面周長為，故D正確，故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.【答案】5【解析】【分析】由復數(shù)的加減運算及模長公式即可求解.【詳解】由，可得：，所以，所以，故答案為：513.已知奇函數(shù)為上的單調遞增函數(shù)，且當時，，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)奇函數(shù)的性質得到與的關系，再將所求式子進行變形，最后利用基本不等式求解最小值.【詳解】已知是奇函數(shù)，則.因為，所以.又因為在上單調遞增，所以，即.由可得.則.將展開可得：.因為，所以，.根據(jù)基本不等式，則，當且僅當時等號成立.所以.故答案：.14.“”可以看作數(shù)學上的無窮符號，也可以用來表示數(shù)學上特殊的曲線.如圖所示的曲線過坐標原點上的點到兩定點的距離之積為9.若上第一象限內的點滿足的面積為，則__________.【答案】6【解析】【分析】確定點是曲線和以為直徑的圓在第一象限內的交點，【詳解】已知原點在上，則，設為上任意一點，則有，整理得．因為，又，所以，可得，所以點是曲線和以為直徑的圓在第一象限內的交點，聯(lián)立方程，解得，，即，所以，故答案為：6四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列是等差數(shù)列，.（1）求的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質求出公差，再利用等差數(shù)列的通項公式即可求解，（2）根據(jù)裂項相消法求和即可得解.【小問1詳解】由可得，故公差，所以，【小問2詳解】由于，故16.在電影《哪吒2》上映后，某電影公司為了解觀眾對該部電影的喜歡程度與性別的關系，隨機抽取了200名觀眾進行調查，得到如下2×2列聯(lián)表：性別喜歡程度合計不喜歡喜歡男性20100女性60100合計（1）請完成列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別與喜歡程度有關聯(lián)？（2）將喜歡電影《哪吒2》的觀眾稱為“吒迷”，為了解他們的觀后感，從“吒迷”中按性別用分層抽樣的方法隨機抽取7名觀眾，然后再利用隨機抽樣的方法抽取4人做進一步調研，記抽出的4人中女性的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.附：，其中.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析，性別與喜歡程度無關聯(lián)；（2）分布列見解析，數(shù)學期望.【解析】【分析】（1）完善列聯(lián)表，再計算的觀測值，并與臨界值對比判斷.（2）由分層抽樣求得抽取的7名觀眾中，男女性人數(shù)，再求出X的可能值及對應的概率，列出分布列并求出數(shù)學期望.【小問1詳解】依題意，列聯(lián)表如下：性別喜歡程度合計不喜歡喜歡男性2080100女性4060100合計60140200零假設：性別與喜歡程度無關聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認為成立，即認為性別與喜歡程度無關聯(lián).【小問2詳解】依題意，抽取的7人中，男性人數(shù)為：人，女性人數(shù)為人，X的所有可能取值為，則，，所以X分布列為：0123數(shù)學期望.17.已知橢圓的左?右焦點分別為，短軸的一個端點為，且為等邊三角形，直線與圓相切.（1）求的方程；（2）是否存在過點的直線與相交于不同的兩點，且滿足（為坐標原點）？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意易得和，聯(lián)立即得；（2）依題意設出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元得一元二次方程，由算得或，得出韋達定理，計算并將其與題設聯(lián)立求出值檢驗即得.【小問1詳解】由為等邊三角形，可得：，又直線與圓相切，可得：，化簡可得：，聯(lián)立，可得，則，所以橢圓C的標準方程是.【小問2詳解】當直線l的斜率不存在時，，，，不符合題意；當直線l的斜率存在時，如圖，設直線l的方程為，，，由消去y整理得：，由Δ=16k2?163+4由韋達定理得：，，∴，∵，∴，解得，滿足，所以存在符合題意的直線，其方程為.18.如圖①，正方形的邊長為是的中點，點在邊上，且．將沿翻折到的位置，使得平面平面，如圖②．（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質得出平面，再根據(jù)線面垂直的性質及判定即可證明；（2）建立空間直角坐標系，根據(jù)面面角向量公式即可求解；（3）在平面中，過點作，垂足為，得出的長即為點到平面的距離，根據(jù)三角函數(shù)求解即可．【小問1詳解】證明：因為四邊形為正方形，所以，由折疊得，因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，又因為，平面，所以平面，又平面，所以．【小問2詳解】在平面中，過點作，垂足，由勾股定理得，，所以，以為原點，以平面內過點垂直于的方向為軸，直線方向為軸，過點垂直于平面的方向為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，則，，因為，所以，則,由（1）知，平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，則，取則，則cos<所以平面與平面夾角的余弦值．【小問3詳解】在平面中，過點作，垂足為，因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，所以的長即為點到平面的距離，在中，，所以，所以點到平面的距離為．19.給出如下定義：已知兩個函數(shù)和，集合為這兩個函數(shù)公共定義域的一個連續(xù)的非空子集，如果對于任意的，都有，則稱函數(shù)為和在集合上的一個“隔離函數(shù)”.（1）若，且其中一個函數(shù)為另外兩個的“隔離函數(shù)”，請作出判斷并證明你的結論；（2）若，且是和在上的“隔離函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；（3）若（其中），，其中是與在上的“隔離函數(shù)”，證明：.【答案】（1）判斷，證明見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）結合題設新定義，構造函數(shù)，，，結合導數(shù)分析其單調性進行證明即可；（2）結合題意可得，對于任意的，都有，進而構造函數(shù)，結合導數(shù)求解即可；（3）結合題意可得對于任意的，都有，進而分，進行討論可得當時，都有，再結合為偶函數(shù)進行求證即可.【小問1詳解】函數(shù)為和在集合上的一個“隔離函數(shù)”，證明如下：設，，則，令，得；令，得，所以函數(shù)上單調遞增，在上單調遞減，所以，即，當且僅當時等號成立；設，，則，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，則，即，當且僅當時等號成立.綜上所述，對于任意的，都有，則函數(shù)為和在集合..上的一個“隔離函數(shù)”.【小問2詳解】因為是和在上的“隔離函數(shù)”，則對于任意的，都有，即.①由，即，設，，則，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，則，則；②由，即，設，，則，設，，則，當時，；當時